经济博弈论2

第二章 完全信息静态博弈

本章介绍完全信息静态博弈。完全信息静态博 弈即各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方得益 都了解的博弈。囚徒的困境、齐威王田忌赛马、猜 硬币、石头剪子布、古诺产量决策都属于这种博弈。 完全信息静态博弈属于非合作博弈最基本的类型。 本章介绍完全信息静态博弈的一般分析方法、纳什 均衡概念、各种经典模型及其应用等。  基本特征:各博弈方同时选择策略,并且个博弈方有 关于得益的充分信息;  关键不是时间上的同步,而是在选择策略时不知其 他博弈方的策略

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2.1 基本分析思路和方法

2.1.1 上策均衡 2.1.2 严格下策反复消去法 2.1.3 划线法 2.1.4 箭头法

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2.1.1 上策均衡

上策：不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方的 某个策略给他带来的得益始终高于其它的策略， 至少不低于其他策略的策略 如:囚徒的困境中的“坦白”；双寡头削价中“低价” 就是严格上策。 上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略 都是各个博弈方各自的上策，必然是该博弈比较 稳定的结果  上策均衡不是普遍存在的,如:齐王赛马,赌胜博弈 或古诺产量的博弈中就没有上策均衡

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上策均衡反映了所有博弈方的偏好,因此 非常稳定.根据上策均衡可以对博弈结果 作出肯定的预测。  正是由于上策均衡不普遍存在，才正是 博弈理论的价值所在。



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2.1.2 严格下策反复消去法

严格下策：不管其它博弈方的策略如何变化， 给一个博弈方带来的收益总是比另一种策略 给他带来的收益小的策略 严格下策反复消去：

左 上 下 1，0 0，4 中 1，3 0，2 右 0，1 2，0 左 1，0 0，4 中 1，3 0，2 左 1，0 中 1，3

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2.1.3 划 线法

1， 0 0， 4 囚 徒 困 境 猜 硬 币 -5， -5 -8， 0 -1， 1 1， -1

策略之间的相对优劣关系，而 不是绝对优劣关系——划线法。

1， 3 0， 2 0， -8 -1， -1 1， -1 -1， 1 0， 1 2， 0 夫 妻 之 争 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3

有时，划线也不能解决博弈的最终问题。

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2.1.4 箭头法

1， 0 0， 4 囚 徒 困 境 猜 硬 币

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1， 3 0， 2

0， 1 2， 0 夫 妻 之 争

-5， -5 -8， 0

0， -8 -1， -1

2， 1 0， 0

0， 0 1， 3

-1， 1 1， -1

1， -1 -1， 1

上述具有稳定性的策略中，不论是否唯一， 都有一个共同的特征，就是其中每个博弈方 的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合 的最佳对策。

2.2 纳什均衡

2.2.1 纳什均衡的定义 2.2.2 纳什均衡的一致预测性质 2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法

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纳什均衡(Nash Equilibrium)



纳什均衡是著名博弈论专家纳什 （John Nash）对博弈论的重要贡献之一。 纳什在

19世纪1950年1951年的两篇重要 论文中，在一般意义上给定了非合作博 弈及其均衡解，并证明了解的存在性。 正是纳什的这一贡献奠定了非合作博弈 论的理论基础。纳什所定义的均衡称之 谓“纳什均衡”。

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2.2.1 纳什均衡的 定义

S1 策略空间：,  Sn s 博弈方 i的第 j个策略： i j  S u 博弈方 i的得益： i G 博弈：  {S1 ,Sn ; u1 ,un }

i

纳什均衡的实质：通俗地 说，纳什均衡含义就是：给 定你的策略，我的策略是最 好的策略；给定我的策略， 你的策略也是你最好的策略。 即双方在对方给定的策略下 不愿意调整自己的策略。

* ( s i* ,  s i*1 , s i*1 ,... s n )

纳什均衡：在博弈 G  {S1 ,  S n ; u1 ,  u n } 中，如果由各个 * 博弈方的各一个策略组成的某个策略组合 ( si* ,  s n ) 中， 任一博弈方i 的策略，都是对其余博弈方策略的组合 * * ui ( si* ,  si*1 , si* , si*1 ,...sn )  ui ( si* ,  si*1 , sij , si*1 ,...sn ) 的最佳对策，也即 * 对任意s i j  S i 都成立，则称 ( s i* ,  s n ) 为 G 的一个纳什均 衡

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诺贝尔经济学奖获得者萨缪 尔森有一句幽默的话： 你可以将一只鹦鹉训练成经 济学家，因为它所需要学习的 只有两个词：供给与需求。博 弈论专家坎多瑞引申说：要成 为现代经济学家，这只鹦鹉必 须再多学一个词，这个词就是 “纳什均衡”。由此可见纳什均 衡在现代经济学中的重要性。 纳什均衡不仅对经济学意义重 大，对其他社会科学意义也同 样重大。

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2.2.2 纳什均衡的一致预测性质

一致预测：如果所有博弈方都预测一个特定博弈 结果会出现，所有博弈方都不会利用该预测或者 这种预测能力选择与预测结果不一致的策略，即 没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因 此预测结果会成为博弈的最终结果 只有纳什均衡才具有一致预测的性质 一致预测性是纳什均衡的本质属性 一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有 多重均衡，预测不一致的可能

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2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法



. 1 ： 上述两个命题保证在进行纳什均衡分析之前先通过严格 在 命 下策反复消去法简化博弈是可行的 n 题 个 2 博 . 弈 2 2011-11-24 方 ：

 s i ( ,

上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策 命 均衡。上策均衡是比纳什均衡更强、稳定性更高的均 题 衡概念，只是上策均衡在博弈问题中的普遍性比纳什 2 均衡要差得多。

i s i (   G S 1 { ,

  G S 1 { ,

2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法



上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策均衡

命题2.1：在n个博弈方的博弈

G  {S1 ,  S n ; u1 ,  u n } 中，如 * * 果严格下策反复消去法排除了除 ( s i ,  s n ) 之外的所有 * 策略组合，那么 ( s i* ,  s n ) 一定是该博弈的唯一的纳什 均衡 命题2.2：在n个博弈方的博弈中 G  {S1 , Sn ; u1 ,un } 中，如 * ( s i* ,  s n ) 是 的一个纳什均衡，那么严格下策反复 果 消去法一定不会将它消去 上述两个命题保证在进行纳什均衡分析之前先通过严 格下策反复消去法简化博弈是可行的

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混合战略纳什均衡



社会福利博弈

流浪汉 寻找工作 政府 2 救济 3， 1 不救济 -1， 没有一个战略组合构成纳什均衡 流浪 3 -1， 0 0，

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混合战略纳什均衡

零和博弈

博弈参与者有 输有赢，但结 果永远是0。 正面 正面 1 -1， -1 1， 反面 -1 1， 1 -1，

猜谜游戏

两个儿童各 拿一枚硬币， 若同时正面 朝上或朝下， A给B 1分 钱，

若只有一面 朝上，B给A 反面 1分钱。 2011-11-24 没有一个战略组合构成纳什均衡

混合战略纳什均衡



 

