三重积分(二)

内容要点

一、利用柱面坐标计算三重积分

点M 的直角坐标(x , y , z ) 与柱面坐标(r , θ, z ) 之间的关系为

x =r cos θ, y =r sin θ, z =z . (5.1)

柱面坐标系中的三族坐标面分别为

r =常数：一族以z 轴为中心轴的圆柱面；

θ=常数：一族过z 轴的半平面； z =常数：一族与xOy 面平行的平面.

柱面坐标系中的体积微元: dv =rdrd θdz ，

为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于z 轴的直线与区域Ω的边界最多只有两个交点. 设Ω在xOy 面上的投影为D ，区域D 用r ，θ表示. 区域Ω关于xOy 面的投影柱面将Ω的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为z =z 1(r , θ) ，下曲面方程为z =z 2(r , θ) ，z 1(r , θ) ≤z ≤z 2(r , θ) ，(r , θ) ∈D ，于是

⎰⎰⎰

f (r cos θ, r sin θ, z ) rdrd θdz =⎰⎰rdrd θ⎰

z 2(r , θ)

z 1(r , θ)

f (r cos θ, r sin θ, z ) dz

二、利用球面坐标计算三重积分

点M 的直角坐标(x , y , z ) 与柱面坐标(r , ϕ, θ) 之间的关系为

⎧x =OP cos θ=r sin ϕcos θ, ⎪

⎨y =OP sin θ=r sin ϕsin θ, (5.3) ⎪z =r cos ϕ, ⎩

球面坐标系中的三族坐标面分别为 r =常数：一族以原点为球心的球面；

ϕ=常数：一族以原点为顶点，z 轴为对称轴的圆锥面；

θ=常数：一族过z 轴的半平面.

球面坐标系中的体积微元: dv =r 2sin ϕdrd ϕd θ，三、三重积分的应用空间立体的重心

x =

⎰⎰⎰x ρ(x , y , z ) dv , y =

⎰⎰⎰

y ρ(x , y , z ) dv z =

⎰⎰⎰z ρ(x , y , z ) dv .

其中，M =

⎰⎰⎰ρ(x , y , z ) dv 为该物体的质量.

空间立体的转动惯量

I x =⎰⎰⎰ρ(y 2+z 2) dv , I y =⎰⎰⎰ρ(x 2+z 2) dv , I z =

⎰⎰⎰

ρ(x 2+y 2) dv .

空间立体对质点的引力

⎧G ρ(y -y 0) G ρ(z -z 0) ⎫⎪G ρ(x -x 0) ⎪

dv , dv , dv ={F x , F y , F z }=⎨⎰⎰⎰⎬. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰333

r r r ⎪⎪ΩΩ⎩Ω⎭

例题选讲

利用柱面坐标计算三重积分

例1 (E01) 立体Ω是圆柱面x 2+y 2=1内部, 平面z =2下方, 抛物面z =1-x 2-y 2 上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K ), 求Ω的质量m .

解据题意，密度函数为

ρ(x , y , z ) =K x 2+y 2,

所以 m =

ρ(x , y , z ) dv =K x +y dv . ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

利用柱坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为

D ={(x , y ) x 2+y 2≤1},

故 m =

(Kr ) rdrd θdz =K r ⎰⎰⎰⎰⎰drd θ⎰Ω

dz =K d θr 2⎰⎰dr ⎰

2π

1-r

1-r 2

=2πK ⎰r 2(1+r 2) dr =

16πK . 15

例2 (E02) 计算⎰⎰⎰zdxdydz , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=4与抛物面x 2+y 2=3z 所

围成(在抛物面内的那一部分) 的立体区域.

