测量不确定度评定步骤

1．2．

明确被测量，尽可能用方框图说明测量方法建立数学模型（或称测量模型）

在实际测量中，被测量Y（输出量）不能直接得到。而是由N个其他量

X1,X2⋯,XN

（输入量）通过函数关系

来确定，即

Y=f(X1,X2,⋯,XN)

在测量不确定度评定中，所有的测量值均应是测量结果的最佳估计值（即对所有测量结果中系统效应的影响均应进行修正），Y和X的最佳估计值为

由此，

y=f(x1,x2,⋯,xn)xiy

和

，这时，

的不确定度是

的不确定度来源。

关于数学模型的几点说明：①

数学模型不是唯一的。如果采用不同的测量方法和测量程序，就可能有不同的模型，如一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度

时的电阻为

，电阻器的温度系数为

，则

电阻器的损耗功率（输出量）为

P=f(V,R0,α,t)=

R01+αt−t0如采用端电压V和流经电阻的电流I来获得P，则

P=f(V,I)=VI

②

数学模型是测量不确定度评定的依据。模型中应包含能影响测量结果及其不确定度的全部输入量，即必须包含那些对测量结果影响不大，但对不确定度有不可忽略影响的输入量，也就是说，数学模型或者说测量模型可能和计算公式不一致，例如，对电阻器的P的准确度要求很高，则除了考虑上述公式中的输入量外，还需考虑公式中没有包含的输入量。公式中被忽略的输入量对测量不确定度的影响可以忽略时，数学模型才和计算公式相同。③

数学模型可以很复杂，也可以很简单。如X本身还取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而导致一个很复杂的函数关系式，以至于

不能明确表示出来。有时，模型也可以简

单到Y=X，如用一卡尺测量工件的尺寸，则工件的尺寸Y就等于卡尺的示值X。又如，在评定电子电压表示值误差测量不确定度时，将被检表接到标准电压源上，标准电压源输出为

，被检表的

示值

d=V−V0

，示值偏移为

，则数学模型为

④ 在理论上，数学模型可以由测量原理导出，如上述可以用已知的物理公式求得，但实际上，却不一定都能做到。为此，有时可用实验方法确定，甚至可能根本无法导出数学模型。这时，可以先把对Y有影响的

找到。

XiY

对

的影响可以表示为

δyxi

，数学模型可以写成

y=δx1+δx2+⋯+δxnXiY

对

的影响以比例因子的形式出现时，可以写成

y=δyxi×δyx2×⋯×δyxn

一般，

u(δyxi)≠0y

δyxi

的无穷多次测量的平均值为0，但其不确定度

，而且，

xiy

和

有相同的单位，即被测量

不是通过测量与被测量有函数关系的其他量得到的。

在更多的情况下，其数学模型是混合的，即

y=f(x1,x2,⋯,xn)+δyxn+1

+δyxn+2+⋯

或

y=f(x1,x2,⋯,xn)

×δyxn+1×δyxn+2×⋯

下面的例子只是为了说明问题，不是严格地符合实际情况。例1：量块长度的干涉测量

干涉测量的基本公式是：

式中，l

(k+F)λ

⎯⎯被测量块长度；

λ⎯⎯真空波长；

k+F⎯⎯干涉级次；n⎯⎯空气折射率。

考虑到量块长度的温度修正后，测量结果的计算公式成为：

(k+F)λ

（t-20℃）

式中，L⎯⎯被测量块标称长度；

⎯⎯量块线膨胀系数；

t⎯⎯被测量块温度；

实际上，由于测量点可能偏离量块中心，以及干涉仪光学系统导致的波前畸变，均会对测量结果产生影响。由于该两项不确定度分量无法用明确的函数形式表示出来，因此可采用低分辨℃率模型。最后的数学模型可以写为：

(k+F)λ

20℃)

+δlG+δlW

−Lα

(t-

式中dlG和dlW分别为测量点偏离量块中心和干涉仪波前畸变对测量结果的影响，并且它们的数学期望=0，=0。

例2在开阔场对辐射发射进行测量。

根据测量原理，可以导出待测装置的辐射发射计算公式为：

Em=Er×Af×Cl

式中，Er⎯⎯测量用接收机读数；

Af⎯⎯天线校准因子；Cl⎯⎯电缆衰减修正因子。

但根据经验，另有许多因素会对测量结果有影响。例如：接收机校准示值，天线方向性，天线高度变化等。若这三个因素的修正因子分别为dER，dEd和dEh，则其数学模型可写为：

Em=Er×Af×CI×δER×δEd×δEh

例3：用4%的醋酸溶液浸析陶制品表面，用原子吸收光谱法测定释放的镉。测定的基本公式是

式中，

rC0VLav

C0×Vr=×d

━在提取溶液中镉的含量（mg/L）

━单位面积提取的镉的质量（mg/dm2）

━浸析液的体积（L）

━器皿的表面积（dm2）

━量值为1时的样品被稀释的因子。

如考虑醋酸的浓度、时间、温度参数与标准中技术要求不同而

给出的修正因子，则数学模型可以写成下式

C×Vr==d×facid×ftime×ftemp

⑤建立数学模型时，要找到所有影响测量不确定度的来源。在寻找测量不确定度来源时，除了可以根据测量原理经过理论分析得到外，还可以从测量设备（仪器的最大允许误差、分辨率、标准器具和标准物质的不确定度等），人员（读数的分散性），环境（温度、湿度、振动、电磁场干扰等）等方面对被测量进行全面的考虑。做到不重复、不遗漏任何较大的不确定度来源。

