A ij = (−1) det S ij ．
a 11
de t A =|A |=
a 21a n 1
i +j
a 12a 22a n 1
a 1n a 2n a nn
=∑a 1k A 1k =∑a 1k (-1) 1+k de t S 1k .
k =1
k =1
n
n
a a 32
a 33
=a 11a 22a 33+a 12a 2331+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32
对换行列式的两行（列），行列式的值变号． 对 n 阶矩阵 A ，有
det(λA ) =λdet A .
n
克拉默法则
某矩阵的行列式的值不等于零，则次矩阵可逆！
N 阶齐次线性方程组存在非凡解，则其行列式的值必为零；线性方程组的行列式的值为零，则该方程组存在非零解！ 结论：梯矩阵的秩就等于非零行的行数．
N 阶齐次
B=(A,b)的含义：
如果向量集构成的矩阵的秩小于向量的个数，则该向量集线性相关！
向量集的秩等于向量集的最大线性无关子集中的向量的个数，将向量集所组成的矩阵化为梯矩阵，梯矩阵中非零行的首非零元所在的列的所有列向量组成向量集的一个最大线性无关子集！
剩余向量：
属于不同特征值的特征向量线性无关
齐次方程组有非凡解，则齐次方程组的系数行列式的值为0. 对角阵的对角线元都是它的特征值！
A ij = (−1) det S ij ．
a 11
de t A =|A |=
a 21a n 1
i +j
a 12a 22a n 1
a 1n a 2n a nn
=∑a 1k A 1k =∑a 1k (-1) 1+k de t S 1k .
k =1
k =1
n
n
a a 32
a 33
=a 11a 22a 33+a 12a 2331+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32
对换行列式的两行（列），行列式的值变号． 对 n 阶矩阵 A ，有
det(λA ) =λdet A .
n
克拉默法则
某矩阵的行列式的值不等于零，则次矩阵可逆！
N 阶齐次线性方程组存在非凡解，则其行列式的值必为零；线性方程组的行列式的值为零，则该方程组存在非零解！ 结论：梯矩阵的秩就等于非零行的行数．
N 阶齐次
B=(A,b)的含义：
如果向量集构成的矩阵的秩小于向量的个数，则该向量集线性相关！
向量集的秩等于向量集的最大线性无关子集中的向量的个数，将向量集所组成的矩阵化为梯矩阵，梯矩阵中非零行的首非零元所在的列的所有列向量组成向量集的一个最大线性无关子集！
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属于不同特征值的特征向量线性无关
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