关于共振过渡过程计算的数值方法
摘要
本文介绍了一种数值方法来计算一种固有频率下的共振过渡并为此进行了分析。这种数值方法被用于计算涡轮叶片的共振过渡。并把此结果与通过建立简化的并联模型并实现了很好的实验结果的完整共振过渡进行比较。另外进行了一些参数研究例如结构阻尼共振过渡时间和激励振幅。
介绍
在涡轮加速和减速的过程中，压气机的转子叶片和静子叶片受到增加或减少的频率和振幅的摆动压力，因此转子叶片和静子叶片的振动是非周期的，导致关于这些振动的计算变得困难。但是对加速和减速涡轮过程的分析对研究共振过渡过程非常重要。另外，关于完整的共振状态的过渡过程的计算需要不可接受的长时间计算。
共振状态的过渡已经被研究了很多年。相关出版物是参考书目【1】和【2】和一些令人关注的论文。在这些论文中，参考【3】和【6】，关于模型做一些低自由度的近似包围曲线已经发展成熟。在【5】中研究了结构阻尼对共振过渡过程的影响。在【7】中做了使用相位调制使转子共振过渡过程的振幅减小的研究。在【8】中做了小激励下的非线性耦合系统共振过渡过程的理论研究。在【4】中证明了对并联模型共振过渡过程的直接计算是可行的。但是就作者的知识面而言，迄今为止对于完整模型此方面的计算是失败的。本文提供了对共振过渡的一种简单的数值方法，并经过普遍地分析证明适用于研究涡轮叶片共振过渡过程。并把此结果与发动机测试结果进行比较，但是因为公司所有权问题，本文中没有提供测试数据。
1、 理论背景
本文的主要内容是对于一个转动或非转动构件的振动过渡过程的调查研究。假设过渡过程时间短和离心力是近似恒定的，在使用有限元法后，在构件本身加速和减速或一个不转动的构件因为构件附件的部件加速或减速而受到气动激励作用的情况下，构件（转动与否）振动的总体弹性方程如下：
MX+CX+KX=P t ，
dim(M ) = dim(C ) = dim(K ) = n ⋅ n（1）
dim( X ) = dim(P) = n ⋅1
一个首要坐标系的转化，在C的正交性假设条件下，通过X = ∅Q,Q− 基本方程让步于l非耦合方程【9】：
qi+2εiωi+ω2iq=hi t .i=1,l;l≤n,（2）
和
TTmi=∅TiM∅i,2εiωi=∅iC∅i,ki=∅iK∅i,
ωi= m,hi t =ik∅TP(t)mi (3)
在加速和减速的情况下，函数hi（t）是非周期的。在本文中已假设，激励频率的变化是线性的如(4).理想情况下，激励作用下的振幅应该对每一个转子转速均适合，本文中已假设，振幅线性增加。不变的幅度和过渡过程转速的最大振幅可以使用。
hi t =Aitsin（ait22)（4）
分析跟随一个独立方程（2）的假设解耦：
q+2εωq+ωq=h t =Atsin（
ω2at22)（5） 对于已知的固有频率f=2π，最大的激励振幅Amax，到达共振是的时间tres，
阶次 j，相当转子转速Rres，公式（5）中的a和A可以被简单估算：
Rres=60fj,a=2πf
tres,A=Atres（6）
不管怎样，实际的Rres和tres取决于结构阻尼且实际稍大一些。（5）的齐次解可被写为qh=c1q1 t +c2q2(t), (7)
q1 t =e−εωtsin(ωDt),
q1 t =e−εωtcos(ωDt), (8)
ωD=ω ，c1和c2是积分常数。此方法的使用，恒定变量引入特殊情况【10】作为形式上（5）的通解：
qg=c1 t q1 t +c2 t q2 t (9)
c1 t = t−h（τ）q2（τ）
y（τ）0dτ+c1（t0）
c2 t = 0t−h（τ）q2（τ）
y（τ）dτ+c2（t0）（10）
