等差数列知识点及类型题
一、数列
由a n 与S n 的关系求a n
由S n 求a n 时,要分n=1和n ≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示, 若不能,则用分段函数的形式表示为a n =⎨
〖例1〗
(n =1) ⎧S 1
。
⎩S n -S n -1(n ≥2)
根据下列条件,确定数列{a n }的通项公式。
a n +2a n >0, =2S n
2
分析:
将无理问题有理化,而后利用a n 与S n 的关系求解。
二、等差数列及其前n 项和
(一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,a n -a n -1=d (常数)(n ≥2) ,第二种是利用等差中项,即2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) 。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数,即a n =An+B,则{a n }是等差数列;
(2)前n 项和法:若数列{a n }的前n 项和S n 是S n =An 2+Bn 的形式(A ,B 是常数),则{a n }是等差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), a 1=(1)求证:{
1 2
1
}是等差数列; S n
(2)求a n 的表达式。
2
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数,a 1=1. 其前n 项和S n 满足2S n =2pa n +a n -p (p ∈R) ,
则{a n }的通项公式为________.
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d 及前n 项和公式S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d ,共涉及五个22
量a 1,a n ,d,n, S n , “知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
S n d S d d
=n +a 1-=a 1+(n -1) ,故数列{n }是等差数列。 n 222n
〖例3〗已知数列{x n }的首项x 1=3,通项x n =2n p +nq (n ∈N *, p , q 为常数) ,且x 1,x 4,x 5成等差数列。
注:因为
求:
(1)p , q 的值;
(2)数列{x n }的前n 项和S n 的公式。
分析:(1)由x 1=3与x 1,x 4,x 5成等差数列列出方程组即可求出p , q ;(2)通过x n 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d ,若d>0,则数列递增;若d
已知数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和。
(1)若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q , 特别:若m+n=2p,则a m +a n =2a p 。 (2)a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , 仍是等差数列,公差为kd; (3)数列S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , L 也是等差数列; (4)若等差数列的项数为2n n ∈N
(
+
)
S 奇a n
=S -S =nd ,则偶奇; S 偶a n +1
(5)若等差数列的项数为2n -1n ∈N +,则S 2n -1=2n -1a n ,且S 奇-S 偶=a n ,
()()
S 奇S 偶
=
n n -1
{a n }{{c ⋅a n }{(6)如果数列 , b n }是等差数列,则数列, c +a n }{, a n +b n }{, p ⋅a n +q ⋅b n }也是等差数列。
(其中c 、p 、q 均为常数)。
典型例题
1.等差数列{a n }中, 若S n =25, S 2n =100,则S 3n ==________;
2. (厦门)在等差数列{a n }中, a 2+a 8=4, 则 其前9项的和S 9等于 ( ) A .18 B 27 C 36 D 9
3、(全国卷Ⅰ理) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72, 则a 2+a 4+a 9
4、等差数列{an } 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷) 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且
A n 7n +45a
,则使得n 为整数的=
B n n +3b n
正整数n 的个数是( )
A .2 B.3 C.4 D.5
1
6、已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n ) =0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m -n |的值等于________.
4
7、在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.
S 7n +3,则a 8 .
8. 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且满足n ==
T n n +3b 8
★等差数列的最值:
若{a n }是等差数列,求前n 项和的最值时, (1)若a 1>0,d
⎧a n ≥0
,前n 项和S n 最大;
a ≤0⎩n +1
⎧a n ≤0
(2)若a 10,且满足⎨,前n 项和S n 最小;
a ≥0⎩n +1
(3)除上面方法外,还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题,利用二次函
数的图象或配方法求解,注意n ∈N *。
〖例4〗在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-36,其前n 项和为S n 。
(1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =a 1+a 2+ a n 。
分析:(1)可由已知条件,求出a 1,d, 利用⎨
⎧a n ≥0
求解,亦可用S n 利用二次函数求最值;
⎩a n +1≤0
(2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。
〖例5〗已知数列{a n }是等差数列。
(1)若a m =n , a n =m (m ≠n ), 求a m +n ; (2)若S m =n , S n =m (m >n ), 求S m +n .
