优化设计 孙靖民 课后答案第6章习题解答

第六章习题解答

1． 已知约束优化问题：

min f (x ) =(x 1-2) 2+(x 2-1) 2

s ⋅t

g 1(x ) =x 12-x 2≤0g 2(x ) =x 1+x 2-2≤0

试从第k 次的迭代点x (k ) =[-12] 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254

T

所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点x (k +1) 。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向：

S R

2)

⎡0.562=⎢

⎢0.5622+0.2542⎣⎤0.254

⎥22⎥0.562+0.254⎦

T

]T =[0.911-0.412

用公式：x (k +1) =x (k ) +αS R 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边

k +1

界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：

x

=x 1k +αS R 1=-1+2⨯0. 911=0. 822=x 2k

+αS R 2=2+2⨯(-0. 412) =1. 176

k +1

x 2k +1

即：X

⎡0. 822⎤

=⎢⎥

⎣1. 176⎦

该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2． 已知约束优化问题：

2

min f (x ) =4x 1-x 2-12

s ⋅t

2g 1(x ) =x 12+x 2-25≤0

g 2(x ) =-x 1≤0g 3(x ) =-x 2≤0

试以x 1=[20

1]T , x 2=[40

1]T , x 3=[3

3]T 为复合形的初始顶点，用复合形法进

行两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：

x 10=[21]⇒f 10=-5

0x 2=[41]⇒f 20=3 0x 3=[33]⇒f 30=-9

00

经判断，各顶点均为可行点，其中，x 3 为最好点，x 2为最坏点。0 2）计算去掉最坏点 x 2 后的复合形的中心点：

x c 0

1

=L

1⎛⎡2⎤⎡3⎤⎫⎡2. 5⎤⎡3⎤0

⎪x =∑i 2 ⎢1⎥+⎢3⎥⎪=⎢2⎥+⎢3⎥

i =1⎝⎣⎦⎣⎦⎭⎣⎦⎣⎦

3i ≠2

1

3）计算反射点x R （取反射系数α=1. 3）

⎛⎡2.5⎤⎡4⎤⎫⎡0.55⎤⎡2.5⎤10

x R =x c 0+α(x c 0-x 2) =⎢⎥+1.3 -⎢⎥⎪⎢⎥ ⎪=⎢3.3⎥ 221⎣⎦⎦⎝⎣⎦⎣⎦⎭⎣

11经判断x R 为可行点，其目标函数值f R =-20.69

001

4）去掉最坏点x 2构成新的复合形，在新的复合形中 ，由x 10，x 3和x R 1 x R 为最好点，x 10为最坏点，进行新的一轮迭代。

5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：

1

x c

⎤1⎛⎡3⎤⎡0.55⎤⎫⎡1.775

⎪ = +=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪2⎝⎣3⎦⎣3.3⎦⎭⎣3.15⎦

6）计算新一轮迭代的反射点得：

⎛⎡1.775⎡1.775⎤⎤⎡2⎤⎫⎡1.4825⎤211

⎪x R =x c +α(x c -x 10) =⎢+1.3-=⎥ ⎢3.15⎥⎢1⎥⎪⎢5.945⎥3.15⎣⎦⎦⎣⎦⎭⎣⎦⎝⎣

21

经判断x R 为可行点，其目标函数值f R =-41. 413，完成第二次迭代。

3． 设已知在二维空间中的点x =[x 1x 2]T ，并已知该点的适时约束的梯度

1]T ，试用简化方法确定一个适用的

∇g =[-1

可行方向。

-1]T ，目标函数的梯度∇f =[-0. 5

k

[解] 按公式6-32 d x x

k

=-P ∇f (x k ) /P ∇f (x k ) 计算适用的可行方向：

点的目标函数梯度为：∇f (x k ) =[-0. 51]T

k

点处起作用约束的梯度G 为一个n ⋅J 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：

G =∇g 1(x k ) =[-1

梯度投影矩阵P 为：

-1]T

-1

P =I -G G G

[

k

T

]

