标题
作者
(北华航天工业学院 机械系，廊坊065000)
摘 要：提出了一种新型的少自由度微动并联机器人，利用螺旋理论对于微动并联机器人的自由度进行分析，得到机构正常运动时所需要的驱动个数。利用矢量方法得到微动并联机器人的运动学反解。基于雅可比矩阵的可逆性，研究了微动机器人的奇异问题, 从而确定该微动并联机器人的输入和输出之间的关系。
关键词：微动机器人；螺旋理论；雅可比矩阵；奇异
Research on Kinematics of a Novel Micromanipulator with Flexure Hinges
HAN Shukui, DONG Xu
(China North China Institute of Aerospace Engineering, Department of Mechanical Engineering Langfang
065000)
Abstract: A three degree of freedom parallel micromanipulator is presented ．The DOF of parallel manipulator is analyzed by the screw theory, the driven number is gotten. The kinematics solutions are analyzed using the vector theory ，as a result，the Velocity of a movable platform are derived. Based on Jacobian matrix, the forward and inverse kinematic singular configuration of the parallel micromanipulator is also studied. The results show that sensitivity parameters existed in Jacobian matrix affect the relation between the input and the output of the micromanipulator, the vector space method is simple and convenient in analyzing the singularity of parallel mechanisms. Key words: Novel micromanipulator; Screw theory; Jacobian matrix; Singularity
微动机器人作为微操作系统的重要组成部分，在的雅可比矩阵的计算公式，得到了机器人奇异位形的光纤对接、精密机械工程、生物工程等领域具有广阔位置，这些为机器人的控制方案的设计奠定了基础。 的应用前景。随着微纳米技术的快速发展，人们对具
1 机器人结构 有纳米级定位精度的多自由度微动机器人提出了更高
的要求。以压电陶瓷为驱动器的并联柔性铰链机器人如图1所示为微动并联机器人的结构示意图，该被广泛用于位操作领域[1,2]。设计微动机器人结构时，并联微动机器人的动平台和经平台是通过三个分支相静刚度是一个非常重要的设计准则，它所受的外载大互连接，其三个分支组成闭环回路，压电陶瓷位于四小直接决定了终端变形的大小，对终端定位精度有相个转动副组成的复合铰链中间，主要用来驱动由转动当大的影响，在一定终端变位范围内，使静刚度可控副组成的复合铰链，通过复合铰链的变形来带动与其还可获得可控的终端输出力。但是以前对于微动并联相互连接的启动柔性杆件进行变形，从而达到驱动整机器人的研究很多都是针对于平面三自由度并联微动个并联微动机构的目的。
机器人或者是六自由度并联微动机器人进行研究[3-5]，对于空间三自由度并联微动机器人或者其它少自由度空间并联机器人的研究还比较少。针对这种情况，本文设计了一种新型并联微动机器人，并对其结构进行了分析，给了了这种新型并联微动机器人的拓扑机构，分析了该并联微动机器人的输入个数以及输入关节的位置。利用螺旋理论分别计算了这种并联微动机器人的各分支得反螺旋的表达形式，得到这种并联微动机器人运动螺旋以及各分支反螺旋，从而计算出该并联
图1 微动机器人结构 微动机器人的自由度。利用矢量的方法对于这种并联
微动机器人的运动学进行了分析，给出了这种机器人少自由度并联微动机器人的拓扑机构如图2所
示。通过图2可以看出，此微动并联机器人的每个分支时由两个复合运动铰链组成，其中有四个转动副组成了一个复合铰链，其相当于一个转动副，而其余的四个万向铰链组成一个复合铰链，其运动主要包括两个移动副和一个转动副。
图 2 微动机器人的拓扑结构
2 微动机器人机构自由度计算
