第２４卷第４期大学数学Ｖ０１．２４，Ｎｏ．４２００８年８月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｕｇ．２００８
算术平均值与几何平均值不等式的推广
岳嵘
（山东科技大学公共课部，泰安２７１０１９）
［摘要］利用初等对称多项式得出算术平均值与几何平均值不等式的推广形式，并给出Ｅ１３中的…个猜
想不等式的证明．
［关键词］初等对称多项式；算术平均值；几何平均值；不等式
［中图分类号］０１７２［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）０４—０１７９—０３
初等对称多项式及其性质
１．１初等对称多项式的定义
设
Ｅ１（口１，口２，…，ａ。）＝∑％Ｅ：（…口２’…，口。）一∑卵ｊ，
ｉ＝１ｉ・Ｊ＝１
（ｉ＜ｊ）
Ｅ３（ｎｌ，ａ２，…，ａ月）＝ａｉａＪａｔ，，…，ＥＨ（ａｌ，ａ２，…，ａ月）５ａｌａｚ…ａＨ，
“¨．∑棠称Ｅ】，Ｅｚ’．一，Ｅ。为初等对称多项式．特别地，规定Ｅ０（口－，ａ２’．”，ａ。）一１．
１．２初等对称多项式的性质
命题１Ｅ＾（口１，ａ２，…，ａ。）一口ｌＥ—ｌ（口２，口３，…，ａ．）＋Ｂ（ａｚ，ａ３，…，ａ。）
一口２Ｅ：一１（ｎ１，ａ３，ａ４，…，ａ。）＋Ｅ＾（ｎｌ，ａ３，ａ４，…，ａ。）
一口。Ｅ±一１（口１，ａ２，ａ３，…，ａ。一１）＋Ｅ＾（ｎｌ，ａ２，ａ３，…，ａ。一１），ｋ∈Ｉ呵，１≤≤矗≤≤，ｚ．
证将Ｂ（口ｌ，口２，…，ａ．）中的项分为含ａｌ与不含ａｌ两部分，Ｅ＾（口ｌ，ａ２，…，ａ。）等于ａｌ，Ⅱｚ，…，ａ。的所有ｋ个不同元素的乘积的和，共有ａ项，ａ，Ｅ一。（口：，ａａ，…，ａ。）＋Ｅ（口ｚ，ａａ，…，ａ。）展开后每一项也是五个不同元素的乘积，各项互不相同，共有ａ二ｉ＋Ｃ：一ｔ项，Ｇ＝Ｃ。ｋ一－－｛＋ａ一－，ａｌＥｋ一－（ａｚ，ａａ，…，ａ。）＋Ｅ（口：，ａ。，…，ａ。）也等于ａ。，ａ。，…，ａ。的所有ｋ个不同元素的乘积的和．故
ＥＩ（ｎｌ，ａ２，…，ａ．）一口ｌＥＩ一１（口ｚ，口３，…，口。）＋Ｅ★（口２，ａ３，…，ａ。）．
同理可证
Ｅｋ（口ｌ，口２，…，ａ。）一口２Ｅｋ一１（口ｌ，ａ３，ａ４，…，ａ。）＋ＥＩ（口Ｉ，ａ３，ａ４，…，口。）
＝口。Ｅ＾一１（ｎ１，ｎ２，ａ３，…，口月一１）＋ＥＩ（ｎｌ，ａ２，口３，…，ａｎ－１）．
命题２ａ１Ｅ＾一ｌ（丑２，ａ３，…，ｎ。）＋ｎ２Ｅ一１（口１，口３，ａ４，…，ａ。）＋…＋口。Ｅ卜１（ａｌ，ａ２，…，ａｎ－１）
＝ｋＥＩ（口１，ａ２，…，ａ。），ｋ∈Ｎ，１≤惫≤≤ｎ．
证ａ１ＥＩ一１（ｎ２，口３，…，１２。）＋ｎ２Ｅ卜１（口ｌ，口３，ａ４…，ａ。）＋…＋口。Ｅ＾～ｌ（口ｌ，口２，…，ａ。一１）展开后每一项
是ｎ。，ａ。，…，ａ。的ｋ个不同元素的乘积，共ｎＣｔ：ｉ项，志Ｅ（口。，口ｚ，…，ａ。）有志ｅ个ｋ个不同元素的乘积，［收稿日期］２００６—０５—３０
１８０大学数学第２４卷ｎＣＦｉ＝曼ａ，左右两边项数相等．ａ。ａ：…口。在左边前ｋ项中出现，共有ｋ项。由对称性，左边含有ａ１，ａ２’…，口”的所有ｋ个不同元素的乘积，每一乘积项都有ｋ个，故命题２成立．