上述博弈的特征是：

在这类博弈中，都不存在纯纳什均衡。 参与人的支付取决于其他参与人的战略；以某种概 率分布随机地选择不同的行动 每个参与人都想猜透对方的战略，而每个参与人又 不愿意让对方猜透自己的战略。



这种博弈的类型是什么？如何找到均衡？

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混合战略纳什均衡



请举一些这样的例子：

  

石头、剪子、布游戏 杠子、老虎、鸡、虫子游戏 扑克游戏

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混合战略纳什均衡

猜谜游戏

两个小孩的最 优策略是采取每 个策略的可能性 均为1/2； 每个小孩各取 策略的1/2是纳 什均衡。

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零和博弈

正面 正面 反面 1 -1， -1 1，

反面 -1 1， 1 -1，

混合战略纳什均衡



战略：参与人在给定信息集的情况下选择行动的规 则，它规定参与人在什么情况下选择什么行动，是参 与人的“相机行动方案”。 纯战略：如果一个战略规定参与人在每一个给定的信 息情况下只选择一种特定的行动，该战略为 纯战略。



混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况 下以某种概率分布随机地选择不同的行 动， 2011-11-24 则该战略为混合战略。



混合战略纳什均衡



混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况 下以某种概率分布随机地选择不同的行动， 则该战略为混合战略。

在 n 个参与人博弈的战略式 表述： G  S1， S 2， ， S n； u1 , u 2 ,  , u n   中， 那么，概率分布  i   i1， ，  ik   

假定参与人 i有 K 个纯战略： S i  si1  , sik , 称为 i的一个混合战略，这里  ik   （ sik） 是 i选择 sik的概率，对于所

有的

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k  1， ， K ，   ik  1， 1  ik  1。  0 

k

混合战略纳什均衡



纯战略可以理解为混合战略的特例，即在诸多战略 中，选该纯战略si的概率为1，选其他纯战略的概率 为0。

小猪 按 等待 4，4 0，0

正面 正面

1 -1， -1

大猪

按

5，1

反面

-1 1， 1 -1，

等待 9，-1

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反面

1，

混合战略纳什均衡

如何寻找混合战略纳什均衡？

    

支付最大化法 支付等值法 由于混合战略伴随的是支付的不确定性，因此参与 人关心的是其期望效用。 最优混合战略：是指使期望效用函数最大的混合战 略（给定对方的混合战略） 在两人博弈里，混合战略纳什均衡是两个参与人的 最优混合战略的组合。

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支付最大 化法

混合战略纳什均衡

流浪汉

寻找工作 流浪

假定政府的混合战略是  G  ， ）； （ 1 流浪汉的混合战略是  L  ， ）。 （ 1 政府的期望效用函数为 ： v（  G，  L） （3   1）（1  ）） （ 

2

救济

3， 1 -1，

政府

不救济

3 -1， 0 0，

（ 0  1  ）（    （1  ））  （5  1）  

同样，可以根据流浪汉 的期望效用函数找到政 2011-11-24 府的最优混合战

求微分，得到政府最优 化的一阶条件： vG  5  1  0  故  *  0 .2

即：流浪汉以0.2的概率选择寻 找工作，0.8的概率选择游荡

流浪汉 寻找工作的概率小于0.2

政府 概率为1：不救济

流浪汉 寻找工作

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政府 救济

纳什均衡存在性及相关讨论



纳什均衡存在性定理：每一个有限博弈至少

存在一个纳什均衡（纯战略的或混合战略的）。

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纳什均衡存在性及相关讨论

 

大流士阴谋推翻波斯王国的故事： 当时，一群波斯贵族聚在一起决定推翻国王，其间有人提议 休会，大流士此时站出来大声疾呼，说如果休会的话，就一 定会有人去国王那里告密，因为如果别人不那么做的话，他 自己就会去做，大流士说唯一的办法就是冲进皇宫，杀死国 王。 这个谋反的故事还提供了关于协调博弈的出路。在杀死国王 之后，贵族们想从自己人中推选出一个人当国王，他们决定 不自相残杀，而是在佛晓十分到山上去，谁的马先叫谁就当 国王。大流士的马夫在这场随机的安排中做了手脚，从而成 为国王。



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2.3 无限策略分析和反应函数

2.3.1 古诺的寡头模型  2.3.2 反应函数  2.3.3 伯特兰德寡头模型  2.3.4 公共资源问题  2.3.5 反应函数的问题和局限性

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2.3.1 古诺的寡头模型

寡头产量竞争——以两厂商产量竞争为例 Q  q1  q2

P  P (Q )  8  Q

c1 

c 2  2

u1  q1P(Q)  c1q1  q1[8  (q1  q2 )] 2q1

 6 q1  q1q2  q12

u2  q2P(Q) c2q2  q2[8(q1  q2 )]2q2

 6q2  q1q2  q22

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2.3.2 反应函数

古诺模型的反应函数

q2

理性局 限和古 诺调整

max u1  max(6q1  q1q2  q12 )

q1

q1  R1 (q2 )  1 (6  q2 ) 2 q2  R2 (q1 )  (6  q1 )

1 2

(0,6) (0,3)

R1 (q2 )

R2 (q1 )

(3,0) (6,0)

q1

古诺模型的反应函数图示

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2.3.2 反应函数

古诺模型的纳什均衡也可以通过对划线法思路 的推广来求，划线法的思路是先找出每个博弈方 针对其他博弈方所有策略(或策略组合)的最佳对 策，然后再找出相互构成最佳对策的各博弈方策 略组成的策略组合，也就是博弈的纳什均衡。 在无限策略的古诺博弈模型中这样的思路实际 上也是可行的，只是其他博弈方的策略现在有无限 多种，因此各个博弈方的最佳对策也有无限种，它 们之间往往构成一种连续函数关系。

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在上面讨论的两寡头古诺模型中，对厂商2的任 意产量q2 ，厂商1的最佳对策产量q1 ，就是使自己 在厂商2生产产量q2的情况下利润最大化的产量，即 q1是最大化问题：

max{q1 (6  q1  q2 )}

q1

的解。上式对q1求导并令导数等于0

u1  6  2q1  q2  0 q1 1 由此得： q1  R1 (q2 )  (6  q2 ) 2 2011-11-24

从图中可以看出，当一方的产量选择为0时，另一方的最佳 反应为3。这正是实现市场总利润最大的产量，因为这时候等于 由一个厂商垄断市场，市场总体利润就是该厂商的利益；当一 方的产量达到6时，另一方被迫选择0，因为这时后者坚持生产 已经无利可图。 在两个反应函数对应的两条直线上，只有它们的交点(2，2) 代表的产量组合，才是由相互对对方的最佳反应产量构成的。 q2 R1(q2)上的其他所有点(q1,q2) 只有q1是对q2的最佳反应，q2 不是对 6 R1 (q2 ) q1的最佳反应，而R2(q1)上的点则刚 好相反。 3 (2,2) 根据纳什均衡的定义，(2，2)是该古

