典型例题一
例1．已知地球的半径为R ，球面上A , B 两点都在北纬45 圈上，它们的球面距离为
π
求B 点的位置及A , B 两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度． R ，A 点在东经30 上，
3
分析：求点B 的位置，如图就是求∠AO 1B 的大小，只需求出弦AB 的长度．对于AB 应把它放在∆OAB 中求解，根据球面距离概念计算即可．
解：如图，设球心为O ，北纬45 圈的中心为O 1，
ππR ，所以∠AOB =， 33
∴∆OAB 为等边三角形．于是AB =R ．
由A , B 两点的球面距离为由O 1A =O 1B =R ⋅cos 45=
2
R ， 2
∴O 1A 2+O 1B 2=AB 2．即∠AO 1B =
π． 2
又A 点在东经30上，故B 的位置在东经120，北纬45或者西经60，北纬45．
∴A , B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧O 1A ⋅
π
2
=
2
πR ． 4
说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．
典型例题二
例2．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1=24cm ，
r 2=15cm ．两截面间的距离为d =27cm ，求球的表面积．
分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．
解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A 1B 1, A 2B 2，上述大圆的垂直于A 1B 1的直径交A 1B 1, A 2B 2于O 1, O 2，如图2．
⎧d 1+d 2=27⎪222
设OO 1=d 1, OO 2=d 2，则⎨d 1+24=R ，解得R =25．
⎪d 2+152=R 2⎩2∴S 圆=4πR 2=2500π(cm 2) ．
说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．
典型例题三
例3．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA , MB , MC ，求
MA 2+MB 2+MC 2的值．
分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
解：以MA , MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥M -ABC 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
∴MA 2+MB 2+MC 2=(2R ) 2=4R 2．
说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．
典型例题四
例4．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．
解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，
则由
3V 4π33V 3
，r =，由a =V , 得a =． r =V , r 3=
4π34π
3V 2) =4πV 2． 4π
S 球=4πr 2=4π(S 正方体=6a 2=6() 2=62=216V 2．
4π
说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．
典型例题五
例5．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察R 与r 和棱长间的关系即可．
解：如图2，球心O 1和O 2在AC 上，过O 1，O 2分别作
AD , BC 的垂线交于E , F ．
则由AB =1, AC =
图1
3得AO 1=r , CO 2=R ．
∴r +R +3(r +R ) =，
∴R +r =
33+1
=
3-3
． 2
图2
（1）设两球体积之和为V ， 则V =
44
π(R 3+r 3) =π(r +R )(R 2-Rr +r 2) 33
⎤433⎡323432
) -3R (-R ) ⎥ (R +r ) -3rR =π =π⎢(
32⎣2232⎦
[]
=π
4
3
33⎡23(3-) 3-2⎤
3R -R +() ⎥ ⎢2⎣22⎦
当R =
3-33-3时，V 有最小值．∴当R =r =时，体积之和有最小值． 44
典型例题六
例6．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
解：如图，正四面体ABCD 的中心为O ，∆BCD 的中心为O 1，则第一个球半径为正
四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．
设OO 1=r , OA =R ，正四面体的一个面的面积为S ．
1
S (R +r ) ， 3
1
又V A -BCD =4V O -BCD =4⨯r ⋅S
3
∴R +r =4r 即R =3r ．
依题意得V A -BCD =
43πr
内切球的表面积4πr 1内切球的体积13==所以．． ==2
4外接球的表面积9外接球的体积4πR
πR 3273
2
说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径r =外接球的半径R =3r ．
1
h (h 为正四面体的高) ，且4
典型例题七
例7．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
解：由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，
则正四面体的高h =
22-(2⋅
3226) =． 33
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为2+