命题３当ｉ１，ｉ２，…，ｉ＾一２与ｊ１，Ｊ２，…，ｊ。一。＋２是１，２，…，竹的咒个互不相同的自然数，且１≤ｉ】＜ｉ２＜…＜ｉ女一２≤行，１≤歹ｌ＜歹２＜…＜歹。一Ｉ＋２≤押时，
∑
＜ｉ２＜…＜ｔｔ一－２ａ‘１ａｉ２…ａｉｋ—ｚＥ２（口Ｊｌ，…，ｎ＊Ⅲ）＝Ｇ－２Ｅ女（ａｚ，口２，…，口。）．
证∑
ｉ１＜‘２＜…＜Ｉｋ－－２口‘ａｉ。…ｎ‘一。Ｅｚ（％。，口矿…，口＊。）展开后每一项是口・，ａ２，…，丑。的所有ｋ个不同
元素的乘积，共Ｇ－２Ｃ：一。＋：项，口。ｎ：…口。仅在含口，，ａ。，…，ａ。的ｋ一２个不同元素的乘积中出现，共有ａｑ个．由对称性，口，，ｎ：，…，口。的ｋ个不同元素的乘积，共ａ＿２Ｃ：项，ａ＿２Ｃ：～。＋：＝ａ－２Ｃ：，
∑
ｉＩ＜’２＜…＜Ｉｋ．－２ｎ。．口１２．‘’口‘一：Ｅ２（口，，，哟：，…，口＊。）等于ａｌ，ａ２，…，口。的Ｃ：－２个所有ｋ个不同元素的乘积的
和，故命题３成立．
命题４若ａｉ＞０（ｉ＝１，２，…，挖），曼≥２，则
≥黑Ｅｋ（ｍ％…炳）．
口。ｌ口｝Ｅｉ一２（ｎ２，ａ３，…，ａ。）＋ｎ；Ｅｋ一２（ｎ１，ａ３，口４，…，口。）＋口：Ｅ｛一２（口１，ａ２，…，ａ。一１）证利用口｝＋ｎ；＋…＋口：≥—与Ｅ：（ｎ。，口：，…，ｎ。）（许多文章中都有此结果的证明，此处省略）．咒一１当盘，＞Ｏ（ｉ—ｌ，２，…，扎），是≥２，ｉ。，ｉｚ，…，ｉ。一：与ｊ。，ｊｚ，…，Ｊ。一抖。是１，２，…，行的竹个互不相同的自然数，且ｌ≤ｉｌ＜ｉ２＜…＜以一２≤行，１≤歹。＜歹。＜…＜Ｊ。一Ｈ：≤，ｚ时，ａ｝Ｅ女一２（ｎ２，口３，…，口。）＋口ｌＥ＾一２（口ｌ，ａ３，ｎ４，…，ａ。）＋…＋口：Ｅ＾２（乜ｌ，ａ２，…，口。一１）ｎｉ２…ｎ‘一ｚ（口；，＋口乞＋…＋口；。
ａｊ２…ｎ≥∑
１＜ｉｚ＜…＜ｉｋ－－２口ｔ１２＾一２—（ｎ－－ｋ＋—２）－－１２Ｅ２（口矿ａＪ２，…，ａｊ㈣＋２）
Ｅｌ（丑ｌ，ａ２，…，ａ。）．一！
（竹一ｋ＋１）２Ｅｉ（罐１，口２，…，ａ。）＝２Ｃｌ
咒一忌＋１
２算术平均值与几何平均值不等式的推广
定理若ａｉ＞Ｏ（ｉ—ｌ，２，…，规），则有
Ｃ：口‘≥Ｅｋ（以１，ａｚ，…，口。）
其中ａ一ａ１＋口２＋…＋ａ。，ｋ∈Ｎ，１≤志≤ｎ．
证对ｋ用数学归纳法．当ｋ＝１时，结论显然成立．
当ｋ一２时，
起２ａ２＝（口ｌ＋ｎ２＋…＋口。）２一口ｉ＋Ⅱ；＋…＋口：＋２Ｅ２（口ｌ，ｎ２，…，ａ。）
≥茅马Ｅ：（ｎ，，ｎ。，…，口。）＋２Ｅ。（口。，口：，…，口。）＝ｉ备Ｅ：（ｎ。，口：，…，口。）
所以
Ｃ２ａ２一ｅ－砉ｎＺａｚ≥ｃ：≯１ｉ２ｊｎＥ：（口。，口：，…，口。）一Ｅ（口。，口。，…，口。）．
假设ｅ－１ｔ２卜１≥Ｅ川（ｎｌ，ａ２，…，ａ。），则ａ扣半以ｋ－－ＩⅡｋ－－Ｉ≥７＂１——ｋ上１
ｎｋ（口ｌ＋口２＋…＋口。）Ｅ：一ｌ（口ｌ，口２，…，ａ。）．由命题１，２，３，４的结果，
（ｎＩ＋口２＋…＋口。）ＥＩ—ｌ（口ｌ，ａ２，…，口。）
第４期—————————————————————————————————————————————————————一一。岳嵘：苎查兰兰竺兰！竺兰兰竺三兰查竺兰！一———兰
＝口ｌＥｋ—ｌ（口１，丑２，…，口。）＋口２Ｅ±一１（口１，ｎ２，…，口。）＋…＋口一Ｅｋ一１（口ｌ’口２’…’ａ”）
＝矗１［口１ＥＨ（Ⅱ２，口３，…，口。）＋匠一ｌ（口ｚ＇口３’…，口ｎ）ｌＪ
