机械波
教学目标：
1．掌握机械波的产生条件和机械波的传播特点（规律）；
2．掌握描述波的物理量——波速、周期、波长；
3．正确区分振动图象和波动图象，并能运用两个图象解决有关问题
4．知道波的特性：波的叠加、干涉、衍射；了解多普勒效应
教学重点：机械波的传播特点，机械波的三大关系（波长、波速、周期的关
系；空间距离和时间的关系；波形图、质点振动方向和波的传播
方向间的关系）
教学难点：波的图象及相关应用
教学过程：
一、机械波
1．机械波的产生条件：①波源（机械振动）②传播振动的介质（相邻质点间存在相互作用力）。
2．机械波的分类
机械波可分为横波和纵波两种。
（1）质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波，如：绳上波、水面波等。
（2）质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波，如：弹簧上的疏密波、声波等。
说明：地震波既有横波，也有纵波。
3．机械波的传播
（1）在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。波速、波长和频率之间满足公式：v=λ f 。
（2）介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动，是变加速运动，介质质点并不随波迁移。
（3）机械波转播的是振动形式、能量和信息。
（4）机械波的频率由波源决定，而传播速度由介质决定。
4．机械波的传播特点（规律）：
（1）前带后，后跟前，运动状态向后传。即：各质点都做受迫振动，起振方向由波源来决定；且其振动频率（周期）都等于波源的振动频率（周期），但离波源越远的质点振动越滞后。
（2）机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量，而不是质点。
5．机械波的反射、折射、干涉、衍射
一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。特别是干涉、衍射，是波特有的性质。
（1）干涉 产生干涉的必要条件是：两列波源的频率必须相同。
需要说明的是：以上是发生干涉的必要条件，而不是充分条件。要发生干涉还要求两列波的振动方向相同（要上下振动就都是上下振动，要左右振动就都是左右振动），还要求相差恒定。我们经常列举的干涉都是相差为零的，也就是同向的。如果两个波源是振动是反向的，那么在干涉区域内振动加强和减弱的位置就正好颠倒过来了。
干涉区域内某点是振动最强点还是振动最弱点的充要条件：
①最强：该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍，即δ=nλ
②最弱：该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍，即δ=λ
2(2n +1)
根据以上分析，在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。
至于“波峰和波峰叠加得到振动加强点”，“波谷和波谷叠加也得到振动加强点”，“波峰和波谷叠加得到振动减弱点”这些都只是充分条件，不是必要条件。
【例1】 如图所示，S 1、S 2是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同。实线和虚线分别表示
在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a 、b 、c 、d 四点，下列说法中正确的有
A ．该时刻a 质点振动最弱，b 、c 质点振动最强，d 质点振动既不是最强也不是最弱
B ．该时刻a 质点振动最弱，b 、c 、d 质点振动都最强
C ．a 质点的振动始终是最弱的， b 、c 、d 质点的振动始终是最强的
D ．再过T /4后的时刻a 、b 、c 三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱
解析：该时刻a 质点振动最弱，b 、c 质点振动最强，这不难理解。但是d 既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？这就要用到充要条件：“到两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从图中可以看出，d 是S 1、S 2连线的中垂线上的一点，到S 1、S 2的距离相等，所以必然为振动最强点。
本题答案应选B 、C
点评：描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移。每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的。
【例2】 如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。设两列波的振幅均为5 cm ，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1m/s和0.5m 。C 点是BE 连线的中点，下列说法中正确的是 （ ）
A ．C 、E 两点都保持静止不动
B ．图示时刻A 、B 两点的竖直高度差为20cm
C ．图示时刻C 点正处于平衡位置且向水面上运动
D ．从图示的时刻起经0.25s ，B 点通过的路程为20cm
解析：由波的干涉知识可知图6中的质点A 、B 、E 的连线处波峰和波峰或波谷和波谷叠加是加强区，过D 、F 的连线处和过P 、Q 的连线处波峰和波谷叠加是减弱区。C 、E 两点是振动的加强点，不可能静止不动。所以选项A 是错误的。
在图示时刻，A 在波峰，B 在波谷，它们振动是加强的，振幅均为两列波的振幅之和，均为10cm ，此时的高度差为20cm ，所以B 选项正确。
A 、B 、C 、E 均在振动加强区，且在同一条直线上，由题图可知波是由E
处向A 处传播，在图示时刻的波形图线如右图所示，由图可知C 点向水面运动，
所以C 选项正确。
波的周期T = /v = 0.5s ，经过0.25s ，即经过半个周期。在半个周期内，质点的路程为振幅的2倍，所以振动加强点B 的路程为20cm ，所以D 选项正确。
点评： 关于波的干涉，要正确理解稳定的干涉图样是表示加强区和减弱区的相对稳定，但加强区和减弱区还是在做振动，加强区里两列波分别引起质点分振动的方向是相同的，减弱区里两列波分别引起质点分振动的方向是相反的，发生变化的是振幅增大和减少的区别，而且波形图沿着波的传播方向在前进。
