解析几何重点题型归纳
1、设函数f (x ) =-x 3+3x +2分别在x 1、x 2处取得极小值、极大值. xoy 平面上点A 、B 的坐
标分别为、，该平面上动点P 满足PA •PB =4, 点Q 是点P 关于直线（x 1, f (x 1) ）（x 2, f (x 2) ）y =2(x -4) 的对称点. 求 (I)求点A 、B 的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.
2、在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x -y =4相切. （Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、
的取值范围.
3、已知M (0,-2) ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足
AP =PB ，MA ⋅AP =0.
（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；
（Ⅱ）过(-2, 0) 的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线l 1、l 2，
当l 1⊥l 2，求直线l 的方程.
4、已知抛物线C :x 2=2py
(p >0)的焦点为F , A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的
不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为l 1、l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标； (2) 证明：A 、B 、F 三点共线； (3) 假设点D 的坐标为⎛
3⎫
, -1⎪，问是否存在经过A 、B 两点且与l 1、l 2都相切的圆， ⎝2⎭
若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.
x 2y 25、 已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) ，过右焦点F 的直线l 与C 相交于
a b A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
（I ）求a ，b 的值；
（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP =OA +OB 成立？
若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
6、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直
AB OB 成等差数列，且BF 与FA 同向．于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知OA
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
0) B (01)，是它的两个顶点，直线y =kx (k >0) 与AB 7、设椭圆中心在坐标原点，A (2，，
相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若ED =6DF ，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
8、如图，已知抛物线E :y =x 与圆 M :(x -4) 2+y 2=r 2(r >0) 相交于A 、B 、C 、D 四个点。（I ）求r 得取值范围；
BD （II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、
的交点P 坐标。
2
x 2y 2
=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，9、已知椭圆+32
过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．
22x 0y 0
+
（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．
解析几何重点题型归纳【答案】
1、解: (Ⅰ) 令f '(x ) =(-x 3+3x +2) '=-3x 2+3=0解得x =1或x =-1 当x 0 , 当x >1时, f '(x )
所以, 函数在x =-1处取得极小值, 在x =1取得极大值, 故x 1=-1, x 2=1, f (-1) =0, f (1) =4 所以, 点A 、B 的坐标为A (-1, 0), B (1, 4) .
(Ⅱ) 设p (m , n ) ，Q (x , y ) ，PA ∙PB =(-1-m , -n )∙(1-m , 4-n )=m 2-1+n 2-4n =4
k PQ =-
1y -n 1
=-，又PQ 的中点在y =2(x -4) 上，所以，所以
2x -m 2
y +m ⎛x +n ⎫22
=2 -4⎪消去m , n 得(x -8)+(y +2)=9 2⎝2⎭
4+3
=2
2、解： （Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x -3y =4的距离，即 r =
得圆O 的方程为x +y =4.
（Ⅱ）不妨设A (x 1, 0), B (x 2, 0), x 1
2
2
(x +2) 2+y 2⋅(x -2) 2+y 2=x 2+y 2 即 x 2-y 2=2. PA ⋅PB =(-2-x , -y ) ⋅(2-x , -y )
=x -4+y =2(y 2-1).
2
2
22⎧⎪x +y
内于点P 在圆O 内做⎨2
⎪⎩x -y =2
由此得：y 2
3、（Ⅰ）解：设P (x , y ) ，A (x A ,0), B (0,y B )(y B >0) 则
AP =(x -x A , y ) PB =(-x , y B -y ) 由AP =PB 得 x A =2x ，y B =2y „4分
又MA =(x A , 2) AP =(x -x A , y ) 即MA =(2x , 2) ，AP =(-x , y ) „„„„„6分
由MA ⋅AP =0 得 x 2=y (y ≥0) „„„„„„„„„„„„„..8分
（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =k (x +2) 设E (x 1, y 1) ，F (x 2, y 2)
因为
y ' =2x ，故两切线的斜率分别为2x 1,2x 2„„„„„„„10分
⎧x 2=y 2
由方程组⎨ 得x -kx -2k =0 所以x 1+x 2=k x 1⋅x 2=-2k
⎩y =k (x +2)
11
当l 1⊥l 2时，，2x 1⋅2x 2=-1，所以 k = 所以，直线l 的方程是 y =(x +2)
88
4、(1) 解:设点A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)， ∵ l 1、l 2分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1=y
'
x =x 1=
x 1'
，直线l 2的斜率k 2=y p
2
x =x 2=
x 2
. p
∵ l 1⊥l 2, ∴ k 1k 2=-1, 得x 1x 2=-p . ① „2分
22
∵A 、B 是抛物线C 上的点, ∴ y 1=x 1, y 2=x 2.