＋口２［口２Ｅ＾一２（口１，口３，口４，…，口。）＋Ｅ々一１（ｎ１，ｎ３＇ｎ４’…’ａ”）ｊ＋…
＋口。［盘。ＥＨ（口Ｉ，口２纳，…，ａ．－１）＋＆一ｌ（口Ｉ’口２，口３＇…，ａ．－１）Ｊ
＝４｛Ｅ＾一２（口２，口３，…，口。）＋ａｌＥｋ一１（ａ２，口３’…，ａｎ）
＋口；Ｅ＾一２（口１，ｄ３，口４，…，口。）＋口２互五一ｌ（口１，口３’ｎ４，…，ｎ一）十…
＋口：Ｅ＾一２（口１，ａ２，…，ａ．－１）＋口。Ｅ＾一ｌ（口ｌ，口２’…＇口一一１）
＝口｝ＥＩ一２（口２，口３，…，口。）＋口；Ｅ＾一２（ａｊ，ａ３’口４，…’口一）十…
≥蔫Ｅｔ（口ｔ，口ｚ，…，口ｎ）＋走Ｅ沁－川”…，口Ｊ
：＝：；；—：：：；；％Ｅｔ（ｃｚ－，口ｚ，。・‘，ｃｒｎ），
则有醴ｎ‘≥Ｅ女（口１，口２，…，口。）．
注当ｋ－－＿７＂／时，ａ１＋口２＋…＋口。＋口：Ｅｔ一２（口ｌ，口ｚ，…，ａ．－１）＋矗Ｅｊ（ａｌ，ａ２，…，口ｎ—ｌ’ａｎ）１”≥ｎ心…口。．
定理是算术平均值与几何平均值不等式的推广．
３证明文［１－１中的命题
设口ｉ（ｉ：１，２，…，咒）∈骢＋，ｎ∈Ｎ＋，且押≥３，，ａｌｆｌ２－－＇ａ．＝Ｉ，其中口＝生±旦挚，求证
（１＋口１）（１＋口ｚ）…（１＋ｄ。）≤（１＋口）“一矿＋１．
证Ｅ。（口”ａ２，…，ａ＾）＝ａ．１ａ２…ａ”２１，
（１＋口１）（１＋ａ２）…（１＋ａ。）
：Ｉ＋Ｅ，（口。，口２，…，口。）＋Ｅ：（口¨口：，…，口。）＋…＋Ｅ。一・（乜１，盘ｚ，…，口一）＋Ｅ（。１，口２，…，口一）≤１＋Ｃｋ＋Ｃ耘２＋…＋Ｃ：：一１口”一１＋１一（１＋口）”～口“＋１・
［参考文献］
［１３符小芽．一个数学问题的简证与推广［Ｊ］．数学通报，２００６，４５（２）：５２・
Ｅ２－１《数学手册》编写组．数学手册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９：９５・
ＴｈｅＧｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃ
ａｎｄＧｅｏｍｅｔｒｙＭｅａｎＶａｌｕｅＭｅａｎＶａｌｕｅＩｎｅｑｕａｌｉｔｙ
ＹＵＥＲｏｎｇ
ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌ。ｇＹ，Ｔａｉ’ａｎ２７１０１９，ｃｈｉｎ８）
（ＰｕｈｌｉｃＣＩａｓｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ｓｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。ｆ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｅｔｈｅｐｒｉｍａｒｙｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ
ｖａｌｕｅ，ａｎｄｇｉｖｅａｔｏｇｉｖｅａｅｘｔｅｎｄｆｏｒｍｏｆａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎｖａｌｕｅａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｙｍｅａｎｓｕｓｐｅｃｔｔｅｓｔｉｆｙｏｆｔｈｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｏｆ［１］・
