第四讲 线性方程组
一、线性方程组 1. 基本概念
线性方程组 由线性函数方程构成的方程组，其一般形式为
⎧a 11x 1+a 2x 12+ +a n x 1n =b 1⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2
（4.1） ⎨
⎪
⎪⎩a m 1x 1
+a m 2x 2+ +a m n x n =b
m 非齐次线性方程组 b 1, b 2, , b m 不全为零 齐次线性方程组 b 1, b 2, , b m 全为零
线性方程组的解（解向量） (x 1, x 2, x , n )=(c 1c , 2, c n , ) 线性方程组的初等变换 1）互换两个方程的位置；
2）用一个不为零的数乘某个方程； 3）将某个方程的倍数加到另一个方程. P53
系数矩阵 增广矩阵
2. 线性方程组的几种表示方法 (1)代数形式 （4.1） (2)矩阵形式 Ax
=β
(3)向量形式 x 1α1+x α2+2
+x n αn =β 3. 基本结论
定理1（P68） 线性方程组经初等变换得到的是同解方程组.
A C 可逆
x =β⇔C A
x =C β
≠0
(A β)→(C A
C β
)
一般地，有
≠0
'
(A
β)→(CA
C β
)
→⎛ E r
A β' ⎫
⎝O
O
β''
⎭
⎪ 据此，若β''
=ο，则方程组有解，否则方程组无解.
定理2（P69 定理4.1） 线性方程组Ax
=β有解⇔r (A )=r (A β).
（*）
* 显然r (A )≤r (A β)，定理表明：若r (A )
定理3（P69 定理4.2） 若n 元线性方程组Ax =β有解, 则当系数矩阵A 的秩r (A )=r =n 时有唯一解, 当r (A )=r
当r =n 时，（*）式为
⎛E n
⎝O
β'⎫ο⎭
⎪
得同解方程组E n x =β' ，所以x =β' .
当r
⎛E r
⎝O
A
'
' β⎫
O
⎪ ο⎭
得同解方程组E r x 1+A ' x 2=β' ，所以x 1=β' -A ' x 2，x 2称为自由变量，x 1称为固定变量. 二、齐次线性方程组
Ax =ο⇒r (A
ο)=r (A )⇒齐次线性方程组总有解
* 齐次线性方程组总有零解
定理1（P70 定理4.3） 齐次线性方程组A x =ο有非零解的充要条件是R (A )=r
解的性质：1) 如果ξ1, ξ2∈V ，那么ξ1+ξ2∈V ；
2) 如果ξ∈V , k 为任意常数，那么k ξ∈V .
推论 齐次线性方程组的一些解的线性组合仍然是它的解. P70 推论 V 是线性空间.
齐次线性方程组的基础解系 解空间V 中的极大线性无关组
定理2（P71 定理4.5） 对于n 元齐次线性方程组A x =ο, 若R (A )=r
'
这是因为当r
并解出x 1，则由此得到的n -r 个解ξ1, ξ2, , ξn -r 即为A x =ο的一个基础解系.
齐次线性方程组的通解为
c 1ξ1+c 2ξ2+ +c n -r ξn -r , c 1, c 2, , c n -r 是任意常数
其中ξ1, ξ2, , ξn -r 是A x =ο的一个基础解系.
例1（P72 例4.3） 例2（P72 例4.5）
三、非齐次线性方程组
导出组 A x =ο称为Ax =β的导出组 记C ={x Ax =β}――解集合(非线性空间) 解的性质：1) 如果ξ1, ξ2∈C ，那么ξ1-ξ2∈V ；
2) 如果η∈C , ξ∈V ，那么η+ξ∈C ；
3) 如果η0∈C ，那么Ax =β的任一解η都可以表示为
η=η0+ξ,
其中ξ∈V .
非齐次线性方程组的通解（定理4.7）为
η0+c 1ξ1+c 2ξ2+ +c n -r ξn -r , c 1, c 2, , c n -r 是任意常数
其中η0是Ax =β的一个解(称为特解) ，ξ1, ξ2, , ξn -r 是A x =ο的一个基础解系.
例1（P75 例4.6） 例2（P75 例4.7）
四、习题解答 1. P78 3.
⎧⎪4, 当∑a i =0
提示: R (A )=4, R (A β)=⎨
5, 当a ≠0⎪∑i ⎩
2. P78 4. 5. P79 2.
提示：方法一 运用Cramer 法则
令系数行列式=0.
方法二 同P76 例4.7
3. P78 6.
提示：初等变换法
⎛1203⎫⎛102-1⎫
47110⎪
⎪0
1-12
⎪⎪ 01-1b ⎪→
00a -10⎪
⇒ ⎝
23
a 4⎪⎪⎭ ⎝
00
b -2⎪⎪⎭
b ≠2⇒R (A )
b =2⇒有解⎨
⎩有无穷解，当a =1
4. P78 7.
P 64
7.