解利用柱面坐标，题设两曲面方程分别为r 2+z 2=4, r 2=3+z . 从中解得两曲面的交线为z =1, r =,

Ω在xOy 面上的投影区域为D :0≤r ≤, 0≤θ≤2π. 对投影区域D 内任一点(r , θ), 有

r 2

≤z ≤4-r 2. 3

所以I =

⎰⎰

rdrd θ

4-r 2

r 23

zdz =d θ0

⎰⎰2π3

4-r 2

r 23

r ⋅zdz =

13π. 4

例3 计算I =

⎰⎰⎰(x

+y 2) dxdydz , 其中Ω是曲线y 2=2z , x =0绕z 轴旋转一周而成的

曲面与平面z =2, z =8所围的立体.

解由曲线y 2=2z , x =0绕z 轴旋转所得曲面方程为x 2+y 2=2z 旋转抛物面 r 2r 2

≤z ≤2 ≤z ≤8 Ω2:0≤θ≤2π, 0≤r ≤2, 设Ω1:0≤θ≤2π, 0≤r ≤4,

I =

⎰⎰⎰

Ω1

(x 2+y 2) dxdydz -

⎰⎰⎰

Ω2

(x 2+y 2) dxdydz =d θdr

0⎰⎰2π48

r 2

r ⋅r 2dz -d θdr

0⎰⎰2π22

r 22

r ⋅r 2dz

4525

=π-π=336π. 36

利用球面坐标计算三重积分

例4 (E03) 计算⎰⎰⎰(x 2+y 2) dxdydz , 其中Ω是锥面x 2+y 2=z 2与平面z =a (a >0) 所

围的立体.

解在球面坐标系中

z =a

r =

c o ϕs

x 2+y 2=z 2 ϕ=

故积分区域Ω可表为

Ω:0≤r ≤

a π

, 0≤ϕ≤, 0≤θ≤2π cos ϕ4

2π

所以

⎰⎰⎰(x +y ) dxdydz =⎰d θ⎰4d ϕ⎰

cos ϕ0

r 4sin 3ϕdr

2π54sin 3ϕ2π541-cos 2ϕπ5=a ⎰ϕ=a cos ϕ=a . 55⎰005510cos ϕcos ϕ

注: 本题也可采用柱面坐标来计算. 此时，锥面x 2+y 2=z 2 z =r 积分区域 Ω:r ≤z ≤a , 0≤r ≤a , 0≤θ≤2π, 同样得到

⎰⎰⎰(x +y ) dxdydz =⎰d θ⎰rdr ⎰r dz =Ω

2π

ππ

a 5.

例5 (E04) 计算球体x 2+y 2+z 2≤2a 2在锥面z =x 2+y 2上方部分Ω的体积（图9-5-8）.

解在球面坐标系中,

x 2+y 2+z 2=2a 2 r =2a , z =x 2+y 2ϕ=Ω:0≤r ≤2a , 0≤ϕ≤

, 0≤θ≤2π.

故所求体积

V =

⎰⎰⎰dxdydz =⎰d θ⎰

2π

π40

d ϕ

⎰

r sin ϕdr =2π

⎰

(2a ) 34sin ϕ⋅d ϕ=π(2-1) a 3.

例6 计算

⎰⎰⎰(x +y +z )

dxdydz , 其中Ω是由抛物面z =x 2+y 2和球面

x 2+y 2+z 2=2所围成的空间闭区域.

解 (x +y +z ) 2=x 2+y 2+z 2+2(xy +yz +zx ) 注意到Ω关于zOx 和yOz 面对称，有

⎰⎰⎰(xy +yz ) dv =0, ⎰⎰⎰xzdv =0

且

x ⎰⎰⎰dv =Ω

y ⎰⎰⎰dv Ω

Ω在xOy 面上的投影区域圆域D :0≤θ≤2π, 0≤r ≤1

对D 内任一点，有r 2≤z ≤

2-r 2, 所以

2π

2-r 2

⎰⎰⎰(x +y +z ) dxdydz =⎰⎰⎰(2x +z ) dxdydz =⎰d θ⎰dr ⎰2

r (2r 2cos 2θ+z 2) dz

(902-89).

