求解平面图形的面积的巧妙方法
安徽省灵璧县黄湾中学（234213） 华兴恒
求解平面图形的面积是初中平面几何中经常遇到的问题，由于此类问题形式多样，花样不断翻新，因此许多同学对此类问题常常是感到无从下手。为了提高同学们求解此类问题的能力，下面举例介绍几种巧妙的解法，希望能够对同学们有所启迪。
一 灵活利用公式
根据题设条件，灵活地选用有关面积的计算公式，通过计算直接求出图形的面积。这是最常用的一种解法。
例1 如图1所示，已知⊙ O 半径R = 33，A 为⊙O 上一点，过A 作一半径为r = 3的⊙O ′，两圆有另一交点B ，且∠O ′AO = 90°，求图形中阴影部分的面积。
简解 连接O ′B ，在Rt △AOO ′中，有tan ∠AO ′O ∴∠AO ′O = 60°，即∠AO ′B = 120°， ∴S 阴 = S 扇形O 'AB -S ∆O 'AB =πr 2-
O
图1
AO
=. 'A O
1
39312
. r sin120°= 3π- 42
二 巧用等积变换
根据“同（等）底等（同）高的两个三角形面积相等”进行等积变换，从而可快速、准确地求出图形的面积。
例2 如图2所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DC
的中点，三角形ACD 的面积为1，求△ECB 的面积。
简解 连接BD 。 ∵△ACD 与△BCD 同底等高，∴S △BCD = S △ACD = 1。
又E 为DC 的中点，∴S △ECB =
11
S ∆ECB =。 22
图2
三 妙转化为面积和差
根据所求面积与有关面积的关系（有事需要添加辅助线才能发现它们之间的关系），对有关面积进行加减运算求出面积。
例3 如图3所示，正方形ABCD 的面积为1，△PCB 为正三角形，求S △BPD 。
简解 ∵S △BPD = S △PBC + S△PCD - S △CPD ，S △PBC =sin30°=
3112×12sin60°
=，S △PCD =× ⨯1⨯
422
11，S △BCD =sin60°。 42
-111
∴S △BPD =+-=。
4442
四 善用割补的方法 将图形的某一部分切割，移到适当的位置，使所求面积转化为更加图3 规则或易于计算的图形，从而简捷、轻松的求出面积。
例4 如图4所示，矩形ABCD 的长和宽分别为a 和b （a > b ），它绕顶点A 旋转90°，
求CD 边扫过的阴影部分面积。
简解 若把矩形ABCD 正上方阴影部分绕A 点旋转90°，移到右下方，可以发现所求面积实际上是两个扇形面积之差，于是有：
111
S 阴=π（a 2+b 2) -πa 2=πb 2。
444
五 巧用面积比例
根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”或“等底（高）图4
的两个三角形的面积比等于其对应高（底）的比”，通过比例式求出面积。
例5 过△ABC 内任意一点P ，作三条直线平行各边，这些直线分该三角形面积为6个部分，其中△DPM 、△FNP 、△PEG 的面积分别为S 1、S 2、S 3，求△ABC 的面积。
简解 连接CP 。由题设可知四边形CMPG 、AFPD 、BEPN 均为平行四边形。
∵△PMD 与△PMC 等高，∴
S ∆PCM CM
=，即 S ∆PMD DM
图5
S 魿MPG CM GP
== ① 2S 1DM DM
S 3GP 由△PMD ∽△EGP 可得： ② =
DM S 1
由①、②可得S □CMPG =2S 1S 3；同理可得：S □AEPD =2S 1S 2；S □BEPN =2S 2S 3。 ∴S △ABC = S 1 + S 2 + S 3 + 2(S 1S 2+S 1S 3+S 2S 3) =(S 1+S 2+S 3) 2。
六 妙用部分与整体对比
根据图形中的特殊条件（如中点、中线、角平分线）添加辅助线，可以沟通整体面积与所求面积的关系，从而使问题获解。
例6 如图6所示，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AB 、BC 的中点，记图形中阴影部分的面积和为S 1，非阴影部
分三个三角形的面积和为S 2，那么S 1 : S 2等于（ ）
A. 1 : 1 B. 3 : 2 C. 2 : 1 D. AB : BC 简解 连接BD 、BM 、BN ，延长BM 、BN 分别交AD 、CD 于G 、H ，易证AM = MN = NC，G 、H 分别为AD 、CD 的中点。根据等底等高的两个三角形的面积相等，易证□ABCD 被分成的12个小三角形面积两两相等。据此可知：S 1 =2 : 1，故应选C 。
图6
48
S □ABCD ，S 2 =S □ABCD ，则S 1 : S 2 = 1212