（2）衍射。
①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。
②能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。
（3）波的独立传播原理和叠加原理。
独立传播原理：几列波相遇时，能够保持各自的运动状态继续传播，不互相影响。
叠加原理：介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速度、加速度的矢量和。
波的独立传播原理和叠加原理并不矛盾。前者是描述波的性质：同时在同一介质中传播的几列波都是独立的。比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传播，我们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。后者是描述介质质点的运动情况：每个介质质点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。这好比老师给学生留作业：各个老师要留的作业与其他老师无关，是独立的；但每个学生要做的作业却是所有老师留的作业的总和。
【例3】 如图中实线和虚线所示，振幅、周期、起振方向都相同的两列正弦波（都只有一个完整波形）沿同一条直线向相反方向传播，在相遇阶段（一个周期内），试画出每隔T /4后的波形图。并分析相遇后T /2时刻叠加区域内各质点的运动情况。
解析：根据波的独立传播原理和叠加原理可作出每隔T /4后的波形图如①②③④所示。
相遇后T /2时刻叠加区域内abcde 各质点的位移都是零，但速度各不相同，其中a 、c 、e 三质点速度最大，方向如图所示，而b 、d 两质点速度为零。这说明在叠加区域内，a 、c 、e 三质点的振动是最强的，b 、d 两质点振动是最弱的。
6．多普勒效应
当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。
学习“多普勒效应”必须弄清的几个问题：
（1）当波源以速率v 匀速靠近静止的观察者A 时，观察者“感觉”到的频率变大了。但不是“越来越大”。
（2）当波源静止，观察者以速率v 匀速靠近波源时，观察者“感觉”到的频率也变大了。
（3）当波源与观察者相向运动时，观察者“感觉”到的频率变大。
（4）当波源与观察者背向运动时，观察者“感觉”到的频率变小。
【例4】a 为声源，发出声波；b 为接收者，接收a 发出的声波。a 、b 若运动，只限于在沿两者连线方向上，下列说法正确的是
A ．a 静止，b 向a 运动，则b 收到的声频比a 发出的高
B ．a 、b 向同一方向运动，则b 收到的声频一定比a 发出的高
C ．a 、b 向同一方向运动，则b 收到的声频一定比a 发出的低
D ．a 、b 都向相互背离的方向运动，则b 收到的声频比a 发出的高
答案：A
二、振动图象和波的图象
1．振动图象和波的图象
振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别，但实际上它们有本质的区别。
（1）物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。
（2）图象的横坐标的单位不同：振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。
（3）从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。
简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较：
2．描述波的物理量——波速、周期、波长：
（1）波速v ：运动状态或波形在介质中传播的速率；同一种波的波速由介质决定。
（2）周期T ：即质点的振动周期；由波源决定。
（3）波长λ：在波动中，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离。
注：在横波中，两个相邻波峰（波谷）之间的距离为一个波长。
结论：
（1）波在一个周期内传播的距离恰好为波长。
由此：①v =λ/T =λf ；λ=vT . ②波长由波源和介质决定。
（2）质点振动nT （波传播n λ）时，波形不变。
（3）相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。
3．波的图象的画法
波的图象中，波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向，这三者中已知任意两者，可以判定另一个。（口诀为“上坡下，下坡上” ；或者“右上右、左上左））
4．波的传播是匀速的
在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。n 个周期波形向前推进n 个波长（n 可以是任意正数）。因此在计算中既可以使用v=λ f ，也可以使用v=s/t，后者往往更方便。
5．介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）
任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A ，在半个周期内经过的路程都是2A ，但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A 了。
6．起振方向
介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。
【例5】 在均匀介质中有一个振源S ，它以50H Z 的频率上下振
动，该振动以40m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。开始时刻
S 的速度方向向下，试画出在t =0.03s时刻的波形。
解析：从开始计时到t =0.03s经历了1.5个周期，波分别
向左、右传播1.5个波长，该时刻波源S 的速度方向向上，所
以波形如右图所示。
【例6】 如图所示是一列简谐横波在t =0
时刻的波形图，
已知这列波沿x 轴正方向传播，波速为20m/s。P 是离原点为2m 的一个介质质点，则在t =0.17s时刻，质点P 的：①速度和加速度都沿-y 方向；②速度沿+y 方向，加速度沿-y 方向；③速度和加速度都正在增大；④速度正在增大，加速度正在减小。