提示：ξ1+ξ, 2ξ+2ξ, ξ3+ξ3是解，且R (ξ1+ξ, 2ξ+2ξξ, 3+ξ3)=1R (ξξ, ξ1), ，ξ1+ξ, 2ξ+2ξ, ξ3+ξ3也是基础解系.
5. P79 9.
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
提示： A 1⎪⎪= 0⇒ 1⎪⎪R (A )=n -1 是解 ⎪⇒ 1⎪ ⎪1
⎪ 是基础解系，通解为 ⎪ ⎪c ⎪ ⎪, c 是任意实数.
⎝1⎪⎪⎭ ⎝1⎪⎪⎭ ⎝1⎪⎪⎭ ⎝1⎪⎪⎭
6. P79 10.
提示：AB =O ⇔A (β1, β2, , βs )=O
⇔A βi =ο,
i =1, 2, , s
⇒B 的各列都是解 7. P79 3.
⎛1
1111
⎫ 提示：(αβ)=
1-121
⎪1
α2α3α4
⎪ 23a +24b +3⎪
⎝
35
1
a +8
5⎪⎪⎭所3以2
⎛1 0 → 0 0⎝⎧⎛1⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ ⎪⎝0⎪⎪⎛1→⎨ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎪ 0⎩⎝
[1**********]0
1-1a -22-1000010
0001
122a +5-1200-
1⎫⎛1⎪ 10⎪→
0b +1⎪⎪ 02⎪⎭⎝0⎫⎪1⎪, b ⎪⎪0⎪⎭2b
0100
2-1a +10
-120a +1
0⎫
⎪1⎪b ⎪⎪0⎪⎭
当a =-1
⎫
a +1⎪
⎪
a +b +1⎪a +1⎪,
⎪b ⎪a +1⎪
⎪0⎭
当a ≠-1
(1) a =-1且b ≠0时，R (A )
2b a +1
α1+
a +b +1a +1
α2+
b a +1
α3.
8. P79 4.
⎧⎧R (A )
⎪⎪n
A =0⇒T ⎨⎪a A =0, i =1, 2, , n ⇔A A , A , , A =ο()k 1k 2kn ⎪⎪∑ij kj
提示：⎨ ⎩j =1
⎪
⎧R A ≥n -1
⎪A ≠0⇒⎪() ⎨⎪kl A , A , , A ≠ο ⎪kn )⎩(k 1k 2⎩
⇒R (A )=n -1⇒
(A k 1, A k 2, , A kn )是齐次方程组A x =ο的一个基础解系
T
附：r (A *)
⎧n ,
⎪=⎨1, ⎪0, ⎩
r (A )=n r (A )=n -1 r (A )
9. P79 5.
提示: AB =O ⇔A βi =ο, i =1, 2, , s
⇒B 的各列都是解
⇒R (B )≤n -R (A )
10. P79 6.
提示: 构造矩阵B , 使得B 的列向量组里含有A x =ο的基础解系, 那么r (B )=n -r , 且B 是
n ⨯s (n -r ≤s ) 矩阵
11. P79 7.
提示：α1可视为特解，(α2-α1)+(α3-α1)=α2+α3-2α1是导出组的解. 另n -R (A )=1，所以通解为(1, 2, 3, 4)+c (-2, -3, -4, -6), c 是任意实数 12. P80 8.
⎛1⎫ ⎪-2⎧α2, α3, α4线性无关
⎪=ο 提示：⎨⇒r (A )=3, A
1⎪⎩α1=2α2-α3
0⎪⎪⎝⎭
⎛1⎫
⎪1 β=α1+α2+α3+α4⇒A ⎪=β 1⎪ 1⎪⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪1-2 ⎪ (k ∈R ) . 故Ax =β的通解为 ⎪+k 1⎪ 1⎪ 1⎪⎪ 0⎪⎪⎝⎭⎝⎭
T
T
12. P80 10.
提示：AA =A E
当R (A )=n ⇒A ≠0⇒A 可逆⇒R A
*
*
()=n
*
⎧AA *=O ⇒R (A )+R (A *)≤n ⎪*
当R (A )=n -1⇒⎨⇒R (A )=1
*
⇒∃A ij ≠0⇒R (A )≥1⎪⎩
当R (A )
*
()=0
*
五、知识展开
1. 设A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵，则线性方程组A B x =ο
(A ) 当n >m 时仅有零解； (B ) 当n >m 必有非零解；
(C ) 当n
r (AB )≤r (A ), r (B )
⎧m , 当m ≤n ，但由此推不出r (AB )=m 或必≠m . 故排除(A ), (B ), (C )
⇒r (AB )≤⎨
⎩n , 当n
2. 设A 是m ⨯n 矩阵，A x =ο是Ax =β的导出组，则下列结论正确的是
(A ) 若A x =ο仅有零解，则Ax =β有唯一解； (B ) 若A x =ο有非零解，则Ax =β有无穷多个解； (C ) 若Ax =β有无穷多个解，则A x =ο仅有零解； (D ) 若Ax =β有无穷多个解，则A x =ο有非零解.