在当时边界值t0和y=q1q2+q2q1。在【11】中可以清楚得知，如果（1）中的激励P(t)是周期的(近似周期)，（1）的特解也同样是周期的（近似周期）且轨道稳定。像（4）中的激励不是周期或近似周期的，也会有完全周期性的振幅。在【12】中研究了这种激励在线性和准线性系统上的渐进影响。
假设周期激励被作用在0边界条件下某一构件的解答提供了（5）特解的指数稳定性的证明。此解答和任何边界条件下解答的比较表明：
2 qg t，0,0,0 −qg（t，t0，q0，q0） ≤ 2i=1 vi ，（11）
v1=−e−εω
ωDt0εωτh（τ）esin ωD τ−t dτ，（12） 0
v2= 2i=1 qi（t）（ci 0 −ci t0 ） ，（13）
因为t0=const，（12）中的齐次化积分受到限制，对此归于（8）中v1,2→0伴随着t→+∞以指数方式。因此同时证明了在解耦的假设下，(1)在周期激励下特解的指数稳定性。
在像（1）的方法中，为不同接触面（侧支、机械阻尼等等）的模型增加一些附加的条款，只需要小的修改则稳定性证明也同样会被提供:不同方法的分解针对于不同的状态
单就接触表面的滑动、粘性和分离而言。
关于上述证明指数稳定性的重要推论如下：共振过渡过程的计算是不需要从0边界条件开始的（意思是转动速度从0开始）。计算的开始只需从任何提前于共振过渡过程的边界条件就已足够。为了得到最大限度的稳定解的短时间内的瞬间转化，则需要选择接近于真实条件的边界条件。
2、 参考模型
为了验证应用程序的结果接近于被选择的涡轮叶片的共振过渡过程计算结果，一个参考模型—一个简化的并联模型—适合于对第一拍打模型形状的分析已经发展成熟了（图a）。通常每个模型都会通过使用有限元模型用数值方法进行分析（第3章），但是简化模型逐步发展的方法并不是对每个模型都是使用的。
a） b）
图1：简化并联模型a）涡轮叶片模型b）
在这个模型中，替代质量来源于叶片模型（图1b）。代替品的刚度和阻尼都是最优化的(刚度基于对涡轮叶片的有限元频率分析，阻尼基于构件的试验)）来用于分析第一拍打模型形状。激励力被模仿如下：
Fe=Atsin at22 ，（14）
鉴于A和a取决于叶片的最大振幅区别于发动机试验和阶次激励。假设试验结果预先不知，激励应该调整到一个水平以适应于叶片振幅级根据临界或叶片疲劳应力。不同于线性增加，激励振幅的定义也是合理的：更多粗糙估计的恒量或二次时间或发动机速度都为了更精确的模拟。作为一个参考解答—供以后解答—通过共振区的完整过渡，实例1F/11EO在不同条件下的计算已经完成。在图2中引入了在排除发动机条件的情况下共振过渡过程包围曲线的形式。此曲线是标准化的，如下：在横坐标上变量与旋转速度有关，然后关注红线变化情况，在纵坐标上是关于最大振幅的，假设谐波激励或激励和固有频率相同根据发动机情况而定。
在首要主题陈述之前，由于不同的影响，先描述了参考系的一些附加的参数研究。目标是关于参数敏感性和依赖性普遍特征的调查。正常地，所有的参数均会给出公差值。
首先，研究了共振过渡过程的时间变化（图3）。图3中的最大振幅的曲线被展示在图4中。此研究的结果如下：
-过渡时间对最大振幅的非线性影响；
-最大振幅间的相对小的偏差对于接近于发动机条件实例的分析模型。
图2：最高物块的共振过渡过程—包围曲线
图3：共振过渡过程时间的影响(最高物块在并联模型中)
图4：穿过标准化共振过渡过程时间的的标准化最大振幅
第二个参数研究关于激励振幅（图5）。激励振幅对大过渡振幅的影响是线性的—正如预期的（图6）。既然如此，与其他的图表不同，纵坐标的标准化是关于最大振幅的，通过引用激励能级计算出。
图5：最大振幅的影响（最高物块在并联模型中）