2p 2p
2
x 12x 1x 2x
∴ 直线l 1的方程为y -=(x -x 1), 直线l 2的方程为y -=2(x -x 2).
2p p 2p p
x 1+x 2⎧x 12x 1⎧
x =, y -=x -x , ()1p ⎪⎪⎪2p p 2⎪由 解得⎨∴点D 的纵坐标为-. „4分
⎨22
⎪y =-p . ⎪y -x 2=x 2(x -x ),
2⎪⎪⎩22p p ⎩
(2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ F 0,
⎛
⎝p ⎫⎪. 2⎭
∴ 直线AF 的斜率为k AF
x 12p p -y 1-
x 12-p 2， 2p 2===
x 1-0x 12px 1
2
x 2p p -y 2-2
-p 22p 2x 2. ===
x 2-0x 22px 2
直线BF 的斜率为k BF
∵ k AF -k BF
22x 2(x 12-p 2)-x 1(x 2-p 2)x 12-p 2x 2-p 2
= =-
2px x 2px 12px 212
x 1x 2(x 1-x 2)+p 2(x 1-x 2)-p 2(x 1-x 2)+p 2(x 1-x 2)
=0. ==
2px 1x 22px 1x 2
∴. k AF =k BF ∴A 、B 、F 三点共线. ⎛p ⎫
⎪. 2⎝⎭
2 ⎛ ⎛⎫⎛p 2-x 22⎫p 2-x 12⎫p x 12⎫⎛p x 2
∴AF = -x 1, -⎪= -x 2, ⎪. ⎪= -x 1, ⎪， BF = -x 2, -
22p ⎭⎝2p ⎭22p ⎭⎝2p ⎭⎝⎝
p 2-x 12
p 2-x 12-x 1x 2-x 12x 12p
∵ 2=2==, ∴ AF //BF . ∴A 、B 、F 三点共线. 222
p -x 2p -x 2-x 1x 2-x 2x 22p
⎛x +x y +y ⎫p
证法3：设线段AB 的中点为E , 则E 的坐标为 12, 12⎪. 抛物线C 的准线为l :y =-.
22⎭⎝2
作AA 1⊥l , BB 1⊥l , 垂足分别为A 1, B 1.
证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ F 0, ∵ 由(1)知点D 的坐标为
p ⎫⎛x 1+x 2
, -⎪, ∴DE ⊥l . 2⎭⎝2
1DE =∴DE 是直角梯形AA 的中位线. ∴B B (AA 1+BB 1). 11
2
11DE =AA +BB =根据抛物线的定义得:AA , ∴=AF , BB =BF ()(AF +BF ). 1111
22
111
∵AD ⊥DB , E 为线段AB 的中点, ∴DE =AB . ∴AB =(AF +BF ),
222
即AB =AF +BF . ∴A 、B 、F 三点共线. (3)解: 不存在. 证明如下： 假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ，
, M ⊥B B D M =M 依题意得M A ⊥A D ，且，
由l 1⊥l 2，得A D ⊥B D
.
∴ 四边形
MADB 是正方形. ∴ AD =p ⎛3⎫
=-1, 得
∵点D 的坐标为 , -1⎪， ∴-
⎝2⎭
2
把点D ⎛ 3⎝2, -1⎫
⎪⎭的坐标代入直线l 1, 得-1 解得x 4或x 4,41=1=-1, ∴点A 的坐标为(同理可求得点B 的坐标为
(4,4)或⎛
1⎫
⎝
-1, 4⎪⎭.
