2013年1月
解法探究
教学参谋
含参数及绝对值的二次函数解题策略初探
筅江苏省无锡高等师范学校
张
超
高中数学以函数为主线，而二次函数作为中学阶段函数的典型代表，其应用十分广泛．纵观近十年高考题，有关含参数及绝对值的二次函数综合性试题，由于呈现综合性强、解题难度大等特点，更是成出命题立意新颖、
为了高考命题的新热点，且往往以压轴题的形式出现，学生解答较困难．引导学生对高三复习经典题型进行探究与解题思想归类，有助于开拓学生思维，培养学生思维品质和创新能力．为此，我们首先对此类含参数及绝对值的二次函数图像和性质进行梳理，并对此类题型的常用求解策略进行例析，供参考．
故1
x 2－x+a，x ≥0，
解析：y=作出图像，如图1所示. 此曲线
x 2+x+a，x
1，要使y=1与其有4
1
１
4个交点，只需a －
5. 4
点评：本题体现了数形结合的思想，它常用来研究方程根的情况、讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等，对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效. 从历年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”也不容忽视.
策略2：运用思想方法灵活转化试题
一、知识梳理
）基本的绝对值函数主要包括y=覼（x （x ）和y=覼1
两种类型，由于自变量x 的取值被分成若干不同的区间，因此，绝对值函数在不同的区间有不同的表达式：
（x ），（x ）（x ），覼覼≥0，覼x ≥0，
（x ）（x ）=y=覼y=覼=
（x ），（x ）（－x ），－覼覼
）绝对值函数其图像作法也应依不同区间分别来2
作：作y=覼（x ）的图像在x 轴下方的部（x 的图像可将y=覼分翻折到x 轴上方，其余部分不变；作y=覼（x ）的图像可先作出y=覼（x ）当x ≥0时的图像，再利用偶函数的图像关于y 轴对称，作出y=覼（x ）（x
以绝对值函数为载体，运用函数、方程及不等式的思想，借助三者之间的依赖关系，灵活转化，解决运动和变化中出现的问题，能给学生提供思考的空间，使他们的聪明才智在解题中得到充分的展示，进而体现了高考数学考素质，考能力的要求.
例2（2009年扬大附中高三调研卷）若函数覼（x ）=
00
（x 1，（x 1））对任意a ∈（－1，x 2+x+a－b 图像上存在点P 覼3］求b 的最小值. 都不在x 轴上方，
解析：由已知，对任意
（－1，，存在x 有覼（x ）a ∈3］即x+a≤－x +b.可令≤0，
2
）g （=|x+3|1x
（x ）=－x 2+by h
）=|x+1|g （2x
（x ）（x ）函g =x+a，h =－x 2+b，数g （x ）与h （x ）的图像如图当a=3或－1时，有g （）2，=1x
-3
-1O 1图２
x
）（x ）与h （x ）的图像位置可g （=x-1. 比较函数g x+3，2x 以发现，当抛物线h （x ）与射线g （x ）=x+3相切时，b 有最小值. 故由y=
二、策略探究
策略1：“以形助数”为主，“以数定形”为辅
例1（2010·全国卷Ⅰ）直线y=1与曲线y=x－x +a
2
≤
x+3，
2
消去y 有x 2+x+3－b=0，由Δ=0解得b=
y=－x +b，
1111. 故b 的最小值为. 44
点评：本题将已知条件转化为坌a ∈（－1，3］，埚x 有
高中版
有4个交点，则实数a 的取值范围是________.
83
教学参谋
新颖试题
2013年1月
经典试题魅力绽放
———对一道高考题的多种求解策略
筅江苏省丹阳市第六中学
试题：（2012年江苏19）如图，在平面直角坐标系xOy
朱万喜（特级教师）
BF 1交于点P ．
（i ）若AF 1－BF 2=姨，求直线AF 1的斜率；
2（ii ）求证：PF 1+PF2是定值．
这道试题淡中见隽，突出了对解析法本质的考查，关运算能力和对几何图形的分析、处注了考生的思维能力、
理能力. 内涵丰富、清新脱俗，是一道值得我们进行深入
%
中，椭圆
x 2y 2
（a>b>0）的左、右焦点分别为F （）、+=101－c ，
a 2b 2
）（1，）和e 姨F （0．已知e 2c ，
2圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；）设A 、（2B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与
姨
%
2
都在椭圆上，其中e 为椭
y A
P
F 1
O
F 2
B
x
探究的经典试题. 第（1）小题比较简单，答案是
x 22
+y=1，2
这里从略，我们将思考的重点放在第（2）小题的两小问
覼（x ）≤0，进而转化为g （x ）≤h （x ），通过比较g （x ）与h （x ）的图像的位置找到解题途径. 解答关键是由条件和图像确定a 和b 的取值范围，去掉绝对值符号得到a 与b 的关系式，再消元转化为复合函数求值域.