提示：由(A)、(B)推不出r (A )=r (A β)；由(C)、(D)可推出r (A )
(A) 当r =m 时, 则Ax =β有解； (B) 当r =n 时, 则Ax =β有唯一解；
(C) 当n =m 时, 则Ax =β有唯一解； (D) 当r
（A ）不存在； （B ）仅含一个非零解向量； （C ）含有两个线性无关的解向量； （D ）含有三个线性无关的解向量. 提示：A *≠O ⇒r (A *)≥1，
ξ1, ξ2, ξ3, ξ4是非齐次方程组Ax =β的互不相等的解⇒r (A )
从而r (A *)=1⇒r (A )=n -1⇒Ax =β仅含一个非零解向量，故选（D ）.
5. 设A =(a ij )
是实正交矩阵, 且a 11=1, b =(1, 0, 0)
T
T
, 则线性方程组Ax =b 的解是(1, 0, 0).
3⨯3
提示：设A =(α1, α2, α3), 则由a 11=1⇒α1=(1, 0, 0)
⎛1⎫
T ⎪
另因=1, =0(i =2, 3) ，得A α1= 0⎪. 所以x =(1, 0, 0)是解.
0⎪⎝⎭
T
6. 已知齐次线性方程组
⎧x 1+2x 2+3x 3=0
2+ cx 3= ⎧ x 1+ bx ⎪
(I) ⎨2x 1+3x 2+5x 3=0 和 (II) ⎨ 2
2x +b x +c +1x =0()32⎩1⎪x +x +ax =0
23⎩1
同解，求a , b , c 的值. （2005 数四）
提示：因为(I) 与(II) 同解，且r (A )≥2, r (B )≤2，所以r (A )=r (B )=2. 由此必有A =0⇒a =2.
解出(I) 的一个基础解系：(-1, -1,1)，代入(II) 中得b =1, c =2或b =0, c =1 当b =1, c =2时，r (B )=2，表明(I) 与(II) 同解. 当b =0, c =1时，r (B )=1，表明(I) 与(II) 不可能同解.
⎧2x 1+3x 2-x 3 =0
7. 已知四元齐次线性方程组(I) ⎨和另一个四元齐次线性方程组(II) 的一个基础
x +2x +x -x =0234⎩1
T
解系α1=(2, -1, a +2,1), α2=(-1, 2, 4, a +8)，
(1) 求方程组(I) 的一个基础解系；
(2) 当a 为何值时，方程组(I) 与(II) 有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解. （2002 数四）
提示：(1) (I) 的一个基础解系为β1=(5, -3,1, 0), β2=(-3, 2, 0,1)
(2) 设方程组(I) 与(II) 有非零公共解，于是将(II) 的通解k 1α1+k 2α2代入(I) 中，得
⎧⎪(a +1)k 1 =0
⎨
⎪⎩(a +1)k 1-(a +1)k 2=0
T
T
T T
当a ≠-1时，k 1=k 2=0，则(I) 与(II) 无非零公共解；
当a =-1时，k 1, k 2任意，故此时(I) 与(II) 有非零公共解，且全部非零公共解为
k 1α1+k 2α2，k 1, k 2为不全为零的任意实数
⎛1
8. 已知三阶矩阵A 的第一行是(a , b , c ), a , b , c 不全为零，矩阵B = 2
3⎝
246
3⎫⎪
6（k 为常数），且AB =O ，⎪k ⎪⎭
求线性方程组A x =ο的通解. （2005 数一）
提示：a , b , c 不全为零⇒r (A )≥1. 又1≤r (B )≤3-r (A ), 所以1≤r (A )≤2.
⎛1⎫
⎪
(1) 若r (A )=2⇒r (B )=1⇒k =9, 这时ξ1= 2⎪是方程组A x =ο的一个基础解系，于是通
3⎪⎝⎭
解为k 1ξ1(k 1是任意实数). (2) 若r (A )=1⇒r (B )=1或2.
⎛1⎫⎛3⎫
⎪ ⎪
而r (B )=2⇒k ≠9，这时ξ1=2, ξ2=6是方程组A x =ο的一个基础解系，于是通解
⎪ ⎪ 3⎪ k ⎪⎝⎭⎝⎭
为k 1ξ1+k 2ξ2, k 1, k 2是任意实数.