由于A
、B 是抛物线C ⎝
4⎪⎭
∴AD == BD ==
∴AD ≠BD , 这与AD =BD 矛盾. ∴经过A 、B 两点且与l 1、l 2都相切的圆不存在.
5、解:(I）设F (c ,0) ，直线l :x -y -c =0，由坐标原点O 到l 的距离为
2
=
c =1. 又e =c a =∴a =b =（II ）由(I）知椭圆的方程为C :x 2y 2
3+2
=1. 设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 l :x =my +1
代入椭圆的方程中整理得(2m 2+3) y 2
+4my -4=0，显然∆>0。
由韦达定理有：y 4m 1+y 2=-2m 2+3, y 1y 2=-4
2m 2
+, ．．．．．．．．① . 假设存在点P ，使 OP = OA + OB
3
成立，则其充要条件为：
点P 的坐标为(x (x 1+x 22) (y 1+y 2) 2
1+x 2, y 1+y
2) ，点P
在椭圆上，即
3+2
=1。 整理得2x 2221+3y 1+2x 2+3y 22+4x 1x 2+6y 1y 2=6
。
又A 、B 在椭圆上，即2x 21+3y 221=6,2x 22+3y 2=
6. 故2
x 1x 2+3y
1y 2+3=0．．．．．．．．．②
将x 2
1x 2=(my 1+1)(my 2+1) =m y 1y 2+m (y 2
1+y 2) +1及①代入②解得m =
12
∴y 4m 2331+y 2=2-2, x 1+x 2=-2m 2+3+2=2, 即P (2, ±2
.
当m =332, P (2, -2l :x =2y +1; 当m =-2, P (2, 2l :x =-2
y +1. 评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法, 而算理是采用这种算法的依据和原因, 一个是表, 一个是里, 一个是现象, 一个是本质。有时算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来
算？在具体处理时，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。
OB =m +d 由勾股定理可得：6、解：（Ⅰ）设OA =m -d ，AB =m ，(m -d ) 2+m 2=(m +d ) 2
1b AB 4
得：d =m ，tan ∠AOF =，tan ∠AOB =tan 2∠AOF ==
4a OA 3由倍角公式∴
b b
，解得4=a 2
3⎛b ⎫
1- ⎪
⎝a ⎭2
=
1,
则离心率e = 2a x 2y 2
（Ⅱ）过F 直线方程为y =-(x -c ) , 与双曲线方程2-2=1联立，将a =2b ，c =b a
152代入，化简有2x +21=0，41-x 2
4b x 解得b =3故所求的双曲线方程为-将数值代入，有4=
2
y 2
=1
。 x
+y 2=1， 7、（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4
直线AB ，EF 的方程分别为x +2y =2，y =kx (k >0) ． 如图，设D (x 0，kx 0) ，E (x 1，kx 1) ，F (x 2，kx 2) ，
其中x 1
2
故x 2=-x 1．①由ED =6DF 知x 0-x 1=6(x 2-x 0) ，得x 0=(6x 2+x 1) =x 2
7722由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得x 0=．所以， =
1+2k 1+2k 232
化简得24k -25k +6=0， 解得k =或k =．
38
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为
h 1===h 2=
又AB =
=AEBF 的面积为
11S =AB (h 1+h 2) =≤ ==221
当2k =1，即当k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ··································12分
2
解法二：BO =1AO =2．设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2>0，y 2=-y 1>0， 故四边形AEBF 的面积为
=S =S △BEF +S △AEF =x 2+2y 2==当x 2=2y 2时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······················································12分
2222
8、分析：（I ）这一问学生易下手。将抛物线E :y =x 与圆M :(x -4) +y =r (r >0) 的
方程联立，消去y 2，整理得x -7x +16-r =0．．．（＊）抛物线E :y 2=x 与圆
22
M :(x -4) 2+y 2=r 2(r >0) 相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个
不相等的正根即可.
