2015年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）（2015•湖南）已知
=1+i（i 为虚数单位），则复数z=（ ）
3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
4．（5分）（2015•湖南）若变量x 、y 满足约束条件，则z=3x﹣y 的最小值为（
）
6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）的展开式中含x
5
的项的系数为30，则a=（ ）
7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附“若X ﹣N=（μ，a ），则 P （μ﹣ς＜X ≤μ+ς）=0.6826． p （μ﹣2ς＜X ≤μ+2ς）=0.9544．
2
22
8．（5分）（2015•湖南）已知A ，B ，C 在圆x +y=1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（ ）
9．（5分）（2015•湖南）将函数f （x ）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜
）个单位后得
，则φ=
到函数g （x ）的图象．若对满足|f（x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，有|x1﹣x 2|min =
10．（5分）（2015•湖南） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
）（ ）
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2015•湖南）（x ﹣1）dx=．
12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是
13．（5分）（2015•湖南）设F 是双曲线C ：
﹣
=1的一个焦点．若C 上存在点P ，使
．
线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为
14．（5分）（2015•湖南）设S n 为等比数列{an }的前n 项和，若a 1=1，且3S 1，2S 2，S 3成等
n ﹣1
差数列，则a n = 3 ．
15．（5分）（2015•湖南）已知函数f （x ）=若存在实数b ，使函数g （x ）=f（x ）
﹣b 有两个零点，则a 的取值范围是 {a|a＜0或a ＞1} ．
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲 16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O 中，相较于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相较于点F ，证明： （1）∠MEN+∠NOM=180° （2）FE •FN=FM•FO ．
选修4-4：坐标系与方程
17．（6分）（2015•湖南）已知直线l ：（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M 的直角坐标为（5，），直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|•|MB|的值．
11
选修4-5：不等式选讲
18．（2015•湖南）设a ＞0，b ＞0，且a+b=+．证明： （ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a +a＜2与b +b＜2不可能同时成立．
22
19．（2015•湖南）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a=btanA，且B 为钝角． （Ⅰ）证明：B ﹣A=
；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 12
20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 13
21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA 1=6，且AA 1⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱DD 1、BC 上． （1）若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ ； （2）若PQ ∥平面ABB 1A 1，二面角P ﹣QD ﹣A 的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积．
14
15
16
22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C 1：x =4y的焦点F 也是椭圆C 2：＞0）的一个焦点．C 1与C 2的公共弦长为2（Ⅰ）求C 2的方程；
．
2
+=1（a ＞b
（Ⅱ）过点F 的直线l 与C 1相交于A 、B 两点，与C 2相交于C 、D 两点，且
与同向．
（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l 的斜率； （ⅱ）设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．
17
23．（13分）（2015•湖南）已知a ＞0，函数f （x ）=esinx （x ∈[0，+∞]）．记x n 为f （x ）的
*
从小到大的第n （n ∈N ）个极值点．证明： （Ⅰ）数列{f（x n ）}是等比数列； （Ⅱ）若a ≥
，则对一切n ∈N ，x n ＜|f（x n ）|恒成立．
*
ax
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2015年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）（2015•湖南）已知
=1+i（i 为虚数单位），则复数z=（ ）
3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
4．（5分）（2015•湖南）若变量x 、y 满足约束条件，则z=3x﹣y 的最小值为（
）
6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）的展开式中含x
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的项的系数为30，则a=（ ）
7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附“若X ﹣N=（μ，a ），则 P （μ﹣ς＜X ≤μ+ς）=0.6826． p （μ﹣2ς＜X ≤μ+2ς）=0.9544．
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8．（5分）（2015•湖南）已知A ，B ，C 在圆x +y=1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（ ）
9．（5分）（2015•湖南）将函数f （x ）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜
）个单位后得
，则φ=
到函数g （x ）的图象．若对满足|f（x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，有|x1﹣x 2|min =
10．（5分）（2015•湖南） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
）（ ）
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2015•湖南）（x ﹣1）dx=．
12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是
13．（5分）（2015•湖南）设F 是双曲线C ：
﹣
=1的一个焦点．若C 上存在点P ，使
．
线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为
14．（5分）（2015•湖南）设S n 为等比数列{an }的前n 项和，若a 1=1，且3S 1，2S 2，S 3成等
n ﹣1
差数列，则a n = 3 ．
15．（5分）（2015•湖南）已知函数f （x ）=若存在实数b ，使函数g （x ）=f（x ）
﹣b 有两个零点，则a 的取值范围是 {a|a＜0或a ＞1} ．
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲 16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O 中，相较于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相较于点F ，证明： （1）∠MEN+∠NOM=180° （2）FE •FN=FM•FO ．
选修4-4：坐标系与方程
17．（6分）（2015•湖南）已知直线l ：（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M 的直角坐标为（5，），直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|•|MB|的值．
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选修4-5：不等式选讲
18．（2015•湖南）设a ＞0，b ＞0，且a+b=+．证明： （ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a +a＜2与b +b＜2不可能同时成立．
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19．（2015•湖南）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a=btanA，且B 为钝角． （Ⅰ）证明：B ﹣A=
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（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 12
20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 13
21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA 1=6，且AA 1⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱DD 1、BC 上． （1）若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ ； （2）若PQ ∥平面ABB 1A 1，二面角P ﹣QD ﹣A 的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积．
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22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C 1：x =4y的焦点F 也是椭圆C 2：＞0）的一个焦点．C 1与C 2的公共弦长为2（Ⅰ）求C 2的方程；
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+=1（a ＞b
（Ⅱ）过点F 的直线l 与C 1相交于A 、B 两点，与C 2相交于C 、D 两点，且
与同向．
（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l 的斜率； （ⅱ）设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．
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23．（13分）（2015•湖南）已知a ＞0，函数f （x ）=esinx （x ∈[0，+∞]）．记x n 为f （x ）的
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从小到大的第n （n ∈N ）个极值点．证明： （Ⅰ）数列{f（x n ）}是等比数列； （Ⅱ）若a ≥
，则对一切n ∈N ，x n ＜|f（x n ）|恒成立．
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