而r (B )=1⇒k =9, 这时B 的列向量不能构成方程组A x =ο的一个基础解系. 由⎛b
-
a 不妨设
Ax =ο⇔ax 1+bx 2+cx 3=0⇒ξ1= 1
a ≠0
0 ⎝
⎫⎛c ⎫⎪ -⎪
a
⎪ ⎪ , ξ=0⎪2 ⎪是方程组A x =ο的一个基础解系，⎪ 1⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
于是通解为k 1ξ1+k 2ξ2, k 1, k 2是任意实数.
⎛0⎫⎛a ⎫⎛b ⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛9⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
9. 已知向量组β1= 1⎪, β2= 2⎪, β3= 1⎪与向量组α1=2, α2=0, α3=6具有相同的秩,
⎪ ⎪ ⎪
-1⎪ 1⎪ 0⎪ -3⎪ 1⎪ -7⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
且β3可由α1, α2, α3线性表示, 求a , b 的值. (2000 数二） (答案: a =15, b =5)
提示：(α1α2α3 β1β2β3)
⎛1
→2 -3⎝⎛ 1 → 0 0 ⎝
301010
96
01-11212-2
a 2114
-7 320
b ⎫⎪1 ⎪0⎪⎭
⎫
2⎪
⎪3⎪
⇒r (A )=2 ⎪2⎪b -5
⎪⎪⎭1
a -13
因β3可由α1, α2, α3线性表示, 故b -5=0, 即b =5. ⎛ → ⎝
b =5
100
-13a -15
0⎫⎪1 ⎪0⎪⎭
因为r (A )=r (B )=2⇒a -15=0，故a =15.
T
10. 设A 是实方阵，证明：线性方程组A x =ο与A Ax =ο是同解方程组. （2000数三）
T T
x ο的解；反之，若x 是A Ax =ο的解，则提示：显然A x =ο的解是A A =
T T
x A Ax =0⇔Ax =0⇔Ax =ο，故x 也是A x =ο的解.
11. 设向量组α1, α2, , αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解，即A β≠ο. 证明: 向量组β, β+α1, β+α2, , β+αt 线性无关.
提示：方法一
向量组α1, α2, , αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解，可知β, α1, α2, , αt 线性无关. 令
k 0β+k 1(β+α1)+k 2(β+α2)+ +k t (β+αt )=ο
即 (k 0+k 1+ +k βt )
+k α1
1
+
+t k αt
=ο
⎧k 0+k 1+ +k t =0⎧k 0=0
⎪⎪⎪ k 1=0⎪k 1=0⇒⎨⇒⎨, 故向量组β, β+α1, β+α2, , β+αt 线性无关.
⎪⎪⎪ k =0⎪k =0
t ⎩⎩t
方法二
向量组α1, α2, , αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解，可知β, α1, α2, , αt 线性无关. 另有 (β, β+α1, β+α2, , β+αt )⎛1 0
=(β, α1, α2, , αt )
0⎝
11 0
1⎫⎪∆0 ⎪=BK ⎪⎪1⎪⎭(t +1)⨯(t +1)
而K 可逆，故β, β+α1, β+α2, , β+αt 线性无关.
⎛A r 12. 设A 是n 阶矩阵，α是n 列维向量，若秩 T ⎝α
α⎫
⎪=r (A )，则线性方程组 ο⎭
(A)A x =α必有无穷多个解； (B) A x =α必有唯一解；
⎛A (C) T
⎝α
α⎫⎛x ⎫
⎛A
=ο仅有零解；(D) T ⎪ ⎪
ο⎭⎝y ⎭⎝α⎛A ⎝α
T
α⎫⎛x ⎫
⎪ ⎪=ο必有非零解. （2001 数三）
ο⎭⎝y ⎭
提示： r
α⎫
⎪≥ο⎭
(A α)≥r (A , )
⎛A
r T ⎝α
α⎫ο⎭
⎪=r (A )
线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇
⎧r (A α)=r (A )⇒Ax =α有解，但不能肯定是(A )还是(B )
⎪, 故选(D). ⇒⎨⎛A α⎫
⎪
⎛⎛1⎫ ⎪13. 设α=2, β= ⎪ 1⎪ ⎝⎭⎝
2B 21⎫⎛0⎫⎪1⎪, γ= 0⎪, A =αβT , B =βT α, 其中βT 是β的转置, 求解方程 ⎪2⎪ 8⎪⎪⎝⎭0⎭ 2A =x 4A +x 4 B γ+. x
⎛
1
提示：A = 2
1⎝12112⎫0⎪⎪22440⎪, B =2, B A =8A , A =8A , B =16 ⎪0⎪⎭
⎛
-1
⇒(8A -16E )x =γ⇒ 2
1⎝
⎛
⇒x =
⎝1⎫2⎪⎪1⎪+0⎪⎪⎭12-112⎫0⎪⎛0⎫⎪ ⎪0⎪x =0 ⎪ 1⎪⎪⎝⎭-2⎪⎭ ⎛1⎫ ⎪c 2, c 任意实数 ⎪ 1⎪⎝⎭
- 11 -
第四讲 线性方程组
一、线性方程组 1. 基本概念
线性方程组 由线性函数方程构成的方程组，其一般形式为
⎧a 11x 1+a 2x 12+ +a n x 1n =b 1⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2
（4.1） ⎨
⎪
⎪⎩a m 1x 1
+a m 2x 2+ +a m n x n =b
m 非齐次线性方程组 b 1, b 2, , b m 不全为零 齐次线性方程组 b 1, b 2, , b m 全为零
线性方程组的解（解向量） (x 1, x 2, x , n )=(c 1c , 2, c n , ) 线性方程组的初等变换 1）互换两个方程的位置；
2）用一个不为零的数乘某个方程； 3）将某个方程的倍数加到另一个方程. P53
系数矩阵 增广矩阵
2. 线性方程组的几种表示方法 (1)代数形式 （4.1） (2)矩阵形式 Ax
=β
(3)向量形式 x 1α1+x α2+2
+x n αn =β 3. 基本结论
定理1（P68） 线性方程组经初等变换得到的是同解方程组.