在最后的参数研究中，结构阻尼是变化的（图7：a）—增加，b）—结构阻尼的减少）。我们可以看到此对最大过渡振幅的非线性影响。
图6：共振过渡过程的标准化最大振幅随标准化激励振幅的变化
a）
b）
图7：结构阻尼的影响 a）—增加，b）—减少（最高物块在并联模型中）
图8：共振过渡过程的标准化最大振幅随标准化结构阻尼的变化
3应用到涡轮叶片
计算在任何边界条件下的共振过渡过程开始于共振开始的瞬间的可能性取决于对一个真正无覆盖涡轮叶片的共振过渡分析。
在图9中描述了叶片的几何模型和两种不同的激励力。虽然只有翼型被描述，但是此模型依然包括一个长柄和一个圆盘断面。激励力Fe1和Fe2是类型14的，Fe1是作用于靠近翼尖的一个表面节点，Fe2是作用于完整的翼型表面的（一边）。两个激励都被调整以至于对第一拍打模型的稳态动力学分析引到了对受到两种激励的翼尖特征节点的振幅（图9）等于发动机试验测到的振幅。结构阻尼以瑞利阻尼的部分形式被提供，数值按照结构试验的经验确定，当然其值具有相同的作用在第二章中的简化模型中。
图9：分析叶片的模型
对于这两种多变的，不明显的，和无覆盖的动力时积分均用有限元工具对模型进行网格化建模。通过使用子方程式激励被模式化。
跟随特征节点的计算结果可以描述出标准化的包围曲线形式下的解答在切线上的数值。“标准化”的意思是：尖端的最大振幅被分离出以区别于发动机试验结果并乘以100%。在图10中描述了四条这样的包围曲线：
-通过引用并联模型计算共振过渡过程在发动机加速的情况下（深蓝线）； -“迅速”（直到过渡开始的时间=真实的发动机加速时间（3）“迅速”引用并联模型来进行共振过渡过程的相关计算（红线）；
-发动机在激励Fe1的试验条件下用有线元分析法进行共振过渡过程的相关计算（黑线）（非常缓慢的加速以使振幅接近于谐波激励的频率与叶片固有频率相一致情况下的振幅）;
-在激励Fe1作用下，用有限元法进行快速过渡过程的相关计算（浅蓝线）。
图10：通过参考并联模型计算出的完全共振过渡过程和在激励Fe1作用下用有限元法计算出的不完全过渡过程的比较
由不同的方法（在简化模型上的完全过渡过程的计算和在相同结构阻尼的有限元模型上的不完全过渡过程计算））计算出的结果（最大振幅）与实际发动机计算结果的一致性非常好。通过有限元分析法计算出的不完全过渡过程的包围曲线可以看出稳定解的瞬间转换是明显的。此外，还研究了不同激励类型和启动时间对过渡过程计算的影响。图11表示了这些，可以看出使用不同的激励类型（Fe1和Fe2），结果是相同的。
图11：不同类型的激励对不完全共振过渡过程计算的影响
与此相反，如果选择的最后一个点太接近于共振要点，则开始时间的影响是值得注意的（图12）。
图12：起始点对不完全共振过渡过程计算的影响
4总结
以上的工作记述了一种新的数值方法来快速计算一个构件经共振区的过渡过程。构件可以是旋转的，也可以是非旋转的。
此方法也适用于涡轮或压气机的
转子叶片或静子叶片。此方法是经分析提供的，它不仅适用于任何共振情况（模型形状+阶次激励）的快速共振过渡过程的计算，还适用于有附加阻尼设计（机械，涡流等）的构件的快速共振过渡过程的计算。
为了验证此方法的正确性，我们选择了一个已知试验结果的涡轮叶片来计算。针对于此叶片，建立了一个参考并联模型来进行第一拍打模型的分析。在不同加速时间下的参考模型的完全共振过渡过程的计算结果与使用所推荐的方法有限元涡轮叶片模型的不完全共振过渡过程的计算结果相比较，两者之间得到了很好的一致性。但是后者与发动机的试验结果一致性更好。
另外还研究了不同激励类型和开始时间对不完全共振过渡过程的影响。 因为不同的影响还进行了使用参考并联模型时共振过渡过程的参数研究。