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意的n ∈N *,满足关系式2S n =3a n -3.
(1)求数列{a n }的通项公式;
1
(2)设数列{b n }的通项公式是b n =n 项和为T n ,求证:对于任意的正整数n ,总有T n
log 3a n ·log 3a n +1
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 ( ) A .13项 B.14项 C.15项 D.16项
2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a,a 为常数,则公差d= (
)
3. 在等差数列{an } 中,若a 1+a2=-18,a 5+a6=-2,则30是这个数列的( ) A .第22项 B.第21项 C.第20项 D.第19项
4. 已知数列a ,-15,b ,c ,45是等差数列,则a+b+c的值是 ( ) A .-5 B.0 C.5 D.10
5. 已知等差数列{an }中,a 1+a2+a3=-15,a 3+a4=-16,则a 1= ( ) A .-1 B.-3 C.-5 D.-7
6. 已知等差数列{an }满足a 2+a7=2a3+a4,那么这个数列的首项是 ( )
7. 已知数列{an }是等差数列,且a 3+a11=40,则a 6+a7+a8等于 ( ) A .84 B. 72 C.60 D.43
8. 已知等差数列{an }中,a 1+a3+a5=3,则a 2+a4= ( ) A .3 B.2 C.1 D.-1
9. 已知数列{a n }:3,7,,,……,则在此数列{a n }中应是( ) A .第21项 B.第41项 C.第48项 D.第49项
1
10. 已知数列{a n }中,a 1=3,前n 和S n =(n +1)(a n +1) -1
2
(1)求证:数列{a n }是等差数列 (2)求数列{a n }的通项公式
⎧⎫
(3)设数列⎨1⎬的前n 项和为T n ,是否存在实数M ,使得T n ≤M 对一切正整数n 都成立?若存在,
⎩a n a n +1⎭
求M 的最小值,若不存在,试说明理由。
等差数列知识点及类型题
一、数列
由a n 与S n 的关系求a n
由S n 求a n 时,要分n=1和n ≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示, 若不能,则用分段函数的形式表示为a n =⎨
(n =1) ⎧S 1
。
⎩S n -S n -1(n ≥2)
〖例1〗根据下列条件,确定数列{a n }的通项公式。
a n +2a n
>0, =2S n
2
分析:
将无理问题有理化,而后利用a n 与S n 的关系求解。
解答:
二、等差数列及其前n 项和
(一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,a n -a n -1=d (常数)(n ≥2) ,第二种是利用等差中项,即2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) 。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数,即a n =An+B,则{a n }是等差数列;
(2)前n 项和法:若数列{a n }的前n 项和S n 是S n =An 2+Bn 的形式(A ,B 是常数),则{a n }是等差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), a 1=(1)求证:{
1 2
1
}是等差数列; S n
11与的关系→结论; S n S n -1
(2)求a n 的表达式。
分析:(1)S n -S n -1+2S n S n -1=0→(2)由
1
的关系式→S n 的关系式→a n S n
解答:(1)等式两边同除以S n S n -1得首项,以2为公差的等差数列。
(2)由(1)知
1111111
-+2=0,即-=2
(n ≥2). ∴{}是以==2为
S n -1S n S n S n -1S n S 1a 1
1111
=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴S n =, 当n ≥2时,a n =2S n ·S n -1=。又
2n 2n (n -1) S n S 1
⎧1
⎪1⎪2
∵a 1=,不适合上式,故a n =⎨
12⎪⎪⎩2n (n -1)
(n =1)
。
(n ≥2)
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数,a 1=1. 其前n 项和S n 满足2S n =2pa 2n +a n -p (p ∈R) ,则{a n }的通项公式为________.
∵a 1=1,∴2a 1=2pa 21+a 1-p ,
即2=2p +1-p ,得p =1. 于是2S n =2a 2n +a n -1.
22
当n ≥2时,有2S n -1=2a 2n -1+a n -1-1,两式相减,得2a n =2a n -2a n -1+a n -a n -1,
1
整理,得2(a n +a n -1)·(a n -a n -1-) =0.
2
11n +1
又∵a n >0,∴a n -a n -1=,于是{a n }是等差数列,故a n =1+(n -1)·=.