自由度是并联机器人在空间能够运动的能力，并
联微动机器人能够实现确定运动，输入的驱动和机构的自由度数目必须相等，计算该并联微动机器人的自由度至关重要。为了计算并联微动机器人各分支的螺旋，建立如图3所示的坐标系，在该坐标系下对于并联微动机器人的自由度进行分析。
图3 微动机器人坐标系
利用螺旋理论得到第一个分支螺旋表达形式为：
$ˆ1={0,1,0,Z 1,0,0} $ˆ2={1,0,0,0, Y 2,0} $ˆ3={0,1,0,Z 3,0,0} $ˆ4={1,0,0, Y 4,0,0} $ˆ5={0,0,1,Y 5
,0,0}
$ˆ6={0,0,1,Y 6,0,0} $ˆ7={0,0,1,Y 7,0,0} $ˆ8={0,0,1,Y 8,0,0} $ˆ9={0,1,0,Z 9,0,0} $ˆ10={1,0,0,0, Y 10,0} $ˆ11={1,0,0,0, Y 11
,0} $ˆ12={0,1,0,Z 12
,0,0} 则第一个分支的反螺旋为：
$ˆ1
={0, 0, 0, 0, 0, 1} 同理可以得到第2分支反螺旋为：
$ˆ1={0, 0, 0, 0, 1, 0}
第3 分支的反螺旋为：
$ˆ1
={0, 0, 0, 1, 0, 0} 机器人各分支的反螺旋组成矩阵的最大线性无关
组是3，所以此机构的自由度是3，其沿x 、y ，z 轴线方向的转动被约束，则机器人可以实现沿x ，y ，z 移动。空间并联机构通常每个分支有一个输入，那么在各分支上选取的一组输入是否能使上平台产生确定的输出就是并联机构输入合理性的判别问题。根据给出的基于螺旋系线性相关性的空问并联机构输入选取合理性判别方法来判别确定机器人的驱动每个分支应该有一个驱动。
3微动机器人运动学分析
不失一般性，对于并联微动机器人的一个分支进行分析，取参考坐标系建立坐标原点建立在固定平台的中心处，z 轴沿平台平面法线方向并指向运动平台如图4所示。
图4 动静平台之间关系
设∆θ1=[∆θ11∆θT
21∆θ31]为并联微动机
器人输入的微小量，则并联机器人输出的微小量为
∆X =[∆x ∆y ∆z ]T
。利用矢量合成的方法对其进
行运动学分析。通过图4可以得到少自由度并联机器人的运动学矢量形式为：
p +r i 2=a i +b i +c i +d i (1)
对于(1)式求导：
v +ω⨯r i 2
=ωi 1⨯a i +w i 2⨯b i +ωi3⨯c i +ω (2)
i4⨯d i i 式中v =[x
y
z
]为平台中心P 的位移速度矢量，ω为运动平台的角速度矢量，ωi 1，ωi2，ωi3，ωi4分别为杆件的角速度矢量，由于该机器人具有3个平
移自由度，因此上下平台始终保持平行，且根据机构的结构关系可以得到，因此ω=0，ωi2=ωi4 ，公式(2) 化简为：
v =ωi1⨯a i +w i2⨯(b i +d i ) +ωi3⨯c i （3）
公式(3)两端同时乘以c i 得：
v ⋅c i =ωi 1⋅[a i ⨯c i ]+w i 2⋅[(b i +d i ) ⋅c i ] (4)
将c i 分解为c 1i 和c 2i ，则公式将变为：
c i =c 1i +c 2i (5)
因为c 1i 与b i 或d i 或者e i 平行，c 2i 与b i 或d i 垂直，所以：
⎧⎨
ωi1⋅[a i ⨯c i2]=0
⎩ωb =0
(6) i2⋅[(i +d i )⨯c i 2]则上面的公式变为：
v ⋅c i =ωi1⋅[a i ⨯c i 1]
ωi 1在[a i ⨯c i1]方向上的投影即为θ i1，所以上面的式将
变为：
θ c i
i1
=a ⋅v (7)
i ⨯c i1
写成矩阵的形式为：
θ i1
=J ⋅v （8） 式中J 为并联微动机器人的雅可比矩阵。作为微操作
并联机器人，并联机构输入输出微分矢量的关系表达形式为：
∆θ1=J ⋅∆v
其中：
∆θT
1=[∆θ11∆θ21∆θ31] ∆X =[∆x ∆y ∆z ]T
改变公式（7）的形式为：
a i ⨯c i1 i1=c i
⋅v (9) 公式(9)写成矩阵的表达形式为：
J v v =J θθ
(10) 其中c i =[
c ix
c iy c iz ]
⎡c 1x c 1y c 1z ⎤J ⎢v =⎢c 2x
c 2y c ⎥2z ⎢⎥ ⎣
c 3x c 3y c 3z ⎥⎦⎡a 1⋅c 11
00
⎤
J =⎢θ⎢0
a 2⋅c 21
0⎥⎢⎥ ⎣0
a 3⋅c 31⎥⎦
通过上面的分析可以得到少自度并联微动机器人在什么位置存在奇异位形，可以在机器人的应用过程中尽量避免机器人的奇异位形。
4 基于ANSYS 有限元分析
在ANSYS 中导入模型，材料选用软件默认的材料钢材，泊松比系数为u=0.3。对其划分网格，并设定底面自由度为0，即此平面不动，或理解为与机架相连，在ANSYS 中对模型进行网格划分，如图5所示。
