垂直与平行的问题
1
例1两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，MN ∥平面BCE
P
例2在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面(1)若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC 1；
(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，
若AM =MA 1，求证截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ； (3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件 吗？请你叙述判断理由
C
1
例3 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1=B 1C 1=2，D 、D 1分别是AB 、A 1B 1的中点，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，异面直线AB 1和C 1B 互相垂直(1)求证 AB 1⊥C 1D 1；
(2)求证AB 1⊥面A 1CD ；
(3)若AB 1=3，求直线AC 与平面A 1CD 所成的角
1
2
学生巩固练习
1在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )
8343 B C D 3834
2在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α, 直线b ⊂β, a 、b 与l 斜交，则( ) A a 不和b 垂直，但可能a ∥b B a 可能和b 垂直，也可能a ∥b C a 不和b 垂直，a 也不和b 平行 D a 不和b 平行，但可能a ⊥b
3设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号) ①X 、Y 、Z 是直线 ②X 、Y 是直线，Z 是平面 ③Z 是直线，X 、Y 是平面 ④X 、Y 、Z 是平面 4设a , b 是异面直线，下列命题正确的是_________①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 ②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 ③过a 一定可以作一个平面与b 垂直
④过a 一定可以作一个平面与b 平行
5如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧 棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点
(1)求证 CD ⊥PD ;
(2)求证EF ∥平面PAD ; (3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平 面PCD ？
6如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,
平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H
(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由 (2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明
A 3
如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、
E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3(1)若M 为AB 中点，求证BB 1∥平面EFM ；
(2)求证EF ⊥BC ；
(3)求二面角A 的大小1—B 1D —C 1
A
1
1
8如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱 形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°, (1)证明 C 1C ⊥BD ；
(2)假定CD =2，CC 31=2
，记面C 1BD 为α, 面CBD 为β, 求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；
1
(3)当CD
CC 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？ 1
C
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垂直与平行的问题
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例1两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，MN ∥平面BCE
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例2在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面(1)若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC 1；
(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，
若AM =MA 1，求证截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ； (3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件 吗？请你叙述判断理由
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例3 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1=B 1C 1=2，D 、D 1分别是AB 、A 1B 1的中点，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，异面直线AB 1和C 1B 互相垂直(1)求证 AB 1⊥C 1D 1；
(2)求证AB 1⊥面A 1CD ；
(3)若AB 1=3，求直线AC 与平面A 1CD 所成的角
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学生巩固练习
1在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )
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2在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α, 直线b ⊂β, a 、b 与l 斜交，则( ) A a 不和b 垂直，但可能a ∥b B a 可能和b 垂直，也可能a ∥b C a 不和b 垂直，a 也不和b 平行 D a 不和b 平行，但可能a ⊥b
3设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号) ①X 、Y 、Z 是直线 ②X 、Y 是直线，Z 是平面 ③Z 是直线，X 、Y 是平面 ④X 、Y 、Z 是平面 4设a , b 是异面直线，下列命题正确的是_________①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 ②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 ③过a 一定可以作一个平面与b 垂直
④过a 一定可以作一个平面与b 平行
5如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧 棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点
(1)求证 CD ⊥PD ;
(2)求证EF ∥平面PAD ; (3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平 面PCD ？
6如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,
平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H
(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由 (2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明
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如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、
E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3(1)若M 为AB 中点，求证BB 1∥平面EFM ；
(2)求证EF ⊥BC ；
(3)求二面角A 的大小1—B 1D —C 1
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8如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱 形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°, (1)证明 C 1C ⊥BD ；
(2)假定CD =2，CC 31=2
，记面C 1BD 为α, 面CBD 为β, 求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；
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(3)当CD
CC 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？ 1
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