三重积分的应用

例7 (E05) 已知均匀半球体的半径为a , 在该半球体的底圆的一旁, 拼接一个半径与球的半径相等, 材料相同的均匀圆柱体, 使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合, 为了使拼接后的整个立体重心恰是球心, 问圆柱的高应为多少?

解如图(见系统演示) ，设所求的圆柱体的高度为H , 使圆柱体与半球的底圆在xOy 平面上. 圆柱体的中心轴为z 轴，设整个立体为Ω, 其体积为V , 重心坐标为(, , ). 由题意应有==0. 于是

zdv . Ω⎰⎰⎰Ω

设圆柱体与半球分别为Ω1, Ω2, 分别用柱面坐标与球面坐标计算，得

zdv =d θdr zrdr +d θd ϕr cos ϕr sin ϕdr ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

2π

πa

π20

=⎰d θ⎰rdr ⎰zdr +⎰d θ⎰cos ϕsin ϕd ϕ⎰r 3dr

2πa H 2ππa

π0

1212π⎛1⎫a

=2π⋅a ⋅H +2π -⎪⋅=a 2(2H 2-a 2) =0.

224⎝2⎭4

得H =22, 就是所求圆柱的高.

例8 求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量.

解取球心为坐标原点，球的半径为a , z 轴与轴l 重合，则球体所占空间闭区域

Ω={(x , y , z ) |x 2+y 2+z 2≤a 2}.

所求转动惯量即球体对于z 轴的转动惯量为 I z =

⎰⎰⎰

(x 2+y 2) ρdv =ρ

⎰⎰⎰

Ω3

(r 2sin 2ϕcos 2θ+r 2sin 2ϕsin 2θ)

2π

r sin ϕdrd ϕd θ=

⎰⎰⎰

r sin ϕdrd ϕd θ=ρd θ

⎰⎰

sin ϕd ϕ

⎰

a 5

r dr =ρ⋅2π⋅

⎰

sin 3ϕd ϕ

242

=πa 5ρ⋅=a 2M . 535

其中M =πa 3ρ为球体的质量.

例9 (E06) 求高为h , 半顶角为量.

解取对称轴为z 轴，取顶点为原点，建立如图坐标系，则

, 密度为μ (常数) 的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯

I z =⎰⎰⎰(x 2+y 2) μdv

利用截面法，由

D z :x 2+y 2≤z 2, Ω:0≤z ≤h , (x , y ) ∈D z

得到 I z =

⎰

dz ⎰⎰(x 2+y 2) μdxdy =μ⎰dz ⎰d θ⎰r 2⋅rdr

D z

h 2z

=μ

⎰

dz ⎰

2π

h 14μπμ5

z d θ=⋅2π⎰z 4dz =h .

04410

例10 (E07) 设半径为R 的匀质球(其密度为常数ρ0) 占有空间区域

Ω={(x , y , z ) |x 2+y 2+z 2≤R 2}.

求它对位于M 0(0, 0, a ) (a >R ) 处的单位质量的质点的引力.

解设球的密度为ρ0, 由球体的对称性及质量分布的均匀性知F x =F y =0, 所求引力沿

z 轴的分量为 F z =

⎰⎰⎰

z -a

G ρ02=G ρ0

[x +y 2+(z -a ) 2]3/2

2π

R 2-z 2

⎰

-R

(z -a ) dz

dxdy

2223/2

[x +y +(z -a ) ]x 2+y 2≤R 2-z 2

⎰⎰

=G ρ0

⎰

-R

(z -a ) dz d θ

⎰⎰

ρd ρ

[ρ+(z -a ) ]

23/2

⎛11

=2πG ρ0(z -a ) -

a -z -R

R 2-2az +a 2⎝

⎰

⎫

⎪dz ⎪⎭

1⎡

=2πG ρ0⎢-2R +

a ⎣

⎰

⎤

(z -a ) d R 2-2az +a 2⎥ -R ⎦

⎛4πR 312R 3⎫

⎪=-G ⋅ρ⋅ =2πG ρ0 -2R +2R -022⎪ 3a 3a ⎭⎝

=-G

, a 2

4πR 3

ρ0为球的质量. 其中M =3

注: 本题表明，匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引

力.