易得r ∈ . 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入
的方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为A (x 1
、B (x 1,
、C (x 2,
、D (x 2。 则由（I ）根据韦达定理有x 1+x 2=7, x 1x 2=16-
r 2，r ∈则S =
4)
1
⋅2⋅|x 2-x 1|=|x 2-x 1|
2
2
∴S 2=[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2](x 1+x 2+=(7+r 2-15)
=t ，则S 2=(7+2t ) 2(7-2t ) 下面求S 的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。
117+2t +7+2t +14-4t 31283
S 2=(7+2t ) 2(7-2t ) =(7+2t )(7+2t )(14-4t ) ≤() =⋅()
22323
t =14-t 4 当且仅当7+2，即t =
7时取最大值。经检验此时r ∈4) 满足题意。 62
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点P 的坐标。设点P 的坐标为：P (x p ,0) 由A 、P 、
C
9
、证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距c ==1，由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径
2222
y 0x 0y 0x 21+≤+=
（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且k ≠0时，BD 的方程为y =k (x +1) ，代入椭圆方程
7
=得x p ==t =。以下略。
121
p 6
2
020
x 2y 22222
+=1，并化简得(3k +2) x +6k x +3k -6=0．设B (x 1，y 1) ，D (x 2，y 2) ， 32
6k 23k 2-6则 x 1+x 2=-2，x 1x 2=2BD =x 1-x 2=3k +23k +
2
1⎫2+1⎪1k ⎭=因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为-，
AC =．
k 13⨯2+2
k
四边形ABCD 的面积
124(k 2+1) 224(k 2+1) 296．当k 2=1时，上式取等号． S =BD AC =≥=22
2(3k +2)(2k +3) ⎡(3k 2+2) +(2k 2+3) ⎤25
⎢⎥2⎣⎦
（ⅱ）当BD 的斜率k =0或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积S =4． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为
96
． 25
解析几何重点题型归纳
1、设函数f (x ) =-x 3+3x +2分别在x 1、x 2处取得极小值、极大值. xoy 平面上点A 、B 的坐
标分别为、，该平面上动点P 满足PA •PB =4, 点Q 是点P 关于直线（x 1, f (x 1) ）（x 2, f (x 2) ）y =2(x -4) 的对称点. 求 (I)求点A 、B 的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.
2、在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x -y =4相切. （Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、
的取值范围.
3、已知M (0,-2) ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足
AP =PB ，MA ⋅AP =0.
（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；
（Ⅱ）过(-2, 0) 的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线l 1、l 2，
当l 1⊥l 2，求直线l 的方程.
4、已知抛物线C :x 2=2py
(p >0)的焦点为F , A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的
不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为l 1、l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标； (2) 证明：A 、B 、F 三点共线； (3) 假设点D 的坐标为⎛
3⎫
, -1⎪，问是否存在经过A 、B 两点且与l 1、l 2都相切的圆， ⎝2⎭
若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.
x 2y 25、 已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) ，过右焦点F 的直线l 与C 相交于
a b A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
（I ）求a ，b 的值；
（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP =OA +OB 成立？
若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
6、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直
AB OB 成等差数列，且BF 与FA 同向．于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知OA
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
0) B (01)，是它的两个顶点，直线y =kx (k >0) 与AB 7、设椭圆中心在坐标原点，A (2，，
相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若ED =6DF ，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
8、如图，已知抛物线E :y =x 与圆 M :(x -4) 2+y 2=r 2(r >0) 相交于A 、B 、C 、D 四个点。（I ）求r 得取值范围；
BD （II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、
的交点P 坐标。
2
x 2y 2
=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，9、已知椭圆+32
过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．
22x 0y 0
+
（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．
解析几何重点题型归纳【答案】
1、解: (Ⅰ) 令f '(x ) =(-x 3+3x +2) '=-3x 2+3=0解得x =1或x =-1 当x 0 , 当x >1时, f '(x )
所以, 函数在x =-1处取得极小值, 在x =1取得极大值, 故x 1=-1, x 2=1, f (-1) =0, f (1) =4 所以, 点A 、B 的坐标为A (-1, 0), B (1, 4) .