A C 可逆
x =β⇔C A
x =C β
≠0
(A β)→(C A
C β
)
一般地，有
≠0
'
(A
β)→(CA
C β
)
→⎛ E r
A β' ⎫
⎝O
O
β''
⎭
⎪ 据此，若β''
=ο，则方程组有解，否则方程组无解.
定理2（P69 定理4.1） 线性方程组Ax
=β有解⇔r (A )=r (A β).
（*）
* 显然r (A )≤r (A β)，定理表明：若r (A )
定理3（P69 定理4.2） 若n 元线性方程组Ax =β有解, 则当系数矩阵A 的秩r (A )=r =n 时有唯一解, 当r (A )=r
当r =n 时，（*）式为
⎛E n
⎝O
β'⎫ο⎭
⎪
得同解方程组E n x =β' ，所以x =β' .
当r
⎛E r
⎝O
A
'
' β⎫
O
⎪ ο⎭
得同解方程组E r x 1+A ' x 2=β' ，所以x 1=β' -A ' x 2，x 2称为自由变量，x 1称为固定变量. 二、齐次线性方程组
Ax =ο⇒r (A
ο)=r (A )⇒齐次线性方程组总有解
* 齐次线性方程组总有零解
定理1（P70 定理4.3） 齐次线性方程组A x =ο有非零解的充要条件是R (A )=r
解的性质：1) 如果ξ1, ξ2∈V ，那么ξ1+ξ2∈V ；
2) 如果ξ∈V , k 为任意常数，那么k ξ∈V .
推论 齐次线性方程组的一些解的线性组合仍然是它的解. P70 推论 V 是线性空间.
齐次线性方程组的基础解系 解空间V 中的极大线性无关组
定理2（P71 定理4.5） 对于n 元齐次线性方程组A x =ο, 若R (A )=r
'
这是因为当r
并解出x 1，则由此得到的n -r 个解ξ1, ξ2, , ξn -r 即为A x =ο的一个基础解系.
齐次线性方程组的通解为
c 1ξ1+c 2ξ2+ +c n -r ξn -r , c 1, c 2, , c n -r 是任意常数
其中ξ1, ξ2, , ξn -r 是A x =ο的一个基础解系.
例1（P72 例4.3） 例2（P72 例4.5）
三、非齐次线性方程组
导出组 A x =ο称为Ax =β的导出组 记C ={x Ax =β}――解集合(非线性空间) 解的性质：1) 如果ξ1, ξ2∈C ，那么ξ1-ξ2∈V ；
2) 如果η∈C , ξ∈V ，那么η+ξ∈C ；
3) 如果η0∈C ，那么Ax =β的任一解η都可以表示为
η=η0+ξ,
其中ξ∈V .
非齐次线性方程组的通解（定理4.7）为
η0+c 1ξ1+c 2ξ2+ +c n -r ξn -r , c 1, c 2, , c n -r 是任意常数
其中η0是Ax =β的一个解(称为特解) ，ξ1, ξ2, , ξn -r 是A x =ο的一个基础解系.
例1（P75 例4.6） 例2（P75 例4.7）
四、习题解答 1. P78 3.
⎧⎪4, 当∑a i =0
提示: R (A )=4, R (A β)=⎨
5, 当a ≠0⎪∑i ⎩
2. P78 4. 5. P79 2.
提示：方法一 运用Cramer 法则
令系数行列式=0.
方法二 同P76 例4.7
3. P78 6.
提示：初等变换法
⎛1203⎫⎛102-1⎫
47110⎪
⎪0
1-12
⎪⎪ 01-1b ⎪→
00a -10⎪
⇒ ⎝
23
a 4⎪⎪⎭ ⎝
00
b -2⎪⎪⎭
b ≠2⇒R (A )
b =2⇒有解⎨
⎩有无穷解，当a =1
4. P78 7.
P 64
7.