课堂练习

1. 计算由曲面(x 2+y 2+z 2) 2=a 3z 所围立体的体积. 2．求均匀半球体的重心.

内容要点

一、利用柱面坐标计算三重积分

点M 的直角坐标(x , y , z ) 与柱面坐标(r , θ, z ) 之间的关系为

x =r cos θ, y =r sin θ, z =z . (5.1)

柱面坐标系中的三族坐标面分别为

r =常数：一族以z 轴为中心轴的圆柱面；

θ=常数：一族过z 轴的半平面； z =常数：一族与xOy 面平行的平面.

柱面坐标系中的体积微元: dv =rdrd θdz ，

⎰⎰⎰

f (r cos θ, r sin θ, z ) rdrd θdz =⎰⎰rdrd θ⎰

z 2(r , θ)

z 1(r , θ)

f (r cos θ, r sin θ, z ) dz

二、利用球面坐标计算三重积分

点M 的直角坐标(x , y , z ) 与柱面坐标(r , ϕ, θ) 之间的关系为

⎧x =OP cos θ=r sin ϕcos θ, ⎪

⎨y =OP sin θ=r sin ϕsin θ, (5.3) ⎪z =r cos ϕ, ⎩

球面坐标系中的三族坐标面分别为 r =常数：一族以原点为球心的球面；

ϕ=常数：一族以原点为顶点，z 轴为对称轴的圆锥面；

θ=常数：一族过z 轴的半平面.

球面坐标系中的体积微元: dv =r 2sin ϕdrd ϕd θ，三、三重积分的应用空间立体的重心

x =

⎰⎰⎰x ρ(x , y , z ) dv , y =

⎰⎰⎰

y ρ(x , y , z ) dv z =

⎰⎰⎰z ρ(x , y , z ) dv .

其中，M =

⎰⎰⎰ρ(x , y , z ) dv 为该物体的质量.

空间立体的转动惯量

I x =⎰⎰⎰ρ(y 2+z 2) dv , I y =⎰⎰⎰ρ(x 2+z 2) dv , I z =

⎰⎰⎰

ρ(x 2+y 2) dv .

空间立体对质点的引力

⎧G ρ(y -y 0) G ρ(z -z 0) ⎫⎪G ρ(x -x 0) ⎪

dv , dv , dv ={F x , F y , F z }=⎨⎰⎰⎰⎬. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰333

r r r ⎪⎪ΩΩ⎩Ω⎭

例题选讲

利用柱面坐标计算三重积分

例1 (E01) 立体Ω是圆柱面x 2+y 2=1内部, 平面z =2下方, 抛物面z =1-x 2-y 2 上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K ), 求Ω的质量m .

解据题意，密度函数为

ρ(x , y , z ) =K x 2+y 2,

所以 m =

ρ(x , y , z ) dv =K x +y dv . ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

利用柱坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为

D ={(x , y ) x 2+y 2≤1},

故 m =

(Kr ) rdrd θdz =K r ⎰⎰⎰⎰⎰drd θ⎰Ω

dz =K d θr 2⎰⎰dr ⎰

2π

1-r

1-r 2

=2πK ⎰r 2(1+r 2) dr =

16πK . 15

例2 (E02) 计算⎰⎰⎰zdxdydz , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=4与抛物面x 2+y 2=3z 所

围成(在抛物面内的那一部分) 的立体区域.