26
． 3
说明：此类型题目对培养学生空间想象能力，并根据题意构造熟悉几何体都非常有帮助，且还可以适当增加一点实际背景，加强应用意识．
典型例题八
例8 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）． A ．有且只有一个 B ．一个或无穷多个 C ．无数个 D ．以上均不正确
分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B ．
答案：
B
说明：解此易选出错误判断A ．其原因是忽视球心的位置．
典型例题九
例9 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）．
A ．4 B ．23 C ．2 D ．3
分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则2πr =4π，∴r =2．如图所示，设三点A 、B 、C ，O 为球心，
1
，经过3个点的6
∠AOB =∠BOC =∠COA =
2ππ
=．又∵OA =OB ，∴∆AOB 是等边三角形，同样，63
得∆ABC 为等边三角形，边长等于球半径R ．∆BOC 、∆COA 都是等边三角形，r 为∆ABC
33
AB =R ，R =r =2．
333
的外接圆半径，r =
答案：B
说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．
典型例题十
例10 半径为R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．
分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．
解：∵棱锥底面各边相等， ∴底面是菱形．
∵棱锥侧棱都相等，
∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．
∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥． 过该棱锥对角面作截面，设棱长为a ，则底面对角线AC =故截面SAC 是等腰直角三角形．
又因为SAC 是球的大圆的内接三角形，所以AC =2R ，即a =∴高SO =R ，体积V =
2a ，
2R ．
12
S 底⋅SO =R 3． 33
说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对
称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．
解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．
典型例题十一
例11 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA =PB =PC =a ．求这个球的表面积．
分析：S 球面=4πR ，因而求球的表面关键在于求出球的半径R ． 解：设过A 、B 、C 三点的球的截面半径为r ， 球心到该圆面的距离为d ， 则R =r +d ．
由题意知P 、A 、B 、C 四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥P -ABC （如图所示）．∆ABC 的外接圆是球的截面圆．
2
2
2
2
由PA 、PB 、PC 互相垂直知，P 在ABC 面上的射影O 是∆ABC 的垂心，又
'
PA =PB =PC =a ，
所以O 也是∆ABC 的外心，所以∆ABC 为等边三角形，
'
且边长为2a ，O 是其中心， 从而也是截面圆的圆心．
据球的截面的性质，有OO 垂直于⊙O 所在平面，
因此P 、O 、O 共线，三棱锥P -ABC 是高为PO 的球内接正三棱锥，从而
'
'
'
'
'
d =R -PO ' ．由已知得r =
6a ，PO ' =a ，所以R 2=r 2+d 2=r 2+(R -PO ' ) 2，33
可求得R =
3
a ，∴S 球面=4πR 2=3πa 2． 2
说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．
典型例题十二
例12 已知棱长为3的正四面体ABCD ，且AF =2FC ，AC 上的点，E 、F 是棱AB 、BE =2AE ．求四面体AEFD 的内切球半径和外接球半径．
分析：可用何种法求内切球半径，把V D -AEF 分成4个小体积(如图) ．
解：设四面体AEFD 内切球半径为r ，球心N ，外接球半径R ，球心M ，连结NA 、
NE 、NF 、ND ，则V AEFD =V N -AEF +V N -AFD +V N -ADE +V N -EFD ．
四面体AEFD 各面的面积为
S ∆AEF =
232313S ∆ABC =，S ∆AFD =S ∆ABC =，S ∆AED =S ∆ABC =． 923234
∆DEF 各边边长分别为EF =，DF =DE =，
∴S ∆DEF =∵V ADEF =
5
3． 4
22V ABCD =， 92
1
V AEFD =r (S ∆AEF +S ∆AFD +S ∆AED +S ∆DEF ) ，
3
∴
213335=r (+++) ， 2322446
． 8
∴r =如图，
∆AEF 是直角三角形，其个心是斜边AF 的中点G ．
设∆ABC 中心为O 1，连结DO 1，过G 作平面AEF 的垂线，M 必在此垂线上，连结GO 1、MD ．
∵MG ⊥平面ABC ，DO 1⊥平面ABC ， ∴MG //DO 1，MG ⊥GO 1．
在直角梯形GO 1DM 中，GO 1=1，DO 1=
6，
MD =R ，MG =AM 2-AG 2=R 2-1，
22
又∵(DO 1-MG ) +GO 1=MD ，∴(6-R -1) +1=R ，
2
2
2
2
解得：R =
． 2
6
，外接球半径为．
28
综上，四面体AEFD 的内切球半径为