策略3：实施“分类讨论”，分层解决问题
a a 21
时单调递增，最小值为x ≥a 覼=；
224
当x
12
（x ）（x －1）（a －1），故当11
（x ）单调递增，当x
小值为覼（1）由于覼=a－1；
当所研究的问题含有参数时，往往要对参数进行讨论. 分类时注意要全面，本着“不重复，不遗漏”的原则进行，最后要有概括性的总结，叙述时力争做到条理简洁，语言精练.
例3（2009年上海市卢湾区高考一模）设函数覼（x ）=
2
2a （a －2）a 2
（1）（a －1）－覼=－=>244
所以覼（x ）的最小值为覼（1）0，=a－1.
点评：本题第二问首先要根据绝对值的意义，将所给函数化为熟知的分段函数，然后结合a 的取值范围和每一段的一元二次函数的单调性求出每一段的最小值，最后只需比较两最小值的大小，取较小的即可.
常数a 为实数）x 2+2x －a x ∈R ，.
（1）若覼（x ）为偶函数，求实数a 的值；）设a>2，求函数覼（x ）的最小值. （2
解析：（1）（略）a=0.
≥
≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥
总之，在求解含参数及绝对值的二次函数问题中，让学生充分重视绝对值函数的类型及其转化方法是解题的关键，掌握二次函数的图像和性质，并充分重视数型结合思想是突破难点的重要手段.
参考文献：
（2）（x ）覼=
1
x +2x －a ，x ≥a ，
2
2
x 2－2x+a，x
1
a . 2
当x ≥x ≥
12
）（x+1）（a+1），由a>2，a 时，覼（x =x2+2x －a=－
2
1. 孙福明．二次函数压轴题的解题策略［J ］．数学通讯，2003（15）．
1
得x>1，从而x>－1时，又覼′（x ）（x+1），故覼（x ）在a ，=22
高中版
2. 于亦香．对一道函数绝对值问题的探究［J ］．中学数学，2012（7）．■
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高中数学以函数为主线，而二次函数作为中学阶段函数的典型代表，其应用十分广泛．纵观近十年高考题，有关含参数及绝对值的二次函数综合性试题，由于呈现综合性强、解题难度大等特点，更是成出命题立意新颖、
为了高考命题的新热点，且往往以压轴题的形式出现，学生解答较困难．引导学生对高三复习经典题型进行探究与解题思想归类，有助于开拓学生思维，培养学生思维品质和创新能力．为此，我们首先对此类含参数及绝对值的二次函数图像和性质进行梳理，并对此类题型的常用求解策略进行例析，供参考．
故1
x 2－x+a，x ≥0，
解析：y=作出图像，如图1所示. 此曲线
x 2+x+a，x
1，要使y=1与其有4
1
１
4个交点，只需a －
5. 4
点评：本题体现了数形结合的思想，它常用来研究方程根的情况、讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等，对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效. 从历年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”也不容忽视.
策略2：运用思想方法灵活转化试题
一、知识梳理
）基本的绝对值函数主要包括y=覼（x （x ）和y=覼1
两种类型，由于自变量x 的取值被分成若干不同的区间，因此，绝对值函数在不同的区间有不同的表达式：
（x ），（x ）（x ），覼覼≥0，覼x ≥0，
（x ）（x ）=y=覼y=覼=
（x ），（x ）（－x ），－覼覼
）绝对值函数其图像作法也应依不同区间分别来2
作：作y=覼（x ）的图像在x 轴下方的部（x 的图像可将y=覼分翻折到x 轴上方，其余部分不变；作y=覼（x ）的图像可先作出y=覼（x ）当x ≥0时的图像，再利用偶函数的图像关于y 轴对称，作出y=覼（x ）（x
以绝对值函数为载体，运用函数、方程及不等式的思想，借助三者之间的依赖关系，灵活转化，解决运动和变化中出现的问题，能给学生提供思考的空间，使他们的聪明才智在解题中得到充分的展示，进而体现了高考数学考素质，考能力的要求.