关于共振过渡过程计算的数值方法
摘要
本文介绍了一种数值方法来计算一种固有频率下的共振过渡并为此进行了分析。这种数值方法被用于计算涡轮叶片的共振过渡。并把此结果与通过建立简化的并联模型并实现了很好的实验结果的完整共振过渡进行比较。另外进行了一些参数研究例如结构阻尼共振过渡时间和激励振幅。
介绍
在涡轮加速和减速的过程中，压气机的转子叶片和静子叶片受到增加或减少的频率和振幅的摆动压力，因此转子叶片和静子叶片的振动是非周期的，导致关于这些振动的计算变得困难。但是对加速和减速涡轮过程的分析对研究共振过渡过程非常重要。另外，关于完整的共振状态的过渡过程的计算需要不可接受的长时间计算。
共振状态的过渡已经被研究了很多年。相关出版物是参考书目【1】和【2】和一些令人关注的论文。在这些论文中，参考【3】和【6】，关于模型做一些低自由度的近似包围曲线已经发展成熟。在【5】中研究了结构阻尼对共振过渡过程的影响。在【7】中做了使用相位调制使转子共振过渡过程的振幅减小的研究。在【8】中做了小激励下的非线性耦合系统共振过渡过程的理论研究。在【4】中证明了对并联模型共振过渡过程的直接计算是可行的。但是就作者的知识面而言，迄今为止对于完整模型此方面的计算是失败的。本文提供了对共振过渡的一种简单的数值方法，并经过普遍地分析证明适用于研究涡轮叶片共振过渡过程。并把此结果与发动机测试结果进行比较，但是因为公司所有权问题，本文中没有提供测试数据。
1、 理论背景
本文的主要内容是对于一个转动或非转动构件的振动过渡过程的调查研究。假设过渡过程时间短和离心力是近似恒定的，在使用有限元法后，在构件本身加速和减速或一个不转动的构件因为构件附件的部件加速或减速而受到气动激励作用的情况下，构件（转动与否）振动的总体弹性方程如下：
MX+CX+KX=P t ，
dim(M ) = dim(C ) = dim(K ) = n ⋅ n（1）
dim( X ) = dim(P) = n ⋅1
一个首要坐标系的转化，在C的正交性假设条件下，通过X = ∅Q,Q− 基本方程让步于l非耦合方程【9】：
qi+2εiωi+ω2iq=hi t .i=1,l;l≤n,（2）
和
TTmi=∅TiM∅i,2εiωi=∅iC∅i,ki=∅iK∅i,
ωi= m,hi t =ik∅TP(t)mi (3)
在加速和减速的情况下，函数hi（t）是非周期的。在本文中已假设，激励频率的变化是线性的如(4).理想情况下，激励作用下的振幅应该对每一个转子转速均适合，本文中已假设，振幅线性增加。不变的幅度和过渡过程转速的最大振幅可以使用。
hi t =Aitsin（ait22)（4）
分析跟随一个独立方程（2）的假设解耦：
q+2εωq+ωq=h t =Atsin（
ω2at22)（5） 对于已知的固有频率f=2π，最大的激励振幅Amax，到达共振是的时间tres，
阶次 j，相当转子转速Rres，公式（5）中的a和A可以被简单估算：
Rres=60fj,a=2πf
tres,A=Atres（6）
不管怎样，实际的Rres和tres取决于结构阻尼且实际稍大一些。（5）的齐次解可被写为qh=c1q1 t +c2q2(t), (7)
q1 t =e−εωtsin(ωDt),
q1 t =e−εωtcos(ωDt), (8)
ωD=ω ，c1和c2是积分常数。此方法的使用，恒定变量引入特殊情况【10】作为形式上（5）的通解：
qg=c1 t q1 t +c2 t q2 t (9)
c1 t = t−h（τ）q2（τ）
y（τ）0dτ+c1（t0）
c2 t = 0t−h（τ）q2（τ）
y（τ）dτ+c2（t0）（10）