解利用柱面坐标，题设两曲面方程分别为r 2+z 2=4, r 2=3+z . 从中解得两曲面的交线为z =1, r =,

Ω在xOy 面上的投影区域为D :0≤r ≤, 0≤θ≤2π. 对投影区域D 内任一点(r , θ), 有

r 2

≤z ≤4-r 2. 3

所以I =

⎰⎰

rdrd θ

4-r 2

r 23

zdz =d θ0

⎰⎰2π3

4-r 2

r 23

r ⋅zdz =

13π. 4

例3 计算I =

⎰⎰⎰(x

+y 2) dxdydz , 其中Ω是曲线y 2=2z , x =0绕z 轴旋转一周而成的

曲面与平面z =2, z =8所围的立体.

解由曲线y 2=2z , x =0绕z 轴旋转所得曲面方程为x 2+y 2=2z 旋转抛物面 r 2r 2

≤z ≤2 ≤z ≤8 Ω2:0≤θ≤2π, 0≤r ≤2, 设Ω1:0≤θ≤2π, 0≤r ≤4,

I =

⎰⎰⎰

Ω1

(x 2+y 2) dxdydz -

⎰⎰⎰

Ω2

(x 2+y 2) dxdydz =d θdr

0⎰⎰2π48

r 2

r ⋅r 2dz -d θdr

0⎰⎰2π22

r 22

r ⋅r 2dz

4525

=π-π=336π. 36

利用球面坐标计算三重积分

例4 (E03) 计算⎰⎰⎰(x 2+y 2) dxdydz , 其中Ω是锥面x 2+y 2=z 2与平面z =a (a >0) 所

围的立体.

解在球面坐标系中

z =a

r =

c o ϕs

x 2+y 2=z 2 ϕ=

故积分区域Ω可表为

Ω:0≤r ≤

a π

, 0≤ϕ≤, 0≤θ≤2π cos ϕ4

2π

所以

⎰⎰⎰(x +y ) dxdydz =⎰d θ⎰4d ϕ⎰

cos ϕ0

r 4sin 3ϕdr

2π54sin 3ϕ2π541-cos 2ϕπ5=a ⎰ϕ=a cos ϕ=a . 55⎰005510cos ϕcos ϕ

注: 本题也可采用柱面坐标来计算. 此时，锥面x 2+y 2=z 2 z =r 积分区域 Ω:r ≤z ≤a , 0≤r ≤a , 0≤θ≤2π, 同样得到

⎰⎰⎰(x +y ) dxdydz =⎰d θ⎰rdr ⎰r dz =Ω

2π

ππ

a 5.

例5 (E04) 计算球体x 2+y 2+z 2≤2a 2在锥面z =x 2+y 2上方部分Ω的体积（图9-5-8）.

解在球面坐标系中,

x 2+y 2+z 2=2a 2 r =2a , z =x 2+y 2ϕ=Ω:0≤r ≤2a , 0≤ϕ≤

, 0≤θ≤2π.

故所求体积

V =

⎰⎰⎰dxdydz =⎰d θ⎰

2π

π40

d ϕ

⎰

r sin ϕdr =2π

⎰

(2a ) 34sin ϕ⋅d ϕ=π(2-1) a 3.

例6 计算

⎰⎰⎰(x +y +z )

dxdydz , 其中Ω是由抛物面z =x 2+y 2和球面

x 2+y 2+z 2=2所围成的空间闭区域.

解 (x +y +z ) 2=x 2+y 2+z 2+2(xy +yz +zx ) 注意到Ω关于zOx 和yOz 面对称，有

⎰⎰⎰(xy +yz ) dv =0, ⎰⎰⎰xzdv =0

且

x ⎰⎰⎰dv =Ω

y ⎰⎰⎰dv Ω

Ω在xOy 面上的投影区域圆域D :0≤θ≤2π, 0≤r ≤1

对D 内任一点，有r 2≤z ≤

2-r 2, 所以

2π

2-r 2

⎰⎰⎰(x +y +z ) dxdydz =⎰⎰⎰(2x +z ) dxdydz =⎰d θ⎰dr ⎰2

r (2r 2cos 2θ+z 2) dz

(902-89).