图5 模型的网格划分
压电陶瓷在电场的作用下产生微小变形，对与其接触的支架平面产生力，，其施力的位置如图6所示。
图6 施加力后的ANSYS 模型
对其三个分支分别施加500N 的作用力，用ANSYS 模型进行求解，得到柔性机构的应力应变图，如图7和图8所示。
图7 应力分布图
图8 应力分布图
从图中可以看出柔性机构实现了微小的运
动，但位移变化不明显，显示了微动机器人的精密性能。
4 结论
本文提出的三自由度微动并联机器人具有结构紧凑, 装配简单, 易于保证精度等特点。通过对于并联微动机器人的机构的分析，可到机构的拓扑结构形式。对于组成并联微动机器人的各分支的运动螺旋和反螺旋进行了分析，到少自由度并联微动机器人可以实现沿着x ，y ，z 方向进行移动。利用矢量方程对于此少自由度并联微动机器人的运动学进行了分析，给出了这种少自由度并联机器人的雅可比矩阵，从而得到并联微动机器人的输入和输出之间的对应关系，最后得到机构的奇异位形。
参考文献：
[1]ELLIS G W．Piezoelectric micromanipulators[J]．Sci ．
Instrum.Tec.,1962，138：84-91．
[2]HUDGENS J C ，TESAR D ．A fully-parallel six degree_of_freedom micromanipulator ：kinematic analysis and dynamic model[c].Proc.20th Biennial ASME ，Mechanisms Conf ．Trends and Development in Mechanisms Machines and Robotics ，1988，15(3)：29-37．
[3]安辉．压电陶瓷驱动六自由度并联微动机器人的研究[D]．哈
尔滨：哈尔滨工业大学，1995．
[4]金振林，高峰．新型基于6一PSS 三维平台机构的并联微动机器人[J]．仪器仪表学报，2001，22(6)：566-569．
[5]孙立宁，马立，荣伟彬，等．一种纳米级二维微定位工作台的设计与分析[J]．光学精密工程，2006，14(3)：406-411． [6]毕树生，宗光华。Delta 并联微动操作手的运动学的矢量法分析. 北京航空航天大学学报.2003,vol29(4),339-341.
标题
作者
(北华航天工业学院 机械系，廊坊065000)
摘 要：提出了一种新型的少自由度微动并联机器人，利用螺旋理论对于微动并联机器人的自由度进行分析，得到机构正常运动时所需要的驱动个数。利用矢量方法得到微动并联机器人的运动学反解。基于雅可比矩阵的可逆性，研究了微动机器人的奇异问题, 从而确定该微动并联机器人的输入和输出之间的关系。
关键词：微动机器人；螺旋理论；雅可比矩阵；奇异
Research on Kinematics of a Novel Micromanipulator with Flexure Hinges
HAN Shukui, DONG Xu
(China North China Institute of Aerospace Engineering, Department of Mechanical Engineering Langfang
065000)
Abstract: A three degree of freedom parallel micromanipulator is presented ．The DOF of parallel manipulator is analyzed by the screw theory, the driven number is gotten. The kinematics solutions are analyzed using the vector theory ，as a result，the Velocity of a movable platform are derived. Based on Jacobian matrix, the forward and inverse kinematic singular configuration of the parallel micromanipulator is also studied. The results show that sensitivity parameters existed in Jacobian matrix affect the relation between the input and the output of the micromanipulator, the vector space method is simple and convenient in analyzing the singularity of parallel mechanisms. Key words: Novel micromanipulator; Screw theory; Jacobian matrix; Singularity