在当时边界值t0和y=q1q2+q2q1。在【11】中可以清楚得知，如果（1）中的激励P(t)是周期的(近似周期)，（1）的特解也同样是周期的（近似周期）且轨道稳定。像（4）中的激励不是周期或近似周期的，也会有完全周期性的振幅。在【12】中研究了这种激励在线性和准线性系统上的渐进影响。
假设周期激励被作用在0边界条件下某一构件的解答提供了（5）特解的指数稳定性的证明。此解答和任何边界条件下解答的比较表明：
2 qg t，0,0,0 −qg（t，t0，q0，q0） ≤ 2i=1 vi ，（11）
v1=−e−εω
ωDt0εωτh（τ）esin ωD τ−t dτ，（12） 0
v2= 2i=1 qi（t）（ci 0 −ci t0 ） ，（13）
因为t0=const，（12）中的齐次化积分受到限制，对此归于（8）中v1,2→0伴随着t→+∞以指数方式。因此同时证明了在解耦的假设下，(1)在周期激励下特解的指数稳定性。
在像（1）的方法中，为不同接触面（侧支、机械阻尼等等）的模型增加一些附加的条款，只需要小的修改则稳定性证明也同样会被提供:不同方法的分解针对于不同的状态
单就接触表面的滑动、粘性和分离而言。
关于上述证明指数稳定性的重要推论如下：共振过渡过程的计算是不需要从0边界条件开始的（意思是转动速度从0开始）。计算的开始只需从任何提前于共振过渡过程的边界条件就已足够。为了得到最大限度的稳定解的短时间内的瞬间转化，则需要选择接近于真实条件的边界条件。
2、 参考模型
为了验证应用程序的结果接近于被选择的涡轮叶片的共振过渡过程计算结果，一个参考模型—一个简化的并联模型—适合于对第一拍打模型形状的分析已经发展成熟了（图a）。通常每个模型都会通过使用有限元模型用数值方法进行分析（第3章），但是简化模型逐步发展的方法并不是对每个模型都是使用的。
a） b）
图1：简化并联模型a）涡轮叶片模型b）
在这个模型中，替代质量来源于叶片模型（图1b）。代替品的刚度和阻尼都是最优化的(刚度基于对涡轮叶片的有限元频率分析，阻尼基于构件的试验)）来用于分析第一拍打模型形状。激励力被模仿如下：
Fe=Atsin at22 ，（14）
鉴于A和a取决于叶片的最大振幅区别于发动机试验和阶次激励。假设试验结果预先不知，激励应该调整到一个水平以适应于叶片振幅级根据临界或叶片疲劳应力。不同于线性增加，激励振幅的定义也是合理的：更多粗糙估计的恒量或二次时间或发动机速度都为了更精确的模拟。作为一个参考解答—供以后解答—通过共振区的完整过渡，实例1F/11EO在不同条件下的计算已经完成。在图2中引入了在排除发动机条件的情况下共振过渡过程包围曲线的形式。此曲线是标准化的，如下：在横坐标上变量与旋转速度有关，然后关注红线变化情况，在纵坐标上是关于最大振幅的，假设谐波激励或激励和固有频率相同根据发动机情况而定。
在首要主题陈述之前，由于不同的影响，先描述了参考系的一些附加的参数研究。目标是关于参数敏感性和依赖性普遍特征的调查。正常地，所有的参数均会给出公差值。
首先，研究了共振过渡过程的时间变化（图3）。图3中的最大振幅的曲线被展示在图4中。此研究的结果如下：
-过渡时间对最大振幅的非线性影响；
-最大振幅间的相对小的偏差对于接近于发动机条件实例的分析模型。
图2：最高物块的共振过渡过程—包围曲线
图3：共振过渡过程时间的影响(最高物块在并联模型中)
图4：穿过标准化共振过渡过程时间的的标准化最大振幅
第二个参数研究关于激励振幅（图5）。激励振幅对大过渡振幅的影响是线性的—正如预期的（图6）。既然如此，与其他的图表不同，纵坐标的标准化是关于最大振幅的，通过引用激励能级计算出。
图5：最大振幅的影响（最高物块在并联模型中）