-1

G

T

⎡10⎤⎡-1⎤⎛⎡-1⎤⎫

=⎢-⎢⎥ [-1-1]⎢⎥⎪⎥⎪

⎣01⎦⎣-1⎦⎝⎣-1⎦⎭

⎡0. 5-0. 5⎤

[-101]=⎢⎥ -0. 50. 5⎣⎦

则：适用可行方向为：

d

⎡0.5-0.5⎤⎡-0.5⎤

=-⎢⎥⎢⎥

⎣-0.50.5⎦⎣1⎦⎡0.5-0.5⎤⎡-0.5⎤⎡-0. 707⎤⎢-0.50.5⎥⎢1⎥=⎢0. 707⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦

4． 已知约束优化问题：

min f (x ) =

s ⋅t

422() (x 1-x 1x 2+x 2) -x 33

g 1=-x 1≤0

g 2=-x 2≤0g 3=-x 3≤0

试求在x

k

=[0

1/4

k

1/2]T 点的梯度投影方向。

=-P ∇f (x k ) /P ∇f (x k ) 计算适用的可行方向：

[解] 按公式6-32 d x x

k

点的目标函数梯度为：∇f (x k ) =[-0. 125

0. 25

-1]T

k

点处起作用约束的梯度G 为一个n ⋅J 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：

G =∇g 1(x k ) =[-1

梯度投影矩阵P 为：

0]T

-1

P =I -G G T G

[]

-1

G T

⎡100⎤⎡-1⎤⎛⎡-1⎤⎫

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=010-0 [-100]0

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪

⎪⎢⎢⎣001⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎝⎣0⎥⎦⎭

⎡000⎤

[-100]=⎢010⎥

⎢⎥⎢⎣001⎥⎦

⎡0⎤

=⎢0. 243⎥ ⎢⎥⎢⎣0. 97⎥⎦

则：适用可行方向为：

d

k

⎡000⎤⎡-0.125⎤=-⎢010⎥⎢0. 25⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎣001⎥⎦⎢⎣-1⎥⎦⎡000⎤⎡-0.125⎤

⎢010⎥⎢0.25⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣001⎥⎦⎢⎣-1⎥⎦

2

min f (x ) =x 12+x 2-2x 1+1

s ⋅t

g 1=3-x 2≤0

2

（提示：可构造惩罚函数 φ(x , r ) =f (x ) -r [解] 构造内点惩罚函数：

u =1

） ∑ln [g u (x ) ]，然后用解析法求解。

2

φ(x , r ) =f (x ) -r ∑ln [g u (x ) ]=x 12+x 2-2x 1+1-r ln(3-x 2)

u =1

2

令惩罚函数对x 的极值等于零：

⎤d φ⎡2x 1-2

=⎢=0 dx ⎣2x 2-(-r ) /(3-x 2) ⎥⎦x 1=1

得：

6±+8r x 2=

4

舍去负根后，得x 2=当 r

6+36+8r

4

→0时，x 2→3，该问题的最优解为x =[13]T 。

min f (x ) =x 1+x 2

s ⋅t

g 1=x 12-x 2≤0 g 2=-x 1≤0

[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(1)+x(2) end

subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=x(1)*x(1)-x(2) gx(2)=-x(1) end

subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=0.0 end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 2 KH= 0 X : .1000000E+01 .2000000E+01 FX: .3000000E+01

GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01 X : .1000000E+01 .2000000E+01 FX: .3000000E+01

GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01 PEN = .5000000E+01

R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05

=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06 X : .9493056E-07 .7203758E-07 FX: .1669681E-06

GX: -.7203757E-07 -.9493056E-07

7．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：

s ⋅t

min f (x ) =x 2-x 1

g 1(x ) =-ln x 1≤0

h 2(x ) =x 1+x 2-1≤0

[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) end

subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) end

subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1 end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 3 KH= 1 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01

GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01

GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 HX: .2000000E+01 PEN = .5942695E+01

R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05

=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R= .7205765E-11 PEN= -.9999720E+00 X : .1000006E+01 .3777877E-05 FX: -.1000012E+01

GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05 HX: -.2616589E-06

第六章习题解答

1． 已知约束优化问题：

min f (x ) =(x 1-2) 2+(x 2-1) 2

s ⋅t

g 1(x ) =x 12-x 2≤0g 2(x ) =x 1+x 2-2≤0

试从第k 次的迭代点x (k ) =[-12] 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254

T

所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点x (k +1) 。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向：

S R

2)

⎡0.562=⎢

⎢0.5622+0.2542⎣⎤0.254

⎥22⎥0.562+0.254⎦

T

]T =[0.911-0.412

用公式：x (k +1) =x (k ) +αS R 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边

k +1

界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：

x

=x 1k +αS R 1=-1+2⨯0. 911=0. 822=x 2k

+αS R 2=2+2⨯(-0. 412) =1. 176

k +1

x 2k +1

即：X

⎡0. 822⎤

=⎢⎥

⎣1. 176⎦

该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2． 已知约束优化问题：

2

min f (x ) =4x 1-x 2-12

s ⋅t

2g 1(x ) =x 12+x 2-25≤0

g 2(x ) =-x 1≤0g 3(x ) =-x 2≤0

试以x 1=[20

1]T , x 2=[40

1]T , x 3=[3

3]T 为复合形的初始顶点，用复合形法进

行两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：

x 10=[21]⇒f 10=-5

0x 2=[41]⇒f 20=3 0x 3=[33]⇒f 30=-9

00

经判断，各顶点均为可行点，其中，x 3 为最好点，x 2为最坏点。0 2）计算去掉最坏点 x 2 后的复合形的中心点：

x c 0

1

=L

1⎛⎡2⎤⎡3⎤⎫⎡2. 5⎤⎡3⎤0

⎪x =∑i 2 ⎢1⎥+⎢3⎥⎪=⎢2⎥+⎢3⎥

i =1⎝⎣⎦⎣⎦⎭⎣⎦⎣⎦

3i ≠2

1

3）计算反射点x R （取反射系数α=1. 3）

⎛⎡2.5⎤⎡4⎤⎫⎡0.55⎤⎡2.5⎤10

x R =x c 0+α(x c 0-x 2) =⎢⎥+1.3 -⎢⎥⎪⎢⎥ ⎪=⎢3.3⎥ 221⎣⎦⎦⎝⎣⎦⎣⎦⎭⎣

11经判断x R 为可行点，其目标函数值f R =-20.69

001

4）去掉最坏点x 2构成新的复合形，在新的复合形中 ，由x 10，x 3和x R 1 x R 为最好点，x 10为最坏点，进行新的一轮迭代。

5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：

1

x c

⎤1⎛⎡3⎤⎡0.55⎤⎫⎡1.775

⎪ = +=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪2⎝⎣3⎦⎣3.3⎦⎭⎣3.15⎦

6）计算新一轮迭代的反射点得：

⎛⎡1.775⎡1.775⎤⎤⎡2⎤⎫⎡1.4825⎤211

⎪x R =x c +α(x c -x 10) =⎢+1.3-=⎥ ⎢3.15⎥⎢1⎥⎪⎢5.945⎥3.15⎣⎦⎦⎣⎦⎭⎣⎦⎝⎣

21

经判断x R 为可行点，其目标函数值f R =-41. 413，完成第二次迭代。

3． 设已知在二维空间中的点x =[x 1x 2]T ，并已知该点的适时约束的梯度

1]T ，试用简化方法确定一个适用的

∇g =[-1

可行方向。

-1]T ，目标函数的梯度∇f =[-0. 5

k

[解] 按公式6-32 d x x

k

=-P ∇f (x k ) /P ∇f (x k ) 计算适用的可行方向：

点的目标函数梯度为：∇f (x k ) =[-0. 51]T

k

点处起作用约束的梯度G 为一个n ⋅J 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：

G =∇g 1(x k ) =[-1

梯度投影矩阵P 为：

-1]T

-1

P =I -G G G

[

k

T

]