以上四种判断中正确的是
A ．只有① B ．只有④
C ．只有①④ D ．只有②③
解析：由已知，该波的波长λ=4m，波速v =20m/s，因此周期为T =λ/v =0.2s；因为波向右传播，所以t =0时刻P 质点振动方向向下；0.75 T
7．波动图象的应用：
（1）从图象上直接读出振幅、波长、任一质点在该时刻的振动位移。
（2）波动方向振动方向。
方法：选择对应的半周，再由波动方向与振动方向“头头相对、尾尾相对”来判断。
如图：
【例7】如图是一列沿x 轴正方向传播的机械波在某时刻的波
形图。由图可知：这列波的振幅为5cm ，波长为 4m 。此时刻
P 点的位移为，速度方向为，加速度方向
沿y 轴负方向； Q 点的位移为－5cm ，速度为 0 ，加速度方
向沿y 轴正方向。
【例8】如图是一列波在t 1=0时刻的波形，波的传播速度
为2m/s，若传播方向沿x 轴负向，则从t 1=0到t 2=2.5s的时间
内，质点M 通过的路程为______，位移为_____。
解析：由图：波长λ=0.4m，又波速v =2m/s，可得：
周期T =0.2s，所以质点M 振动了12.5T 。
对于简谐振动，质点振动1T ，通过的路程总是4A ；振动0.5T ，通过的路程总是2A 。
所以，质点M 通过的路程12×4A +2A =250cm=2.5m。质点M 振动12.5T 时仍在平衡位置。 所以位移为0。
【例9】在波的传播方向上，距离一定的P 与Q 点之间只有一个波谷的四种情况，如图A 、B 、
C 、D 所示。已知这四列波在同一种介质中均向右传播，则质点P 能首先达到波谷的是（ ）
解析：四列波在同一种介质中传播，则波速v 应相同。由T =λ/v 得：T D >T A =T B >T C ； 再结合波动方向和振动方向的关系得：B 图中的P 点首先达到波谷。
（3）两个时刻的波形问题：设质点的振动时间（波的传播时间）为t ，波传播的距离为x 。 则：t =nT +△t 即有x =n λ+△x （△x=v△t ） 且质点振动nT （波传播n λ）时，波形不变。 ①根据某时刻的波形，画另一时刻的波形。
方法1：波形平移法：当波传播距离x =n λ+△x 时，波形平移△x 即可。
方法2：特殊质点振动法：当波传播时间t =nT +△t 时，根据振动方向判断相邻特殊点（峰点，谷点，平衡点）振动△t 后的位置进而确定波形。
②根据两时刻的波形，求某些物理量（周期、波速、传播方向等）
【例10】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。
已知波速v =0.5m/s，画出该时刻7s 前及7s 后的瞬时波形图。
解析：λ=2m，v =0.5m/s，T = =4 s.所以⑴波在7s 内传播 v
的距离为x =vt =3.5m=133λ⑵质点振动时间为1T 。 44
3λ可得7s 后的波形；
4
方法1 波形平移法：现有波形向右平移
现有波形向左平移3λ可得7s 前的波形。 4
由上得到图中7s 后的瞬时波形图（粗实线）和7s 前的瞬时波形图（虚线）。
方法2 特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点（如平衡点和峰点）在3T /4前和3T /4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。
【例11】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过
时的波形图象。求：
①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）
③可能的波速 ④若波速是35m/s，求波的传播方向
⑤若0.2s 小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。
解析：
①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。
向左传播时，传播的距离为x =n λ+3λ/4=（4n +3）m （n=0、1、2 „）
向右传播时，传播的距离为x =n λ+λ/4=（4n+1）m （n=0、1、2 „）
②向左传播时，传播的时间为t =nT +3T /4得：T =4t /（4n +3）=0.8 /（4n +3）（n=0、1、2 „） 向右传播时，传播的时间为t =nT +T /4得：T =4t /（4n +1）=0.8 /（4n +1） （n=0、1、2 „） ③计算波速，有两种方法。v =x /t 或v =λ/T
向左传播时，v =x /t =（4n +3）/0.2=（20n +15）m/s. 或v =λ/T =4 （4n +3）/0.8=（20n +15）m/s.（n =0、1、2 „）
向右传播时，v =x /t =（4n +1）/0.2=（20n +5）m/s. 或v =λ/T =4 （4n +1）/0.8=（20n +5）m/s. （n =0、1、2 „）
④若波速是35m/s，则波在0.2s 内传播的距离为x =vt =35×0.2m=7m=13λ，所以波向左传播。 4
⑤若0.2s 小于一个周期，说明波在0.2s 内传播的距离小于一个波长。则：
向左传播时，传播的距离x =3λ/4=3m；传播的时间t =3T /4得：周期T =0.267s；波速v =15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t =T /4得：周期T =0.8s；波速v =5m/s.
点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。
（4）根据波的传播特点（运动状态向后传）确定某质点的运动状态问题：
【例12】一列波在介质中向某一方向传播，如图是此波在某一时刻的波形图，且此时振动还只发生在M 、N 之间，并知此波的周期为T ，Q 质点速度方向在波形中是向下的。则：波源是_____；P 质点的起振方向为_________；从波源起振开始计时时，P 点已经振动的时间为______。
．．．．．．．．．．
解析：由Q 点的振动方向可知波向左传播，N 是波源。
由M 点的起振方向（向上）得P 质点的起振方向向上。振动从N 点传播到M 点需要1T ，传播到P 点需要3T /4，所以质点P 已经振动的时间为T /4.