说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因
本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．
本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．
典型例题十三
例13 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台) 的体积等于球的体积，列式求解．
解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC =h ，球取出后，水面高PH =x ． ∵AC =
r ，PC =3r ，
则以AB 为底面直径的圆锥容积为
1
V 圆锥=π⋅AC 2⋅PC
31
=π(3r ) 2⋅3r =3πr 3， 34
V 球=πr 3．
3
球取出后，水面下降到EF ，水的体积为
111
V 水=π⋅EH 2⋅PH =π(PH tan 30︒) 2PH =πx 3．
339
13433
又V 水=V 圆锥-V 球，则πx =3πr -πr ，
93
解得x =r ．
答：球取出后，圆锥内水平面高为r ．
说明：抓住水的何种不变这个关键，本题迅速获解．
典型例题十四
例14 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中
AB =18，BC =24、AC =30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，∆ABC 是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式r =R -d 求出球半径R ．
2
2
2
解：∵AB =18，BC =24，AC =30，
∴AB +BC =AC ，∆ABC 是以AC 为斜边的直角三角形． ∴∆ABC 的外接圆的半径为15，即截面圆的半径r =15， 又球心到截面的距离为d =
2
2
2
1
R ， 2
222
∴R -(R ) =15，得R =10．
12
∴球的表面积为S =4πR =4π(10) =1200π． 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式r =
22
R 2-d 2解题，我们可以通过两
个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为60︒，若球半径为R ，求弦AB 的长度．由条件可抓住A -BCD 是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设AB =a ，则截面BCD 与球心的距离d =
6
a -R ，过点B 、C 、D 的3
截面圆半径r =
2626a ，所以(a ) =R 2-(a -R ) 2得a =R ． 3333
典型例题十五
例15 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为的平面中，与球心的最大距离是多少？
分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为
π
R ，求过A 、B 2
ππ
R ，转化为球心角∠AOB =，从而22
AB =2R ，由关系式r 2=R 2-d 2，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半
径，所以AB 为圆的直径，r 最小．
解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为∴∠AOB =
π
R ． 2
π
2
，∴AB =2R ．
12AB =R ，d 取最大值， 22
当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时r =
d =R 2-r 2=
2
R ， 2
2
R ． 2
即球心与过A 、B 的截面圆距离最大值为
说明：利用关系式r =R -d 不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角∠AOB 有关，而球心角∠AOB 又直接与AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索，继续看下面的例子．
222
典型例题十六
例16 正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．
解：如图，球O 是正三棱锥P -ABC 的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．
PH 是正三棱锥的高，即PH =1． E 是BC 边中点，H 在AE 上，
∆ABC 的边长为26，∴HE =
∴PE =3
可以得到S ∆PAB =S ∆PAC =S ∆PBC =
⨯26=2． 6
1
BC ⋅PE =32． 2
S ∆ABC =
(2) 2=63 4
由等体积法，V P -ABC =V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC +V O -ABC ∴⨯6⨯1=
1311
⨯32⨯R ⨯3+⨯63⨯R 33
得：R =
23
=6-2，
23+3
2
2
∴S 球=4πR =4π(6-2) =8(5-26) π．
∴V 球=
434
πR =π(6-2) 3． 33
说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球
半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是2R ，四个球心构成一个棱长为2R 的正四面体，可以计算正四面体的高为
626⨯2R =R ，从而上面球离33
开桌面的高度为2R +
26
R ． 3
典型例题十七
例17 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．