诺模型的纳什均衡，并且因为它是惟的一 个，因此应该是该博弈的结果。这个结论 与前面直接根据纳什均衡定义得到的完 全—样。 2011-11-24

R2 (q1 )

3

6

q1

2.3.3 伯特兰德寡头模型

现在我们把反应函数法应用到伯特兰德模 型的分析。伯持兰德1883年提出了另一种形式 的寡占模型。这种模型与选择产量的古诺模型 的区别在于，伯特兰德模型中各厂商所选择的 是价格而不是产量。我们用简单的两寡头且产 品有一定差别的伯特兰德价格博弈模型进行分 析。

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上述产品有一定差别是指两个厂商生产的是 同类产品，但在品牌、质量和包装等方面有所不 同，因此伯特兰德模型中厂商的产品之间有很强的 替代性．

但又不是完全可替代，即价格不同时，价 格较高的不会完全销不出去。当厂商1和厂商2价格 分别为P1和P2时，它们各自的需求函数为：

q1  q1 P , P2   a1  b1P  d1P2 1 1

和

q2  q2 P , P2   a2  b2 P2  d2 P 1 1

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从上式可以看出产品之间是有差别的，其中d1， d2＞0即两厂商产品的替代系数。我们也假设两厂商 无固定成本，假设边际生产成本分别为c1和c2 。 两博弈方的得益函数分别为：

u1 P1 , P2   P1q1  c1q1  P1  c1 a1  b1 P1  d1 P2  u 2 P1 , P2   P2 q2  c2 q2  P2  c2 a2  b2 P2  d 2 P1 

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我们直接用反应函数法分析这个博弈。上两式分 别对P1和P2求偏导，并令偏导数为0，由此得：

u1  a1  b1c1  2b1 P  d1 P2  0 1 P 1 u2  a2  b2 c2  2b2 P2  d 2 P  0 1 P2

求出两厂商对对方策略(价格)的反应函数分别为：

1 P  R1 ( P2 )  (a1  b1c1  d1 P2 ) 1 2b1 和

1 P2  R2 ( P )  (a2  b2 c2  d 2 P ) 1 1 2b2

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a1 (2b2  d1 ) * a2 (2b1  d 2 ) ,P2  P  4b1b2－d1d 2 4b1b2－d1d 2

* 1

将P1*，P2*代入得益函数则可进一步得到两厂商 的均衡得益值。 具体地，如果进一步假设模型中的参数分别为：

a1  a2  28，b1 =b2 =1 , d1＝d 2＝0.5，c1 =c2 =2

则可以得到： P1*＝P2*＝20， u1*＝u2*＝324。

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2.3.4 公共资源问题

随着社会经济的不断发展，我们越来越无法回 避公共资源利用、公共设施提供和公共环境保护等方 面的问题。而在这些问题中，也包含了众多的博弈关 系。我们以人们对公共资源利用方面的博弈关系为例 来作一些讨论。

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在经济学中，所谓公共资源是指具有： (1)没有哪个个人、企业或组织拥有所有权； (2)大家都可以自由利用，这样两个特征的自然资源或 人类生产的供大众免费使用的设施和财货。 例如大家都可以开采使用的地下水，可自由放牧 的草地，可自由排放废水的公共河道(假设政府未予限 制)，以及公共道路、楼道的照明灯等。 由于公共资源有上述两个特征，因而利用这些 资源时不支付任何代价，除非政府将这些资源收归国 有，并对使用者征收资源税或收取类似的费用。

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经济学者们很早就己经开始认识到，在人们完全 从自利动机出发自由利用公共资源时，公共资源倾向 于被过度利用、低效率使用和浪费，并且过度利用会 达到任何利用它们的人都无法得到实际好处的程度。 我们用下面这个公共草地的放牧为例来论证这个结论。

设某村庄有n个农户，该村有一片 大家都可以自由放牧羊群的公共草地。 出于这片草地的面积有限，因此只能让 不超过某

一数量的羊群吃饱，如果在这 片草地上放牧羊只的实际数量超过这个 限度，则每只羊都无法吃饱，从而每只 羊的产出(毛、皮、肉的总价值)就会减 少，甚至只能勉强存活或要饿死。

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假设这些农户在夏天才到公共草地放羊，而每年春天就 要决定养羊的数量，因此可看作各农户在决定自己的养 羊数量时是不知道其他农户养羊数的，即各农户决定养 羊数的决策是同时作出的。 再假设所有农户都清楚这片公共草地最多能养多 少只羊和在羊只总数的不同水平下每只羊的产出。这 就构成了n个农户之间关于养羊数的一个博弈问题，并 且是一个静态博弈。 在此博弈中，博弈方就是n个农户；他们各自的策 略空间就是他们可能选择的养羊数目qi(i=1,2, …,n) 的取值范围。

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当各农户养羊数为q1、q2、… 、qn时，在公共草 地上放牧羊只的总数为Q＝q1＋q2＋…＋qn ，根据前 面的介绍，每只羊的产出应是羊群总数Q的减函数 V＝V(Q)＝V(q1,q2,… ,qn) 假设购买和照料每只羊的成本对每个农户都是相 同的不变常数c，则农户i养qi只羊的得益函数为：

u i  qiV Q   qi c  qiV q1  q 2   q n   qi c

为了使讨论比较简单和能得到直观的结论，我们 进一步设定下列具体数值。每只羊的产出函数为： V＝100－Q＝100－(q1＋q2＋……＋ qn)

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假设n＝3，即只有三个农户，成本c＝4。这时， 三农户的得益函数分别为：

u1 =q1 (100  q1  q2  q3 )  4q1 u2 =q2 (100  q1  q2  q3 )  4q2 u3 =q3 (100  q1  q2  q3 )  4q3

由于羊的数量不是连续可分的，田此上述 函数不是连续函数。但我们在技术上也可以把 羊的数量看作连续可分的，因此上述得益函数 仍然可当作连续函数来处理。

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分别求三农户各自对其他两农户策略(养 羊数)的反应函数，得：

1 1 q1  R1 (q2 , q3 )  48  q2  q3 2 2 1 1 q2  R2 (q1 , q3 )  48  q1  q3 2 2 1 1 q3  R3 (q1 , q2 )  48  q1  q2 2 2

三个反应函数的交点 (q1*,q2*,q3*)就是博弈的纳什 均衡。我们将q1*,q2*,q3*代入上述应函数，并解此联立 方程组，即得q1*＝q2*＝q3*＝24，再将其代入三农户的 得益函数，则可得u1*＝u2*＝u3*＝ 576，此即三农户独 立同时决定在公共草地放羊数量时所能得到的利益。

2011-11-24

如果各农户能将养羊数自觉限制在48／3＝16只，则 他们都能得到更多的利益。但问题是他们面临的也是— 种囚徒的困境局面，因此很难实现这种理想的合作的结 果。这个例子再一次证明了纳什均衡，或者说非合作博 弈的结果有可能是低效率的。 在本例中，如果利用上述草地资源的农户数进一步 增加，则纳什均衡的效率会更