在评定测量不确定度之前，应将修正值加入测量值，并剔除离群值。3．

逐项评定各测量不确定度分量

不确定度分量是指

∂f

u(xi)∂xi

，其中，

数，由数学模型的函数求得，或由实验，即通过

∂f∂xixi

称为灵敏系

的一个微小变

化，求得相应的

的变化，即

u(xi)

∆y∆x

即为灵敏系数，

是对应

的标准偏差。

由测量不确定度定义可知，它由多个分量组成，这些分量由于评定方法不同，分为A类和B类评定。(1)A类评定

对观测列进行统计分析所作的评定。

对输入量Xi进行ni次独立的等精度测量，得到测量结果xik，k=1,2,3,……,ni。则：

xi=

∑x

单次测量结果xik的标准不确定度为：

x−xiki

u(xik)=s(xik)=

ni−1

观测列的平均值，即估计值xi的标准不确定度为：

u(xi)=s(xi)=

用以前测得的数据。

()sxik=

nini−1i

−xi当测量设备比较稳定时，单次测量的标准不确定度u(xik)可采

单次测量结果的u(xik)是指确定度。测了这

次重复测量中任一次测量的不

次，从误差的角度来看，应该有

次重复测量却只有一个共同的不确定度。至于

均值的

言这次实验作了用

u(xi)=s(xi)ni

nini

个误差，但次测量平

，对检测实验室的检测项目而

次重复测量，用其平均值做测量结果，而不是

ni1i

S(xik)=u(xik)ni

作了

次中的任何一次做测量结果，其不确定度当然要小

。但也有一些情况，为了求得重复性即

次测量，但测量结果是

由上面

成标准不确定度影响较大时，些关系不大。

S(x)u(m)=ni

。

次独立重复测量中的

次的算术平均值得到的，这时

一般大于5.A类分量对合

应选得大一些，反之，

小一

还要引起注意的是，对于校准项目，其标准装置或校准系统的不确定度，往往在建标时就已经进行过评定，A类评定做了次重复观测，求得了

u(xik)

，以后进行检定/校准时可能一

次读数就作为测量结果，也可能取

仪器稳定均可用建标时评定的u(xik或

mu(x))

次平均作为测量结果，如

，如仪器不稳

定，则要重新进行评定。关于自由度

如上所述，测量不确定度是衡量测量结果质量的，而自由度又是衡量不确定度评定质量的。

自由度被定义为“和中的项数减去对和的限制条件数”。A类评定中，用贝塞尔公式估计的标准偏差是被测量

个残差

(xik−xi)

平方的统计平均值

∑(x

i=1

因此，（了

−xi)

和中的项数为

，限制条件数为1。

nn−1

较大时，残差的和为0，即残差中任何一个可以从另外）个残差中推出，所以

ν=n−1

，其物理

意义是，被测量只有一个，只需一次测量，为了提高可靠度，多测

测量是

乘法求自由度

n−1tnν=n−trν=n−t−rS(x)S)νn−1nm

ν=n−m

个，测量次数仍为

，则

个限制条件，则

的

均为

。

，如用。

（2）B类评定

次，多测的次数可酌情规定，所以称为自由度。如被

。如另有

和

个观测数据，用最小二

个待测量（斜率、截距），则每个量的标准不确定度的

由不同于观测列的统计分布所做的评定均为B类评定。从道理上讲，如果不计成本，不确定度分量均可由A类评定得到，但切实可行的还是可以用

的可能变化的有关信息或资料来评定，即

a.已知扩展不确定度

和包含因子

，则

Uu(xi)=

已知扩展不确定度

。

UpU95,U99

如

，如没有特殊

说明，一般按正态分布考虑，则

u(xi)=

kpp

p=0.5,kp=0.67p=0.9545,kp=2p=0.9973,kp=3

在正态分布情况下，

可以由

严谨的描述应为：

当有多个独立量影响分布。此时，给出的

查表得到。如：

；；

，且影响大小相近时，则

的扩展不确定度

水准为0.95,0.99,0.997时，则

U(xi)u(xi)U(xi)