【例13】如图是一列向右传播的简谐横波在t =0时刻（开始计时）的波形图，已知在t =1s时，B ．．．．
点第三次达到波峰（在1s 内B 点有三次达到波峰）。则：
①周期为________ ②波速为______；
③D 点起振的方向为_________；④在t =____s时刻，此波传到D 点；在t =____s和t =___s时D 点分别首次达到波峰和波谷；在t =____s和t =___s时D 点分别第二次达到波峰和波谷。
解析：
①B 点从t =0时刻开始在经过t =2.5T =1s第三次达到波峰，故周期T =0.4s.
②由v =λ/T =10m/s.
③D 点的起振方向与介质中各质点的起振方向相同。在图示时刻，C 点恰好开始起振，由波动方向可知C 点起振方向向下。所以，D 点起振方向也是向下。
④从图示状态开始计时：此波传到D 点需要的时间等于波从C 点传播到D 需要的时间，即：t =（45－4）/10=4.1s； D 点首次达到波峰的时间等于A 质点的振动状态传到D 点需要的时间，即：t=（45－1） /10=4.4s； D 点首次达到波谷的时间等于B 质点的振动状态传到D 点需要的时间，即：t =（45－3）/10=4.2s；D 点第二次达到波峰的时间等于D 点首次达到波峰的时间再加上一个周期，即：t =4.4 s+0.4s=4.8 s. D 点第二次达到波谷的时间等于D 点首次达到波峰的时间再加上一个周期，即：
t =4.2s+0.4s=4.6s.
【例14】 已知在t 1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t 2该波的波形如图中虚线所示。t 2-t 1 = 0.02s。求：
（1）该波可能的传播速度。
（2）若已知T
（3）若0.01s
1⎫，所以波速解析：（1）如果这列简谐横波是向右传播的，在t 2-t 1内波形向右匀速传播了⎛ n +⎪λ⎝3⎭
1⎫⎛；同理可得若该波是向左传播的，可能的v = n +⎪λ÷(t 2-t 1)=100（3n +1）m/s （n =0，1，2，„）3⎭⎝
波速v =100（3n +2）m/s （n =0，1，2，„）
（2）P 质点速度向上，说明波向左传播，T
（3）“Q 比R 先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s
三、声波
1．空气中的声波是纵波。
2．空气中的声速可认为是340m/s，水中的声速是1450m/s，铁中的声速是5400m/s。
3．人耳可以听到的声波的频率范围是20Hz-20000Hz 。频率低于20Hz 的声波叫次声波，频率高于20000Hz 的声波叫超声波。
4．人耳只能区分开相差0.1s 以上的两个声音。
5．声波也能发生反射、干涉和衍射等现象。声波的共振现象称为声波的共鸣。
四、针对训练
1．一列简谐横波沿x 轴负方向传播，图1是t =1s时的波形图，图2是波中某振动质元位移随时
间变化的振动图线（两图用同一时间起点），则图2可能是图1中哪个质元的振动图线？
A ．x =0处的质元 B ．x =1m处的质元
C ．x =2m处的质元 D ．x =3m处的质元
2．图中是观察水面波衍射的实验装置，AC 和BD 是两块挡板，AB 是一个孔，O 为波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间距离表示一个波长，则波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是：
A ．此时能明显观察到波的衍射现象；
B ．挡板前后波纹间距离相等；
C ．如果将孔AB 扩大，有可能观察不到明显的衍射现象；
D ．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能更明显地观察到衍射现
象。
3．一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为λ，沿 x 轴正方向传播.
某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两
点 P 1、P 2，已知P 1的 x 坐标小于P 2的 x 坐标.
A. 若P 1P 2＜
B. 若P 1P 2＜
C. 若P 1P 2＞
D. 若P 1P 2＞λ，则P 1向下运动，P 2向上运动 2λ，则P 1向上运动，P 2向下运动 2λ，则P 1向上运动，P 2向下运动 2λ，则P 1向下运动，P 2向上运动 2
4．如图所示，一根张紧的水平弹性长绳上的 a 、b 两点，相 距14.0 m ，b 点在 a 点的右方. 当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若 a 点的位移达到正极大时，b 点的位移恰为零，且向下运动. 经过1.00 s 后，a 点的位移为零，且向下运动，而 b 点的位移恰达到负极大.