ｍｅａｎｖａｌｕｅ；ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｍｕｈｉｎｏｍｉａｌ；ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎｖａｌｕｅ；ｇｅｏｍｅｔｒｙＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｉｍａｒｙｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ
算术平均值与几何平均值不等式的推广
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：岳嵘， YUE Rong山东科技大学,公共课部,泰安,271019大学数学COLLEGE MATHEMATICS2008，24(4)0次
参考文献(2条)
1.符小芽 一个数学问题的简证与推广[期刊论文]-数学通报 2006(02)
2.编写组 数学手册 1979
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx200804042.aspx
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第２４卷第４期大学数学Ｖ０１．２４，Ｎｏ．４２００８年８月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｕｇ．２００８
算术平均值与几何平均值不等式的推广
岳嵘
（山东科技大学公共课部，泰安２７１０１９）
［摘要］利用初等对称多项式得出算术平均值与几何平均值不等式的推广形式，并给出Ｅ１３中的…个猜
想不等式的证明．
［关键词］初等对称多项式；算术平均值；几何平均值；不等式
［中图分类号］０１７２［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）０４—０１７９—０３
初等对称多项式及其性质
１．１初等对称多项式的定义
设
Ｅ１（口１，口２，…，ａ。）＝∑％Ｅ：（…口２’…，口。）一∑卵ｊ，
ｉ＝１ｉ・Ｊ＝１
（ｉ＜ｊ）
Ｅ３（ｎｌ，ａ２，…，ａ月）＝ａｉａＪａｔ，，…，ＥＨ（ａｌ，ａ２，…，ａ月）５ａｌａｚ…ａＨ，
“¨．∑棠称Ｅ】，Ｅｚ’．一，Ｅ。为初等对称多项式．特别地，规定Ｅ０（口－，ａ２’．”，ａ。）一１．
１．２初等对称多项式的性质
命题１Ｅ＾（口１，ａ２，…，ａ。）一口ｌＥ—ｌ（口２，口３，…，ａ．）＋Ｂ（ａｚ，ａ３，…，ａ。）
一口２Ｅ：一１（ｎ１，ａ３，ａ４，…，ａ。）＋Ｅ＾（ｎｌ，ａ３，ａ４，…，ａ。）
一口。Ｅ±一１（口１，ａ２，ａ３，…，ａ。一１）＋Ｅ＾（ｎｌ，ａ２，ａ３，…，ａ。一１），ｋ∈Ｉ呵，１≤≤矗≤≤，ｚ．