解：如图，等边∆SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C 1CDD 1，截球面得球的大圆圆O 1．
设球的半径OO 1=R ，则它的外切圆柱的高为2R ，底面半径为R ；
OB =O 1O ⋅cot 30︒=R ，
SO =OB ⋅tan 60︒=R ⋅=3R ，
∴V 球=
43
πR ，V 柱=πR 2⋅2R =2πR 3， 3
1
V 锥=π⋅(R ) 2⋅3R =3πR 3，
3V 柱∶V 锥=4∶6∶9． ∴V 球∶
典型例题十八
例18 正三棱锥P -ABC 的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为2α，求它的外接球的体积． 分析：求球半径，是解本题的关键．
解：如图，作PD ⊥底面ABC 于D ，则D 为正∆ABC 的中心． ∵OD ⊥底面ABC ，∴O 、P 、D 三点共线． ∵PA =PB =PC =l ，∠APB =2α． ∴AB =∴AD =
2l 2-2l 2cos 2α=2l sin α．
2AB =sin α， 33
设∠APD =β，作OE ⊥PA 于E ，在Rt ∆APD 中，
∵sin β=
AD 23
=sin α， PA 3
又OP =OA =R ，∴PE =
11
PA =l ． 22
l PE 在Rt ∆POE 中，∵R =PO =， =cos β4
-sin 2α3⎡l 4⎢∴V 球=π⎢3⎢42
-sin α⎢3⎣
⎤
⎥πl 33-4sin 2α⎥=． 2
2(3-4sin α) ⎥⎥⎦
3
说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题
解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．
典型例题十九
例19 在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 和
2
400πcm 2．求球的表面积．
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．
解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO 1//BO 2，且若O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2．设球的半径为R ．
∵π⋅O 2B =49π，∴O 2B =7(cm ) 同理π⋅O 1A =400π，∴O 1A =20(cm ) 设OO 1=xcm ，则OO 2=(x +9) cm ．
在Rt ∆OO 1A 中，R =x +20；在Rt ∆OO 2B 中，R =(x +9) +7， ∴x +20=7+(x +9) ，解得x =15， ∴R =x +20=25，∴R =25 ∴S 球=4πR =2500π(cm ) ． ∴球的表面积为2500πcm ．
2
2
2
2
2
222222
222
2222
典型例题一
例1．已知地球的半径为R ，球面上A , B 两点都在北纬45 圈上，它们的球面距离为
π
求B 点的位置及A , B 两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度． R ，A 点在东经30 上，
3
分析：求点B 的位置，如图就是求∠AO 1B 的大小，只需求出弦AB 的长度．对于AB 应把它放在∆OAB 中求解，根据球面距离概念计算即可．
解：如图，设球心为O ，北纬45 圈的中心为O 1，
ππR ，所以∠AOB =， 33
∴∆OAB 为等边三角形．于是AB =R ．
由A , B 两点的球面距离为由O 1A =O 1B =R ⋅cos 45=
2
R ， 2
∴O 1A 2+O 1B 2=AB 2．即∠AO 1B =
π． 2
又A 点在东经30上，故B 的位置在东经120，北纬45或者西经60，北纬45．
∴A , B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧O 1A ⋅
π
2
=
2
πR ． 4
说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．
典型例题二
例2．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1=24cm ，
r 2=15cm ．两截面间的距离为d =27cm ，求球的表面积．
分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．
解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A 1B 1, A 2B 2，上述大圆的垂直于A 1B 1的直径交A 1B 1, A 2B 2于O 1, O 2，如图2．
⎧d 1+d 2=27⎪222
设OO 1=d 1, OO 2=d 2，则⎨d 1+24=R ，解得R =25．
⎪d 2+152=R 2⎩2∴S 圆=4πR 2=2500π(cm 2) ．
说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．
典型例题三
例3．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA , MB , MC ，求
MA 2+MB 2+MC 2的值．
分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
解：以MA , MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥M -ABC 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
∴MA 2+MB 2+MC 2=(2R ) 2=4R 2．
说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．