三重积分的应用

zdv . Ω⎰⎰⎰Ω

设圆柱体与半球分别为Ω1, Ω2, 分别用柱面坐标与球面坐标计算，得

zdv =d θdr zrdr +d θd ϕr cos ϕr sin ϕdr ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

2π

πa

π20

=⎰d θ⎰rdr ⎰zdr +⎰d θ⎰cos ϕsin ϕd ϕ⎰r 3dr

2πa H 2ππa

π0

1212π⎛1⎫a

=2π⋅a ⋅H +2π -⎪⋅=a 2(2H 2-a 2) =0.

224⎝2⎭4

得H =22, 就是所求圆柱的高.

例8 求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量.

解取球心为坐标原点，球的半径为a , z 轴与轴l 重合，则球体所占空间闭区域

Ω={(x , y , z ) |x 2+y 2+z 2≤a 2}.

所求转动惯量即球体对于z 轴的转动惯量为 I z =

⎰⎰⎰

(x 2+y 2) ρdv =ρ

⎰⎰⎰

Ω3

(r 2sin 2ϕcos 2θ+r 2sin 2ϕsin 2θ)

2π

r sin ϕdrd ϕd θ=

⎰⎰⎰

r sin ϕdrd ϕd θ=ρd θ

⎰⎰

sin ϕd ϕ

⎰

a 5

r dr =ρ⋅2π⋅

⎰

sin 3ϕd ϕ

242

=πa 5ρ⋅=a 2M . 535

其中M =πa 3ρ为球体的质量.

例9 (E06) 求高为h , 半顶角为量.

解取对称轴为z 轴，取顶点为原点，建立如图坐标系，则

, 密度为μ (常数) 的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯

I z =⎰⎰⎰(x 2+y 2) μdv

利用截面法，由

D z :x 2+y 2≤z 2, Ω:0≤z ≤h , (x , y ) ∈D z

得到 I z =

⎰

dz ⎰⎰(x 2+y 2) μdxdy =μ⎰dz ⎰d θ⎰r 2⋅rdr

D z

h 2z

=μ

⎰

dz ⎰

2π

h 14μπμ5

z d θ=⋅2π⎰z 4dz =h .

04410

例10 (E07) 设半径为R 的匀质球(其密度为常数ρ0) 占有空间区域

Ω={(x , y , z ) |x 2+y 2+z 2≤R 2}.

求它对位于M 0(0, 0, a ) (a >R ) 处的单位质量的质点的引力.

解设球的密度为ρ0, 由球体的对称性及质量分布的均匀性知F x =F y =0, 所求引力沿

z 轴的分量为 F z =

⎰⎰⎰

z -a

G ρ02=G ρ0

[x +y 2+(z -a ) 2]3/2

2π

R 2-z 2

⎰

-R

(z -a ) dz

dxdy

2223/2

[x +y +(z -a ) ]x 2+y 2≤R 2-z 2

⎰⎰

=G ρ0

⎰

-R

(z -a ) dz d θ

⎰⎰

ρd ρ

[ρ+(z -a ) ]

23/2

⎛11

=2πG ρ0(z -a ) -

a -z -R

R 2-2az +a 2⎝

⎰

⎫

⎪dz ⎪⎭

1⎡

=2πG ρ0⎢-2R +

a ⎣

⎰

⎤

(z -a ) d R 2-2az +a 2⎥ -R ⎦

⎛4πR 312R 3⎫

⎪=-G ⋅ρ⋅ =2πG ρ0 -2R +2R -022⎪ 3a 3a ⎭⎝

=-G

, a 2

4πR 3

ρ0为球的质量. 其中M =3

注: 本题表明，匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引

力.

课堂练习

1. 计算由曲面(x 2+y 2+z 2) 2=a 3z 所围立体的体积. 2．求均匀半球体的重心.

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