低；如允许外来者任意加 入利用该公共资源的行列，则所有利用该资源的人的利 益很决都会消失，即羊只总数会随着放牧农户数的增加 而增加到刚好不至于亏损的水平，各农户将完全不能从 在公共草地上养羊得到任何好处，公共资源等于完全被 浪费掉。

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2.4 混合策略和混合策略纳什均衡

2.4.1 严格竞争博弈和混合策略的引进 2.4.2 多重均衡博弈和混合策略 2.4.3 混合策略和严格下策反复消去法 2.4.4 混合策略反应函数

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2.4.1 严格竞争博弈和混合策略的 引进

一、猜硬币博弈 盖 硬 正 面 币 反 面 方 猜硬币方 正 面 反 面 -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1

（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略 这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念

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二、混合策略、混合策略博弈和混合策略纳 什均衡

混合策略：在博弈 G  {S1,Sn ; u1 ,un }中，博弈方 i的策略 空间为 S i  {si1 ,  sik } ，则博弈方i 以概率分布pi  ( pi1 ,  p ik ) 个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策 随机在其 k 略”，其中 0  p ij  1 对 j  1,, k 都成立，且p i1    p ik  1 混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率 分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策 略扩展博弈）。 混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳什均 衡。

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齐威王田忌赛马

田 忌 上 上 上 上 上 上 中 中 中 中 中 中 下 下 下 下 下 下 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 得益矩阵

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上中下 齐 上中下 威 上中下 王 上中下 上中下 上中下

小偷和守卫博弈



守卫 睡 不睡 小偷 偷不偷 V，-D -P，0 0，S 0，0

一小偷欲偷窃有一守卫看守的仓库，如果小偷偷窃 时守卫在睡觉，则小偷就能得手，偷得价值为V的 脏物；如果小偷偷窃时守卫没有睡觉，则小偷就会 被抓住。设小偷被抓住后要坐牢，负效用为－P， 守卫睡觉而未遭偷窃则有S的正效用，因睡觉被窃 要被解雇，其负效用为－D。而如果小偷不偷则他 既无得也无失，守卫不睡觉意味着出一份力赚一分 钱，他也没有得失。

2011-11-24

小偷和守卫的博弈

守卫 睡 不睡 小 偷 V，-D-P，0 偷 不偷 0，S 0，0

守卫 得益((睡)

S Pt* Pt* ’ 1 -D - D’

0

Pt 小偷 偷的概率

守卫睡的 期望得益 S(1－Pt)＋(－D)Pt

加重对守卫的处罚：短期中的效果是使守卫真正尽职 在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗

窃发生的概率

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小偷和守卫的博弈

守卫 睡 不睡 小 偷 V，-D-P，0 偷 不偷 0，S 0，0

小偷 得益(偷)

V Pg* 0 -P Pg* ’ 1

Pg 守卫 睡的概率

- P’

加重对小偷的处罚：短期内能抑制盗窃发生率 长期并不能降低盗窃发生率，但会是的守卫更多的偷懒

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当我们为减少盗窃率，加重对小偷的惩罚 时，最终的结果却带来了守卫的偷懒，形成了 一种政策目标和政策结果之间的意外关系，这 就被称为“激励的悖论”。 小偷偷东西，保安渎职。为了避免这种情 况，是加重对小偷的惩罚呢，还是加重对保安 的惩罚？ 由此给我们带来什么启示？ 执法，监督，等等

2011-11-24

纳什均衡的存在性

纳什定理：在一个由n个博弈方的博弈 G  {S1 , Sn ; u1 ,un } 中，

n 如果n是有限的，且 S i 都是有限集(对 i  1,)，则该博弈至 少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。

纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析核 心概念的根本原因之一。

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2.6 纳什均衡的选择

多重纳什均衡博弈的分析

2011-11-24

2.6.1 多重纳什均衡博弈的分析

  

帕累托上策均衡 风险上策均衡 相关均衡

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一、帕累托上策均衡

（鹰鸽博弈） 国家2 这个博弈中有两个纯策略 战争 和平 国 纳什均衡，（战争，战争） 家 战争 -5， -5 8， -10 和（和平，和平），显然 1 和平 -10， 8 10， 10 战争与和平 后者帕累托优于前者，所 以，（和平，和平）是本 博弈的一个帕累托上策均衡。

2011-11-24



帕累托最优(Pareto Optimality)，也称为帕累 托效率（Pareto Efficiency是博弈论中的重要 概念，并且在经济学，工程学和社会科学中 有着广泛的应用。帕累托最优是指资源分配 的一种理想状态，即假定固有的一群人和可 分配的资源，从一种分配状态到另一种状态 的变化中，在没有使任何人境况变坏的前提 下，也不可能再使某些人的处境变好。换句 话说，就是不可能再改善某些人的境况，而 不使任何其他人受损。

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二、风险上策均衡

考虑、顾忌博弈方、其他博弈方可能发生错误等 时，帕累托上策均衡并不一定是最优选择，需要考虑： 风险上策均衡。下面就是两个例子。 猎人2

博 弈 U 方D 1 博弈方2 L R 9， 9 8， 0 0，8 7， 7 猎 5， 5 0， 3 人 鹿 3， 3 1 兔子 3， 0 猎鹿博弈 风险上策均衡（兔子，兔子） 鹿 兔子

风险上策均衡（D，R）

（U, L）是帕累托上策均 衡帕累托上策均衡并不是 有强制力的法则

2011-11-24

考虑风险因素，（D，R） 具有相对优势。称（D，R） 是风险上策均衡。

博 相关均衡 弈 U 5， 1 0， 0 方D 4， 4 1，5 两个纯策略纳什均衡利益相差很 1 大

，很难达成妥协，聚点均衡不适用。 相关均衡 混合策略纳什均衡[（1/2，1/2），（1/2，1/2）]的期 望得益为2.5。 均不理想，事前设计均衡选择机制。 如抛一匹硬币，出现正面博弈方1采用U，博弈方2采用L； 出现反面博弈方1采用D，博弈方2采用R。 避免（U，R） 出现，双方期望得益均为3。 进一步发展，设计“相关装置”，（1）该装置以相同的可能 性（各1/3）发出A、B、C三种信号；（2）博弈方1只能看到信 号是否A，博弈方2只能看到该信号是否C；（3）博弈方1看到A 采用U，否则采用D；博弈方2看到C采用R，否则采用L。 它排除（U，R），各以1/3的概率出现（U，L）、（U，D）和 （D，R），从而使双方的期望得益为10/3。 2011-11-24