-1

G

T

⎡10⎤⎡-1⎤⎛⎡-1⎤⎫

=⎢-⎢⎥ [-1-1]⎢⎥⎪⎥⎪

⎣01⎦⎣-1⎦⎝⎣-1⎦⎭

⎡0. 5-0. 5⎤

[-101]=⎢⎥ -0. 50. 5⎣⎦

则：适用可行方向为：

d

⎡0.5-0.5⎤⎡-0.5⎤

=-⎢⎥⎢⎥

⎣-0.50.5⎦⎣1⎦⎡0.5-0.5⎤⎡-0.5⎤⎡-0. 707⎤⎢-0.50.5⎥⎢1⎥=⎢0. 707⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦

4． 已知约束优化问题：

min f (x ) =

s ⋅t

422() (x 1-x 1x 2+x 2) -x 33

g 1=-x 1≤0

g 2=-x 2≤0g 3=-x 3≤0

试求在x

k

=[0

1/4

k

1/2]T 点的梯度投影方向。

=-P ∇f (x k ) /P ∇f (x k ) 计算适用的可行方向：

[解] 按公式6-32 d x x

k

点的目标函数梯度为：∇f (x k ) =[-0. 125

0. 25

-1]T

k

点处起作用约束的梯度G 为一个n ⋅J 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：

G =∇g 1(x k ) =[-1

梯度投影矩阵P 为：

0]T

-1

P =I -G G T G

[]

-1

G T

⎡100⎤⎡-1⎤⎛⎡-1⎤⎫

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=010-0 [-100]0

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪

⎪⎢⎢⎣001⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎝⎣0⎥⎦⎭

⎡000⎤

[-100]=⎢010⎥

⎢⎥⎢⎣001⎥⎦

⎡0⎤

=⎢0. 243⎥ ⎢⎥⎢⎣0. 97⎥⎦

则：适用可行方向为：

d

k

⎡000⎤⎡-0.125⎤=-⎢010⎥⎢0. 25⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎣001⎥⎦⎢⎣-1⎥⎦⎡000⎤⎡-0.125⎤

⎢010⎥⎢0.25⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣001⎥⎦⎢⎣-1⎥⎦

2

min f (x ) =x 12+x 2-2x 1+1

s ⋅t

g 1=3-x 2≤0

2

（提示：可构造惩罚函数 φ(x , r ) =f (x ) -r [解] 构造内点惩罚函数：

u =1

） ∑ln [g u (x ) ]，然后用解析法求解。

2

φ(x , r ) =f (x ) -r ∑ln [g u (x ) ]=x 12+x 2-2x 1+1-r ln(3-x 2)

u =1

2

令惩罚函数对x 的极值等于零：

⎤d φ⎡2x 1-2

=⎢=0 dx ⎣2x 2-(-r ) /(3-x 2) ⎥⎦x 1=1

得：

6±+8r x 2=

4

舍去负根后，得x 2=当 r

6+36+8r

4

→0时，x 2→3，该问题的最优解为x =[13]T 。

min f (x ) =x 1+x 2

s ⋅t

g 1=x 12-x 2≤0 g 2=-x 1≤0

[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(1)+x(2) end

subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=x(1)*x(1)-x(2) gx(2)=-x(1) end

subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=0.0 end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 2 KH= 0 X : .1000000E+01 .2000000E+01 FX: .3000000E+01

GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01 X : .1000000E+01 .2000000E+01 FX: .3000000E+01

GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01 PEN = .5000000E+01

R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05

=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06 X : .9493056E-07 .7203758E-07 FX: .1669681E-06

GX: -.7203757E-07 -.9493056E-07

7．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：

s ⋅t

min f (x ) =x 2-x 1

g 1(x ) =-ln x 1≤0

h 2(x ) =x 1+x 2-1≤0

[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) end

subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) end

subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1 end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 3 KH= 1 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01

GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01

GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 HX: .2000000E+01 PEN = .5942695E+01

R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05

=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R= .7205765E-11 PEN= -.9999720E+00 X : .1000006E+01 .3777877E-05 FX: -.1000012E+01

GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05 HX: -.2616589E-06