提示：ξ1+ξ, 2ξ+2ξ, ξ3+ξ3是解，且R (ξ1+ξ, 2ξ+2ξξ, 3+ξ3)=1R (ξξ, ξ1), ，ξ1+ξ, 2ξ+2ξ, ξ3+ξ3也是基础解系.
5. P79 9.
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
提示： A 1⎪⎪= 0⇒ 1⎪⎪R (A )=n -1 是解 ⎪⇒ 1⎪ ⎪1
⎪ 是基础解系，通解为 ⎪ ⎪c ⎪ ⎪, c 是任意实数.
⎝1⎪⎪⎭ ⎝1⎪⎪⎭ ⎝1⎪⎪⎭ ⎝1⎪⎪⎭
6. P79 10.
提示：AB =O ⇔A (β1, β2, , βs )=O
⇔A βi =ο,
i =1, 2, , s
⇒B 的各列都是解 7. P79 3.
⎛1
1111
⎫ 提示：(αβ)=
1-121
⎪1
α2α3α4
⎪ 23a +24b +3⎪
⎝
35
1
a +8
5⎪⎪⎭所3以2
⎛1 0 → 0 0⎝⎧⎛1⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ ⎪⎝0⎪⎪⎛1→⎨ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎪ 0⎩⎝
[1**********]0
1-1a -22-1000010
0001
122a +5-1200-
1⎫⎛1⎪ 10⎪→
0b +1⎪⎪ 02⎪⎭⎝0⎫⎪1⎪, b ⎪⎪0⎪⎭2b
0100
2-1a +10
-120a +1
0⎫
⎪1⎪b ⎪⎪0⎪⎭
当a =-1
⎫
a +1⎪
⎪
a +b +1⎪a +1⎪,
⎪b ⎪a +1⎪
⎪0⎭
当a ≠-1
(1) a =-1且b ≠0时，R (A )
2b a +1
α1+
a +b +1a +1
α2+
b a +1
α3.
8. P79 4.
⎧⎧R (A )
⎪⎪n
A =0⇒T ⎨⎪a A =0, i =1, 2, , n ⇔A A , A , , A =ο()k 1k 2kn ⎪⎪∑ij kj
提示：⎨ ⎩j =1
⎪
⎧R A ≥n -1
⎪A ≠0⇒⎪() ⎨⎪kl A , A , , A ≠ο ⎪kn )⎩(k 1k 2⎩
⇒R (A )=n -1⇒
(A k 1, A k 2, , A kn )是齐次方程组A x =ο的一个基础解系
T
附：r (A *)
⎧n ,
⎪=⎨1, ⎪0, ⎩
r (A )=n r (A )=n -1 r (A )
9. P79 5.
提示: AB =O ⇔A βi =ο, i =1, 2, , s
⇒B 的各列都是解
⇒R (B )≤n -R (A )
10. P79 6.
提示: 构造矩阵B , 使得B 的列向量组里含有A x =ο的基础解系, 那么r (B )=n -r , 且B 是
n ⨯s (n -r ≤s ) 矩阵
11. P79 7.
提示：α1可视为特解，(α2-α1)+(α3-α1)=α2+α3-2α1是导出组的解. 另n -R (A )=1，所以通解为(1, 2, 3, 4)+c (-2, -3, -4, -6), c 是任意实数 12. P80 8.
⎛1⎫ ⎪-2⎧α2, α3, α4线性无关
⎪=ο 提示：⎨⇒r (A )=3, A
1⎪⎩α1=2α2-α3
0⎪⎪⎝⎭
⎛1⎫
⎪1 β=α1+α2+α3+α4⇒A ⎪=β 1⎪ 1⎪⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪1-2 ⎪ (k ∈R ) . 故Ax =β的通解为 ⎪+k 1⎪ 1⎪ 1⎪⎪ 0⎪⎪⎝⎭⎝⎭
T
T
12. P80 10.
提示：AA =A E
当R (A )=n ⇒A ≠0⇒A 可逆⇒R A
*
*
()=n
*
⎧AA *=O ⇒R (A )+R (A *)≤n ⎪*
当R (A )=n -1⇒⎨⇒R (A )=1
*
⇒∃A ij ≠0⇒R (A )≥1⎪⎩
当R (A )
*
()=0
*
五、知识展开
1. 设A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵，则线性方程组A B x =ο
(A ) 当n >m 时仅有零解； (B ) 当n >m 必有非零解；
(C ) 当n
r (AB )≤r (A ), r (B )
⎧m , 当m ≤n ，但由此推不出r (AB )=m 或必≠m . 故排除(A ), (B ), (C )
⇒r (AB )≤⎨
⎩n , 当n
2. 设A 是m ⨯n 矩阵，A x =ο是Ax =β的导出组，则下列结论正确的是
(A ) 若A x =ο仅有零解，则Ax =β有唯一解； (B ) 若A x =ο有非零解，则Ax =β有无穷多个解； (C ) 若Ax =β有无穷多个解，则A x =ο仅有零解； (D ) 若Ax =β有无穷多个解，则A x =ο有非零解.