222
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d 及前n 项和公式S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d ,共涉及五个22
量a 1,a n ,d,n, S n , “知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
S n d S d d
=n +a 1-=a 1+(n -1) ,故数列{n }是等差数列。 n 222n
〖例3〗已知数列{x n }的首项x 1=3,通项x n =2n p +nq (n ∈N *, p , q 为常数) ,且x 1,x 4,x 5成等差数列。
注:因为
求:
(1)p , q 的值;
(2)数列{x n }的前n 项和S n 的公式。
分析:(1)由x 1=3与x 1,x 4,x 5成等差数列列出方程组即可求出p , q ;(2)通过x n 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答:(1)由x 1=3得2p +q =3„„„„„„„„„„„„„„①
又x 4=24p +4q , x 5=25p +5q , 且x 1+x 5=2x 4,得3+25p +5q =25p +8q „„„„„„„② 由①②联立得p =1, q =1。 (2)由(1)得x n =2n +n ,
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d ,若d>0,则数列递增;若d
已知数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和。
(1)若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q , 特别:若m+n=2p,则a m +a n =2a p 。 (2)a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , 仍是等差数列,公差为kd; (3)数列S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , L 也是等差数列; (4)若等差数列的项数为2n n ∈N
(
+
)
S 奇a n
=S -S =nd ,则偶奇; S 偶a n +1
(5)若等差数列的项数为2n -1n ∈N +,则S 2n -1=2n -1a n ,且S 奇-S 偶=a n ,
()()
S 奇S 偶
=
n n -1
(6)如果数列 {a n }{{c ⋅a n }{, b n }是等差数列,则数列, c +a n }{, a n +b n }{, p ⋅a n +q ⋅b n }也是等差数列。(其中c 、p 、q 均为常数)。
典型例题
1.等差数列{a n }中, 若S n =25, S 2n =100,则S 3n ==_____225___;
2. (厦门)在等差数列{a n }中, a 2+a 8=4, 则 其前9项的和S 9等于 ( A ) A .18 B 27 C 36 D 9
3、(全国卷Ⅰ理) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72, 则a 2+a 4+a 9= 24 4、等差数列{an } 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷) 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且
A n 7n +45a
,则使得n 为整数的=
B n n +3b n
正整数n 的个数是( D )
A .2 B.3 C.4 D.5
1
6、已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n ) =0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m -n |的值等于________.
4
如图所示,易知抛物线y =x 2-2x +m 与y =x 2-2x +n 有相同的对称轴x =1,它们与x 轴的四个交点依次为A 、B 、C 、D .
17
因为x A =,则x D .
44
35
又|AB |=|BC |=|CD |,所以x B =,x C =.
44
17351
故|m -n |=-×=44442
7、在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.
设公差为d ,则11(-3+4d ) =5(-3+7d ) -13,
5∴d =.
9
∴数列{a n }为递增数列.
532
令a n ≤0,∴-3+(n -≤0,∴n ≤,
95
*
∵n ∈N .
29
∴前6项均为负值,∴S n 的最小值为S 6=-3
S 7n +3
8. 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且满足n =,则a 8= 6 .
T n n +3b 8
★等差数列的最值:
若{a n }是等差数列,求前n 项和的最值时, (1)若a 1>0,d
⎧a n ≥0
,前n 项和S n 最大;
⎩a n +1≤0
⎧a n ≤0
(2)若a 10,且满足⎨,前n 项和S n 最小;
a ≥0⎩n +1
(3)除上面方法外,还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题,利用二次函
数的图象或配方法求解,注意n ∈N *。
〖例4〗在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-36,其前n 项和为S n 。
(1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =a 1+a 2+ a n 。
⎧a n ≥0
分析:(1)可由已知条件,求出a 1,d, 利用⎨求解,亦可用S n 利用二次函数求最值;
a ≤0⎩n +1
(2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。
解答:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,∵
a 16+a 17+a 18=3a 17=-36, ∴a 17=-12, ∴d =
,令⎨
a 17-a 9
=3, ∴a n =a 9+(n -9) d =3n -63, a n +1=3n -6017-9
⎧a n =3n -63≤0
, 得:20≤n ≤21,
⎩a n +1=3n -60≥0
20⨯[-60+(-3)]
∴S 20=S 21==-630,∴当n=20或21时,S n 最小且最小值为-630.
