考点18 数列的综合应用
【1】（B ，新课标II ，文5）等差数列{a n }的公差为2，若a 2、a 4、a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =（ ） A. n (n +1) B. n (n -1) C. n (n +1)
2
D.
n (n -1)
2
【3】（A ，新课标II ，文16）数列{a n }满
足a =1n +11-a ，a 8=2，则a 1=______
n
【4】（B ，上海，文10理8）设无穷数列{a n }
的公比是q ，若a 1=m i l (n →∞
a 3a +4
+ a ) +
n
，
则q = .
【5】（A ，新课标Ⅰ，文17）已知{a n }是递增的等差数列，a 2, a 4是方程
x 2-5x +6=的根0．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
a n
2n
}的前n 项和． 【8】（A ，湖北，文19理18）
已知等差数列{a n }满足：a 1=2，且a 1，a 2，a 5成等比数列.
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式.
（Ⅱ）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n +800? 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 【9】（A ，江西， 文17）已知数列{a n }的
前n 项和S 3n 2-n
, n ∈N *n =2
. （1） 求数列{a n }的通项公式； （2） 证明：对任意的n >1，都存在
m ∈N *
，使得a 1, a n , a m 成等比数
列.
【11】（A ，安徽，文18） 数列{a n }满足
a 1=1, na n +1=(n +1) a n +n (n +1), n ∈N *
（Ⅰ）证明：数列a n
n
是等差数列；
（Ⅱ）设b n =3n {b n }的前n 项和S n .
【12】（A ，福建，文17）在等比数列{a n }中，a 2
=3, a 5=81.
(Ⅰ) 求a n ； (Ⅱ) 设b n =log 3a n ，求数列{b n }的前n 项
和S n .
【13】（A ，湖南，文16）已知数列{a n }的
前n 项和S n 2+n
n =2
，n ∈N *. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b a
n =2n +(-1) n a n ，求数列{b n }的
前2n 项的和.
【15】（B ，全国大纲，文17）数列{a n }满足a 1=1, a 2=2, a n +2=2a n +1-a n +2. （1）设b n =a n +1-a n ，证明{b n }是等差数列；
（2）求{a n }的通项公式.
【17】（B ，北京，文15）已知{a n }是等差数列，满足a 1=3, a 4=12，数列{b n }满足b 1=4，b 4=20，且{b n -a n }是等比数列.
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和.
【18】（B ，重庆，文16）已知{a n }是首项
为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和.
（Ⅰ）求a n 及S n ；
（Ⅱ) 设{b n }是首项为2的等比数列，公比
q 满足q 2-(a 4+1) q +S 4=0，求{b n }的通
项公式及其前n 项和T n .
【19】（B ，四川，文19）. 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n , b n ) 在函数f (x ) =2x 的图象上（n ∈N
*
)
（Ⅰ）证明：数列{b n }为等差数列 （Ⅱ）若a 1=1，函数f (x ) 的图象在点
(a 2, b 2) 处的切线在x 轴上的截距为
2-
1ln 2
，求数列{a 2
n b n }的前n 项和S n 【21】（B ，广东，文19）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足
S 2n -(n 2+n -3) S 2n -3(n +n ) =0
，
n ∈N *
.
（1）求a 1的值；
（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有
1a a +1(a + +1
1
1(1+1) a 22+1) a n (a n +1) 3
.
【23】（B ，山东，文19）在等差数列{a n }中，已知公差d =2，a 2是a 1与a 4的等比中项. （Ｉ）求数列{a n }的通项公式； （
II
）
设
b n =a
(+n
1n
，) 记
2T n =1-b
+2b -3
b …++(-b 1) n b n -，求T n .
【28】（C, 天津，文20理19）已知q 和n 均
为给定的大于1的自然数．设集合
M ={0, 1, 2⋅, ⋅⋅, -q }1,
集合
A ={x x =x -11+x 2q +⋅⋅⋅+x n q n , x i ∈M , i =1,2, ⋅⋅⋅, n }
.
（Ⅰ）当q =2, n =3时，用列举法表示集合A ；
（Ⅱ）设s , t ∈A , s =a 1+a 2q +⋅⋅⋅+a n q n -1，
t =b n -11+b 2q +⋅⋅⋅+b n q ，
其中a i , b i ∈M , i =1,2, ⋅⋅⋅, n . 证明：若a n
【29】（C ，上海，文23）已知数列{a n }满足1
a *
3
n ≤a n +1≤3a n ，n ∈N ，a 1=1. （Ⅰ）若a 2=2, a 3=x , a 4=9，求x 的取值范围；
（Ⅱ）若{a 1
n }是等比数列，且a m =
1000
，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{a n }的公比； （Ⅲ）若
a 1, a 2, , a 100成等差数列，求数列a 1, a 2, , a 100的公差
的取值范围.
【31】（C ，江苏，文理20）设数列{a n }的前n 项和为S n . 若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n =a m ，则称{a n }是“H 数列”.
(1)若数列
的前n 项和
S n n =2证明：{(n ∈N *)
{a n }
，
a n }是“H 数列”；
(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1=1，
公差d
，使得a n =b n +c n (n ∈N *)成立.