等于

服从正态

所对应的置信

除以

1.96，2.58，3（1）当

一般若仅知

的信息时，可认为（2）当

c.已知扩展不确定度

xi[xi−a,xi+a]

u(xi)=

xi[xi−a,xi+a]xixi

[xi−a,xi+a]

u(xi)=

Upνeff

u(xi)=t

tpνeff在

等而在区间外不出现，则

服从均匀分布

在

服从均匀分布。

区间内的反正弦分布，则：和置信概率及有效自由度

分布，则

内各处出现的机会相

内取值而无别

的均匀分布受到正弦（或余弦）函数影响，则它服从

的

以上a.b.c.三种情况中的到。

UUp

和

一般可以从校准证书得

d.当已知输入量

Xixi

之值

分散区间的半宽度为

，且

处于xi−a至xi+a区间的概率p为100%，即全部落在该范围

内。也即在xi±a内包含了Xi的全部可能值，a处于xi的两侧，

xi处于xi−a至xi+a的中央。这时要评定u(xi)时，与Xi可能值在

其内的分布类型关系很大，为此，必须根据经验对其分布事先作出一个近似估计。分布情况与k因子的关系，从两点分布到正态分布，k由1→3。即两点分布，k=1;反正弦分布，

k=2=1.41；矩形分布，k=3=1.73;梯形分布，k=2,(β=0.71)；

三角分布，k==2.45;接近正态分布，k=3。

当知道k时，u(xi)=

a。3

当缺乏任何其他信息时，可以估计为矩形分布，u(xi)=

测量仪器的最大允许误差；可按矩形

数字式仪表对示值量化（分辨力）

分布估计。又如：

导致的不确定度，均

在重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；被测量Y用UP给出，而对其分布又没有特殊指明时估计值的分布；

被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中，相互独立的分量ui(y)较多，它们之间的大小比较接近时Y的分布；

被测量Y的合成标准不确定度uc(y)的相互独立的，分量中，起决定作用的分量接近正态分布时。

以上四种情况均可按正态分布估计。

什么情况可按什么分布估计可查JJF1059-1999附录B。如在输入量Xi可能值的下界a−和上界a+相对于其最佳估计值xi不对称的情况下，即下界a−=xi−b−，上界a+=xi+b+,b−≠b+，则u(xi)=

(a+−a−)

矩形分布的两种情况的说明：a．

“级”使用仪器的不确定度计算。

当仪器检定证书上给出准确度级别时，可按检定系统表或检定规程中所规定的该级别的最大允许误差进行评定，假定最大允许误差为

±A，按均匀分布估计，则u(x)=

。该分量没有包含上一个级别仪3

器对所使用级别仪器检定带来的不确定度。因此，当后者不可忽略时，还要考虑这一项不确定度分量。

b．量仪器最大允许误差。根据上面的定义，当出厂检验凡误差不

超出此范围的均能出厂。比较容易理解，被测量以均匀分布落在±A内。

②数字式仪表分辨力是此类仪表示值不确定度的组成之一。输入仪

器的信号在某个给定区间内变动时，示值不会发生变化。如指示装置的分辨力为δx（一般称为步进量），产生某一指示值X的激励源的值在X−

δxδx

∽X+区间内可以是任意的，且概率相等。因22

此，可以考虑为一个宽δx的矩形分布，半宽度a=0.5δx。标准不确定度u(xi)=

0.5δx=0.29δx。

B类评定中的自由度

a.B类不确定度分量的自由度与所估计的标准不确定度u(xi)的相对标

∆u(xi)1⎡∆u(xi)⎤

准不确定度有关。其关系式为νi≈⎢⎥。根据经验，按2⎣uxi⎦uxi−2

所依据的信息来源来判断

∆u(xi)

uxi∆u(xi)uxi可信度νi

010%16%

（100%）（90%）（84%）

∞

5020

25%42%76%

（75%）（58%）（24%）

842

b.在什么情况下νi可估计为∞

�校准证书上给出了校准结果的扩展不确定度U或Up，该仪器稳定

性很好或校准时间不长，保存条件较理想，其值不会有明显变化；�按仪器最大允许误差或级别所评出的标准不确定度；�按仪器等别的不确定度档次界限所作出的评定；�按仪器的引用误差或其相应级别作出的评定。

在实际工作中，B类不确定度分量常根据区间(−a,+a)的信息来评定，通常选择被测量落在区间以外的概率极小，这时可认为u(xi)的自由度νi→∞4．

合成标准不确定度的评定

⎡n⎛∂f⎞2

uc(y)=⎢∑⎜⎟u(xi)+

∂xi=1⎝i⎠⎢⎣

∂f∂f2∑∑r(xixj)u(xi)u(xj)i=1j=1∂xi∂xj

此式称为不确定度传递率，式中，xi,xj是输入量i≠j，

∂f∂f,是偏导数，称为灵敏系数，∂xi∂xj

n−1n

u(xi),u(xj)分别是输入量xi,xj的标准不确定度，r(xi,xj)是xi,xj的相关系数，设r(xi,xj)=ρ，r(xi,xj)u(xi)u(xj)=u(xi,xj)是xi与xj的协方差。