(Ⅱ) 设p (m , n ) ，Q (x , y ) ，PA ∙PB =(-1-m , -n )∙(1-m , 4-n )=m 2-1+n 2-4n =4
k PQ =-
1y -n 1
=-，又PQ 的中点在y =2(x -4) 上，所以，所以
2x -m 2
y +m ⎛x +n ⎫22
=2 -4⎪消去m , n 得(x -8)+(y +2)=9 2⎝2⎭
4+3
=2
2、解： （Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x -3y =4的距离，即 r =
得圆O 的方程为x +y =4.
（Ⅱ）不妨设A (x 1, 0), B (x 2, 0), x 1
2
2
(x +2) 2+y 2⋅(x -2) 2+y 2=x 2+y 2 即 x 2-y 2=2. PA ⋅PB =(-2-x , -y ) ⋅(2-x , -y )
=x -4+y =2(y 2-1).
2
2
22⎧⎪x +y
内于点P 在圆O 内做⎨2
⎪⎩x -y =2
由此得：y 2
3、（Ⅰ）解：设P (x , y ) ，A (x A ,0), B (0,y B )(y B >0) 则
AP =(x -x A , y ) PB =(-x , y B -y ) 由AP =PB 得 x A =2x ，y B =2y „4分
又MA =(x A , 2) AP =(x -x A , y ) 即MA =(2x , 2) ，AP =(-x , y ) „„„„„6分
由MA ⋅AP =0 得 x 2=y (y ≥0) „„„„„„„„„„„„„..8分
（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =k (x +2) 设E (x 1, y 1) ，F (x 2, y 2)
因为
y ' =2x ，故两切线的斜率分别为2x 1,2x 2„„„„„„„10分
⎧x 2=y 2
由方程组⎨ 得x -kx -2k =0 所以x 1+x 2=k x 1⋅x 2=-2k
⎩y =k (x +2)
11
当l 1⊥l 2时，，2x 1⋅2x 2=-1，所以 k = 所以，直线l 的方程是 y =(x +2)
88
4、(1) 解:设点A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)， ∵ l 1、l 2分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1=y
'
x =x 1=
x 1'
，直线l 2的斜率k 2=y p
2
x =x 2=
x 2
. p
∵ l 1⊥l 2, ∴ k 1k 2=-1, 得x 1x 2=-p . ① „2分
22
∵A 、B 是抛物线C 上的点, ∴ y 1=x 1, y 2=x 2.
2p 2p
2
x 12x 1x 2x
∴ 直线l 1的方程为y -=(x -x 1), 直线l 2的方程为y -=2(x -x 2).
2p p 2p p
x 1+x 2⎧x 12x 1⎧
x =, y -=x -x , ()1p ⎪⎪⎪2p p 2⎪由 解得⎨∴点D 的纵坐标为-. „4分
⎨22
⎪y =-p . ⎪y -x 2=x 2(x -x ),
2⎪⎪⎩22p p ⎩
(2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ F 0,
⎛
⎝p ⎫⎪. 2⎭
∴ 直线AF 的斜率为k AF
x 12p p -y 1-
x 12-p 2， 2p 2===
x 1-0x 12px 1
2
x 2p p -y 2-2
-p 22p 2x 2. ===
x 2-0x 22px 2
直线BF 的斜率为k BF
∵ k AF -k BF
22x 2(x 12-p 2)-x 1(x 2-p 2)x 12-p 2x 2-p 2
= =-
2px x 2px 12px 212
x 1x 2(x 1-x 2)+p 2(x 1-x 2)-p 2(x 1-x 2)+p 2(x 1-x 2)
=0. ==
2px 1x 22px 1x 2
∴. k AF =k BF ∴A 、B 、F 三点共线. ⎛p ⎫
⎪. 2⎝⎭
2 ⎛ ⎛⎫⎛p 2-x 22⎫p 2-x 12⎫p x 12⎫⎛p x 2
∴AF = -x 1, -⎪= -x 2, ⎪. ⎪= -x 1, ⎪， BF = -x 2, -
22p ⎭⎝2p ⎭22p ⎭⎝2p ⎭⎝⎝
p 2-x 12
p 2-x 12-x 1x 2-x 12x 12p
∵ 2=2==, ∴ AF //BF . ∴A 、B 、F 三点共线. 222
p -x 2p -x 2-x 1x 2-x 2x 22p
⎛x +x y +y ⎫p
证法3：设线段AB 的中点为E , 则E 的坐标为 12, 12⎪. 抛物线C 的准线为l :y =-.