证将Ｂ（口ｌ，口２，…，ａ．）中的项分为含ａｌ与不含ａｌ两部分，Ｅ＾（口ｌ，ａ２，…，ａ。）等于ａｌ，Ⅱｚ，…，ａ。的所有ｋ个不同元素的乘积的和，共有ａ项，ａ，Ｅ一。（口：，ａａ，…，ａ。）＋Ｅ（口ｚ，ａａ，…，ａ。）展开后每一项也是五个不同元素的乘积，各项互不相同，共有ａ二ｉ＋Ｃ：一ｔ项，Ｇ＝Ｃ。ｋ一－－｛＋ａ一－，ａｌＥｋ一－（ａｚ，ａａ，…，ａ。）＋Ｅ（口：，ａ。，…，ａ。）也等于ａ。，ａ。，…，ａ。的所有ｋ个不同元素的乘积的和．故
ＥＩ（ｎｌ，ａ２，…，ａ．）一口ｌＥＩ一１（口ｚ，口３，…，口。）＋Ｅ★（口２，ａ３，…，ａ。）．
同理可证
Ｅｋ（口ｌ，口２，…，ａ。）一口２Ｅｋ一１（口ｌ，ａ３，ａ４，…，ａ。）＋ＥＩ（口Ｉ，ａ３，ａ４，…，口。）
＝口。Ｅ＾一１（ｎ１，ｎ２，ａ３，…，口月一１）＋ＥＩ（ｎｌ，ａ２，口３，…，ａｎ－１）．
命题２ａ１Ｅ＾一ｌ（丑２，ａ３，…，ｎ。）＋ｎ２Ｅ一１（口１，口３，ａ４，…，ａ。）＋…＋口。Ｅ卜１（ａｌ，ａ２，…，ａｎ－１）
＝ｋＥＩ（口１，ａ２，…，ａ。），ｋ∈Ｎ，１≤惫≤≤ｎ．
证ａ１ＥＩ一１（ｎ２，口３，…，１２。）＋ｎ２Ｅ卜１（口ｌ，口３，ａ４…，ａ。）＋…＋口。Ｅ＾～ｌ（口ｌ，口２，…，ａ。一１）展开后每一项
是ｎ。，ａ。，…，ａ。的ｋ个不同元素的乘积，共ｎＣｔ：ｉ项，志Ｅ（口。，口ｚ，…，ａ。）有志ｅ个ｋ个不同元素的乘积，［收稿日期］２００６—０５—３０
１８０大学数学第２４卷ｎＣＦｉ＝曼ａ，左右两边项数相等．ａ。ａ：…口。在左边前ｋ项中出现，共有ｋ项。由对称性，左边含有ａ１，ａ２’…，口”的所有ｋ个不同元素的乘积，每一乘积项都有ｋ个，故命题２成立．
命题３当ｉ１，ｉ２，…，ｉ＾一２与ｊ１，Ｊ２，…，ｊ。一。＋２是１，２，…，竹的咒个互不相同的自然数，且１≤ｉ】＜ｉ２＜…＜ｉ女一２≤行，１≤歹ｌ＜歹２＜…＜歹。一Ｉ＋２≤押时，
∑
＜ｉ２＜…＜ｔｔ一－２ａ‘１ａｉ２…ａｉｋ—ｚＥ２（口Ｊｌ，…，ｎ＊Ⅲ）＝Ｇ－２Ｅ女（ａｚ，口２，…，口。）．
证∑
ｉ１＜‘２＜…＜Ｉｋ－－２口‘ａｉ。…ｎ‘一。Ｅｚ（％。，口矿…，口＊。）展开后每一项是口・，ａ２，…，丑。的所有ｋ个不同
元素的乘积，共Ｇ－２Ｃ：一。＋：项，口。ｎ：…口。仅在含口，，ａ。，…，ａ。的ｋ一２个不同元素的乘积中出现，共有ａｑ个．由对称性，口，，ｎ：，…，口。的ｋ个不同元素的乘积，共ａ＿２Ｃ：项，ａ＿２Ｃ：～。＋：＝ａ－２Ｃ：，
∑
ｉＩ＜’２＜…＜Ｉｋ．－２ｎ。．口１２．‘’口‘一：Ｅ２（口，，，哟：，…，口＊。）等于ａｌ，ａ２，…，口。的Ｃ：－２个所有ｋ个不同元素的乘积的
和，故命题３成立．
命题４若ａｉ＞０（ｉ＝１，２，…，挖），曼≥２，则
≥黑Ｅｋ（ｍ％…炳）．
口。ｌ口｝Ｅｉ一２（ｎ２，ａ３，…，ａ。）＋ｎ；Ｅｋ一２（ｎ１，ａ３，口４，…，口。）＋口：Ｅ｛一２（口１，ａ２，…，ａ。一１）证利用口｝＋ｎ；＋…＋口：≥—与Ｅ：（ｎ。，口：，…，ｎ。）（许多文章中都有此结果的证明，此处省略）．咒一１当盘，＞Ｏ（ｉ—ｌ，２，…，扎），是≥２，ｉ。，ｉｚ，…，ｉ。一：与ｊ。，ｊｚ，…，Ｊ。一抖。是１，２，…，行的竹个互不相同的自然数，且ｌ≤ｉｌ＜ｉ２＜…＜以一２≤行，１≤歹。＜歹。＜…＜Ｊ。一Ｈ：≤，ｚ时，ａ｝Ｅ女一２（ｎ２，口３，…，口。）＋口ｌＥ＾一２（口ｌ，ａ３，ｎ４，…，ａ。）＋…＋口：Ｅ＾２（乜ｌ，ａ２，…，口。一１）ｎｉ２…ｎ‘一ｚ（口；，＋口乞＋…＋口；。
ａｊ２…ｎ≥∑
１＜ｉｚ＜…＜ｉｋ－－２口ｔ１２＾一２—（ｎ－－ｋ＋—２）－－１２Ｅ２（口矿ａＪ２，…，ａｊ㈣＋２）