⎡n⎛∂f

a.当各输入量之间不相关时，r(xi,xj)=0→uc(y)=⎢∑⎜⎜

⎢i=1⎝∂xi⎣

⎤⎞2

⎟⎟u(xi)⎥，如⎥⎠⎦

不但输入量之间不相关，且灵敏系数的绝对值为1时，

uc(y)=

∑u(x)。当输入量间不相关，且输出量与输入量呈指数关

i=1

系时，即Y=CX1PX2P⋯XN

u(y)，即c=

⎡u(xi)⎤∑⎢Pi⎥，即输出量的xi=1⎣i⎦

相对合成标准不确定度是各输入量相对标准不确定度的适当合成。例如：通过测量R和电阻两端的电压V得到流过电阻的电流I，I的

相对合成标准不确定度。

I=V/R=VR-1，测量电阻和电压不相关。

uc(I)u(R)⎤⎡u(V)⎤⎡⎡u(V)⎤⎡u(R)⎤

=⎢+−1=+()⎥⎢⎢V⎢R⎥IR⎥⎣V⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

b.当输入量之间相关时，要考虑相关系数。

例如：输入量之间常因使用了同一测量标准、测量仪器、参考数据或测量方法而造成彼此相关

设y=f(xi,xj)，式中，x1=F(q1,q2,⋯,qL)，x2=G(q1,q2,⋯,qL)，所以x1与x2相关，但qi间不相关。则

⎛∂Fu2(x1)=∑⎜⎜

i=1⎝∂qi

⎞2⎛∂G⎞22⎟⎜u(q)ux=()，∑i2⎟⎜∂q⎟⎟u(qi)i=1⎝i⎠⎠

x1与x2的协方差u(x1,x2)=∑

i=12

∂f∂f2

u(qi)∂qi∂qi

⎞2∂f∂f⎟ux+2u(x1,x2)[]2⎟∂x∂x⎠12

⎛∂f⎞2⎛∂f

⎟⎜uc(y)=⎜ux+()1⎜∂x⎟⎜∂x⎝1⎠⎝2

由此可见，处理相关问题，要求得相关系数是一件很复杂的事，为此，提出一些简化的处理方法

在检测工作中，输入量之间的相关系数ρ只取-1，0，+1三个值。除非有明确的理由表明输入量之间存在强相关，否则均按不相关处理，即取相关系数ρ=0。

若有明确的理由表明输入量之间存在强相关，则视其正相关或负相关，而取相关系数ρ=1或-1。

对于存在强相关的各测量不确定度分量，合成时采用线性相加（当相关系数ρ=-1时，则为相减）。对于不相关的各测量不确定度分量，合成时采用方差（即标准不确定度的平方）相加。

若有部分不确定度分量相关，则先将相关的不确定度分量采用线性相加的方法进行合成，然后再与其不相关的分量采用方差相加的方法合成。

一般情况下，可以采取改变测量原理、测量方法、测量仪器等手段尽可能使其不相关。

如果各影响量与输出量之间写不出函数关系，且各影响量之间不相关

时，

uc(y)=

或

∑u

i=1

uc=

u+u

=S+S+⋯+u+u

B1B2

+⋯

⎛a1⎞⎛a2⎞

=S+S+⋯+⎜⎟+⎜⎟+⋯

⎝k1⎠⎝k2⎠

对应

uc(y)

的有效自由度为

νeff

。设

敏系数，立，

u(xi)νiu(xi)

为

为各输入量的标准不确定度，的自由度，则

∂fci=

∂xiu(xi)

为灵

相互独

νeff

u(y)=n

cuxi∑νii=1

44i

5．扩展不确定度的评定

尽管uc(y)可以定量地表示测量结果的质量，但是在商业、工业以及涉及健康、安全等领域，需要使不确定度具有更高的置信水准，因此需将uc(y)乘以包含因子k得到扩展不确定度U=kuc(y)，或用

U(x)x

表示相对扩展不确定度。其实，在测量不确定度的定义中已经含盖了这层意思，即测量不确定度可以用标准差的倍数或说明了置信水平的

区间半宽度来表示。

为了获得扩展不确定度必须合理赋予k因子（包含因子），k的取值决定了扩展不确定度的置信水平。

可以给出两种扩展不确定度，即U或UP

a.U=kuc(y)，可以期望在(y−U)→(y+U)区间内包含了测量结果可能值的较大部分，一般k取2-3。在大多数情况下，k=2。当取其它值时应说明来源。

b.UP=kpuc(y)，kp为给定概率的包含因子，可期望在(y−U)→(y+U)的区间内，以概率p包含了测量结果的可能值。kp与y的分布有关，当估计y的分布接近正态分布时，kp=tp(νeff)。当νeff充分大时，

k95=2,k99=3

在实际工作中，有时没有估算νeff，这时如估算y的分布为正态分布，则k=2，置信概率p≈95%，k=3，置信概率p≈99%

c.如可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其它分布，则决不应按k=2-3，或kp=tp(νeff)计算U或Up。例如Y的可能值近似于矩形分布，则kp与Up之间的关系为U95,kp=1.65；U99,kp=1.71

例如，用高精度的电压源校准低分辨力的数字电压表，重复测量时，由于被检表的分辨力很低，会导致被测量数据重复性很好（甚至可能出现重复性变化为0），此时，A类评定分量非常小，而被检表的