典型例题四
例4．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．
解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，
则由
3V 4π33V 3
，r =，由a =V , 得a =． r =V , r 3=
4π34π
3V 2) =4πV 2． 4π
S 球=4πr 2=4π(S 正方体=6a 2=6() 2=62=216V 2．
4π
说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．
典型例题五
例5．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察R 与r 和棱长间的关系即可．
解：如图2，球心O 1和O 2在AC 上，过O 1，O 2分别作
AD , BC 的垂线交于E , F ．
则由AB =1, AC =
图1
3得AO 1=r , CO 2=R ．
∴r +R +3(r +R ) =，
∴R +r =
33+1
=
3-3
． 2
图2
（1）设两球体积之和为V ， 则V =
44
π(R 3+r 3) =π(r +R )(R 2-Rr +r 2) 33
⎤433⎡323432
) -3R (-R ) ⎥ (R +r ) -3rR =π =π⎢(
32⎣2232⎦
[]
=π
4
3
33⎡23(3-) 3-2⎤
3R -R +() ⎥ ⎢2⎣22⎦
当R =
3-33-3时，V 有最小值．∴当R =r =时，体积之和有最小值． 44
典型例题六
例6．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
解：如图，正四面体ABCD 的中心为O ，∆BCD 的中心为O 1，则第一个球半径为正
四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．
设OO 1=r , OA =R ，正四面体的一个面的面积为S ．
1
S (R +r ) ， 3
1
又V A -BCD =4V O -BCD =4⨯r ⋅S
3
∴R +r =4r 即R =3r ．
依题意得V A -BCD =
43πr
内切球的表面积4πr 1内切球的体积13==所以．． ==2
4外接球的表面积9外接球的体积4πR
πR 3273
2
说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径r =外接球的半径R =3r ．
1
h (h 为正四面体的高) ，且4
典型例题七
例7．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
解：由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，
则正四面体的高h =
22-(2⋅
3226) =． 33
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为2+
26
． 3
说明：此类型题目对培养学生空间想象能力，并根据题意构造熟悉几何体都非常有帮助，且还可以适当增加一点实际背景，加强应用意识．
典型例题八
例8 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）． A ．有且只有一个 B ．一个或无穷多个 C ．无数个 D ．以上均不正确
分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B ．
答案：
B
说明：解此易选出错误判断A ．其原因是忽视球心的位置．
典型例题九
例9 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）．
A ．4 B ．23 C ．2 D ．3
分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则2πr =4π，∴r =2．如图所示，设三点A 、B 、C ，O 为球心，
1
，经过3个点的6
∠AOB =∠BOC =∠COA =
2ππ
=．又∵OA =OB ，∴∆AOB 是等边三角形，同样，63
得∆ABC 为等边三角形，边长等于球半径R ．∆BOC 、∆COA 都是等边三角形，r 为∆ABC
33
AB =R ，R =r =2．
333
的外接圆半径，r =
答案：B
说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．
典型例题十
例10 半径为R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．
分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．
解：∵棱锥底面各边相等， ∴底面是菱形．
∵棱锥侧棱都相等，
∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．
∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥． 过该棱锥对角面作截面，设棱长为a ，则底面对角线AC =故截面SAC 是等腰直角三角形．
又因为SAC 是球的大圆的内接三角形，所以AC =2R ，即a =∴高SO =R ，体积V =
2a ，
2R ．
12
S 底⋅SO =R 3． 33
说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对
称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．
解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．
典型例题十一
例11 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA =PB =PC =a ．求这个球的表面积．