2
(2)由(1)知前20项小于零,第21项等于0,以后各项均为正数。 ∴当n ≤21时,T n =-S n =-
n (-60+3n -63) 3123
=-n 2+n .
222n (-60+3n -63) 3123
当n >21时,T n =S n -2S 21=-2S 21=n 2-n +1260.
222
⎧32123
-n +n (n ≤21) ⎪⎪22
综上,T n =⎨.
3123⎪n 2-n +1260(n >21) ⎪⎩22
〖例5〗已知数列{a n }是等差数列。
(1)若a m =n , a n =m (m ≠n ), 求a m +n ; (2)若S m =n , S n =m (m >n ), 求S m +n . 解答:设首项为a 1,公差为d , (1)由a m =n , a n =m ,d =
∴a m +n
n -m
=-1 m -n
=a m +(m +n -m ) d =n +n ⨯(-1) =0.
n (n -1) ⎧n 2+m 2+mn -m -n ⎧
m =na 1+d a 1=⎪⎪⎪⎪2mn , 解得⎨. (2)由已知可得⎨
m (m -1) ⎪n =ma +⎪d =-2(m +n ) d 1
⎪⎪⎩2mn ⎩
(m +n )(m +n -1)
∴S m +n =(m +n ) a 1+d =-(m +n )
2
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意的n ∈N *,满足关系式2S n =3a n -3.
(1)求数列{a n }的通项公式;
1
(2)设数列{b n }的通项公式是b n =n 项和为T n ,求证:对于任意的正整数n ,总有T n
log 3a n ·log 3a n +1
(1)解 ①当n =1时,由2S n =3a n -3得,2a 1=3a 1-3, ∴a 1=3.
②当n ≥2时,由2S n =3a n -3得, 2S n -1=3a n -1-3.
两式相减得:2(S n -S n -1) =3a n -3a n -1,即2a n =3a n -3a n -1, ∴a n =3a n -1,又∵a 1=3≠0,∴{a n }是等比数列,∴a n =3n . 验证:当n =1时,a 1=3也适合a n =3n . ∴{a n }的通项公式为a n =3n .
11
(2)证明 ∵b n = log 3a n ·log 3a n +1log 33·log 33111=- (n +1) n n n +1∴T n =b 1+b 2+„+b n
11111=(1-) +() +„+)
223n n +11
=1-
n +1
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 ( ) A .13项 B.14项 C.15项 D.16项
2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a,a 为常数,则公差d= (
)
3. 在等差数列{an } 中,若a 1+a2=-18,a 5+a6=-2,则30是这个数列的( ) A .第22项 B.第21项 C.第20项 D.第19项
4. 已知数列a ,-15,b ,c ,45是等差数列,则a+b+c的值是 ( ) A .-5 B.0 C.5 D.10
5. 已知等差数列{an }中,a 1+a2+a3=-15,a 3+a4=-16,则a 1= ( ) A .-1 B.-3 C.-5 D.-7
6. 已知等差数列{an }满足a 2+a7=2a3+a4,那么这个数列的首项是 ( )
7. 已知数列{an }是等差数列,且a 3+a11=40,则a 6+a7+a8等于 ( ) A .84 B. 72 C.60 D.43
8. 已知等差数列{an }中,a 1+a3+a5=3,则a 2+a4= ( ) A .3 B.2 C.1 D.-1
9. 已知数列{a n }:3,7,,,……,则在此数列{a n }中应是( ) A .第21项 B.第41项 C.第48项 D.第49项
1
10. 已知数列{a n }中,a 1=3,前n 和S n =(n +1)(a n +1) -1
2
(1)求证:数列{a n }是等差数列 (2)求数列{a n }的通项公式
⎧⎫
(3)设数列⎨1⎬的前n 项和为T n ,是否存在实数M ,使得T n ≤M 对一切正整数n 都成立?若存在,
⎩a n a n +1⎭
求M 的最小值,若不存在,试说明理由。
等差数列知识点及类型题
一、数列
由a n 与S n 的关系求a n
由S n 求a n 时,要分n=1和n ≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示, 若不能,则用分段函数的形式表示为a n =⎨
〖例1〗
(n =1) ⎧S 1
。
⎩S n -S n -1(n ≥2)
根据下列条件,确定数列{a n }的通项公式。
a n +2a n >0, =2S n
2
分析:
将无理问题有理化,而后利用a n 与S n 的关系求解。
二、等差数列及其前n 项和
(一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,a n -a n -1=d (常数)(n ≥2) ,第二种是利用等差中项,即2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) 。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数,即a n =An+B,则{a n }是等差数列;
(2)前n 项和法:若数列{a n }的前n 项和S n 是S n =An 2+Bn 的形式(A ,B 是常数),则{a n }是等差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), a 1=(1)求证:{
1 2
1
}是等差数列; S n
(2)求a n 的表达式。
2
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数,a 1=1. 其前n 项和S n 满足2S n =2pa n +a n -p (p ∈R) ,
则{a n }的通项公式为________.