博弈方2 L R

第二章 完全信息静态博弈

本章介绍完全信息静态博弈。完全信息静态博 弈即各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方得益 都了解的博弈。囚徒的困境、齐威王田忌赛马、猜 硬币、石头剪子布、古诺产量决策都属于这种博弈。 完全信息静态博弈属于非合作博弈最基本的类型。 本章介绍完全信息静态博弈的一般分析方法、纳什 均衡概念、各种经典模型及其应用等。  基本特征:各博弈方同时选择策略,并且个博弈方有 关于得益的充分信息;  关键不是时间上的同步,而是在选择策略时不知其 他博弈方的策略

2011-11-24

2.1 基本分析思路和方法

2.1.1 上策均衡 2.1.2 严格下策反复消去法 2.1.3 划线法 2.1.4 箭头法

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2.1.1 上策均衡

上策：不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方的 某个策略给他带来的得益始终高于其它的策略， 至少不低于其他策略的策略 如:囚徒的困境中的“坦白”；双寡头削价中“低价” 就是严格上策。 上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略 都是各个博弈方各自的上策，必然是该博弈比较 稳定的结果  上策均衡不是普遍存在的,如:齐王赛马,赌胜博弈 或古诺产量的博弈中就没有上策均衡

2011-11-24

上策均衡反映了所有博弈方的偏好,因此 非常稳定.根据上策均衡可以对博弈结果 作出肯定的预测。  正是由于上策均衡不普遍存在，才正是 博弈理论的价值所在。



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2.1.2 严格下策反复消去法

严格下策：不管其它博弈方的策略如何变化， 给一个博弈方带来的收益总是比另一种策略 给他带来的收益小的策略 严格下策反复消去：

左 上 下 1，0 0，4 中 1，3 0，2 右 0，1 2，0 左 1，0 0，4 中 1，3 0，2 左 1，0 中 1，3

2011-11-24

2.1.3 划 线法

1， 0 0， 4 囚 徒 困 境 猜 硬 币 -5， -5 -8， 0 -1， 1 1， -1

策略之间的相对优劣关系，而 不是绝对优劣关系——划线法。

1， 3 0， 2 0， -8 -1， -1 1， -1 -1， 1 0， 1 2， 0 夫 妻 之 争 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3

有时，划线也不能解决博弈的最终问题。

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2.1.4 箭头法

1， 0 0， 4 囚 徒 困 境 猜 硬 币

2011-11-24

1， 3 0， 2

0， 1 2， 0 夫 妻 之 争

-5， -5 -8， 0

0， -8 -1， -1

2， 1 0， 0

0， 0 1， 3

-1， 1 1， -1

1， -1 -1， 1

上述具有稳定性的策略中，不论是否唯一， 都有一个共同的特征，就是其中每个博弈方 的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合 的最佳对策。

2.2 纳什均衡

2.2.1 纳什均衡的定义 2.2.2 纳什均衡的一致预测性质 2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法

2011-11-24

纳什均衡(Nash Equilibrium)



纳什均衡是著名博弈论专家纳什 （John Nash）对博弈论的重要贡献之一。 纳什在

19世纪1950年1951年的两篇重要 论文中，在一般意义上给定了非合作博 弈及其均衡解，并证明了解的存在性。 正是纳什的这一贡献奠定了非合作博弈 论的理论基础。纳什所定义的均衡称之 谓“纳什均衡”。

2011-11-24

2.2.1 纳什均衡的 定义

S1 策略空间：,  Sn s 博弈方 i的第 j个策略： i j  S u 博弈方 i的得益： i G 博弈：  {S1 ,Sn ; u1 ,un }

i

纳什均衡的实质：通俗地 说，纳什均衡含义就是：给 定你的策略，我的策略是最 好的策略；给定我的策略， 你的策略也是你最好的策略。 即双方在对方给定的策略下 不愿意调整自己的策略。

* ( s i* ,  s i*1 , s i*1 ,... s n )

纳什均衡：在博弈 G  {S1 ,  S n ; u1 ,  u n } 中，如果由各个 * 博弈方的各一个策略组成的某个策略组合 ( si* ,  s n ) 中， 任一博弈方i 的策略，都是对其余博弈方策略的组合 * * ui ( si* ,  si*1 , si* , si*1 ,...sn )  ui ( si* ,  si*1 , sij , si*1 ,...sn ) 的最佳对策，也即 * 对任意s i j  S i 都成立，则称 ( s i* ,  s n ) 为 G 的一个纳什均 衡

2011-11-24

诺贝尔经济学奖获得者萨缪 尔森有一句幽默的话： 你可以将一只鹦鹉训练成经 济学家，因为它所需要学习的 只有两个词：供给与需求。博 弈论专家坎多瑞引申说：要成 为现代经济学家，这只鹦鹉必 须再多学一个词，这个词就是 “纳什均衡”。由此可见纳什均 衡在现代经济学中的重要性。 纳什均衡不仅对经济学意义重 大，对其他社会科学意义也同 样重大。

2011-11-24

2.2.2 纳什均衡的一致预测性质

一致预测：如果所有博弈方都预测一个特定博弈 结果会出现，所有博弈方都不会利用该预测或者 这种预测能力选择与预测结果不一致的策略，即 没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因 此预测结果会成为博弈的最终结果 只有纳什均衡才具有一致预测的性质 一致预测性是纳什均衡的本质属性 一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有 多重均衡，预测不一致的可能

2011-11-24

2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法



. 1 ： 上述两个命题保证在进行纳什均衡分析之前先通过严格 在 命 下策反复消去法简化博弈是可行的 n 题 个 2 博 . 弈 2 2011-11-24 方 ：

 s i ( ,

上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策 命 均衡。上策均衡是比纳什均衡更强、稳定性更高的均 题 衡概念，只是上策均衡在博弈问题中的普遍性比纳什 2 均衡要差得多。

i s i (   G S 1 { ,

  G S 1 { ,

2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法



上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策均衡

命题2.1：在n个博弈方的博弈

G  {S1 ,  S n ; u1 ,  u n } 中，如 * * 果严格下策反复消去法排除了除 ( s i ,  s n ) 之外的所有 * 策略组合，那么 ( s i* ,  s n ) 一定是该博弈的唯一的纳什 均衡 命题2.2：在n个博弈方的博弈中 G  {S1 , Sn ; u1 ,un } 中，如 * ( s i* ,  s n ) 是 的一个纳什均衡，那么严格下策反复 果 消去法一定不会将它消去 上述两个命题保证在进行纳什均衡分析之前先通过严 格下策反复消去法简化博弈是可行的

2011-11-24

混合战略纳什均衡



社会福利博弈

流浪汉 寻找工作 政府 2 救济 3， 1 不救济 -1， 没有一个战略组合构成纳什均衡 流浪 3 -1， 0 0，

2011-11-24

混合战略纳什均衡

零和博弈

博弈参与者有 输有赢，但结 果永远是0。 正面 正面 1 -1， -1 1， 反面 -1 1， 1 -1，

猜谜游戏

两个儿童各 拿一枚硬币， 若同时正面 朝上或朝下， A给B 1分 钱，

若只有一面 朝上，B给A 反面 1分钱。 2011-11-24 没有一个战略组合构成纳什均衡

混合战略纳什均衡



 