则这简谐横波的波速可能
等于
A.14 m/s B.10 m/s C.6 m/s D.4.67 m/s
5．简谐横波在某时刻的波形图线如图所示，由此图可知
A ．若质点 a 向下运动，则波是从左向右传播的
B ．若质点b 向上运动，则波是从左向右传播的
C. 若波从右向左传播，则质点 c 向下运动
D ．若波从右向左传播，则质点d 向上运动
6．如图所示，O 是波源，a 、b 、c 、d 是波传播方向上各质点的平衡位置，且Oa =ab =bc =cd =3 m，开始各质点均静止在平衡位置，t =0时波源O 开始向上做简谐运动，振幅是0.1 m ，波沿Ox 方向传播，波长是8 m，当O 点振动了一段时间后，经过的路程是0.5 m ，各质点运动的方向是
A ．a 质点向上 B ．b 质点向上 C ．c 质点向下 D ．d 质点向下
7．如图在x y平面内有一沿x 轴正方向传播的简谐横波，波速为1 m/s，振幅为4 cm，频率为2.5 H z. 在t=0时刻，P 点位于其平衡位置上方最大位移处，则距P 为0.2 m 的Q 点（见图）
A ．在0.1 s时的位移是4 cm B ．在0.1 s时的速度最大
C ．在0.1 s时的速度向下 D ．在0到0.1 s时间内的路程是4 cm
8．一列简谐横波，在t =0时刻的波形如图8-13所示，自右向左传播，已知在t 1 =0.7 s 时，P 点出现第二次波峰（0.7 s内P 点出现两次波峰），Q 点的坐标是（-7，0），则以下判断中正确的是
A ．质点A 和质点B 在t =0时刻的位移是相等的
B ．在t =0时刻，质点C 向上运动
C ．. 在t 2=0.9 s 末，Q 点第一次出现波峰
D ．在t 3=1.26 s 末，Q 点第一次出现波峰
9．如图所示，一列沿 x 正方向传播的简谐横波，波速大小为 0.6 m/s ，P 点的横坐标为96 cm ，从图中状态开始计时，求：
（1）经过多长时间，P 质点开始振动，振动时方向如何？
（2）经过多少时间，P 质点第一次到达波峰？
参考答案：
1．A 2．ABC 3．AC 4．BD
5．BD 6．A 7．BD 8．BC
9．解析：开始计时时，这列波的最前端的质点坐标是24 cm ，根据波的传播方向，可知这一点沿 y 轴负方向运动，因此在波前进方向的每一个质点开始振动的方向都是沿 y 轴负方向运动，故P 点开始振动时的方向是沿 y 轴负方向，P 质点开始振动的时间是
（1）t =∆x 0. 96-0. 24==1.2 s v 0. 6
（2）用两种方法求解
质点振动法：这列波的波长是λ=0.24 m，故周期是
T =λ
v =0. 24=0.4 s 0. 6
3T 才能第一次到达波峰，因此所用4经过1.2 s，P 质点开始振动，振动时方向向下，故还要经过
时间是1.2 s+0.3 s=1.5 s.
波形移动法：质点P 第一次到达波峰，即初始时刻这列波的波峰传到P 点，因此所用的时间是 t ′=0. 96-
0. 06=1.5 s 0. 6
机械波
教学目标：
1．掌握机械波的产生条件和机械波的传播特点（规律）；
2．掌握描述波的物理量——波速、周期、波长；
3．正确区分振动图象和波动图象，并能运用两个图象解决有关问题
4．知道波的特性：波的叠加、干涉、衍射；了解多普勒效应
教学重点：机械波的传播特点，机械波的三大关系（波长、波速、周期的关
系；空间距离和时间的关系；波形图、质点振动方向和波的传播
方向间的关系）
教学难点：波的图象及相关应用
教学过程：
一、机械波
1．机械波的产生条件：①波源（机械振动）②传播振动的介质（相邻质点间存在相互作用力）。
2．机械波的分类
机械波可分为横波和纵波两种。
（1）质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波，如：绳上波、水面波等。
（2）质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波，如：弹簧上的疏密波、声波等。
说明：地震波既有横波，也有纵波。
3．机械波的传播
（1）在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。波速、波长和频率之间满足公式：v=λ f 。
（2）介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动，是变加速运动，介质质点并不随波迁移。
（3）机械波转播的是振动形式、能量和信息。
（4）机械波的频率由波源决定，而传播速度由介质决定。
4．机械波的传播特点（规律）：
（1）前带后，后跟前，运动状态向后传。即：各质点都做受迫振动，起振方向由波源来决定；且其振动频率（周期）都等于波源的振动频率（周期），但离波源越远的质点振动越滞后。
（2）机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量，而不是质点。
5．机械波的反射、折射、干涉、衍射
一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。特别是干涉、衍射，是波特有的性质。
（1）干涉 产生干涉的必要条件是：两列波源的频率必须相同。
需要说明的是：以上是发生干涉的必要条件，而不是充分条件。要发生干涉还要求两列波的振动方向相同（要上下振动就都是上下振动，要左右振动就都是左右振动），还要求相差恒定。我们经常列举的干涉都是相差为零的，也就是同向的。如果两个波源是振动是反向的，那么在干涉区域内振动加强和减弱的位置就正好颠倒过来了。
干涉区域内某点是振动最强点还是振动最弱点的充要条件：
①最强：该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍，即δ=nλ
②最弱：该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍，即δ=λ
2(2n +1)
根据以上分析，在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。
至于“波峰和波峰叠加得到振动加强点”，“波谷和波谷叠加也得到振动加强点”，“波峰和波谷叠加得到振动减弱点”这些都只是充分条件，不是必要条件。
【例1】 如图所示，S 1、S 2是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同。实线和虚线分别表示
在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a 、b 、c 、d 四点，下列说法中正确的有
A ．该时刻a 质点振动最弱，b 、c 质点振动最强，d 质点振动既不是最强也不是最弱
B ．该时刻a 质点振动最弱，b 、c 、d 质点振动都最强
C ．a 质点的振动始终是最弱的， b 、c 、d 质点的振动始终是最强的
D ．再过T /4后的时刻a 、b 、c 三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱
解析：该时刻a 质点振动最弱，b 、c 质点振动最强，这不难理解。但是d 既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？这就要用到充要条件：“到两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从图中可以看出，d 是S 1、S 2连线的中垂线上的一点，到S 1、S 2的距离相等，所以必然为振动最强点。
本题答案应选B 、C
点评：描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移。每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的。
【例2】 如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。设两列波的振幅均为5 cm ，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1m/s和0.5m 。C 点是BE 连线的中点，下列说法中正确的是 （ ）
A ．C 、E 两点都保持静止不动
B ．图示时刻A 、B 两点的竖直高度差为20cm
C ．图示时刻C 点正处于平衡位置且向水面上运动
D ．从图示的时刻起经0.25s ，B 点通过的路程为20cm
解析：由波的干涉知识可知图6中的质点A 、B 、E 的连线处波峰和波峰或波谷和波谷叠加是加强区，过D 、F 的连线处和过P 、Q 的连线处波峰和波谷叠加是减弱区。C 、E 两点是振动的加强点，不可能静止不动。所以选项A 是错误的。
在图示时刻，A 在波峰，B 在波谷，它们振动是加强的，振幅均为两列波的振幅之和，均为10cm ，此时的高度差为20cm ，所以B 选项正确。
A 、B 、C 、E 均在振动加强区，且在同一条直线上，由题图可知波是由E
处向A 处传播，在图示时刻的波形图线如右图所示，由图可知C 点向水面运动，
所以C 选项正确。
波的周期T = /v = 0.5s ，经过0.25s ，即经过半个周期。在半个周期内，质点的路程为振幅的2倍，所以振动加强点B 的路程为20cm ，所以D 选项正确。
点评： 关于波的干涉，要正确理解稳定的干涉图样是表示加强区和减弱区的相对稳定，但加强区和减弱区还是在做振动，加强区里两列波分别引起质点分振动的方向是相同的，减弱区里两列波分别引起质点分振动的方向是相反的，发生变化的是振幅增大和减少的区别，而且波形图沿着波的传播方向在前进。
（2）衍射。
①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。
②能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。
（3）波的独立传播原理和叠加原理。
独立传播原理：几列波相遇时，能够保持各自的运动状态继续传播，不互相影响。
叠加原理：介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速度、加速度的矢量和。
波的独立传播原理和叠加原理并不矛盾。前者是描述波的性质：同时在同一介质中传播的几列波都是独立的。比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传播，我们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。后者是描述介质质点的运动情况：每个介质质点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。这好比老师给学生留作业：各个老师要留的作业与其他老师无关，是独立的；但每个学生要做的作业却是所有老师留的作业的总和。
【例3】 如图中实线和虚线所示，振幅、周期、起振方向都相同的两列正弦波（都只有一个完整波形）沿同一条直线向相反方向传播，在相遇阶段（一个周期内），试画出每隔T /4后的波形图。并分析相遇后T /2时刻叠加区域内各质点的运动情况。
解析：根据波的独立传播原理和叠加原理可作出每隔T /4后的波形图如①②③④所示。
相遇后T /2时刻叠加区域内abcde 各质点的位移都是零，但速度各不相同，其中a 、c 、e 三质点速度最大，方向如图所示，而b 、d 两质点速度为零。这说明在叠加区域内，a 、c 、e 三质点的振动是最强的，b 、d 两质点振动是最弱的。
6．多普勒效应
当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。
学习“多普勒效应”必须弄清的几个问题：
（1）当波源以速率v 匀速靠近静止的观察者A 时，观察者“感觉”到的频率变大了。但不是“越来越大”。
（2）当波源静止，观察者以速率v 匀速靠近波源时，观察者“感觉”到的频率也变大了。
（3）当波源与观察者相向运动时，观察者“感觉”到的频率变大。
（4）当波源与观察者背向运动时，观察者“感觉”到的频率变小。
【例4】a 为声源，发出声波；b 为接收者，接收a 发出的声波。a 、b 若运动，只限于在沿两者连线方向上，下列说法正确的是
A ．a 静止，b 向a 运动，则b 收到的声频比a 发出的高
B ．a 、b 向同一方向运动，则b 收到的声频一定比a 发出的高
C ．a 、b 向同一方向运动，则b 收到的声频一定比a 发出的低
D ．a 、b 都向相互背离的方向运动，则b 收到的声频比a 发出的高
答案：A
二、振动图象和波的图象
1．振动图象和波的图象
振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别，但实际上它们有本质的区别。
（1）物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。
（2）图象的横坐标的单位不同：振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。
（3）从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。
简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较：
2．描述波的物理量——波速、周期、波长：
（1）波速v ：运动状态或波形在介质中传播的速率；同一种波的波速由介质决定。
（2）周期T ：即质点的振动周期；由波源决定。
（3）波长λ：在波动中，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离。
注：在横波中，两个相邻波峰（波谷）之间的距离为一个波长。
结论：
（1）波在一个周期内传播的距离恰好为波长。
由此：①v =λ/T =λf ；λ=vT . ②波长由波源和介质决定。
（2）质点振动nT （波传播n λ）时，波形不变。
（3）相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。
3．波的图象的画法
波的图象中，波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向，这三者中已知任意两者，可以判定另一个。（口诀为“上坡下，下坡上” ；或者“右上右、左上左））
4．波的传播是匀速的