提示：由(A)、(B)推不出r (A )=r (A β)；由(C)、(D)可推出r (A )
(A) 当r =m 时, 则Ax =β有解； (B) 当r =n 时, 则Ax =β有唯一解；
(C) 当n =m 时, 则Ax =β有唯一解； (D) 当r
（A ）不存在； （B ）仅含一个非零解向量； （C ）含有两个线性无关的解向量； （D ）含有三个线性无关的解向量. 提示：A *≠O ⇒r (A *)≥1，
ξ1, ξ2, ξ3, ξ4是非齐次方程组Ax =β的互不相等的解⇒r (A )
从而r (A *)=1⇒r (A )=n -1⇒Ax =β仅含一个非零解向量，故选（D ）.
5. 设A =(a ij )
是实正交矩阵, 且a 11=1, b =(1, 0, 0)
T
T
, 则线性方程组Ax =b 的解是(1, 0, 0).
3⨯3
提示：设A =(α1, α2, α3), 则由a 11=1⇒α1=(1, 0, 0)
⎛1⎫
T ⎪
另因=1, =0(i =2, 3) ，得A α1= 0⎪. 所以x =(1, 0, 0)是解.
0⎪⎝⎭
T
6. 已知齐次线性方程组
⎧x 1+2x 2+3x 3=0
2+ cx 3= ⎧ x 1+ bx ⎪
(I) ⎨2x 1+3x 2+5x 3=0 和 (II) ⎨ 2
2x +b x +c +1x =0()32⎩1⎪x +x +ax =0
23⎩1
同解，求a , b , c 的值. （2005 数四）
提示：因为(I) 与(II) 同解，且r (A )≥2, r (B )≤2，所以r (A )=r (B )=2. 由此必有A =0⇒a =2.
解出(I) 的一个基础解系：(-1, -1,1)，代入(II) 中得b =1, c =2或b =0, c =1 当b =1, c =2时，r (B )=2，表明(I) 与(II) 同解. 当b =0, c =1时，r (B )=1，表明(I) 与(II) 不可能同解.
⎧2x 1+3x 2-x 3 =0
7. 已知四元齐次线性方程组(I) ⎨和另一个四元齐次线性方程组(II) 的一个基础
x +2x +x -x =0234⎩1
T
解系α1=(2, -1, a +2,1), α2=(-1, 2, 4, a +8)，
(1) 求方程组(I) 的一个基础解系；
(2) 当a 为何值时，方程组(I) 与(II) 有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解. （2002 数四）
提示：(1) (I) 的一个基础解系为β1=(5, -3,1, 0), β2=(-3, 2, 0,1)
(2) 设方程组(I) 与(II) 有非零公共解，于是将(II) 的通解k 1α1+k 2α2代入(I) 中，得
⎧⎪(a +1)k 1 =0
⎨
⎪⎩(a +1)k 1-(a +1)k 2=0
T
T
T T
当a ≠-1时，k 1=k 2=0，则(I) 与(II) 无非零公共解；
当a =-1时，k 1, k 2任意，故此时(I) 与(II) 有非零公共解，且全部非零公共解为
k 1α1+k 2α2，k 1, k 2为不全为零的任意实数
⎛1
8. 已知三阶矩阵A 的第一行是(a , b , c ), a , b , c 不全为零，矩阵B = 2
3⎝
246
3⎫⎪
6（k 为常数），且AB =O ，⎪k ⎪⎭
求线性方程组A x =ο的通解. （2005 数一）
提示：a , b , c 不全为零⇒r (A )≥1. 又1≤r (B )≤3-r (A ), 所以1≤r (A )≤2.
⎛1⎫
⎪
(1) 若r (A )=2⇒r (B )=1⇒k =9, 这时ξ1= 2⎪是方程组A x =ο的一个基础解系，于是通
3⎪⎝⎭
解为k 1ξ1(k 1是任意实数). (2) 若r (A )=1⇒r (B )=1或2.
⎛1⎫⎛3⎫
⎪ ⎪
而r (B )=2⇒k ≠9，这时ξ1=2, ξ2=6是方程组A x =ο的一个基础解系，于是通解
⎪ ⎪ 3⎪ k ⎪⎝⎭⎝⎭
为k 1ξ1+k 2ξ2, k 1, k 2是任意实数.