分析：S 球面=4πR ，因而求球的表面关键在于求出球的半径R ． 解：设过A 、B 、C 三点的球的截面半径为r ， 球心到该圆面的距离为d ， 则R =r +d ．
由题意知P 、A 、B 、C 四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥P -ABC （如图所示）．∆ABC 的外接圆是球的截面圆．
2
2
2
2
由PA 、PB 、PC 互相垂直知，P 在ABC 面上的射影O 是∆ABC 的垂心，又
'
PA =PB =PC =a ，
所以O 也是∆ABC 的外心，所以∆ABC 为等边三角形，
'
且边长为2a ，O 是其中心， 从而也是截面圆的圆心．
据球的截面的性质，有OO 垂直于⊙O 所在平面，
因此P 、O 、O 共线，三棱锥P -ABC 是高为PO 的球内接正三棱锥，从而
'
'
'
'
'
d =R -PO ' ．由已知得r =
6a ，PO ' =a ，所以R 2=r 2+d 2=r 2+(R -PO ' ) 2，33
可求得R =
3
a ，∴S 球面=4πR 2=3πa 2． 2
说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．
典型例题十二
例12 已知棱长为3的正四面体ABCD ，且AF =2FC ，AC 上的点，E 、F 是棱AB 、BE =2AE ．求四面体AEFD 的内切球半径和外接球半径．
分析：可用何种法求内切球半径，把V D -AEF 分成4个小体积(如图) ．
解：设四面体AEFD 内切球半径为r ，球心N ，外接球半径R ，球心M ，连结NA 、
NE 、NF 、ND ，则V AEFD =V N -AEF +V N -AFD +V N -ADE +V N -EFD ．
四面体AEFD 各面的面积为
S ∆AEF =
232313S ∆ABC =，S ∆AFD =S ∆ABC =，S ∆AED =S ∆ABC =． 923234
∆DEF 各边边长分别为EF =，DF =DE =，
∴S ∆DEF =∵V ADEF =
5
3． 4
22V ABCD =， 92
1
V AEFD =r (S ∆AEF +S ∆AFD +S ∆AED +S ∆DEF ) ，
3
∴
213335=r (+++) ， 2322446
． 8
∴r =如图，
∆AEF 是直角三角形，其个心是斜边AF 的中点G ．
设∆ABC 中心为O 1，连结DO 1，过G 作平面AEF 的垂线，M 必在此垂线上，连结GO 1、MD ．
∵MG ⊥平面ABC ，DO 1⊥平面ABC ， ∴MG //DO 1，MG ⊥GO 1．
在直角梯形GO 1DM 中，GO 1=1，DO 1=
6，
MD =R ，MG =AM 2-AG 2=R 2-1，
22
又∵(DO 1-MG ) +GO 1=MD ，∴(6-R -1) +1=R ，
2
2
2
2
解得：R =
． 2
6
，外接球半径为．
28
综上，四面体AEFD 的内切球半径为
说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因
本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．
本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．
典型例题十三
例13 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台) 的体积等于球的体积，列式求解．
解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC =h ，球取出后，水面高PH =x ． ∵AC =
r ，PC =3r ，
则以AB 为底面直径的圆锥容积为
1
V 圆锥=π⋅AC 2⋅PC
31
=π(3r ) 2⋅3r =3πr 3， 34
V 球=πr 3．
3
球取出后，水面下降到EF ，水的体积为
111
V 水=π⋅EH 2⋅PH =π(PH tan 30︒) 2PH =πx 3．
339
13433
又V 水=V 圆锥-V 球，则πx =3πr -πr ，
93
解得x =r ．
答：球取出后，圆锥内水平面高为r ．
说明：抓住水的何种不变这个关键，本题迅速获解．
典型例题十四
例14 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中
AB =18，BC =24、AC =30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，∆ABC 是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式r =R -d 求出球半径R ．
2
2
2
解：∵AB =18，BC =24，AC =30，
∴AB +BC =AC ，∆ABC 是以AC 为斜边的直角三角形． ∴∆ABC 的外接圆的半径为15，即截面圆的半径r =15， 又球心到截面的距离为d =
2
2
2
1
R ， 2
222
∴R -(R ) =15，得R =10．
12
∴球的表面积为S =4πR =4π(10) =1200π． 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式r =
22
R 2-d 2解题，我们可以通过两
个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为60︒，若球半径为R ，求弦AB 的长度．由条件可抓住A -BCD 是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设AB =a ，则截面BCD 与球心的距离d =
6
a -R ，过点B 、C 、D 的3
截面圆半径r =
2626a ，所以(a ) =R 2-(a -R ) 2得a =R ． 3333
典型例题十五
例15 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为的平面中，与球心的最大距离是多少？