上述博弈的特征是：

在这类博弈中，都不存在纯纳什均衡。 参与人的支付取决于其他参与人的战略；以某种概 率分布随机地选择不同的行动 每个参与人都想猜透对方的战略，而每个参与人又 不愿意让对方猜透自己的战略。



这种博弈的类型是什么？如何找到均衡？

2011-11-24

混合战略纳什均衡



请举一些这样的例子：

  

石头、剪子、布游戏 杠子、老虎、鸡、虫子游戏 扑克游戏

2011-11-24

混合战略纳什均衡

猜谜游戏

两个小孩的最 优策略是采取每 个策略的可能性 均为1/2； 每个小孩各取 策略的1/2是纳 什均衡。

2011-11-24

零和博弈

正面 正面 反面 1 -1， -1 1，

反面 -1 1， 1 -1，

混合战略纳什均衡



战略：参与人在给定信息集的情况下选择行动的规 则，它规定参与人在什么情况下选择什么行动，是参 与人的“相机行动方案”。 纯战略：如果一个战略规定参与人在每一个给定的信 息情况下只选择一种特定的行动，该战略为 纯战略。



混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况 下以某种概率分布随机地选择不同的行 动， 2011-11-24 则该战略为混合战略。



混合战略纳什均衡



混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况 下以某种概率分布随机地选择不同的行动， 则该战略为混合战略。

在 n 个参与人博弈的战略式 表述： G  S1， S 2， ， S n； u1 , u 2 ,  , u n   中， 那么，概率分布  i   i1， ，  ik   

假定参与人 i有 K 个纯战略： S i  si1  , sik , 称为 i的一个混合战略，这里  ik   （ sik） 是 i选择 sik的概率，对于所

有的

2011-11-24

k  1， ， K ，   ik  1， 1  ik  1。  0 

k

混合战略纳什均衡



纯战略可以理解为混合战略的特例，即在诸多战略 中，选该纯战略si的概率为1，选其他纯战略的概率 为0。

小猪 按 等待 4，4 0，0

正面 正面

1 -1， -1

大猪

按

5，1

反面

-1 1， 1 -1，

等待 9，-1

2011-11-24

反面

1，

混合战略纳什均衡

如何寻找混合战略纳什均衡？

    

支付最大化法 支付等值法 由于混合战略伴随的是支付的不确定性，因此参与 人关心的是其期望效用。 最优混合战略：是指使期望效用函数最大的混合战 略（给定对方的混合战略） 在两人博弈里，混合战略纳什均衡是两个参与人的 最优混合战略的组合。

2011-11-24

支付最大 化法

混合战略纳什均衡

流浪汉

寻找工作 流浪

假定政府的混合战略是  G  ， ）； （ 1 流浪汉的混合战略是  L  ， ）。 （ 1 政府的期望效用函数为 ： v（  G，  L） （3   1）（1  ）） （ 

2

救济

3， 1 -1，

政府

不救济

3 -1， 0 0，

（ 0  1  ）（    （1  ））  （5  1）  

同样，可以根据流浪汉 的期望效用函数找到政 2011-11-24 府的最优混合战

求微分，得到政府最优 化的一阶条件： vG  5  1  0  故  *  0 .2

即：流浪汉以0.2的概率选择寻 找工作，0.8的概率选择游荡

流浪汉 寻找工作的概率小于0.2

政府 概率为1：不救济

流浪汉 寻找工作

2011-11-24

政府 救济

纳什均衡存在性及相关讨论



纳什均衡存在性定理：每一个有限博弈至少

存在一个纳什均衡（纯战略的或混合战略的）。

2011-11-24

纳什均衡存在性及相关讨论

 

大流士阴谋推翻波斯王国的故事： 当时，一群波斯贵族聚在一起决定推翻国王，其间有人提议 休会，大流士此时站出来大声疾呼，说如果休会的话，就一 定会有人去国王那里告密，因为如果别人不那么做的话，他 自己就会去做，大流士说唯一的办法就是冲进皇宫，杀死国 王。 这个谋反的故事还提供了关于协调博弈的出路。在杀死国王 之后，贵族们想从自己人中推选出一个人当国王，他们决定 不自相残杀，而是在佛晓十分到山上去，谁的马先叫谁就当 国王。大流士的马夫在这场随机的安排中做了手脚，从而成 为国王。



2011-11-24

2.3 无限策略分析和反应函数

2.3.1 古诺的寡头模型  2.3.2 反应函数  2.3.3 伯特兰德寡头模型  2.3.4 公共资源问题  2.3.5 反应函数的问题和局限性

2011-11-24

2.3.1 古诺的寡头模型

寡头产量竞争——以两厂商产量竞争为例 Q  q1  q2

P  P (Q )  8  Q

c1 

c 2  2

u1  q1P(Q)  c1q1  q1[8  (q1  q2 )] 2q1

 6 q1  q1q2  q12

u2  q2P(Q) c2q2  q2[8(q1  q2 )]2q2

 6q2  q1q2  q22

2011-11-24

2.3.2 反应函数

古诺模型的反应函数

q2

理性局 限和古 诺调整

max u1  max(6q1  q1q2  q12 )

q1

q1  R1 (q2 )  1 (6  q2 ) 2 q2  R2 (q1 )  (6  q1 )

1 2

(0,6) (0,3)

R1 (q2 )

R2 (q1 )

(3,0) (6,0)

q1

古诺模型的反应函数图示

2011-11-24

2.3.2 反应函数

古诺模型的纳什均衡也可以通过对划线法思路 的推广来求，划线法的思路是先找出每个博弈方 针对其他博弈方所有策略(或策略组合)的最佳对 策，然后再找出相互构成最佳对策的各博弈方策 略组成的策略组合，也就是博弈的纳什均衡。 在无限策略的古诺博弈模型中这样的思路实际 上也是可行的，只是其他博弈方的策略现在有无限 多种，因此各个博弈方的最佳对策也有无限种，它 们之间往往构成一种连续函数关系。

2011-11-24

在上面讨论的两寡头古诺模型中，对厂商2的任 意产量q2 ，厂商1的最佳对策产量q1 ，就是使自己 在厂商2生产产量q2的情况下利润最大化的产量，即 q1是最大化问题：

max{q1 (6  q1  q2 )}

q1

的解。上式对q1求导并令导数等于0

u1  6  2q1  q2  0 q1 1 由此得： q1  R1 (q2 )  (6  q2 ) 2 2011-11-24

从图中可以看出，当一方的产量选择为0时，另一方的最佳 反应为3。这正是实现市场总利润最大的产量，因为这时候等于 由一个厂商垄断市场，市场总体利润就是该厂商的利益；当一 方的产量达到6时，另一方被迫选择0，因为这时后者坚持生产 已经无利可图。 在两个反应函数对应的两条直线上，只有它们的交点(2，2) 代表的产量组合，才是由相互对对方的最佳反应产量构成的。 q2 R1(q2)上的其他所有点(q1,q2) 只有q1是对q2的最佳反应，q2 不是对 6 R1 (q2 ) q1的最佳反应，而R2(q1)上的点则刚 好相反。 3 (2,2) 根据纳什均衡的定义，(2，2)是该古