而r (B )=1⇒k =9, 这时B 的列向量不能构成方程组A x =ο的一个基础解系. 由⎛b
-
a 不妨设
Ax =ο⇔ax 1+bx 2+cx 3=0⇒ξ1= 1
a ≠0
0 ⎝
⎫⎛c ⎫⎪ -⎪
a
⎪ ⎪ , ξ=0⎪2 ⎪是方程组A x =ο的一个基础解系，⎪ 1⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
于是通解为k 1ξ1+k 2ξ2, k 1, k 2是任意实数.
⎛0⎫⎛a ⎫⎛b ⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛9⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
9. 已知向量组β1= 1⎪, β2= 2⎪, β3= 1⎪与向量组α1=2, α2=0, α3=6具有相同的秩,
⎪ ⎪ ⎪
-1⎪ 1⎪ 0⎪ -3⎪ 1⎪ -7⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
且β3可由α1, α2, α3线性表示, 求a , b 的值. (2000 数二） (答案: a =15, b =5)
提示：(α1α2α3 β1β2β3)
⎛1
→2 -3⎝⎛ 1 → 0 0 ⎝
301010
96
01-11212-2
a 2114
-7 320
b ⎫⎪1 ⎪0⎪⎭
⎫
2⎪
⎪3⎪
⇒r (A )=2 ⎪2⎪b -5
⎪⎪⎭1
a -13
因β3可由α1, α2, α3线性表示, 故b -5=0, 即b =5. ⎛ → ⎝
b =5
100
-13a -15
0⎫⎪1 ⎪0⎪⎭
因为r (A )=r (B )=2⇒a -15=0，故a =15.
T
10. 设A 是实方阵，证明：线性方程组A x =ο与A Ax =ο是同解方程组. （2000数三）
T T
x ο的解；反之，若x 是A Ax =ο的解，则提示：显然A x =ο的解是A A =
T T
x A Ax =0⇔Ax =0⇔Ax =ο，故x 也是A x =ο的解.
11. 设向量组α1, α2, , αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解，即A β≠ο. 证明: 向量组β, β+α1, β+α2, , β+αt 线性无关.
提示：方法一
向量组α1, α2, , αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解，可知β, α1, α2, , αt 线性无关. 令
k 0β+k 1(β+α1)+k 2(β+α2)+ +k t (β+αt )=ο
即 (k 0+k 1+ +k βt )
+k α1
1
+
+t k αt
=ο
⎧k 0+k 1+ +k t =0⎧k 0=0
⎪⎪⎪ k 1=0⎪k 1=0⇒⎨⇒⎨, 故向量组β, β+α1, β+α2, , β+αt 线性无关.
⎪⎪⎪ k =0⎪k =0
t ⎩⎩t
方法二
向量组α1, α2, , αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解，可知β, α1, α2, , αt 线性无关. 另有 (β, β+α1, β+α2, , β+αt )⎛1 0
=(β, α1, α2, , αt )
0⎝
11 0
1⎫⎪∆0 ⎪=BK ⎪⎪1⎪⎭(t +1)⨯(t +1)
而K 可逆，故β, β+α1, β+α2, , β+αt 线性无关.
⎛A r 12. 设A 是n 阶矩阵，α是n 列维向量，若秩 T ⎝α
α⎫
⎪=r (A )，则线性方程组 ο⎭
(A)A x =α必有无穷多个解； (B) A x =α必有唯一解；
⎛A (C) T
⎝α
α⎫⎛x ⎫
⎛A
=ο仅有零解；(D) T ⎪ ⎪
ο⎭⎝y ⎭⎝α⎛A ⎝α
T
α⎫⎛x ⎫
⎪ ⎪=ο必有非零解. （2001 数三）
ο⎭⎝y ⎭
提示： r
α⎫
⎪≥ο⎭
(A α)≥r (A , )
⎛A
r T ⎝α
α⎫ο⎭
⎪=r (A )
线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇
⎧r (A α)=r (A )⇒Ax =α有解，但不能肯定是(A )还是(B )
⎪, 故选(D). ⇒⎨⎛A α⎫
⎪
⎛⎛1⎫ ⎪13. 设α=2, β= ⎪ 1⎪ ⎝⎭⎝
2B 21⎫⎛0⎫⎪1⎪, γ= 0⎪, A =αβT , B =βT α, 其中βT 是β的转置, 求解方程 ⎪2⎪ 8⎪⎪⎝⎭0⎭ 2A =x 4A +x 4 B γ+. x
⎛
1
提示：A = 2
1⎝12112⎫0⎪⎪22440⎪, B =2, B A =8A , A =8A , B =16 ⎪0⎪⎭
⎛
-1
⇒(8A -16E )x =γ⇒ 2
1⎝
⎛
⇒x =
⎝1⎫2⎪⎪1⎪+0⎪⎪⎭12-112⎫0⎪⎛0⎫⎪ ⎪0⎪x =0 ⎪ 1⎪⎪⎝⎭-2⎪⎭ ⎛1⎫ ⎪c 2, c 任意实数 ⎪ 1⎪⎝⎭
- 11 -