分辨力

δx

带来的B类分量

uB=0.29δx

（均匀分布），

远大于A类评定分量，占了主导地位。此时，Y可能值的分布近似为均匀分布。

6．测量结果及其不确定度报告

(1)U=kuc(y)。如uc(y)=0.35mg,k=2,U=2×0.35mg=0.70mg，则

ms=100.02147g，U=0.70mg，k=2或ms=(100.02147±0.00070)g,k=2

(2)UP=kpuc(y)。例如：uc(y)=0.35mg,νeff=9,按p=95%查t分布表,得

到kp=t95(9)=2.26,U95=2.26×0.35mg=0.79mg,则

ms=100.02147g,U95=0.79mg,νeff=9或ms=(100.02147±0.00079)g.νeff=9

(3)不确定度也可以用相对形式Urel报告。如

ms=100.0247(1±7.9×10−6)g，p=95%，式中，7.9×10-6为Urel之值。

(4)通常

uc(y)U

和

最多取两位有效数字。这是指最后结果的

形式，计算过程可保留多位。7．几点说明(1)

对检测实验室，有些检测A类评定分量占主导地位,B类评定

分量可以忽略不计;有些检测，样品经不起或不可能做多次重复测量如一次测量样品就破坏了或发生很大变化,则不可能A类评定；(2)

目前对检测实验室的简化处理

a.可以不给自由度

行

b.合成时可以不考虑相关性;c.k可以统一取2;

d.对于某些广泛公认的检测方法，如果该方法规定了测量不确定度主要来源的极限值和计算结果的表达形式，此时，在实验室遵守该检测方法和测量结果报告要求的情况下,即被视为符合要求.e.由于某些检测方法的性质，决定了无法从计量学和统计学角度对测量不确定度进行有效而严格的评定,这时至少应通过分析方法，列出各主要的不确定度分量,并做出合理的评定.同时，应确保测量结果的报告形式不会使用户对所给的测量不确定度造成误解。(3)

对检测实验室，下列情况必须在检测报告中给出测量不确定度

的信息

a.当不确定度与检测结果的有效性或应用有关时；b.客户由要求时；

c.当不确定度影响到对规范规定的极限的符合性时。

测量不确定度评定步骤

1．2．

明确被测量，尽可能用方框图说明测量方法建立数学模型（或称测量模型）

在实际测量中，被测量Y（输出量）不能直接得到。而是由N个其他量

X1,X2⋯,XN

（输入量）通过函数关系

来确定，即

Y=f(X1,X2,⋯,XN)

在测量不确定度评定中，所有的测量值均应是测量结果的最佳估计值（即对所有测量结果中系统效应的影响均应进行修正），Y和X的最佳估计值为

由此，

y=f(x1,x2,⋯,xn)xiy

和

，这时，

的不确定度是

的不确定度来源。

关于数学模型的几点说明：①

数学模型不是唯一的。如果采用不同的测量方法和测量程序，就可能有不同的模型，如一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度

时的电阻为

，电阻器的温度系数为

，则

电阻器的损耗功率（输出量）为

P=f(V,R0,α,t)=

R01+αt−t0如采用端电压V和流经电阻的电流I来获得P，则

P=f(V,I)=VI

②

数学模型可以很复杂，也可以很简单。如X本身还取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而导致一个很复杂的函数关系式，以至于

不能明确表示出来。有时，模型也可以简

，被检表的

示值

d=V−V0

，示值偏移为

，则数学模型为

找到。

XiY

对

的影响可以表示为

δyxi

，数学模型可以写成

y=δx1+δx2+⋯+δxnXiY

对

的影响以比例因子的形式出现时，可以写成

y=δyxi×δyx2×⋯×δyxn

一般，

u(δyxi)≠0y

δyxi

的无穷多次测量的平均值为0，但其不确定度

，而且，

xiy

和

有相同的单位，即被测量

不是通过测量与被测量有函数关系的其他量得到的。

在更多的情况下，其数学模型是混合的，即

y=f(x1,x2,⋯,xn)+δyxn+1

+δyxn+2+⋯

或

y=f(x1,x2,⋯,xn)

×δyxn+1×δyxn+2×⋯

下面的例子只是为了说明问题，不是严格地符合实际情况。例1：量块长度的干涉测量

干涉测量的基本公式是：

式中，l

(k+F)λ

⎯⎯被测量块长度；

λ⎯⎯真空波长；

k+F⎯⎯干涉级次；n⎯⎯空气折射率。

考虑到量块长度的温度修正后，测量结果的计算公式成为：

(k+F)λ

（t-20℃）

式中，L⎯⎯被测量块标称长度；

⎯⎯量块线膨胀系数；

t⎯⎯被测量块温度；

(k+F)λ

20℃)