诺模型的纳什均衡，并且因为它是惟的一 个，因此应该是该博弈的结果。这个结论 与前面直接根据纳什均衡定义得到的完 全—样。 2011-11-24

R2 (q1 )

3

6

q1

2.3.3 伯特兰德寡头模型

现在我们把反应函数法应用到伯特兰德模 型的分析。伯持兰德1883年提出了另一种形式 的寡占模型。这种模型与选择产量的古诺模型 的区别在于，伯特兰德模型中各厂商所选择的 是价格而不是产量。我们用简单的两寡头且产 品有一定差别的伯特兰德价格博弈模型进行分 析。

2011-11-24

上述产品有一定差别是指两个厂商生产的是 同类产品，但在品牌、质量和包装等方面有所不 同，因此伯特兰德模型中厂商的产品之间有很强的 替代性．

但又不是完全可替代，即价格不同时，价 格较高的不会完全销不出去。当厂商1和厂商2价格 分别为P1和P2时，它们各自的需求函数为：

q1  q1 P , P2   a1  b1P  d1P2 1 1

和

q2  q2 P , P2   a2  b2 P2  d2 P 1 1

2011-11-24

从上式可以看出产品之间是有差别的，其中d1， d2＞0即两厂商产品的替代系数。我们也假设两厂商 无固定成本，假设边际生产成本分别为c1和c2 。 两博弈方的得益函数分别为：

u1 P1 , P2   P1q1  c1q1  P1  c1 a1  b1 P1  d1 P2  u 2 P1 , P2   P2 q2  c2 q2  P2  c2 a2  b2 P2  d 2 P1 

2011-11-24

我们直接用反应函数法分析这个博弈。上两式分 别对P1和P2求偏导，并令偏导数为0，由此得：

u1  a1  b1c1  2b1 P  d1 P2  0 1 P 1 u2  a2  b2 c2  2b2 P2  d 2 P  0 1 P2

求出两厂商对对方策略(价格)的反应函数分别为：

1 P  R1 ( P2 )  (a1  b1c1  d1 P2 ) 1 2b1 和

1 P2  R2 ( P )  (a2  b2 c2  d 2 P ) 1 1 2b2

2011-11-24

a1 (2b2  d1 ) * a2 (2b1  d 2 ) ,P2  P  4b1b2－d1d 2 4b1b2－d1d 2

* 1

将P1*，P2*代入得益函数则可进一步得到两厂商 的均衡得益值。 具体地，如果进一步假设模型中的参数分别为：

a1  a2  28，b1 =b2 =1 , d1＝d 2＝0.5，c1 =c2 =2

则可以得到： P1*＝P2*＝20， u1*＝u2*＝324。

2011-11-24

2.3.4 公共资源问题

随着社会经济的不断发展，我们越来越无法回 避公共资源利用、公共设施提供和公共环境保护等方 面的问题。而在这些问题中，也包含了众多的博弈关 系。我们以人们对公共资源利用方面的博弈关系为例 来作一些讨论。

2011-11-24

在经济学中，所谓公共资源是指具有： (1)没有哪个个人、企业或组织拥有所有权； (2)大家都可以自由利用，这样两个特征的自然资源或 人类生产的供大众免费使用的设施和财货。 例如大家都可以开采使用的地下水，可自由放牧 的草地，可自由排放废水的公共河道(假设政府未予限 制)，以及公共道路、楼道的照明灯等。 由于公共资源有上述两个特征，因而利用这些 资源时不支付任何代价，除非政府将这些资源收归国 有，并对使用者征收资源税或收取类似的费用。

2011-11-24

经济学者们很早就己经开始认识到，在人们完全 从自利动机出发自由利用公共资源时，公共资源倾向 于被过度利用、低效率使用和浪费，并且过度利用会 达到任何利用它们的人都无法得到实际好处的程度。 我们用下面这个公共草地的放牧为例来论证这个结论。

设某村庄有n个农户，该村有一片 大家都可以自由放牧羊群的公共草地。 出于这片草地的面积有限，因此只能让 不超过某

一数量的羊群吃饱，如果在这 片草地上放牧羊只的实际数量超过这个 限度，则每只羊都无法吃饱，从而每只 羊的产出(毛、皮、肉的总价值)就会减 少，甚至只能勉强存活或要饿死。

2011-11-24

假设这些农户在夏天才到公共草地放羊，而每年春天就 要决定养羊的数量，因此可看作各农户在决定自己的养 羊数量时是不知道其他农户养羊数的，即各农户决定养 羊数的决策是同时作出的。 再假设所有农户都清楚这片公共草地最多能养多 少只羊和在羊只总数的不同水平下每只羊的产出。这 就构成了n个农户之间关于养羊数的一个博弈问题，并 且是一个静态博弈。 在此博弈中，博弈方就是n个农户；他们各自的策 略空间就是他们可能选择的养羊数目qi(i=1,2, …,n) 的取值范围。

2011-11-24

当各农户养羊数为q1、q2、… 、qn时，在公共草 地上放牧羊只的总数为Q＝q1＋q2＋…＋qn ，根据前 面的介绍，每只羊的产出应是羊群总数Q的减函数 V＝V(Q)＝V(q1,q2,… ,qn) 假设购买和照料每只羊的成本对每个农户都是相 同的不变常数c，则农户i养qi只羊的得益函数为：

u i  qiV Q   qi c  qiV q1  q 2   q n   qi c

为了使讨论比较简单和能得到直观的结论，我们 进一步设定下列具体数值。每只羊的产出函数为： V＝100－Q＝100－(q1＋q2＋……＋ qn)

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假设n＝3，即只有三个农户，成本c＝4。这时， 三农户的得益函数分别为：

u1 =q1 (100  q1  q2  q3 )  4q1 u2 =q2 (100  q1  q2  q3 )  4q2 u3 =q3 (100  q1  q2  q3 )  4q3

由于羊的数量不是连续可分的，田此上述 函数不是连续函数。但我们在技术上也可以把 羊的数量看作连续可分的，因此上述得益函数 仍然可当作连续函数来处理。

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分别求三农户各自对其他两农户策略(养 羊数)的反应函数，得：

1 1 q1  R1 (q2 , q3 )  48  q2  q3 2 2 1 1 q2  R2 (q1 , q3 )  48  q1  q3 2 2 1 1 q3  R3 (q1 , q2 )  48  q1  q2 2 2

三个反应函数的交点 (q1*,q2*,q3*)就是博弈的纳什 均衡。我们将q1*,q2*,q3*代入上述应函数，并解此联立 方程组，即得q1*＝q2*＝q3*＝24，再将其代入三农户的 得益函数，则可得u1*＝u2*＝u3*＝ 576，此即三农户独 立同时决定在公共草地放羊数量时所能得到的利益。