分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为
π
R ，求过A 、B 2
ππ
R ，转化为球心角∠AOB =，从而22
AB =2R ，由关系式r 2=R 2-d 2，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半
径，所以AB 为圆的直径，r 最小．
解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为∴∠AOB =
π
R ． 2
π
2
，∴AB =2R ．
12AB =R ，d 取最大值， 22
当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时r =
d =R 2-r 2=
2
R ， 2
2
R ． 2
即球心与过A 、B 的截面圆距离最大值为
说明：利用关系式r =R -d 不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角∠AOB 有关，而球心角∠AOB 又直接与AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索，继续看下面的例子．
222
典型例题十六
例16 正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．
解：如图，球O 是正三棱锥P -ABC 的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．
PH 是正三棱锥的高，即PH =1． E 是BC 边中点，H 在AE 上，
∆ABC 的边长为26，∴HE =
∴PE =3
可以得到S ∆PAB =S ∆PAC =S ∆PBC =
⨯26=2． 6
1
BC ⋅PE =32． 2
S ∆ABC =
(2) 2=63 4
由等体积法，V P -ABC =V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC +V O -ABC ∴⨯6⨯1=
1311
⨯32⨯R ⨯3+⨯63⨯R 33
得：R =
23
=6-2，
23+3
2
2
∴S 球=4πR =4π(6-2) =8(5-26) π．
∴V 球=
434
πR =π(6-2) 3． 33
说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球
半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是2R ，四个球心构成一个棱长为2R 的正四面体，可以计算正四面体的高为
626⨯2R =R ，从而上面球离33
开桌面的高度为2R +
26
R ． 3
典型例题十七
例17 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．
解：如图，等边∆SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C 1CDD 1，截球面得球的大圆圆O 1．
设球的半径OO 1=R ，则它的外切圆柱的高为2R ，底面半径为R ；
OB =O 1O ⋅cot 30︒=R ，
SO =OB ⋅tan 60︒=R ⋅=3R ，
∴V 球=
43
πR ，V 柱=πR 2⋅2R =2πR 3， 3
1
V 锥=π⋅(R ) 2⋅3R =3πR 3，
3V 柱∶V 锥=4∶6∶9． ∴V 球∶
典型例题十八
例18 正三棱锥P -ABC 的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为2α，求它的外接球的体积． 分析：求球半径，是解本题的关键．
解：如图，作PD ⊥底面ABC 于D ，则D 为正∆ABC 的中心． ∵OD ⊥底面ABC ，∴O 、P 、D 三点共线． ∵PA =PB =PC =l ，∠APB =2α． ∴AB =∴AD =
2l 2-2l 2cos 2α=2l sin α．
2AB =sin α， 33
设∠APD =β，作OE ⊥PA 于E ，在Rt ∆APD 中，
∵sin β=
AD 23
=sin α， PA 3
又OP =OA =R ，∴PE =
11
PA =l ． 22
l PE 在Rt ∆POE 中，∵R =PO =， =cos β4
-sin 2α3⎡l 4⎢∴V 球=π⎢3⎢42
-sin α⎢3⎣
⎤
⎥πl 33-4sin 2α⎥=． 2
2(3-4sin α) ⎥⎥⎦
3
说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题
解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．
典型例题十九
例19 在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 和
2
400πcm 2．求球的表面积．
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．
解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO 1//BO 2，且若O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2．设球的半径为R ．
∵π⋅O 2B =49π，∴O 2B =7(cm ) 同理π⋅O 1A =400π，∴O 1A =20(cm ) 设OO 1=xcm ，则OO 2=(x +9) cm ．
在Rt ∆OO 1A 中，R =x +20；在Rt ∆OO 2B 中，R =(x +9) +7， ∴x +20=7+(x +9) ，解得x =15， ∴R =x +20=25，∴R =25 ∴S 球=4πR =2500π(cm ) ． ∴球的表面积为2500πcm ．
2
2
2
2
2
222222
222
2222