Ｅｌ（丑ｌ，ａ２，…，ａ。）．一！
（竹一ｋ＋１）２Ｅｉ（罐１，口２，…，ａ。）＝２Ｃｌ
咒一忌＋１
２算术平均值与几何平均值不等式的推广
定理若ａｉ＞Ｏ（ｉ—ｌ，２，…，规），则有
Ｃ：口‘≥Ｅｋ（以１，ａｚ，…，口。）
其中ａ一ａ１＋口２＋…＋ａ。，ｋ∈Ｎ，１≤志≤ｎ．
证对ｋ用数学归纳法．当ｋ＝１时，结论显然成立．
当ｋ一２时，
起２ａ２＝（口ｌ＋ｎ２＋…＋口。）２一口ｉ＋Ⅱ；＋…＋口：＋２Ｅ２（口ｌ，ｎ２，…，ａ。）
≥茅马Ｅ：（ｎ，，ｎ。，…，口。）＋２Ｅ。（口。，口：，…，口。）＝ｉ备Ｅ：（ｎ。，口：，…，口。）
所以
Ｃ２ａ２一ｅ－砉ｎＺａｚ≥ｃ：≯１ｉ２ｊｎＥ：（口。，口：，…，口。）一Ｅ（口。，口。，…，口。）．
假设ｅ－１ｔ２卜１≥Ｅ川（ｎｌ，ａ２，…，ａ。），则ａ扣半以ｋ－－ＩⅡｋ－－Ｉ≥７＂１——ｋ上１
ｎｋ（口ｌ＋口２＋…＋口。）Ｅ：一ｌ（口ｌ，口２，…，ａ。）．由命题１，２，３，４的结果，
（ｎＩ＋口２＋…＋口。）ＥＩ—ｌ（口ｌ，ａ２，…，口。）
第４期—————————————————————————————————————————————————————一一。岳嵘：苎查兰兰竺兰！竺兰兰竺三兰查竺兰！一———兰
＝口ｌＥｋ—ｌ（口１，丑２，…，口。）＋口２Ｅ±一１（口１，ｎ２，…，口。）＋…＋口一Ｅｋ一１（口ｌ’口２’…’ａ”）
＝矗１［口１ＥＨ（Ⅱ２，口３，…，口。）＋匠一ｌ（口ｚ＇口３’…，口ｎ）ｌＪ
＋口２［口２Ｅ＾一２（口１，口３，口４，…，口。）＋Ｅ々一１（ｎ１，ｎ３＇ｎ４’…’ａ”）ｊ＋…
＋口。［盘。ＥＨ（口Ｉ，口２纳，…，ａ．－１）＋＆一ｌ（口Ｉ’口２，口３＇…，ａ．－１）Ｊ
＝４｛Ｅ＾一２（口２，口３，…，口。）＋ａｌＥｋ一１（ａ２，口３’…，ａｎ）
＋口；Ｅ＾一２（口１，ｄ３，口４，…，口。）＋口２互五一ｌ（口１，口３’ｎ４，…，ｎ一）十…
＋口：Ｅ＾一２（口１，ａ２，…，ａ．－１）＋口。Ｅ＾一ｌ（口ｌ，口２’…＇口一一１）
＝口｝ＥＩ一２（口２，口３，…，口。）＋口；Ｅ＾一２（ａｊ，ａ３’口４，…’口一）十…
≥蔫Ｅｔ（口ｔ，口ｚ，…，口ｎ）＋走Ｅ沁－川”…，口Ｊ
：＝：；；—：：：；；％Ｅｔ（ｃｚ－，口ｚ，。・‘，ｃｒｎ），
则有醴ｎ‘≥Ｅ女（口１，口２，…，口。）．
注当ｋ－－＿７＂／时，ａ１＋口２＋…＋口。＋口：Ｅｔ一２（口ｌ，口ｚ，…，ａ．－１）＋矗Ｅｊ（ａｌ，ａ２，…，口ｎ—ｌ’ａｎ）１”≥ｎ心…口。．
定理是算术平均值与几何平均值不等式的推广．
３证明文［１－１中的命题
设口ｉ（ｉ：１，２，…，咒）∈骢＋，ｎ∈Ｎ＋，且押≥３，，ａｌｆｌ２－－＇ａ．＝Ｉ，其中口＝生±旦挚，求证
（１＋口１）（１＋口ｚ）…（１＋ｄ。）≤（１＋口）“一矿＋１．
证Ｅ。（口”ａ２，…，ａ＾）＝ａ．１ａ２…ａ”２１，
（１＋口１）（１＋ａ２）…（１＋ａ。）
：Ｉ＋Ｅ，（口。，口２，…，口。）＋Ｅ：（口¨口：，…，口。）＋…＋Ｅ。一・（乜１，盘ｚ，…，口一）＋Ｅ（。１，口２，…，口一）≤１＋Ｃｋ＋Ｃ耘２＋…＋Ｃ：：一１口”一１＋１一（１＋口）”～口“＋１・
［参考文献］
［１３符小芽．一个数学问题的简证与推广［Ｊ］．数学通报，２００６，４５（２）：５２・