22⎭⎝2
作AA 1⊥l , BB 1⊥l , 垂足分别为A 1, B 1.
证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ F 0, ∵ 由(1)知点D 的坐标为
p ⎫⎛x 1+x 2
, -⎪, ∴DE ⊥l . 2⎭⎝2
1DE =∴DE 是直角梯形AA 的中位线. ∴B B (AA 1+BB 1). 11
2
11DE =AA +BB =根据抛物线的定义得:AA , ∴=AF , BB =BF ()(AF +BF ). 1111
22
111
∵AD ⊥DB , E 为线段AB 的中点, ∴DE =AB . ∴AB =(AF +BF ),
222
即AB =AF +BF . ∴A 、B 、F 三点共线. (3)解: 不存在. 证明如下： 假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ，
, M ⊥B B D M =M 依题意得M A ⊥A D ，且，
由l 1⊥l 2，得A D ⊥B D
.
∴ 四边形
MADB 是正方形. ∴ AD =p ⎛3⎫
=-1, 得
∵点D 的坐标为 , -1⎪， ∴-
⎝2⎭
2
把点D ⎛ 3⎝2, -1⎫
⎪⎭的坐标代入直线l 1, 得-1 解得x 4或x 4,41=1=-1, ∴点A 的坐标为(同理可求得点B 的坐标为
(4,4)或⎛
1⎫
⎝
-1, 4⎪⎭.
由于A
、B 是抛物线C ⎝
4⎪⎭
∴AD == BD ==
∴AD ≠BD , 这与AD =BD 矛盾. ∴经过A 、B 两点且与l 1、l 2都相切的圆不存在.
5、解:(I）设F (c ,0) ，直线l :x -y -c =0，由坐标原点O 到l 的距离为
2
=
c =1. 又e =c a =∴a =b =（II ）由(I）知椭圆的方程为C :x 2y 2
3+2
=1. 设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 l :x =my +1
代入椭圆的方程中整理得(2m 2+3) y 2
+4my -4=0，显然∆>0。
由韦达定理有：y 4m 1+y 2=-2m 2+3, y 1y 2=-4
2m 2
+, ．．．．．．．．① . 假设存在点P ，使 OP = OA + OB
3
成立，则其充要条件为：
点P 的坐标为(x (x 1+x 22) (y 1+y 2) 2
1+x 2, y 1+y
2) ，点P
在椭圆上，即
3+2
=1。 整理得2x 2221+3y 1+2x 2+3y 22+4x 1x 2+6y 1y 2=6
。
又A 、B 在椭圆上，即2x 21+3y 221=6,2x 22+3y 2=
6. 故2
x 1x 2+3y
1y 2+3=0．．．．．．．．．②
将x 2
1x 2=(my 1+1)(my 2+1) =m y 1y 2+m (y 2
1+y 2) +1及①代入②解得m =
12
∴y 4m 2331+y 2=2-2, x 1+x 2=-2m 2+3+2=2, 即P (2, ±2
.