求解平面图形的面积的巧妙方法
安徽省灵璧县黄湾中学（234213） 华兴恒
求解平面图形的面积是初中平面几何中经常遇到的问题，由于此类问题形式多样，花样不断翻新，因此许多同学对此类问题常常是感到无从下手。为了提高同学们求解此类问题的能力，下面举例介绍几种巧妙的解法，希望能够对同学们有所启迪。
一 灵活利用公式
根据题设条件，灵活地选用有关面积的计算公式，通过计算直接求出图形的面积。这是最常用的一种解法。
例1 如图1所示，已知⊙ O 半径R = 33，A 为⊙O 上一点，过A 作一半径为r = 3的⊙O ′，两圆有另一交点B ，且∠O ′AO = 90°，求图形中阴影部分的面积。
简解 连接O ′B ，在Rt △AOO ′中，有tan ∠AO ′O ∴∠AO ′O = 60°，即∠AO ′B = 120°， ∴S 阴 = S 扇形O 'AB -S ∆O 'AB =πr 2-
O
图1
AO
=. 'A O
1
39312
. r sin120°= 3π- 42
二 巧用等积变换
根据“同（等）底等（同）高的两个三角形面积相等”进行等积变换，从而可快速、准确地求出图形的面积。
例2 如图2所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DC
的中点，三角形ACD 的面积为1，求△ECB 的面积。
简解 连接BD 。 ∵△ACD 与△BCD 同底等高，∴S △BCD = S △ACD = 1。
又E 为DC 的中点，∴S △ECB =
11
S ∆ECB =。 22
图2
三 妙转化为面积和差
根据所求面积与有关面积的关系（有事需要添加辅助线才能发现它们之间的关系），对有关面积进行加减运算求出面积。
例3 如图3所示，正方形ABCD 的面积为1，△PCB 为正三角形，求S △BPD 。
简解 ∵S △BPD = S △PBC + S△PCD - S △CPD ，S △PBC =sin30°=
3112×12sin60°
=，S △PCD =× ⨯1⨯
422
11，S △BCD =sin60°。 42
-111
∴S △BPD =+-=。
4442
四 善用割补的方法 将图形的某一部分切割，移到适当的位置，使所求面积转化为更加图3 规则或易于计算的图形，从而简捷、轻松的求出面积。
例4 如图4所示，矩形ABCD 的长和宽分别为a 和b （a > b ），它绕顶点A 旋转90°，
求CD 边扫过的阴影部分面积。
简解 若把矩形ABCD 正上方阴影部分绕A 点旋转90°，移到右下方，可以发现所求面积实际上是两个扇形面积之差，于是有：
111
S 阴=π（a 2+b 2) -πa 2=πb 2。
444
五 巧用面积比例
根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”或“等底（高）图4
的两个三角形的面积比等于其对应高（底）的比”，通过比例式求出面积。
例5 过△ABC 内任意一点P ，作三条直线平行各边，这些直线分该三角形面积为6个部分，其中△DPM 、△FNP 、△PEG 的面积分别为S 1、S 2、S 3，求△ABC 的面积。
简解 连接CP 。由题设可知四边形CMPG 、AFPD 、BEPN 均为平行四边形。
∵△PMD 与△PMC 等高，∴
S ∆PCM CM
=，即 S ∆PMD DM
图5
S 魿MPG CM GP
== ① 2S 1DM DM
S 3GP 由△PMD ∽△EGP 可得： ② =
DM S 1
由①、②可得S □CMPG =2S 1S 3；同理可得：S □AEPD =2S 1S 2；S □BEPN =2S 2S 3。 ∴S △ABC = S 1 + S 2 + S 3 + 2(S 1S 2+S 1S 3+S 2S 3) =(S 1+S 2+S 3) 2。
六 妙用部分与整体对比
根据图形中的特殊条件（如中点、中线、角平分线）添加辅助线，可以沟通整体面积与所求面积的关系，从而使问题获解。
例6 如图6所示，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AB 、BC 的中点，记图形中阴影部分的面积和为S 1，非阴影部
分三个三角形的面积和为S 2，那么S 1 : S 2等于（ ）
A. 1 : 1 B. 3 : 2 C. 2 : 1 D. AB : BC 简解 连接BD 、BM 、BN ，延长BM 、BN 分别交AD 、CD 于G 、H ，易证AM = MN = NC，G 、H 分别为AD 、CD 的中点。根据等底等高的两个三角形的面积相等，易证□ABCD 被分成的12个小三角形面积两两相等。据此可知：S 1 =2 : 1，故应选C 。
图6
48
S □ABCD ，S 2 =S □ABCD ，则S 1 : S 2 = 1212