函数与极限自测题
班级 姓名 学号
1（10分）判断下列各对函数是否相同，为什么？ (1) y =sin x 与 y =
-cos 2x ；
(2)
y
ln 2-x
= x +2 与
y =ln(2-x ) -ln(x +2)
2（10分）求下列函数的定义域：
(1)f (x ) =ln(1+x )
x ；(2)f (x ) =arcsin(x -1) +1-x
2； 3（5分）．已知f (
e x +1)=e 2x +e x
+1，求f (x ) 的表达式．4（5分）．分解下列复合函数： (1)
y =sin 2
(x +1)； (2) y
=[arcsin(1-x 2
) ]3
．
5（10分）设f (x ) =4x 2+2
x -1+ax +b ，且lim x →∞
f (x ) =1，求常数a ，6（40分）求下列函数的极限：
(1) lim sin 2x 3
sin 2x x →∞x （2）lim x →0x sin x
（3）lim x →0x 2x
lim x sin 3
-1
（4） （5）lim (1x
⎛x x →∞x
x →0+3x ) （6）lim -1⎫x →∞ ⎝x ⎪⎭
（7） lim n →∞(n 2
+n -n ) （8） lim x 2
-3x +2x →1x 2-1
b 。
⎧ln(1+x )
x >0⎪
ax ⎨f (x ) 7（10分）设= 在x ⎪x ≤0⎩x +1
=0处连续，求a 的值．
8（10分）求下列函数的连续区间，如有间断点，指出其类型．
⎧sin 4x 1-x 2⎪f (x ) =f (x ) =⎨x (1) ； (2) 1+x ⎪⎩2+x
, x >0, x ≤0
；
9、（附加）证明方程3
x
-2=0至少有一个小于1的正根．
10、设函数
f (x ) =
⎧sin 2x x
义域内连续？
课堂练习答案：
1、（10分）判断下列各对函数是否相同，为什么？ (1)不同。 y =sin x 与 y (2)相同。
=
-cos x =sin x ；
2
y
2-x
= ln x +2 与
y =ln(2-x ) -ln(x +2)
2（10分） (1)(-1, 0) (0, +∞)；(2) [0,1)； 3（5分）f (x ) =x -x +1 4（5分）（1）(2)
3
2
y =u , u =sin t , t =x +1
2
2
y =u , u =arcsin t , t =1-x
5（10分）4+a =0, b -a =1⇒a =-4, b =-3 6（40分）求下列函数的极限：
sin 2x sin 2x 3
=0 （2）lim x sin =0 （3）lim =2 (1) lim x →∞x →0x →0x x x
3⎛x -1⎫-3
x sin =3（5）lim (1+3x ) =e （6）lim ⎪（4）lim x →∞x →∞x →0x ⎝x ⎭
1
-x
2x
=e -2
2x -3x +2112
=- (n +n -n ) = （8） lim （7） lim 2n →∞x →12x -12
x 1
==f (0)=1，a 7（10分）右连续：x lim +
→0ax a
=1
8（10分）求下列函数的连续区间，如有间断点，指出其类型． (1) 连续区间为(-∞, -1) (-1, +∞), x =-1为第一类的可去间断
点；x →-1
(1-x )(1+x )lim =2
1+x
(2) 连续区间(-∞, 0) (0, +∞), x =0为
x →0
第一类的跳跃间断点；lim +
sin 4x
=4, lim (2+x ) =2, -
x →0x
函数与极限自测题
班级 姓名 学号
1（10分）判断下列各对函数是否相同，为什么？ (1) y =sin x 与 y =
-cos 2x ；
(2)
y
ln 2-x
= x +2 与
y =ln(2-x ) -ln(x +2)
2（10分）求下列函数的定义域：
(1)f (x ) =ln(1+x )
x ；(2)f (x ) =arcsin(x -1) +1-x
2； 3（5分）．已知f (
e x +1)=e 2x +e x
+1，求f (x ) 的表达式．4（5分）．分解下列复合函数： (1)
y =sin 2
(x +1)； (2) y
=[arcsin(1-x 2
) ]3
．
5（10分）设f (x ) =4x 2+2
x -1+ax +b ，且lim x →∞
f (x ) =1，求常数a ，6（40分）求下列函数的极限：
(1) lim sin 2x 3
sin 2x x →∞x （2）lim x →0x sin x
（3）lim x →0x 2x
lim x sin 3
-1
（4） （5）lim (1x
⎛x x →∞x
x →0+3x ) （6）lim -1⎫x →∞ ⎝x ⎪⎭
（7） lim n →∞(n 2
+n -n ) （8） lim x 2
-3x +2x →1x 2-1
b 。
⎧ln(1+x )
x >0⎪
ax ⎨f (x ) 7（10分）设= 在x ⎪x ≤0⎩x +1
=0处连续，求a 的值．
8（10分）求下列函数的连续区间，如有间断点，指出其类型．
⎧sin 4x 1-x 2⎪f (x ) =f (x ) =⎨x (1) ； (2) 1+x ⎪⎩2+x
, x >0, x ≤0
；
9、（附加）证明方程3
x
-2=0至少有一个小于1的正根．
10、设函数
f (x ) =
⎧sin 2x x
义域内连续？
课堂练习答案：
1、（10分）判断下列各对函数是否相同，为什么？ (1)不同。 y =sin x 与 y (2)相同。
=
-cos x =sin x ；
2
y
2-x
= ln x +2 与
y =ln(2-x ) -ln(x +2)
2（10分） (1)(-1, 0) (0, +∞)；(2) [0,1)； 3（5分）f (x ) =x -x +1 4（5分）（1）(2)
3
2
y =u , u =sin t , t =x +1
2
2
y =u , u =arcsin t , t =1-x
5（10分）4+a =0, b -a =1⇒a =-4, b =-3 6（40分）求下列函数的极限：
sin 2x sin 2x 3
=0 （2）lim x sin =0 （3）lim =2 (1) lim x →∞x →0x →0x x x
3⎛x -1⎫-3
x sin =3（5）lim (1+3x ) =e （6）lim ⎪（4）lim x →∞x →∞x →0x ⎝x ⎭
1
-x
2x
=e -2
2x -3x +2112
=- (n +n -n ) = （8） lim （7） lim 2n →∞x →12x -12
x 1
==f (0)=1，a 7（10分）右连续：x lim +
→0ax a
=1
8（10分）求下列函数的连续区间，如有间断点，指出其类型． (1) 连续区间为(-∞, -1) (-1, +∞), x =-1为第一类的可去间断
点；x →-1
(1-x )(1+x )lim =2
1+x
(2) 连续区间(-∞, 0) (0, +∞), x =0为
x →0
第一类的跳跃间断点；lim +
sin 4x
=4, lim (2+x ) =2, -
x →0x