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d 及前n 项和公式S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d ,共涉及五个22
量a 1,a n ,d,n, S n , “知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
S n d S d d
=n +a 1-=a 1+(n -1) ,故数列{n }是等差数列。 n 222n
〖例3〗已知数列{x n }的首项x 1=3,通项x n =2n p +nq (n ∈N *, p , q 为常数) ,且x 1,x 4,x 5成等差数列。
注:因为
求:
(1)p , q 的值;
(2)数列{x n }的前n 项和S n 的公式。
分析:(1)由x 1=3与x 1,x 4,x 5成等差数列列出方程组即可求出p , q ;(2)通过x n 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d ,若d>0,则数列递增;若d
已知数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和。
(1)若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q , 特别:若m+n=2p,则a m +a n =2a p 。 (2)a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , 仍是等差数列,公差为kd; (3)数列S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , L 也是等差数列; (4)若等差数列的项数为2n n ∈N
(
+
)
S 奇a n
=S -S =nd ,则偶奇; S 偶a n +1
(5)若等差数列的项数为2n -1n ∈N +,则S 2n -1=2n -1a n ,且S 奇-S 偶=a n ,
()()
S 奇S 偶
=
n n -1
{a n }{{c ⋅a n }{(6)如果数列 , b n }是等差数列,则数列, c +a n }{, a n +b n }{, p ⋅a n +q ⋅b n }也是等差数列。
(其中c 、p 、q 均为常数)。
典型例题
1.等差数列{a n }中, 若S n =25, S 2n =100,则S 3n ==________;
2. (厦门)在等差数列{a n }中, a 2+a 8=4, 则 其前9项的和S 9等于 ( ) A .18 B 27 C 36 D 9
3、(全国卷Ⅰ理) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72, 则a 2+a 4+a 9
4、等差数列{an } 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷) 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且
A n 7n +45a
,则使得n 为整数的=
B n n +3b n
正整数n 的个数是( )
A .2 B.3 C.4 D.5
1
6、已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n ) =0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m -n |的值等于________.
4
7、在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.
S 7n +3,则a 8 .
8. 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且满足n ==
T n n +3b 8
★等差数列的最值:
若{a n }是等差数列,求前n 项和的最值时, (1)若a 1>0,d
⎧a n ≥0
,前n 项和S n 最大;
a ≤0⎩n +1
⎧a n ≤0
(2)若a 10,且满足⎨,前n 项和S n 最小;
a ≥0⎩n +1
(3)除上面方法外,还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题,利用二次函
数的图象或配方法求解,注意n ∈N *。
〖例4〗在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-36,其前n 项和为S n 。
(1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =a 1+a 2+ a n 。
分析:(1)可由已知条件,求出a 1,d, 利用⎨
⎧a n ≥0
求解,亦可用S n 利用二次函数求最值;
⎩a n +1≤0
(2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。
〖例5〗已知数列{a n }是等差数列。
(1)若a m =n , a n =m (m ≠n ), 求a m +n ; (2)若S m =n , S n =m (m >n ), 求S m +n .
