平面向量知识点总结

平面向量

知识梳理

1．向量的有关概念

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(1) 向量：既有又有的量叫做向量，向量AB的大小叫做向量的 (或模)，记作 |.

(2) 零向量：的向量叫做零向量，其方向是的． (3) 单位向量：长度等于的向量叫做单位向量．

(4) 平行向量：方向的向量叫做平行向量．平行向量又称为，任一组平行向量都可以移到同一直线上．

规定：0与任一向量．

(5) 相等向量：长度且方向的向量叫做相等向量．

(6) 相反向量：与向量a长度且方向a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．

2. 向量加法与减法运算

(4)数量积：

①定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：

1．(交换律)a·b＝b·a

2．(实数的结合律)(a·b)＝(a)·b＝a·(b) 3．(分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c ③性质：设a，b是非零向量，则： a·b＝0a⊥b

a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜ a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜特殊地：a·a＝｜a｜2或|a|a 夹角：cosa,b|a·b|≤|a| |b| 特别地：

= =

(a+b) (a-b)=

+ 2 a·b + 2 a·b +-

；

ab

|a||b|

3．向量的坐标运算

若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) (2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2) (3)数乘：a＝(x1，y1) (4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2 (5)若a＝(x，y)，则|a|

x2y2

ab

|a||b|

x1x2y1y2xy

(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosa,b

xy

2222

(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|

(x1x2)2(y1y2)2

(8)a在b方向上的正射影的数量为|a|cosa,b

abx1x2y1y2

22|b|x2y2

4．重要定理

(1)平行向量基本定理：

若a＝b，则a∥b，反之：若a∥b，且b≠0，则存在唯一的实数使得a＝b (2)平面向量基本定理：

如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使a＝a1e1＋a2e2

(3)向量共线和垂直的充要条件：

若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 则：a∥bx1y2－x2y1＝0，a⊥bx1x2＋y1y2＝0

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab

11

xx2yy2