微动机器人作为微操作系统的重要组成部分，在的雅可比矩阵的计算公式，得到了机器人奇异位形的光纤对接、精密机械工程、生物工程等领域具有广阔位置，这些为机器人的控制方案的设计奠定了基础。 的应用前景。随着微纳米技术的快速发展，人们对具
1 机器人结构 有纳米级定位精度的多自由度微动机器人提出了更高
的要求。以压电陶瓷为驱动器的并联柔性铰链机器人如图1所示为微动并联机器人的结构示意图，该被广泛用于位操作领域[1,2]。设计微动机器人结构时，并联微动机器人的动平台和经平台是通过三个分支相静刚度是一个非常重要的设计准则，它所受的外载大互连接，其三个分支组成闭环回路，压电陶瓷位于四小直接决定了终端变形的大小，对终端定位精度有相个转动副组成的复合铰链中间，主要用来驱动由转动当大的影响，在一定终端变位范围内，使静刚度可控副组成的复合铰链，通过复合铰链的变形来带动与其还可获得可控的终端输出力。但是以前对于微动并联相互连接的启动柔性杆件进行变形，从而达到驱动整机器人的研究很多都是针对于平面三自由度并联微动个并联微动机构的目的。
机器人或者是六自由度并联微动机器人进行研究[3-5]，对于空间三自由度并联微动机器人或者其它少自由度空间并联机器人的研究还比较少。针对这种情况，本文设计了一种新型并联微动机器人，并对其结构进行了分析，给了了这种新型并联微动机器人的拓扑机构，分析了该并联微动机器人的输入个数以及输入关节的位置。利用螺旋理论分别计算了这种并联微动机器人的各分支得反螺旋的表达形式，得到这种并联微动机器人运动螺旋以及各分支反螺旋，从而计算出该并联
图1 微动机器人结构 微动机器人的自由度。利用矢量的方法对于这种并联
微动机器人的运动学进行了分析，给出了这种机器人少自由度并联微动机器人的拓扑机构如图2所
示。通过图2可以看出，此微动并联机器人的每个分支时由两个复合运动铰链组成，其中有四个转动副组成了一个复合铰链，其相当于一个转动副，而其余的四个万向铰链组成一个复合铰链，其运动主要包括两个移动副和一个转动副。
图 2 微动机器人的拓扑结构
2 微动机器人机构自由度计算
自由度是并联机器人在空间能够运动的能力，并
联微动机器人能够实现确定运动，输入的驱动和机构的自由度数目必须相等，计算该并联微动机器人的自由度至关重要。为了计算并联微动机器人各分支的螺旋，建立如图3所示的坐标系，在该坐标系下对于并联微动机器人的自由度进行分析。
图3 微动机器人坐标系
利用螺旋理论得到第一个分支螺旋表达形式为：
$ˆ1={0,1,0,Z 1,0,0} $ˆ2={1,0,0,0, Y 2,0} $ˆ3={0,1,0,Z 3,0,0} $ˆ4={1,0,0, Y 4,0,0} $ˆ5={0,0,1,Y 5
,0,0}
$ˆ6={0,0,1,Y 6,0,0} $ˆ7={0,0,1,Y 7,0,0} $ˆ8={0,0,1,Y 8,0,0} $ˆ9={0,1,0,Z 9,0,0} $ˆ10={1,0,0,0, Y 10,0} $ˆ11={1,0,0,0, Y 11
,0} $ˆ12={0,1,0,Z 12
,0,0} 则第一个分支的反螺旋为：
$ˆ1
={0, 0, 0, 0, 0, 1} 同理可以得到第2分支反螺旋为：
$ˆ1={0, 0, 0, 0, 1, 0}
第3 分支的反螺旋为：
$ˆ1
={0, 0, 0, 1, 0, 0} 机器人各分支的反螺旋组成矩阵的最大线性无关
组是3，所以此机构的自由度是3，其沿x 、y ，z 轴线方向的转动被约束，则机器人可以实现沿x ，y ，z 移动。空间并联机构通常每个分支有一个输入，那么在各分支上选取的一组输入是否能使上平台产生确定的输出就是并联机构输入合理性的判别问题。根据给出的基于螺旋系线性相关性的空问并联机构输入选取合理性判别方法来判别确定机器人的驱动每个分支应该有一个驱动。
3微动机器人运动学分析
不失一般性，对于并联微动机器人的一个分支进行分析，取参考坐标系建立坐标原点建立在固定平台的中心处，z 轴沿平台平面法线方向并指向运动平台如图4所示。
图4 动静平台之间关系
设∆θ1=[∆θ11∆θT
21∆θ31]为并联微动机
器人输入的微小量，则并联机器人输出的微小量为
∆X =[∆x ∆y ∆z ]T
。利用矢量合成的方法对其进
行运动学分析。通过图4可以得到少自由度并联机器人的运动学矢量形式为：
p +r i 2=a i +b i +c i +d i (1)
对于(1)式求导：
v +ω⨯r i 2
=ωi 1⨯a i +w i 2⨯b i +ωi3⨯c i +ω (2)