+δlG+δlW

−Lα

(t-

式中dlG和dlW分别为测量点偏离量块中心和干涉仪波前畸变对测量结果的影响，并且它们的数学期望=0，=0。

例2在开阔场对辐射发射进行测量。

根据测量原理，可以导出待测装置的辐射发射计算公式为：

Em=Er×Af×Cl

式中，Er⎯⎯测量用接收机读数；

Af⎯⎯天线校准因子；Cl⎯⎯电缆衰减修正因子。

Em=Er×Af×CI×δER×δEd×δEh

例3：用4%的醋酸溶液浸析陶制品表面，用原子吸收光谱法测定释放的镉。测定的基本公式是

式中，

rC0VLav

C0×Vr=×d

━在提取溶液中镉的含量（mg/L）

━单位面积提取的镉的质量（mg/dm2）

━浸析液的体积（L）

━器皿的表面积（dm2）

━量值为1时的样品被稀释的因子。

如考虑醋酸的浓度、时间、温度参数与标准中技术要求不同而

给出的修正因子，则数学模型可以写成下式

C×Vr==d×facid×ftime×ftemp

在评定测量不确定度之前，应将修正值加入测量值，并剔除离群值。3．

逐项评定各测量不确定度分量

不确定度分量是指

∂f

u(xi)∂xi

，其中，

数，由数学模型的函数求得，或由实验，即通过

∂f∂xixi

称为灵敏系

的一个微小变

化，求得相应的

的变化，即

u(xi)

∆y∆x

即为灵敏系数，

是对应

的标准偏差。

由测量不确定度定义可知，它由多个分量组成，这些分量由于评定方法不同，分为A类和B类评定。(1)A类评定

对观测列进行统计分析所作的评定。

对输入量Xi进行ni次独立的等精度测量，得到测量结果xik，k=1,2,3,……,ni。则：

xi=

∑x

单次测量结果xik的标准不确定度为：

x−xiki

u(xik)=s(xik)=

ni−1

观测列的平均值，即估计值xi的标准不确定度为：

u(xi)=s(xi)=

用以前测得的数据。

()sxik=

nini−1i

−xi当测量设备比较稳定时，单次测量的标准不确定度u(xik)可采

单次测量结果的u(xik)是指确定度。测了这

次重复测量中任一次测量的不

次，从误差的角度来看，应该有

次重复测量却只有一个共同的不确定度。至于

均值的

言这次实验作了用

u(xi)=s(xi)ni

nini

个误差，但次测量平

，对检测实验室的检测项目而

次重复测量，用其平均值做测量结果，而不是

ni1i

S(xik)=u(xik)ni

作了

次中的任何一次做测量结果，其不确定度当然要小

。但也有一些情况，为了求得重复性即

次测量，但测量结果是

由上面

成标准不确定度影响较大时，些关系不大。

S(x)u(m)=ni

。

次独立重复测量中的

次的算术平均值得到的，这时

一般大于5.A类分量对合

应选得大一些，反之，

小一

还要引起注意的是，对于校准项目，其标准装置或校准系统的不确定度，往往在建标时就已经进行过评定，A类评定做了次重复观测，求得了

u(xik)

，以后进行检定/校准时可能一

次读数就作为测量结果，也可能取

仪器稳定均可用建标时评定的u(xik或

mu(x))

次平均作为测量结果，如

，如仪器不稳

定，则要重新进行评定。关于自由度

如上所述，测量不确定度是衡量测量结果质量的，而自由度又是衡量不确定度评定质量的。

自由度被定义为“和中的项数减去对和的限制条件数”。A类评定中，用贝塞尔公式估计的标准偏差是被测量

个残差

(xik−xi)

平方的统计平均值

∑(x

i=1

因此，（了

−xi)

和中的项数为

，限制条件数为1。

nn−1

较大时，残差的和为0，即残差中任何一个可以从另外）个残差中推出，所以

ν=n−1

，其物理

意义是，被测量只有一个，只需一次测量，为了提高可靠度，多测

测量是

乘法求自由度

n−1tnν=n−trν=n−t−rS(x)S)νn−1nm

ν=n−m

个，测量次数仍为

，则

个限制条件，则

的

均为

。

，如用。

（2）B类评定

次，多测的次数可酌情规定，所以称为自由度。如被

。如另有

和

个观测数据，用最小二

个待测量（斜率、截距），则每个量的标准不确定度的

由不同于观测列的统计分布所做的评定均为B类评定。从道理上讲，如果不计成本，不确定度分量均可由A类评定得到，但切实可行的还是可以用

的可能变化的有关信息或资料来评定，即

a.已知扩展不确定度

和包含因子

，则

Uu(xi)=

已知扩展不确定度

。

UpU95,U99

如

，如没有特殊

说明，一般按正态分布考虑，则

u(xi)=

kpp

p=0.5,kp=0.67p=0.9545,kp=2p=0.9973,kp=3

在正态分布情况下，

可以由

严谨的描述应为：

当有多个独立量影响分布。此时，给出的

查表得到。如：

；；

，且影响大小相近时，则

的扩展不确定度

水准为0.95,0.99,0.997时，则

U(xi)u(xi)U(xi)

