高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)(2)

一、极限的定义

高等数学求极限的14种方法

1.极限的保号性很重要：设

xx0

（i）若A0，则有0，使得当0|xx0|时，f(x)0； （ii）若有0,使得当0|xx0|时，f(x)0,则A0。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：

lim

f(x)A，

收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的 （i）数列xn

充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”

（ii）f(x)Af(x)A

x

(iii)

lim

x

xx0

lim



x

A



lim

xx0

lim

f(x)A

limlim

xx0

(iv)单调有界准则

（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）

（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限

lim

xx0

f(x)

存在的充分必要条件是：

0,0,使得当x1、x2Uo(x0)时，恒有|f(x1)f(x2)|

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

0

”“”时候直接用 0

(ii)“0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

（i）“

项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)f(x)或f(x)g(x)g(x)；g(x)f(x)

f(x)g(x)11g(x)f(x)f(x)g(x)

1

1

(iii)“0”“1”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0”型未定式。

1 00

f(x)g(x)e

g(x)lnf(x)

，

3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）

x2xnex

e1xxn1 ；

2!n!(n1)!

x

x3x5x2m1cosx2m3m

sinxx(1)(1)m1x

3!5!(2m1)!(2m3)!

2mx2x4cosx2m2mx cos=1 (1)(1)m1x2!4!(2m)!(2m2)!n

x2x3xn1n1xn

ln（1+x）=x- (1)(1)n1

23n(n1)(1x)

(1+x)u=1ux

u(u1)2

xCunxnCun1(1x)un1xn1 2!

以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设an,bm均不为零，

P（x）=anxnan1xn1a1xa0,Q(x)bmxmbm1xm1b1xb0 an

b,(mn)nP(x)P(x0)

P(x) (i)（ii）若Q(x0)0，则 limQ(x)0,(nm)Q(x)Q(x)0xx0

,(nm)x



lim

5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设abc0，

xnanbncn，求limxn

n

解：由于axna,以及

aa,(alimlim)a，由夹逼定理可知limxna n

n

n



（2）求lim111

2

(n1)2(2n)2nn

解：由012

n

111111

222，以及22

n(n1)(2n)nnn

lim0lim

n

n

1

0可知，原式=0 n

(3)求解

：

111 lim222nn1n2nn

由

111111111n

1nnnn2n21n2nn2nn2nn2nn2n

,以及

2

1n

7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：

n

n

lim1lim

nnn

2

lim

n

1

1得，原式=1

求

lim12x3x

n

2

nxn1 (|x|1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。



8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：

111=1111n1)lim1n1)1 limlim1223n(n1)n223nn

9.利用xx与xn1极限相同求极限。例如：

（1）已知a12,an121，且已知liman存在，求该极限值。

ann

解:设liman=A，（显然A0）则A21，即A22A10，解得结果并舍去负值得A=1+2

n

A

（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如 设x12,x222,,xn2xn1,求limxn

n

解：（i）显然x1x22（ii）假设xk1xk2,则2xk12xk22，即xkxk12。所以，

xn是单调递增数列，且有上界，收敛。设limA，（显然A0)则A

n

2A，即A2A20。

解方程并舍去负值得A=2.即limxn2

n

10.两个重要极限的应用。 （i）

sinx

1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 limx0x0

1

(ii)lim1xxe，在“1”型未定式中常用



x0

11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。

12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限

n

n

lim

x0

arccosx



。解：设tarccosx,则x0时，t0,且xcos(t)sint。

sin2x22

arccosx

2x





lim

x0

原式=

2xlimx0sin2x

arccosx

2x





lim

t0

t1



2sint2

111。由于113．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim，所以

nin2nnnn11

1n

3

21111111ln2 limlim1nn1xn2nnnnn111

nn

14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x0时候，分子上是“f(ax)f(a)”的形式，看见了这

'

种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）

例:设

f(a)0,f(a)

'

1fan 存在，求lim

fan

n

f(a)

1

f(a)f(a)

nnf(a)

n

11f(a)f(a)

fafanf(a)f(a)nnlim1解：原式=lim1f(a)f(a)nn



1

f(a)f(a)

1n

f(a)n

f'(a)f(a)