例2（2009年扬大附中高三调研卷）若函数覼（x ）=
00
（x 1，（x 1））对任意a ∈（－1，x 2+x+a－b 图像上存在点P 覼3］求b 的最小值. 都不在x 轴上方，
解析：由已知，对任意
（－1，，存在x 有覼（x ）a ∈3］即x+a≤－x +b.可令≤0，
2
）g （=|x+3|1x
（x ）=－x 2+by h
）=|x+1|g （2x
（x ）（x ）函g =x+a，h =－x 2+b，数g （x ）与h （x ）的图像如图当a=3或－1时，有g （）2，=1x
-3
-1O 1图２
x
）（x ）与h （x ）的图像位置可g （=x-1. 比较函数g x+3，2x 以发现，当抛物线h （x ）与射线g （x ）=x+3相切时，b 有最小值. 故由y=
二、策略探究
策略1：“以形助数”为主，“以数定形”为辅
例1（2010·全国卷Ⅰ）直线y=1与曲线y=x－x +a
2
≤
x+3，
2
消去y 有x 2+x+3－b=0，由Δ=0解得b=
y=－x +b，
1111. 故b 的最小值为. 44
点评：本题将已知条件转化为坌a ∈（－1，3］，埚x 有
高中版
有4个交点，则实数a 的取值范围是________.
83
教学参谋
新颖试题
2013年1月
经典试题魅力绽放
———对一道高考题的多种求解策略
筅江苏省丹阳市第六中学
试题：（2012年江苏19）如图，在平面直角坐标系xOy
朱万喜（特级教师）
BF 1交于点P ．
（i ）若AF 1－BF 2=姨，求直线AF 1的斜率；
2（ii ）求证：PF 1+PF2是定值．
这道试题淡中见隽，突出了对解析法本质的考查，关运算能力和对几何图形的分析、处注了考生的思维能力、
理能力. 内涵丰富、清新脱俗，是一道值得我们进行深入
%
中，椭圆
x 2y 2
（a>b>0）的左、右焦点分别为F （）、+=101－c ，
a 2b 2
）（1，）和e 姨F （0．已知e 2c ，
2圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；）设A 、（2B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与
姨
%
2
都在椭圆上，其中e 为椭
y A
P
F 1
O
F 2
B
x
探究的经典试题. 第（1）小题比较简单，答案是
x 22
+y=1，2
这里从略，我们将思考的重点放在第（2）小题的两小问
覼（x ）≤0，进而转化为g （x ）≤h （x ），通过比较g （x ）与h （x ）的图像的位置找到解题途径. 解答关键是由条件和图像确定a 和b 的取值范围，去掉绝对值符号得到a 与b 的关系式，再消元转化为复合函数求值域.
策略3：实施“分类讨论”，分层解决问题
a a 21
时单调递增，最小值为x ≥a 覼=；
224
当x
12
（x ）（x －1）（a －1），故当11
（x ）单调递增，当x
小值为覼（1）由于覼=a－1；
当所研究的问题含有参数时，往往要对参数进行讨论. 分类时注意要全面，本着“不重复，不遗漏”的原则进行，最后要有概括性的总结，叙述时力争做到条理简洁，语言精练.
例3（2009年上海市卢湾区高考一模）设函数覼（x ）=
2
2a （a －2）a 2
（1）（a －1）－覼=－=>244
所以覼（x ）的最小值为覼（1）0，=a－1.
点评：本题第二问首先要根据绝对值的意义，将所给函数化为熟知的分段函数，然后结合a 的取值范围和每一段的一元二次函数的单调性求出每一段的最小值，最后只需比较两最小值的大小，取较小的即可.
常数a 为实数）x 2+2x －a x ∈R ，.
（1）若覼（x ）为偶函数，求实数a 的值；）设a>2，求函数覼（x ）的最小值. （2
解析：（1）（略）a=0.
≥
≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥
总之，在求解含参数及绝对值的二次函数问题中，让学生充分重视绝对值函数的类型及其转化方法是解题的关键，掌握二次函数的图像和性质，并充分重视数型结合思想是突破难点的重要手段.
参考文献：
（2）（x ）覼=
1
x +2x －a ，x ≥a ，
2
2
x 2－2x+a，x
1
a . 2
当x ≥x ≥
12
）（x+1）（a+1），由a>2，a 时，覼（x =x2+2x －a=－
2
1. 孙福明．二次函数压轴题的解题策略［J ］．数学通讯，2003（15）．
1
得x>1，从而x>－1时，又覼′（x ）（x+1），故覼（x ）在a ，=22
高中版
2. 于亦香．对一道函数绝对值问题的探究［J ］．中学数学，2012（7）．■
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