等于

服从正态

所对应的置信

除以

1.96，2.58，3（1）当

一般若仅知

的信息时，可认为（2）当

c.已知扩展不确定度

xi[xi−a,xi+a]

u(xi)=

xi[xi−a,xi+a]xixi

[xi−a,xi+a]

u(xi)=

Upνeff

u(xi)=t

tpνeff在

等而在区间外不出现，则

服从均匀分布

在

服从均匀分布。

区间内的反正弦分布，则：和置信概率及有效自由度

分布，则

内各处出现的机会相

内取值而无别

的均匀分布受到正弦（或余弦）函数影响，则它服从

的

以上a.b.c.三种情况中的到。

UUp

和

一般可以从校准证书得

d.当已知输入量

Xixi

之值

分散区间的半宽度为

，且

处于xi−a至xi+a区间的概率p为100%，即全部落在该范围

内。也即在xi±a内包含了Xi的全部可能值，a处于xi的两侧，

xi处于xi−a至xi+a的中央。这时要评定u(xi)时，与Xi可能值在

k=2=1.41；矩形分布，k=3=1.73;梯形分布，k=2,(β=0.71)；

三角分布，k==2.45;接近正态分布，k=3。

当知道k时，u(xi)=

a。3

当缺乏任何其他信息时，可以估计为矩形分布，u(xi)=

测量仪器的最大允许误差；可按矩形

数字式仪表对示值量化（分辨力）

分布估计。又如：

导致的不确定度，均

在重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；被测量Y用UP给出，而对其分布又没有特殊指明时估计值的分布；

被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中，相互独立的分量ui(y)较多，它们之间的大小比较接近时Y的分布；

被测量Y的合成标准不确定度uc(y)的相互独立的，分量中，起决定作用的分量接近正态分布时。

以上四种情况均可按正态分布估计。

(a+−a−)

矩形分布的两种情况的说明：a．

“级”使用仪器的不确定度计算。

当仪器检定证书上给出准确度级别时，可按检定系统表或检定规程中所规定的该级别的最大允许误差进行评定，假定最大允许误差为

±A，按均匀分布估计，则u(x)=

。该分量没有包含上一个级别仪3

器对所使用级别仪器检定带来的不确定度。因此，当后者不可忽略时，还要考虑这一项不确定度分量。

b．量仪器最大允许误差。根据上面的定义，当出厂检验凡误差不

超出此范围的均能出厂。比较容易理解，被测量以均匀分布落在±A内。

②数字式仪表分辨力是此类仪表示值不确定度的组成之一。输入仪

器的信号在某个给定区间内变动时，示值不会发生变化。如指示装置的分辨力为δx（一般称为步进量），产生某一指示值X的激励源的值在X−

δxδx

∽X+区间内可以是任意的，且概率相等。因22

此，可以考虑为一个宽δx的矩形分布，半宽度a=0.5δx。标准不确定度u(xi)=

0.5δx=0.29δx。

B类评定中的自由度

a.B类不确定度分量的自由度与所估计的标准不确定度u(xi)的相对标

∆u(xi)1⎡∆u(xi)⎤

准不确定度有关。其关系式为νi≈⎢⎥。根据经验，按2⎣uxi⎦uxi−2

所依据的信息来源来判断

∆u(xi)

uxi∆u(xi)uxi可信度νi

010%16%

（100%）（90%）（84%）

∞

5020

25%42%76%

（75%）（58%）（24%）

842

b.在什么情况下νi可估计为∞

�校准证书上给出了校准结果的扩展不确定度U或Up，该仪器稳定

在实际工作中，B类不确定度分量常根据区间(−a,+a)的信息来评定，通常选择被测量落在区间以外的概率极小，这时可认为u(xi)的自由度νi→∞4．

合成标准不确定度的评定

⎡n⎛∂f⎞2

uc(y)=⎢∑⎜⎟u(xi)+

∂xi=1⎝i⎠⎢⎣

∂f∂f2∑∑r(xixj)u(xi)u(xj)i=1j=1∂xi∂xj

此式称为不确定度传递率，式中，xi,xj是输入量i≠j，

∂f∂f,是偏导数，称为灵敏系数，∂xi∂xj

n−1n

u(xi),u(xj)分别是输入量xi,xj的标准不确定度，r(xi,xj)是xi,xj的相关系数，设r(xi,xj)=ρ，r(xi,xj)u(xi)u(xj)=u(xi,xj)是xi与xj的协方差。