=

lime

n

e

4

5

一、极限的定义

高等数学求极限的14种方法

1.极限的保号性很重要：设

xx0

（i）若A0，则有0，使得当0|xx0|时，f(x)0； （ii）若有0,使得当0|xx0|时，f(x)0,则A0。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：

lim

f(x)A，

收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的 （i）数列xn

充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”

（ii）f(x)Af(x)A

x

(iii)

lim

x

xx0

lim



x

A



lim

xx0

lim

f(x)A

limlim

xx0

(iv)单调有界准则

（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）

（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限

lim

xx0

f(x)

存在的充分必要条件是：

0,0,使得当x1、x2Uo(x0)时，恒有|f(x1)f(x2)|

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

0

”“”时候直接用 0

(ii)“0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

（i）“

项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)f(x)或f(x)g(x)g(x)；g(x)f(x)

f(x)g(x)11g(x)f(x)f(x)g(x)

1

1

(iii)“0”“1”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0”型未定式。

1 00

f(x)g(x)e

g(x)lnf(x)

，

3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）

x2xnex

e1xxn1 ；

2!n!(n1)!

x

x3x5x2m1cosx2m3m

sinxx(1)(1)m1x

3!5!(2m1)!(2m3)!

2mx2x4cosx2m2mx cos=1 (1)(1)m1x2!4!(2m)!(2m2)!n

x2x3xn1n1xn

ln（1+x）=x- (1)(1)n1

23n(n1)(1x)

(1+x)u=1ux

u(u1)2

xCunxnCun1(1x)un1xn1 2!

以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设an,bm均不为零，

P（x）=anxnan1xn1a1xa0,Q(x)bmxmbm1xm1b1xb0 an

b,(mn)nP(x)P(x0)

P(x) (i)（ii）若Q(x0)0，则 limQ(x)0,(nm)Q(x)Q(x)0xx0

,(nm)x



lim

5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设abc0，

xnanbncn，求limxn

n

解：由于axna,以及

aa,(alimlim)a，由夹逼定理可知limxna n

n

n



（2）求lim111

2

(n1)2(2n)2nn

解：由012

n

111111

222，以及22

n(n1)(2n)nnn

lim0lim

n

n

1

0可知，原式=0 n

(3)求解

：

111 lim222nn1n2nn

由

111111111n

1nnnn2n21n2nn2nn2nn2nn2n

,以及

2

1n

7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：

n

n

lim1lim

nnn

2

lim

n

1

1得，原式=1

求

lim12x3x

n

2

nxn1 (|x|1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。



8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：

111=1111n1)lim1n1)1 limlim1223n(n1)n223nn

9.利用xx与xn1极限相同求极限。例如：

（1）已知a12,an121，且已知liman存在，求该极限值。

ann

解:设liman=A，（显然A0）则A21，即A22A10，解得结果并舍去负值得A=1+2

n

A

（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如 设x12,x222,,xn2xn1,求limxn

n

解：（i）显然x1x22（ii）假设xk1xk2,则2xk12xk22，即xkxk12。所以，

xn是单调递增数列，且有上界，收敛。设limA，（显然A0)则A

n

2A，即A2A20。

解方程并舍去负值得A=2.即limxn2

n

10.两个重要极限的应用。 （i）

sinx

1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 limx0x0

1

(ii)lim1xxe，在“1”型未定式中常用



x0

11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。

12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限

n

n

lim

x0

arccosx



。解：设tarccosx,则x0时，t0,且xcos(t)sint。

sin2x22

arccosx

2x





lim

x0

原式=

2xlimx0sin2x

arccosx

2x





lim

t0

t1



2sint2

111。由于113．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim，所以

nin2nnnn11

1n

3

21111111ln2 limlim1nn1xn2nnnnn111

nn

14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x0时候，分子上是“f(ax)f(a)”的形式，看见了这

'

种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）

例:设

f(a)0,f(a)

'

1fan 存在，求lim

fan

n

f(a)

1

f(a)f(a)

nnf(a)

n

11f(a)f(a)

fafanf(a)f(a)nnlim1解：原式=lim1f(a)f(a)nn



1

f(a)f(a)

1n

f(a)n

f'(a)f(a)

=

lime

n

e

4

5