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意的n ∈N *,满足关系式2S n =3a n -3.
(1)求数列{a n }的通项公式;
1
(2)设数列{b n }的通项公式是b n =n 项和为T n ,求证:对于任意的正整数n ,总有T n
log 3a n ·log 3a n +1
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 ( ) A .13项 B.14项 C.15项 D.16项
2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a,a 为常数,则公差d= (
)
3. 在等差数列{an } 中,若a 1+a2=-18,a 5+a6=-2,则30是这个数列的( ) A .第22项 B.第21项 C.第20项 D.第19项
4. 已知数列a ,-15,b ,c ,45是等差数列,则a+b+c的值是 ( ) A .-5 B.0 C.5 D.10
5. 已知等差数列{an }中,a 1+a2+a3=-15,a 3+a4=-16,则a 1= ( ) A .-1 B.-3 C.-5 D.-7
6. 已知等差数列{an }满足a 2+a7=2a3+a4,那么这个数列的首项是 ( )
7. 已知数列{an }是等差数列,且a 3+a11=40,则a 6+a7+a8等于 ( ) A .84 B. 72 C.60 D.43
8. 已知等差数列{an }中,a 1+a3+a5=3,则a 2+a4= ( ) A .3 B.2 C.1 D.-1
9. 已知数列{a n }:3,7,,,……,则在此数列{a n }中应是( ) A .第21项 B.第41项 C.第48项 D.第49项
1
10. 已知数列{a n }中,a 1=3,前n 和S n =(n +1)(a n +1) -1
2
(1)求证:数列{a n }是等差数列 (2)求数列{a n }的通项公式
⎧⎫
(3)设数列⎨1⎬的前n 项和为T n ,是否存在实数M ,使得T n ≤M 对一切正整数n 都成立?若存在,
⎩a n a n +1⎭
求M 的最小值,若不存在,试说明理由。
等差数列知识点及类型题
一、数列
由a n 与S n 的关系求a n
由S n 求a n 时,要分n=1和n ≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示, 若不能,则用分段函数的形式表示为a n =⎨
(n =1) ⎧S 1
。
⎩S n -S n -1(n ≥2)
〖例1〗根据下列条件,确定数列{a n }的通项公式。
a n +2a n
>0, =2S n
2
分析:
将无理问题有理化,而后利用a n 与S n 的关系求解。
解答:
二、等差数列及其前n 项和
(一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,a n -a n -1=d (常数)(n ≥2) ,第二种是利用等差中项,即2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) 。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数,即a n =An+B,则{a n }是等差数列;
(2)前n 项和法:若数列{a n }的前n 项和S n 是S n =An 2+Bn 的形式(A ,B 是常数),则{a n }是等差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), a 1=(1)求证:{
1 2
1
}是等差数列; S n
11与的关系→结论; S n S n -1
(2)求a n 的表达式。
分析:(1)S n -S n -1+2S n S n -1=0→(2)由
1
的关系式→S n 的关系式→a n S n
解答:(1)等式两边同除以S n S n -1得首项,以2为公差的等差数列。
(2)由(1)知
1111111
-+2=0,即-=2
(n ≥2). ∴{}是以==2为
S n -1S n S n S n -1S n S 1a 1
1111
=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴S n =, 当n ≥2时,a n =2S n ·S n -1=。又
2n 2n (n -1) S n S 1
⎧1
⎪1⎪2
∵a 1=,不适合上式,故a n =⎨
12⎪⎪⎩2n (n -1)
(n =1)
。
(n ≥2)
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数,a 1=1. 其前n 项和S n 满足2S n =2pa 2n +a n -p (p ∈R) ,则{a n }的通项公式为________.
∵a 1=1,∴2a 1=2pa 21+a 1-p ,
即2=2p +1-p ,得p =1. 于是2S n =2a 2n +a n -1.
22
当n ≥2时,有2S n -1=2a 2n -1+a n -1-1,两式相减,得2a n =2a n -2a n -1+a n -a n -1,
1
整理,得2(a n +a n -1)·(a n -a n -1-) =0.
2
11n +1
又∵a n >0,∴a n -a n -1=,于是{a n }是等差数列,故a n =1+(n -1)·=.