考点18 数列的综合应用
【1】（B ，新课标II ，文5）等差数列{a n }的公差为2，若a 2、a 4、a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =（ ） A. n (n +1) B. n (n -1) C. n (n +1)
2
D.
n (n -1)
2
【3】（A ，新课标II ，文16）数列{a n }满
足a =1n +11-a ，a 8=2，则a 1=______
n
【4】（B ，上海，文10理8）设无穷数列{a n }
的公比是q ，若a 1=m i l (n →∞
a 3a +4
+ a ) +
n
，
则q = .
【5】（A ，新课标Ⅰ，文17）已知{a n }是递增的等差数列，a 2, a 4是方程
x 2-5x +6=的根0．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
a n
2n
}的前n 项和． 【8】（A ，湖北，文19理18）
已知等差数列{a n }满足：a 1=2，且a 1，a 2，a 5成等比数列.
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式.
（Ⅱ）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n +800? 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 【9】（A ，江西， 文17）已知数列{a n }的
前n 项和S 3n 2-n
, n ∈N *n =2
. （1） 求数列{a n }的通项公式； （2） 证明：对任意的n >1，都存在
m ∈N *
，使得a 1, a n , a m 成等比数
列.
【11】（A ，安徽，文18） 数列{a n }满足
a 1=1, na n +1=(n +1) a n +n (n +1), n ∈N *
（Ⅰ）证明：数列a n
n
是等差数列；
（Ⅱ）设b n =3n {b n }的前n 项和S n .
【12】（A ，福建，文17）在等比数列{a n }中，a 2
=3, a 5=81.
(Ⅰ) 求a n ； (Ⅱ) 设b n =log 3a n ，求数列{b n }的前n 项
和S n .
【13】（A ，湖南，文16）已知数列{a n }的
前n 项和S n 2+n
n =2
，n ∈N *. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b a
n =2n +(-1) n a n ，求数列{b n }的
前2n 项的和.
【15】（B ，全国大纲，文17）数列{a n }满足a 1=1, a 2=2, a n +2=2a n +1-a n +2. （1）设b n =a n +1-a n ，证明{b n }是等差数列；
（2）求{a n }的通项公式.
【17】（B ，北京，文15）已知{a n }是等差数列，满足a 1=3, a 4=12，数列{b n }满足b 1=4，b 4=20，且{b n -a n }是等比数列.
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和.
【18】（B ，重庆，文16）已知{a n }是首项
为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和.
（Ⅰ）求a n 及S n ；
（Ⅱ) 设{b n }是首项为2的等比数列，公比
q 满足q 2-(a 4+1) q +S 4=0，求{b n }的通
项公式及其前n 项和T n .
【19】（B ，四川，文19）. 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n , b n ) 在函数f (x ) =2x 的图象上（n ∈N
*
)
（Ⅰ）证明：数列{b n }为等差数列 （Ⅱ）若a 1=1，函数f (x ) 的图象在点
(a 2, b 2) 处的切线在x 轴上的截距为
2-
1ln 2
，求数列{a 2
n b n }的前n 项和S n 【21】（B ，广东，文19）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足
S 2n -(n 2+n -3) S 2n -3(n +n ) =0
，
n ∈N *
.
（1）求a 1的值；
（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有
1a a +1(a + +1
1
1(1+1) a 22+1) a n (a n +1) 3
.
【23】（B ，山东，文19）在等差数列{a n }中，已知公差d =2，a 2是a 1与a 4的等比中项. （Ｉ）求数列{a n }的通项公式； （
II
）
设
b n =a
(+n
1n
，) 记
2T n =1-b
+2b -3
b …++(-b 1) n b n -，求T n .
【28】（C, 天津，文20理19）已知q 和n 均
为给定的大于1的自然数．设集合
M ={0, 1, 2⋅, ⋅⋅, -q }1,
集合
A ={x x =x -11+x 2q +⋅⋅⋅+x n q n , x i ∈M , i =1,2, ⋅⋅⋅, n }
.
（Ⅰ）当q =2, n =3时，用列举法表示集合A ；
（Ⅱ）设s , t ∈A , s =a 1+a 2q +⋅⋅⋅+a n q n -1，
t =b n -11+b 2q +⋅⋅⋅+b n q ，
其中a i , b i ∈M , i =1,2, ⋅⋅⋅, n . 证明：若a n
【29】（C ，上海，文23）已知数列{a n }满足1
a *
3
n ≤a n +1≤3a n ，n ∈N ，a 1=1. （Ⅰ）若a 2=2, a 3=x , a 4=9，求x 的取值范围；
（Ⅱ）若{a 1
n }是等比数列，且a m =
1000
，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{a n }的公比； （Ⅲ）若
a 1, a 2, , a 100成等差数列，求数列a 1, a 2, , a 100的公差
的取值范围.
【31】（C ，江苏，文理20）设数列{a n }的前n 项和为S n . 若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n =a m ，则称{a n }是“H 数列”.
(1)若数列
的前n 项和
S n n =2证明：{(n ∈N *)
{a n }
，
a n }是“H 数列”；
(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1=1，
公差d
，使得a n =b n +c n (n ∈N *)成立.