函数的奇偶性与周期性
考点梳理
一、函数的奇偶性
（探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。）
二、奇、偶函数的性质
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
2、在公共定义域内，
（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。
（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。
（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。
（探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定，
如f(x)= x +1，而2f(0)=1。）
三、函数的周期性
一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
（探究：若偶函数f(x)满足对任意的x ∈R , 都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？
f (x ) 是偶函数，
∴f (-x ) =f (x ), 又f (2+x ) =f (-x )
是周期函数，∴
例题解析 f (2+x ) =f (x ), 所以f (x ) 是以T =2为周期的函数）
要点1：函数奇偶性的判定
判断函数奇偶性的一般方法
（1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断：
f (-x ) =f (x ) ⇔f (x ) 为偶函数，
f (-x ) =-f (x ) ⇔f (x ) 为奇函数。
②等价形式判断：
f (-x ) -f (x ) =0⇔f (x ) 为偶函数，
f (-x )+f (x ) =0⇔f (x ) 为奇函数。
f (-x ) 或等价于=1, 则f (x ) 为偶函数；
f (x )
f (-x )
f (x ) =-1, 则f (x ) 为奇函数。
（3）对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行。
例1（2010广东高考）
若函数f (x ) =3+3x -x 与g (x ) =3-3x -x
的定义域均为R ，则 （ ）
A. f (x ) 与g (x ) 均为偶函数
B. f (x ) 为奇函数，g (x ) 为偶函数
C. f (x ) 与g (x ) 均为奇函数
D f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数
即使训练：判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=x(1
2-1x +12);
(2)f(x)=log2(x +
(3)f (x ) =+
要点2：函数图像的对称与函数的周期性
如果奇偶性是讲函数图像的对称，那么函数的周期性就是讨论函数图像的平移，而函数图像的对称与函数的周期性也是密不可分的，比如：若函数f(x)的图像关于直线x=a,x=b(a ≠b ) 对称，则f(x)为周期函数，其周期为T=2（b-a ）等。
例2：
设函数f (x ) 在（-∞，+∞）上满足f (2-x ) =f (2+x ),
f (7-x ) =f (7+x ), 且在闭区间[0,7]上只有f (1)=
f (3)=0.
(1)试判断函数y =f (x ) 的奇偶性；
(2)试求方程f (x )=0在闭区间[-2005, 2005]上的根的
个数，并证明你的结论。
即使训练：
定义在R 上的函数y =f (x ) 满足f (-x ) =-f (x ), f (1+x )
=f (1-x ), 当x ∈[-1,1]时，f (x ) =x , 则f (-2009) 的值
是 （ ）
A -1 B 0
C 1 D 23
要点3：函数奇偶性的综合应用
1、对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f ”脱掉，转化为我们会求的不等式；
2、奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性。 例3：
定义在R 上的函数f (x ) 满足对任意x,y ∈R 恒有
f (xy)=f (x ) +f (y ), 且f (x ) 不恒为0.
（1）求f (1)和f (-1) 的值；
（2）试判断f (x ) 的单调性，并加以证明；
（3）若x ≥0时，f (x ) 为增函数，求满足不等式
f (x +1)-f (2-x ) ≤0的x 的取值集合。
即使训练：
设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2) =-f (x ). 当x ∈[0,2]时，f (x )=2x -x .
（1）求证：f (x ) 是周期函数；
（2）当x ∈[2,4]时，求f (x ) 的解析式；
（3）计算f (0)+f (1)+f (2)+....... f (2008)。2
函数的奇偶性与周期性
考点梳理
一、函数的奇偶性
（探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。）
二、奇、偶函数的性质
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
2、在公共定义域内，
（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。
（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。
（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。
（探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定，
如f(x)= x +1，而2f(0)=1。）
三、函数的周期性
一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
（探究：若偶函数f(x)满足对任意的x ∈R , 都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？
f (x ) 是偶函数，
∴f (-x ) =f (x ), 又f (2+x ) =f (-x )
是周期函数，∴
例题解析 f (2+x ) =f (x ), 所以f (x ) 是以T =2为周期的函数）
要点1：函数奇偶性的判定
判断函数奇偶性的一般方法
（1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断：
f (-x ) =f (x ) ⇔f (x ) 为偶函数，
f (-x ) =-f (x ) ⇔f (x ) 为奇函数。
②等价形式判断：
f (-x ) -f (x ) =0⇔f (x ) 为偶函数，
f (-x )+f (x ) =0⇔f (x ) 为奇函数。
f (-x ) 或等价于=1, 则f (x ) 为偶函数；
f (x )
f (-x )
f (x ) =-1, 则f (x ) 为奇函数。
（3）对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行。
例1（2010广东高考）
若函数f (x ) =3+3x -x 与g (x ) =3-3x -x
的定义域均为R ，则 （ ）
A. f (x ) 与g (x ) 均为偶函数
B. f (x ) 为奇函数，g (x ) 为偶函数
C. f (x ) 与g (x ) 均为奇函数
D f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数
即使训练：判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=x(1
2-1x +12);
(2)f(x)=log2(x +
(3)f (x ) =+
要点2：函数图像的对称与函数的周期性
如果奇偶性是讲函数图像的对称，那么函数的周期性就是讨论函数图像的平移，而函数图像的对称与函数的周期性也是密不可分的，比如：若函数f(x)的图像关于直线x=a,x=b(a ≠b ) 对称，则f(x)为周期函数，其周期为T=2（b-a ）等。
例2：
设函数f (x ) 在（-∞，+∞）上满足f (2-x ) =f (2+x ),
f (7-x ) =f (7+x ), 且在闭区间[0,7]上只有f (1)=
f (3)=0.
(1)试判断函数y =f (x ) 的奇偶性；
(2)试求方程f (x )=0在闭区间[-2005, 2005]上的根的
个数，并证明你的结论。
即使训练：
定义在R 上的函数y =f (x ) 满足f (-x ) =-f (x ), f (1+x )
=f (1-x ), 当x ∈[-1,1]时，f (x ) =x , 则f (-2009) 的值
是 （ ）
A -1 B 0
C 1 D 23
要点3：函数奇偶性的综合应用
1、对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f ”脱掉，转化为我们会求的不等式；
2、奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性。 例3：
定义在R 上的函数f (x ) 满足对任意x,y ∈R 恒有
f (xy)=f (x ) +f (y ), 且f (x ) 不恒为0.
（1）求f (1)和f (-1) 的值；
（2）试判断f (x ) 的单调性，并加以证明；
（3）若x ≥0时，f (x ) 为增函数，求满足不等式
f (x +1)-f (2-x ) ≤0的x 的取值集合。
即使训练：
设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2) =-f (x ). 当x ∈[0,2]时，f (x )=2x -x .
（1）求证：f (x ) 是周期函数；
（2）当x ∈[2,4]时，求f (x ) 的解析式；
（3）计算f (0)+f (1)+f (2)+....... f (2008)。2