i4⨯d i i 式中v =[x
y
z
]为平台中心P 的位移速度矢量，ω为运动平台的角速度矢量，ωi 1，ωi2，ωi3，ωi4分别为杆件的角速度矢量，由于该机器人具有3个平
移自由度，因此上下平台始终保持平行，且根据机构的结构关系可以得到，因此ω=0，ωi2=ωi4 ，公式(2) 化简为：
v =ωi1⨯a i +w i2⨯(b i +d i ) +ωi3⨯c i （3）
公式(3)两端同时乘以c i 得：
v ⋅c i =ωi 1⋅[a i ⨯c i ]+w i 2⋅[(b i +d i ) ⋅c i ] (4)
将c i 分解为c 1i 和c 2i ，则公式将变为：
c i =c 1i +c 2i (5)
因为c 1i 与b i 或d i 或者e i 平行，c 2i 与b i 或d i 垂直，所以：
⎧⎨
ωi1⋅[a i ⨯c i2]=0
⎩ωb =0
(6) i2⋅[(i +d i )⨯c i 2]则上面的公式变为：
v ⋅c i =ωi1⋅[a i ⨯c i 1]
ωi 1在[a i ⨯c i1]方向上的投影即为θ i1，所以上面的式将
变为：
θ c i
i1
=a ⋅v (7)
i ⨯c i1
写成矩阵的形式为：
θ i1
=J ⋅v （8） 式中J 为并联微动机器人的雅可比矩阵。作为微操作
并联机器人，并联机构输入输出微分矢量的关系表达形式为：
∆θ1=J ⋅∆v
其中：
∆θT
1=[∆θ11∆θ21∆θ31] ∆X =[∆x ∆y ∆z ]T
改变公式（7）的形式为：
a i ⨯c i1 i1=c i
⋅v (9) 公式(9)写成矩阵的表达形式为：
J v v =J θθ
(10) 其中c i =[
c ix
c iy c iz ]
⎡c 1x c 1y c 1z ⎤J ⎢v =⎢c 2x
c 2y c ⎥2z ⎢⎥ ⎣
c 3x c 3y c 3z ⎥⎦⎡a 1⋅c 11
00
⎤
J =⎢θ⎢0
a 2⋅c 21
0⎥⎢⎥ ⎣0
a 3⋅c 31⎥⎦
通过上面的分析可以得到少自度并联微动机器人在什么位置存在奇异位形，可以在机器人的应用过程中尽量避免机器人的奇异位形。
4 基于ANSYS 有限元分析
在ANSYS 中导入模型，材料选用软件默认的材料钢材，泊松比系数为u=0.3。对其划分网格，并设定底面自由度为0，即此平面不动，或理解为与机架相连，在ANSYS 中对模型进行网格划分，如图5所示。
图5 模型的网格划分
压电陶瓷在电场的作用下产生微小变形，对与其接触的支架平面产生力，，其施力的位置如图6所示。
图6 施加力后的ANSYS 模型
对其三个分支分别施加500N 的作用力，用ANSYS 模型进行求解，得到柔性机构的应力应变图，如图7和图8所示。
图7 应力分布图
图8 应力分布图
从图中可以看出柔性机构实现了微小的运
动，但位移变化不明显，显示了微动机器人的精密性能。
4 结论
本文提出的三自由度微动并联机器人具有结构紧凑, 装配简单, 易于保证精度等特点。通过对于并联微动机器人的机构的分析，可到机构的拓扑结构形式。对于组成并联微动机器人的各分支的运动螺旋和反螺旋进行了分析，到少自由度并联微动机器人可以实现沿着x ，y ，z 方向进行移动。利用矢量方程对于此少自由度并联微动机器人的运动学进行了分析，给出了这种少自由度并联机器人的雅可比矩阵，从而得到并联微动机器人的输入和输出之间的对应关系，最后得到机构的奇异位形。
参考文献：
[1]ELLIS G W．Piezoelectric micromanipulators[J]．Sci ．
Instrum.Tec.,1962，138：84-91．
[2]HUDGENS J C ，TESAR D ．A fully-parallel six degree_of_freedom micromanipulator ：kinematic analysis and dynamic model[c].Proc.20th Biennial ASME ，Mechanisms Conf ．Trends and Development in Mechanisms Machines and Robotics ，1988，15(3)：29-37．
[3]安辉．压电陶瓷驱动六自由度并联微动机器人的研究[D]．哈
尔滨：哈尔滨工业大学，1995．
[4]金振林，高峰．新型基于6一PSS 三维平台机构的并联微动机器人[J]．仪器仪表学报，2001，22(6)：566-569．
[5]孙立宁，马立，荣伟彬，等．一种纳米级二维微定位工作台的设计与分析[J]．光学精密工程，2006，14(3)：406-411． [6]毕树生，宗光华。Delta 并联微动操作手的运动学的矢量法分析. 北京航空航天大学学报.2003,vol29(4),339-341.