222
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d 及前n 项和公式S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d ,共涉及五个22
量a 1,a n ,d,n, S n , “知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
S n d S d d
=n +a 1-=a 1+(n -1) ,故数列{n }是等差数列。 n 222n
〖例3〗已知数列{x n }的首项x 1=3,通项x n =2n p +nq (n ∈N *, p , q 为常数) ,且x 1,x 4,x 5成等差数列。
注:因为
求:
(1)p , q 的值;
(2)数列{x n }的前n 项和S n 的公式。
分析:(1)由x 1=3与x 1,x 4,x 5成等差数列列出方程组即可求出p , q ;(2)通过x n 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答:(1)由x 1=3得2p +q =3„„„„„„„„„„„„„„①
又x 4=24p +4q , x 5=25p +5q , 且x 1+x 5=2x 4,得3+25p +5q =25p +8q „„„„„„„② 由①②联立得p =1, q =1。 (2)由(1)得x n =2n +n ,
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d ,若d>0,则数列递增;若d
已知数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和。
(1)若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q , 特别:若m+n=2p,则a m +a n =2a p 。 (2)a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , 仍是等差数列,公差为kd; (3)数列S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , L 也是等差数列; (4)若等差数列的项数为2n n ∈N
(
+
)
S 奇a n
=S -S =nd ,则偶奇; S 偶a n +1
(5)若等差数列的项数为2n -1n ∈N +,则S 2n -1=2n -1a n ,且S 奇-S 偶=a n ,
()()
S 奇S 偶
=
n n -1
(6)如果数列 {a n }{{c ⋅a n }{, b n }是等差数列,则数列, c +a n }{, a n +b n }{, p ⋅a n +q ⋅b n }也是等差数列。(其中c 、p 、q 均为常数)。
典型例题
1.等差数列{a n }中, 若S n =25, S 2n =100,则S 3n ==_____225___;
2. (厦门)在等差数列{a n }中, a 2+a 8=4, 则 其前9项的和S 9等于 ( A ) A .18 B 27 C 36 D 9
3、(全国卷Ⅰ理) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72, 则a 2+a 4+a 9= 24 4、等差数列{an } 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷) 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且
A n 7n +45a
,则使得n 为整数的=
B n n +3b n
正整数n 的个数是( D )
A .2 B.3 C.4 D.5
1
6、已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n ) =0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m -n |的值等于________.
4
如图所示,易知抛物线y =x 2-2x +m 与y =x 2-2x +n 有相同的对称轴x =1,它们与x 轴的四个交点依次为A 、B 、C 、D .
17
因为x A =,则x D .
44
35
又|AB |=|BC |=|CD |,所以x B =,x C =.
44
17351
故|m -n |=-×=44442
7、在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.
设公差为d ,则11(-3+4d ) =5(-3+7d ) -13,
5∴d =.
9
∴数列{a n }为递增数列.
532
令a n ≤0,∴-3+(n -≤0,∴n ≤,
95
*
∵n ∈N .
29
∴前6项均为负值,∴S n 的最小值为S 6=-3
S 7n +3
8. 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且满足n =,则a 8= 6 .
T n n +3b 8
★等差数列的最值:
若{a n }是等差数列,求前n 项和的最值时, (1)若a 1>0,d
⎧a n ≥0
,前n 项和S n 最大;
⎩a n +1≤0
⎧a n ≤0
(2)若a 10,且满足⎨,前n 项和S n 最小;
a ≥0⎩n +1
(3)除上面方法外,还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题,利用二次函
数的图象或配方法求解,注意n ∈N *。
〖例4〗在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-36,其前n 项和为S n 。
(1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =a 1+a 2+ a n 。
⎧a n ≥0
分析:(1)可由已知条件,求出a 1,d, 利用⎨求解,亦可用S n 利用二次函数求最值;
a ≤0⎩n +1
(2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。
解答:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,∵
a 16+a 17+a 18=3a 17=-36, ∴a 17=-12, ∴d =
,令⎨
a 17-a 9
=3, ∴a n =a 9+(n -9) d =3n -63, a n +1=3n -6017-9
⎧a n =3n -63≤0
, 得:20≤n ≤21,
⎩a n +1=3n -60≥0
20⨯[-60+(-3)]
∴S 20=S 21==-630,∴当n=20或21时,S n 最小且最小值为-630.