在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。n 个周期波形向前推进n 个波长（n 可以是任意正数）。因此在计算中既可以使用v=λ f ，也可以使用v=s/t，后者往往更方便。
5．介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）
任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A ，在半个周期内经过的路程都是2A ，但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A 了。
6．起振方向
介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。
【例5】 在均匀介质中有一个振源S ，它以50H Z 的频率上下振
动，该振动以40m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。开始时刻
S 的速度方向向下，试画出在t =0.03s时刻的波形。
解析：从开始计时到t =0.03s经历了1.5个周期，波分别
向左、右传播1.5个波长，该时刻波源S 的速度方向向上，所
以波形如右图所示。
【例6】 如图所示是一列简谐横波在t =0
时刻的波形图，
已知这列波沿x 轴正方向传播，波速为20m/s。P 是离原点为2m 的一个介质质点，则在t =0.17s时刻，质点P 的：①速度和加速度都沿-y 方向；②速度沿+y 方向，加速度沿-y 方向；③速度和加速度都正在增大；④速度正在增大，加速度正在减小。
以上四种判断中正确的是
A ．只有① B ．只有④
C ．只有①④ D ．只有②③
解析：由已知，该波的波长λ=4m，波速v =20m/s，因此周期为T =λ/v =0.2s；因为波向右传播，所以t =0时刻P 质点振动方向向下；0.75 T
7．波动图象的应用：
（1）从图象上直接读出振幅、波长、任一质点在该时刻的振动位移。
（2）波动方向振动方向。
方法：选择对应的半周，再由波动方向与振动方向“头头相对、尾尾相对”来判断。
如图：
【例7】如图是一列沿x 轴正方向传播的机械波在某时刻的波
形图。由图可知：这列波的振幅为5cm ，波长为 4m 。此时刻
P 点的位移为，速度方向为，加速度方向
沿y 轴负方向； Q 点的位移为－5cm ，速度为 0 ，加速度方
向沿y 轴正方向。
【例8】如图是一列波在t 1=0时刻的波形，波的传播速度
为2m/s，若传播方向沿x 轴负向，则从t 1=0到t 2=2.5s的时间
内，质点M 通过的路程为______，位移为_____。
解析：由图：波长λ=0.4m，又波速v =2m/s，可得：
周期T =0.2s，所以质点M 振动了12.5T 。
对于简谐振动，质点振动1T ，通过的路程总是4A ；振动0.5T ，通过的路程总是2A 。
所以，质点M 通过的路程12×4A +2A =250cm=2.5m。质点M 振动12.5T 时仍在平衡位置。 所以位移为0。
【例9】在波的传播方向上，距离一定的P 与Q 点之间只有一个波谷的四种情况，如图A 、B 、
C 、D 所示。已知这四列波在同一种介质中均向右传播，则质点P 能首先达到波谷的是（ ）
解析：四列波在同一种介质中传播，则波速v 应相同。由T =λ/v 得：T D >T A =T B >T C ； 再结合波动方向和振动方向的关系得：B 图中的P 点首先达到波谷。
（3）两个时刻的波形问题：设质点的振动时间（波的传播时间）为t ，波传播的距离为x 。 则：t =nT +△t 即有x =n λ+△x （△x=v△t ） 且质点振动nT （波传播n λ）时，波形不变。 ①根据某时刻的波形，画另一时刻的波形。
方法1：波形平移法：当波传播距离x =n λ+△x 时，波形平移△x 即可。
方法2：特殊质点振动法：当波传播时间t =nT +△t 时，根据振动方向判断相邻特殊点（峰点，谷点，平衡点）振动△t 后的位置进而确定波形。
②根据两时刻的波形，求某些物理量（周期、波速、传播方向等）
【例10】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。
已知波速v =0.5m/s，画出该时刻7s 前及7s 后的瞬时波形图。
解析：λ=2m，v =0.5m/s，T = =4 s.所以⑴波在7s 内传播 v
的距离为x =vt =3.5m=133λ⑵质点振动时间为1T 。 44
3λ可得7s 后的波形；
4
方法1 波形平移法：现有波形向右平移
现有波形向左平移3λ可得7s 前的波形。 4
由上得到图中7s 后的瞬时波形图（粗实线）和7s 前的瞬时波形图（虚线）。
方法2 特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点（如平衡点和峰点）在3T /4前和3T /4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。
【例11】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过
时的波形图象。求：
①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）
③可能的波速 ④若波速是35m/s，求波的传播方向
⑤若0.2s 小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。
解析：
①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。
向左传播时，传播的距离为x =n λ+3λ/4=（4n +3）m （n=0、1、2 „）
向右传播时，传播的距离为x =n λ+λ/4=（4n+1）m （n=0、1、2 „）
②向左传播时，传播的时间为t =nT +3T /4得：T =4t /（4n +3）=0.8 /（4n +3）（n=0、1、2 „） 向右传播时，传播的时间为t =nT +T /4得：T =4t /（4n +1）=0.8 /（4n +1） （n=0、1、2 „） ③计算波速，有两种方法。v =x /t 或v =λ/T
向左传播时，v =x /t =（4n +3）/0.2=（20n +15）m/s. 或v =λ/T =4 （4n +3）/0.8=（20n +15）m/s.（n =0、1、2 „）
向右传播时，v =x /t =（4n +1）/0.2=（20n +5）m/s. 或v =λ/T =4 （4n +1）/0.8=（20n +5）m/s. （n =0、1、2 „）
④若波速是35m/s，则波在0.2s 内传播的距离为x =vt =35×0.2m=7m=13λ，所以波向左传播。 4
⑤若0.2s 小于一个周期，说明波在0.2s 内传播的距离小于一个波长。则：
向左传播时，传播的距离x =3λ/4=3m；传播的时间t =3T /4得：周期T =0.267s；波速v =15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t =T /4得：周期T =0.8s；波速v =5m/s.