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如果各农户能将养羊数自觉限制在48／3＝16只，则 他们都能得到更多的利益。但问题是他们面临的也是— 种囚徒的困境局面，因此很难实现这种理想的合作的结 果。这个例子再一次证明了纳什均衡，或者说非合作博 弈的结果有可能是低效率的。 在本例中，如果利用上述草地资源的农户数进一步 增加，则纳什均衡的效率会更

低；如允许外来者任意加 入利用该公共资源的行列，则所有利用该资源的人的利 益很决都会消失，即羊只总数会随着放牧农户数的增加 而增加到刚好不至于亏损的水平，各农户将完全不能从 在公共草地上养羊得到任何好处，公共资源等于完全被 浪费掉。

2011-11-24

2.4 混合策略和混合策略纳什均衡

2.4.1 严格竞争博弈和混合策略的引进 2.4.2 多重均衡博弈和混合策略 2.4.3 混合策略和严格下策反复消去法 2.4.4 混合策略反应函数

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2.4.1 严格竞争博弈和混合策略的 引进

一、猜硬币博弈 盖 硬 正 面 币 反 面 方 猜硬币方 正 面 反 面 -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1

（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略 这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念

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二、混合策略、混合策略博弈和混合策略纳 什均衡

混合策略：在博弈 G  {S1,Sn ; u1 ,un }中，博弈方 i的策略 空间为 S i  {si1 ,  sik } ，则博弈方i 以概率分布pi  ( pi1 ,  p ik ) 个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策 随机在其 k 略”，其中 0  p ij  1 对 j  1,, k 都成立，且p i1    p ik  1 混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率 分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策 略扩展博弈）。 混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳什均 衡。

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齐威王田忌赛马

田 忌 上 上 上 上 上 上 中 中 中 中 中 中 下 下 下 下 下 下 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 得益矩阵

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上中下 齐 上中下 威 上中下 王 上中下 上中下 上中下

小偷和守卫博弈



守卫 睡 不睡 小偷 偷不偷 V，-D -P，0 0，S 0，0

一小偷欲偷窃有一守卫看守的仓库，如果小偷偷窃 时守卫在睡觉，则小偷就能得手，偷得价值为V的 脏物；如果小偷偷窃时守卫没有睡觉，则小偷就会 被抓住。设小偷被抓住后要坐牢，负效用为－P， 守卫睡觉而未遭偷窃则有S的正效用，因睡觉被窃 要被解雇，其负效用为－D。而如果小偷不偷则他 既无得也无失，守卫不睡觉意味着出一份力赚一分 钱，他也没有得失。

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小偷和守卫的博弈

守卫 睡 不睡 小 偷 V，-D-P，0 偷 不偷 0，S 0，0

守卫 得益((睡)

S Pt* Pt* ’ 1 -D - D’

0

Pt 小偷 偷的概率

守卫睡的 期望得益 S(1－Pt)＋(－D)Pt

加重对守卫的处罚：短期中的效果是使守卫真正尽职 在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗

窃发生的概率

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小偷和守卫的博弈

守卫 睡 不睡 小 偷 V，-D-P，0 偷 不偷 0，S 0，0

小偷 得益(偷)

V Pg* 0 -P Pg* ’ 1

Pg 守卫 睡的概率

- P’

加重对小偷的处罚：短期内能抑制盗窃发生率 长期并不能降低盗窃发生率，但会是的守卫更多的偷懒

2011-11-24

当我们为减少盗窃率，加重对小偷的惩罚 时，最终的结果却带来了守卫的偷懒，形成了 一种政策目标和政策结果之间的意外关系，这 就被称为“激励的悖论”。 小偷偷东西，保安渎职。为了避免这种情 况，是加重对小偷的惩罚呢，还是加重对保安 的惩罚？ 由此给我们带来什么启示？ 执法，监督，等等

2011-11-24

纳什均衡的存在性

纳什定理：在一个由n个博弈方的博弈 G  {S1 , Sn ; u1 ,un } 中，

n 如果n是有限的，且 S i 都是有限集(对 i  1,)，则该博弈至 少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。

纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析核 心概念的根本原因之一。

2011-11-24

2.6 纳什均衡的选择

多重纳什均衡博弈的分析

2011-11-24

2.6.1 多重纳什均衡博弈的分析

  

帕累托上策均衡 风险上策均衡 相关均衡

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一、帕累托上策均衡

（鹰鸽博弈） 国家2 这个博弈中有两个纯策略 战争 和平 国 纳什均衡，（战争，战争） 家 战争 -5， -5 8， -10 和（和平，和平），显然 1 和平 -10， 8 10， 10 战争与和平 后者帕累托优于前者，所 以，（和平，和平）是本 博弈的一个帕累托上策均衡。

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

帕累托最优(Pareto Optimality)，也称为帕累 托效率（Pareto Efficiency是博弈论中的重要 概念，并且在经济学，工程学和社会科学中 有着广泛的应用。帕累托最优是指资源分配 的一种理想状态，即假定固有的一群人和可 分配的资源，从一种分配状态到另一种状态 的变化中，在没有使任何人境况变坏的前提 下，也不可能再使某些人的处境变好。换句 话说，就是不可能再改善某些人的境况，而 不使任何其他人受损。

2011-11-24

二、风险上策均衡

考虑、顾忌博弈方、其他博弈方可能发生错误等 时，帕累托上策均衡并不一定是最优选择，需要考虑： 风险上策均衡。下面就是两个例子。 猎人2

博 弈 U 方D 1 博弈方2 L R 9， 9 8， 0 0，8 7， 7 猎 5， 5 0， 3 人 鹿 3， 3 1 兔子 3， 0 猎鹿博弈 风险上策均衡（兔子，兔子） 鹿 兔子

风险上策均衡（D，R）

（U, L）是帕累托上策均 衡帕累托上策均衡并不是 有强制力的法则

2011-11-24

考虑风险因素，（D，R） 具有相对优势。称（D，R） 是风险上策均衡。

博 相关均衡 弈 U 5， 1 0， 0 方D 4， 4 1，5 两个纯策略纳什均衡利益相差很 1 大

，很难达成妥协，聚点均衡不适用。 相关均衡 混合策略纳什均衡[（1/2，1/2），（1/2，1/2）]的期 望得益为2.5。 均不理想，事前设计均衡选择机制。 如抛一匹硬币，出现正面博弈方1采用U，博弈方2采用L； 出现反面博弈方1采用D，博弈方2采用R。 避免（U，R） 出现，双方期望得益均为3。 进一步发展，设计“相关装置”，（1）该装置以相同的可能 性（各1/3）发出A、B、C三种信号；（2）博弈方1只能看到信 号是否A，博弈方2只能看到该信号是否C；（3）博弈方1看到A 采用U，否则采用D；博弈方2看到C采用R，否则采用L。 它排除（U，R），各以1/3的概率出现（U，L）、（U，D）和 （D，R），从而使双方的期望得益为10/3。 2011-11-24

博弈方2 L R