Ｅ２－１《数学手册》编写组．数学手册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９：９５・
ＴｈｅＧｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃ
ａｎｄＧｅｏｍｅｔｒｙＭｅａｎＶａｌｕｅＭｅａｎＶａｌｕｅＩｎｅｑｕａｌｉｔｙ
ＹＵＥＲｏｎｇ
ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌ。ｇＹ，Ｔａｉ’ａｎ２７１０１９，ｃｈｉｎ８）
（ＰｕｈｌｉｃＣＩａｓｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ｓｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。ｆ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｅｔｈｅｐｒｉｍａｒｙｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ
ｖａｌｕｅ，ａｎｄｇｉｖｅａｔｏｇｉｖｅａｅｘｔｅｎｄｆｏｒｍｏｆａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎｖａｌｕｅａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｙｍｅａｎｓｕｓｐｅｃｔｔｅｓｔｉｆｙｏｆｔｈｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｏｆ［１］・
ｍｅａｎｖａｌｕｅ；ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｍｕｈｉｎｏｍｉａｌ；ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎｖａｌｕｅ；ｇｅｏｍｅｔｒｙＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｉｍａｒｙｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ
算术平均值与几何平均值不等式的推广
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：岳嵘， YUE Rong山东科技大学,公共课部,泰安,271019大学数学COLLEGE MATHEMATICS2008，24(4)0次
参考文献(2条)
1.符小芽 一个数学问题的简证与推广[期刊论文]-数学通报 2006(02)
2.编写组 数学手册 1979
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx200804042.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：f92878c7-182f-4b36-8e81-9dca00a75771
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