数理结合,研究电场线与等势面

静电场中场强和电势关系的研究与讨论

河北乐亭第一中学



摘要：我们从功能关系出发给出了电势与场强的关系式EgradV,并在此基础上证明了

各种不同的电场中延电场线电势降低最快的结论，这对研究电场线与等势面的关系具有一定的意义。

关键词：场强电势方向导数梯度

中图分类号：0413.1

1. 引言:

为了形象地描绘静电场,我们引入了电场线和等势面的概念,通过电场线和等势面关系的研究为我们进一步研究静电场作为一个矢量场的特征开辟了道路,并且我们还可以通过类比研究去研究恒磁场.电场线不是实际存在的线,而是为了形象地描述电场而假想的线,电场中电势相同的点构成的面叫等势面,电场线和等势面垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势面,延电场线电势降落最快。

2. 场强与电势的关系



将试验电荷q0在静电场中移动无位移dl,因静电场力是保守力,它对q0所作的元功等于电势

能的减少量,即



q0Edlq0dV,于是得到V与E的一个重要关系:



dVEdl------------------------------------------------------- (1)

若表示E与l之间的夹角，ElEcos表示E在l方向上的投影，则有：





dVEcosdl，即El



-------------------------------------------------------（2） dl



上式说明：电场中某点的场强在任何一方向上的投影等于电势沿该方向的方向导数的负值，将dl换成直角坐标系中的dx、dy、dz，则得到E在三个坐标轴上的投影值：

Ex

VVV

，Ey，Ez-------------------------------------------------（3） xzy

也就是说，场强在各坐标轴上的投影等于电势对各坐标系的偏导数，于是有：

VVVEExiEyjEzkijk

xyz



EgradV------------------------------------------------（4）

这表明：电场中某点的场强等于该点的电势梯度的负值。只有电势梯度为零，其场强才为零，

而电势为零处场强不一定为零，反过来，场强为零处电势也不一定为零。



3.沿电场线电势降落最快的证明

a:电场线为直线的情况

（1）匀强电场

如图,为两等势面，A、B、C为电场线上的三点，UABUAC，证明沿AB方向电势降落最快。



证明：因为UABUAC且E不变，又ABAC从到等势面AB的距离最短，因此沿AB方向电势降落最快。（2）非匀强电场

以点电荷激发的电场为例，如图,为两等势面，A、B、C分别为,上的点且UABUBC，

UAC0，证明沿BC方向电势降落最快。

证明：因为UABUBC,且由图可知AOOC，所以AOOBOCOBAB, 因此有BCAB,即BC为到等势面间的最短距离，因此沿BC方向电势降落最快。

b:对于一般电场

（1）首先引入梯度的概念

设函数Zfx,y在平面区域D内有一阶连续偏导数，则对于每一点Px,yD,都可

ffij，这个向量称为函数Zfx,y在点Px,y的梯度记作，以定出一个向量：xy

ff

gradfx,yij，设ecosisinj，是与方向l同方向的单位向量，则由方

xy

向导数导数的计算公式：

fffff

cossin=,cos,sin lxyxy

=gradfx,ye=gradfx,ycosgradfx,y,e…..(5)

可见

ff

gradfx,y,e1是梯度l上的投影且两者方向一致时cos，从而有最大值。ll

所以沿梯度方向的方向导数有最大值，梯度方向是函数fx,y在这点增长最快的方向。因此有梯度是这样一个向量，它的方向与取最大方向导数的方向一致。

（2）问题的证明

设电势VVx,y，该试函数在几何上表示一个曲面，这个曲面被VC，（C为常数）

所截得的曲线L的方程为



{

VVx,yVC

这条曲线L在xoy平面上的投影是一条平面曲



线L，它在xoy平面直角坐标系中的方程为：Vx,yC，对于L上的一切点，已给出函数值都是C，所以称平面曲线L为函数Vx,y的等势线，由于等势线Vx,yC上的



任一点Vx,y的法线的斜率为

Vydx1

………………………………(6) dyVxyVx

ff

ij为等势点Vx,y处的法向量，因此我们得到梯度与等势线的关系：势所以梯度xy

函数VVx,y在点Vx,y的梯度方向与过点Vx,y的等势线Vx,yC在这点的法线方向一致，且从数值低的等势线指向数值高的等势线，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向，也就是梯度的方向。又有（4）式EgradV，因此有电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，由高等势面指向地等势面，且沿电场线电势降低最

快。



4．结论：

本文从功能关系出发，给出了静电场中场强与电势的数量关系，并进一步研究了场强和电势以及电场线和等势面之间的关系，电场线与等势面处处垂直并且延电场线电势降低最快，这对我们研究场的特征具有一定的指导意义，而且为进一步研究电磁场开辟了道路。

参考文献：

（1）普通高中课程标准实验教科书物理选修3---1 人教版（2）大学物理武汉大学出版社廖耀发著（3）高等数学同济大学出版社

（4）电磁学专题研究高等教育出版社陈秉乾