⎡n⎛∂f

a.当各输入量之间不相关时，r(xi,xj)=0→uc(y)=⎢∑⎜⎜

⎢i=1⎝∂xi⎣

⎤⎞2

⎟⎟u(xi)⎥，如⎥⎠⎦

不但输入量之间不相关，且灵敏系数的绝对值为1时，

uc(y)=

∑u(x)。当输入量间不相关，且输出量与输入量呈指数关

i=1

系时，即Y=CX1PX2P⋯XN

u(y)，即c=

⎡u(xi)⎤∑⎢Pi⎥，即输出量的xi=1⎣i⎦

相对合成标准不确定度是各输入量相对标准不确定度的适当合成。例如：通过测量R和电阻两端的电压V得到流过电阻的电流I，I的

相对合成标准不确定度。

I=V/R=VR-1，测量电阻和电压不相关。

uc(I)u(R)⎤⎡u(V)⎤⎡⎡u(V)⎤⎡u(R)⎤

=⎢+−1=+()⎥⎢⎢V⎢R⎥IR⎥⎣V⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

b.当输入量之间相关时，要考虑相关系数。

例如：输入量之间常因使用了同一测量标准、测量仪器、参考数据或测量方法而造成彼此相关

设y=f(xi,xj)，式中，x1=F(q1,q2,⋯,qL)，x2=G(q1,q2,⋯,qL)，所以x1与x2相关，但qi间不相关。则

⎛∂Fu2(x1)=∑⎜⎜

i=1⎝∂qi

⎞2⎛∂G⎞22⎟⎜u(q)ux=()，∑i2⎟⎜∂q⎟⎟u(qi)i=1⎝i⎠⎠

x1与x2的协方差u(x1,x2)=∑

i=12

∂f∂f2

u(qi)∂qi∂qi

⎞2∂f∂f⎟ux+2u(x1,x2)[]2⎟∂x∂x⎠12

⎛∂f⎞2⎛∂f

⎟⎜uc(y)=⎜ux+()1⎜∂x⎟⎜∂x⎝1⎠⎝2

由此可见，处理相关问题，要求得相关系数是一件很复杂的事，为此，提出一些简化的处理方法

在检测工作中，输入量之间的相关系数ρ只取-1，0，+1三个值。除非有明确的理由表明输入量之间存在强相关，否则均按不相关处理，即取相关系数ρ=0。

若有明确的理由表明输入量之间存在强相关，则视其正相关或负相关，而取相关系数ρ=1或-1。

若有部分不确定度分量相关，则先将相关的不确定度分量采用线性相加的方法进行合成，然后再与其不相关的分量采用方差相加的方法合成。

一般情况下，可以采取改变测量原理、测量方法、测量仪器等手段尽可能使其不相关。

如果各影响量与输出量之间写不出函数关系，且各影响量之间不相关

时，

uc(y)=

或

∑u

i=1

uc=

u+u

=S+S+⋯+u+u

B1B2

+⋯

⎛a1⎞⎛a2⎞

=S+S+⋯+⎜⎟+⎜⎟+⋯

⎝k1⎠⎝k2⎠

对应

uc(y)

的有效自由度为

νeff

。设

敏系数，立，

u(xi)νiu(xi)

为

为各输入量的标准不确定度，的自由度，则

∂fci=

∂xiu(xi)

为灵

相互独

νeff

u(y)=n

cuxi∑νii=1

44i

5．扩展不确定度的评定

U(x)x

表示相对扩展不确定度。其实，在测量不确定度的定义中已经含盖了这层意思，即测量不确定度可以用标准差的倍数或说明了置信水平的

区间半宽度来表示。

为了获得扩展不确定度必须合理赋予k因子（包含因子），k的取值决定了扩展不确定度的置信水平。

可以给出两种扩展不确定度，即U或UP

a.U=kuc(y)，可以期望在(y−U)→(y+U)区间内包含了测量结果可能值的较大部分，一般k取2-3。在大多数情况下，k=2。当取其它值时应说明来源。

k95=2,k99=3

在实际工作中，有时没有估算νeff，这时如估算y的分布为正态分布，则k=2，置信概率p≈95%，k=3，置信概率p≈99%

分辨力

δx

带来的B类分量

uB=0.29δx

（均匀分布），

远大于A类评定分量，占了主导地位。此时，Y可能值的分布近似为均匀分布。

6．测量结果及其不确定度报告

(1)U=kuc(y)。如uc(y)=0.35mg,k=2,U=2×0.35mg=0.70mg，则

ms=100.02147g，U=0.70mg，k=2或ms=(100.02147±0.00070)g,k=2

(2)UP=kpuc(y)。例如：uc(y)=0.35mg,νeff=9,按p=95%查t分布表,得

到kp=t95(9)=2.26,U95=2.26×0.35mg=0.79mg,则

ms=100.02147g,U95=0.79mg,νeff=9或ms=(100.02147±0.00079)g.νeff=9

(3)不确定度也可以用相对形式Urel报告。如

ms=100.0247(1±7.9×10−6)g，p=95%，式中，7.9×10-6为Urel之值。

(4)通常

uc(y)U

和

最多取两位有效数字。这是指最后结果的

形式，计算过程可保留多位。7．几点说明(1)

对检测实验室，有些检测A类评定分量占主导地位,B类评定

分量可以忽略不计;有些检测，样品经不起或不可能做多次重复测量如一次测量样品就破坏了或发生很大变化,则不可能A类评定；(2)

目前对检测实验室的简化处理

a.可以不给自由度

行

b.合成时可以不考虑相关性;c.k可以统一取2;

对检测实验室，下列情况必须在检测报告中给出测量不确定度

的信息

a.当不确定度与检测结果的有效性或应用有关时；b.客户由要求时；

c.当不确定度影响到对规范规定的极限的符合性时。

测量不确定度评定步骤

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