2
(2)由(1)知前20项小于零,第21项等于0,以后各项均为正数。 ∴当n ≤21时,T n =-S n =-
n (-60+3n -63) 3123
=-n 2+n .
222n (-60+3n -63) 3123
当n >21时,T n =S n -2S 21=-2S 21=n 2-n +1260.
222
⎧32123
-n +n (n ≤21) ⎪⎪22
综上,T n =⎨.
3123⎪n 2-n +1260(n >21) ⎪⎩22
〖例5〗已知数列{a n }是等差数列。
(1)若a m =n , a n =m (m ≠n ), 求a m +n ; (2)若S m =n , S n =m (m >n ), 求S m +n . 解答:设首项为a 1,公差为d , (1)由a m =n , a n =m ,d =
∴a m +n
n -m
=-1 m -n
=a m +(m +n -m ) d =n +n ⨯(-1) =0.
n (n -1) ⎧n 2+m 2+mn -m -n ⎧
m =na 1+d a 1=⎪⎪⎪⎪2mn , 解得⎨. (2)由已知可得⎨
m (m -1) ⎪n =ma +⎪d =-2(m +n ) d 1
⎪⎪⎩2mn ⎩
(m +n )(m +n -1)
∴S m +n =(m +n ) a 1+d =-(m +n )
2
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意的n ∈N *,满足关系式2S n =3a n -3.
(1)求数列{a n }的通项公式;
1
(2)设数列{b n }的通项公式是b n =n 项和为T n ,求证:对于任意的正整数n ,总有T n
log 3a n ·log 3a n +1
(1)解 ①当n =1时,由2S n =3a n -3得,2a 1=3a 1-3, ∴a 1=3.
②当n ≥2时,由2S n =3a n -3得, 2S n -1=3a n -1-3.
两式相减得:2(S n -S n -1) =3a n -3a n -1,即2a n =3a n -3a n -1, ∴a n =3a n -1,又∵a 1=3≠0,∴{a n }是等比数列,∴a n =3n . 验证:当n =1时,a 1=3也适合a n =3n . ∴{a n }的通项公式为a n =3n .
11
(2)证明 ∵b n = log 3a n ·log 3a n +1log 33·log 33111=- (n +1) n n n +1∴T n =b 1+b 2+„+b n
11111=(1-) +() +„+)
223n n +11
=1-
n +1
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 ( ) A .13项 B.14项 C.15项 D.16项
2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a,a 为常数,则公差d= (
)
3. 在等差数列{an } 中,若a 1+a2=-18,a 5+a6=-2,则30是这个数列的( ) A .第22项 B.第21项 C.第20项 D.第19项
4. 已知数列a ,-15,b ,c ,45是等差数列,则a+b+c的值是 ( ) A .-5 B.0 C.5 D.10
5. 已知等差数列{an }中,a 1+a2+a3=-15,a 3+a4=-16,则a 1= ( ) A .-1 B.-3 C.-5 D.-7
6. 已知等差数列{an }满足a 2+a7=2a3+a4,那么这个数列的首项是 ( )
7. 已知数列{an }是等差数列,且a 3+a11=40,则a 6+a7+a8等于 ( ) A .84 B. 72 C.60 D.43
8. 已知等差数列{an }中,a 1+a3+a5=3,则a 2+a4= ( ) A .3 B.2 C.1 D.-1
9. 已知数列{a n }:3,7,,,……,则在此数列{a n }中应是( ) A .第21项 B.第41项 C.第48项 D.第49项
1
10. 已知数列{a n }中,a 1=3,前n 和S n =(n +1)(a n +1) -1
2
(1)求证:数列{a n }是等差数列 (2)求数列{a n }的通项公式
⎧⎫
(3)设数列⎨1⎬的前n 项和为T n ,是否存在实数M ,使得T n ≤M 对一切正整数n 都成立?若存在,
⎩a n a n +1⎭
求M 的最小值,若不存在,试说明理由。