当m =332, P (2, -2l :x =2y +1; 当m =-2, P (2, 2l :x =-2
y +1. 评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法, 而算理是采用这种算法的依据和原因, 一个是表, 一个是里, 一个是现象, 一个是本质。有时算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来
算？在具体处理时，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。
OB =m +d 由勾股定理可得：6、解：（Ⅰ）设OA =m -d ，AB =m ，(m -d ) 2+m 2=(m +d ) 2
1b AB 4
得：d =m ，tan ∠AOF =，tan ∠AOB =tan 2∠AOF ==
4a OA 3由倍角公式∴
b b
，解得4=a 2
3⎛b ⎫
1- ⎪
⎝a ⎭2
=
1,
则离心率e = 2a x 2y 2
（Ⅱ）过F 直线方程为y =-(x -c ) , 与双曲线方程2-2=1联立，将a =2b ，c =b a
152代入，化简有2x +21=0，41-x 2
4b x 解得b =3故所求的双曲线方程为-将数值代入，有4=
2
y 2
=1
。 x
+y 2=1， 7、（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4
直线AB ，EF 的方程分别为x +2y =2，y =kx (k >0) ． 如图，设D (x 0，kx 0) ，E (x 1，kx 1) ，F (x 2，kx 2) ，
其中x 1
2
故x 2=-x 1．①由ED =6DF 知x 0-x 1=6(x 2-x 0) ，得x 0=(6x 2+x 1) =x 2
7722由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得x 0=．所以， =
1+2k 1+2k 232
化简得24k -25k +6=0， 解得k =或k =．
38
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为
h 1===h 2=
又AB =
=AEBF 的面积为
11S =AB (h 1+h 2) =≤ ==221
当2k =1，即当k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ··································12分
2
解法二：BO =1AO =2．设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2>0，y 2=-y 1>0， 故四边形AEBF 的面积为
=S =S △BEF +S △AEF =x 2+2y 2==当x 2=2y 2时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······················································12分
2222
8、分析：（I ）这一问学生易下手。将抛物线E :y =x 与圆M :(x -4) +y =r (r >0) 的
方程联立，消去y 2，整理得x -7x +16-r =0．．．（＊）抛物线E :y 2=x 与圆
22
M :(x -4) 2+y 2=r 2(r >0) 相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个
不相等的正根即可.
易得r ∈ . 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入
的方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为A (x 1
、B (x 1,
、C (x 2,
、D (x 2。 则由（I ）根据韦达定理有x 1+x 2=7, x 1x 2=16-
r 2，r ∈则S =
4)
1
⋅2⋅|x 2-x 1|=|x 2-x 1|
2
2
∴S 2=[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2](x 1+x 2+=(7+r 2-15)
=t ，则S 2=(7+2t ) 2(7-2t ) 下面求S 的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。
117+2t +7+2t +14-4t 31283
S 2=(7+2t ) 2(7-2t ) =(7+2t )(7+2t )(14-4t ) ≤() =⋅()
22323
t =14-t 4 当且仅当7+2，即t =
7时取最大值。经检验此时r ∈4) 满足题意。 62
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点P 的坐标。设点P 的坐标为：P (x p ,0) 由A 、P 、
C
9
、证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距c ==1，由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径
2222
y 0x 0y 0x 21+≤+=
（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且k ≠0时，BD 的方程为y =k (x +1) ，代入椭圆方程
7
=得x p ==t =。以下略。
121
p 6
2
020
x 2y 22222
+=1，并化简得(3k +2) x +6k x +3k -6=0．设B (x 1，y 1) ，D (x 2，y 2) ， 32
6k 23k 2-6则 x 1+x 2=-2，x 1x 2=2BD =x 1-x 2=3k +23k +
2
1⎫2+1⎪1k ⎭=因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为-，
AC =．
k 13⨯2+2
k
四边形ABCD 的面积
124(k 2+1) 224(k 2+1) 296．当k 2=1时，上式取等号． S =BD AC =≥=22
2(3k +2)(2k +3) ⎡(3k 2+2) +(2k 2+3) ⎤25
⎢⎥2⎣⎦
（ⅱ）当BD 的斜率k =0或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积S =4． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为
96
． 25