在最后的参数研究中，结构阻尼是变化的（图7：a）—增加，b）—结构阻尼的减少）。我们可以看到此对最大过渡振幅的非线性影响。
图6：共振过渡过程的标准化最大振幅随标准化激励振幅的变化
a）
b）
图7：结构阻尼的影响 a）—增加，b）—减少（最高物块在并联模型中）
图8：共振过渡过程的标准化最大振幅随标准化结构阻尼的变化
3应用到涡轮叶片
计算在任何边界条件下的共振过渡过程开始于共振开始的瞬间的可能性取决于对一个真正无覆盖涡轮叶片的共振过渡分析。
在图9中描述了叶片的几何模型和两种不同的激励力。虽然只有翼型被描述，但是此模型依然包括一个长柄和一个圆盘断面。激励力Fe1和Fe2是类型14的，Fe1是作用于靠近翼尖的一个表面节点，Fe2是作用于完整的翼型表面的（一边）。两个激励都被调整以至于对第一拍打模型的稳态动力学分析引到了对受到两种激励的翼尖特征节点的振幅（图9）等于发动机试验测到的振幅。结构阻尼以瑞利阻尼的部分形式被提供，数值按照结构试验的经验确定，当然其值具有相同的作用在第二章中的简化模型中。
图9：分析叶片的模型
对于这两种多变的，不明显的，和无覆盖的动力时积分均用有限元工具对模型进行网格化建模。通过使用子方程式激励被模式化。
跟随特征节点的计算结果可以描述出标准化的包围曲线形式下的解答在切线上的数值。“标准化”的意思是：尖端的最大振幅被分离出以区别于发动机试验结果并乘以100%。在图10中描述了四条这样的包围曲线：
-通过引用并联模型计算共振过渡过程在发动机加速的情况下（深蓝线）； -“迅速”（直到过渡开始的时间=真实的发动机加速时间（3）“迅速”引用并联模型来进行共振过渡过程的相关计算（红线）；
-发动机在激励Fe1的试验条件下用有线元分析法进行共振过渡过程的相关计算（黑线）（非常缓慢的加速以使振幅接近于谐波激励的频率与叶片固有频率相一致情况下的振幅）;
-在激励Fe1作用下，用有限元法进行快速过渡过程的相关计算（浅蓝线）。
图10：通过参考并联模型计算出的完全共振过渡过程和在激励Fe1作用下用有限元法计算出的不完全过渡过程的比较
由不同的方法（在简化模型上的完全过渡过程的计算和在相同结构阻尼的有限元模型上的不完全过渡过程计算））计算出的结果（最大振幅）与实际发动机计算结果的一致性非常好。通过有限元分析法计算出的不完全过渡过程的包围曲线可以看出稳定解的瞬间转换是明显的。此外，还研究了不同激励类型和启动时间对过渡过程计算的影响。图11表示了这些，可以看出使用不同的激励类型（Fe1和Fe2），结果是相同的。
图11：不同类型的激励对不完全共振过渡过程计算的影响
与此相反，如果选择的最后一个点太接近于共振要点，则开始时间的影响是值得注意的（图12）。
图12：起始点对不完全共振过渡过程计算的影响
4总结
以上的工作记述了一种新的数值方法来快速计算一个构件经共振区的过渡过程。构件可以是旋转的，也可以是非旋转的。
此方法也适用于涡轮或压气机的
转子叶片或静子叶片。此方法是经分析提供的，它不仅适用于任何共振情况（模型形状+阶次激励）的快速共振过渡过程的计算，还适用于有附加阻尼设计（机械，涡流等）的构件的快速共振过渡过程的计算。
为了验证此方法的正确性，我们选择了一个已知试验结果的涡轮叶片来计算。针对于此叶片，建立了一个参考并联模型来进行第一拍打模型的分析。在不同加速时间下的参考模型的完全共振过渡过程的计算结果与使用所推荐的方法有限元涡轮叶片模型的不完全共振过渡过程的计算结果相比较，两者之间得到了很好的一致性。但是后者与发动机的试验结果一致性更好。
另外还研究了不同激励类型和开始时间对不完全共振过渡过程的影响。 因为不同的影响还进行了使用参考并联模型时共振过渡过程的参数研究。