点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。
（4）根据波的传播特点（运动状态向后传）确定某质点的运动状态问题：
【例12】一列波在介质中向某一方向传播，如图是此波在某一时刻的波形图，且此时振动还只发生在M 、N 之间，并知此波的周期为T ，Q 质点速度方向在波形中是向下的。则：波源是_____；P 质点的起振方向为_________；从波源起振开始计时时，P 点已经振动的时间为______。
．．．．．．．．．．
解析：由Q 点的振动方向可知波向左传播，N 是波源。
由M 点的起振方向（向上）得P 质点的起振方向向上。振动从N 点传播到M 点需要1T ，传播到P 点需要3T /4，所以质点P 已经振动的时间为T /4.
【例13】如图是一列向右传播的简谐横波在t =0时刻（开始计时）的波形图，已知在t =1s时，B ．．．．
点第三次达到波峰（在1s 内B 点有三次达到波峰）。则：
①周期为________ ②波速为______；
③D 点起振的方向为_________；④在t =____s时刻，此波传到D 点；在t =____s和t =___s时D 点分别首次达到波峰和波谷；在t =____s和t =___s时D 点分别第二次达到波峰和波谷。
解析：
①B 点从t =0时刻开始在经过t =2.5T =1s第三次达到波峰，故周期T =0.4s.
②由v =λ/T =10m/s.
③D 点的起振方向与介质中各质点的起振方向相同。在图示时刻，C 点恰好开始起振，由波动方向可知C 点起振方向向下。所以，D 点起振方向也是向下。
④从图示状态开始计时：此波传到D 点需要的时间等于波从C 点传播到D 需要的时间，即：t =（45－4）/10=4.1s； D 点首次达到波峰的时间等于A 质点的振动状态传到D 点需要的时间，即：t=（45－1） /10=4.4s； D 点首次达到波谷的时间等于B 质点的振动状态传到D 点需要的时间，即：t =（45－3）/10=4.2s；D 点第二次达到波峰的时间等于D 点首次达到波峰的时间再加上一个周期，即：t =4.4 s+0.4s=4.8 s. D 点第二次达到波谷的时间等于D 点首次达到波峰的时间再加上一个周期，即：
t =4.2s+0.4s=4.6s.
【例14】 已知在t 1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t 2该波的波形如图中虚线所示。t 2-t 1 = 0.02s。求：
（1）该波可能的传播速度。
（2）若已知T
（3）若0.01s
1⎫，所以波速解析：（1）如果这列简谐横波是向右传播的，在t 2-t 1内波形向右匀速传播了⎛ n +⎪λ⎝3⎭
1⎫⎛；同理可得若该波是向左传播的，可能的v = n +⎪λ÷(t 2-t 1)=100（3n +1）m/s （n =0，1，2，„）3⎭⎝
波速v =100（3n +2）m/s （n =0，1，2，„）
（2）P 质点速度向上，说明波向左传播，T
（3）“Q 比R 先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s
三、声波
1．空气中的声波是纵波。
2．空气中的声速可认为是340m/s，水中的声速是1450m/s，铁中的声速是5400m/s。
3．人耳可以听到的声波的频率范围是20Hz-20000Hz 。频率低于20Hz 的声波叫次声波，频率高于20000Hz 的声波叫超声波。
4．人耳只能区分开相差0.1s 以上的两个声音。
5．声波也能发生反射、干涉和衍射等现象。声波的共振现象称为声波的共鸣。
四、针对训练
1．一列简谐横波沿x 轴负方向传播，图1是t =1s时的波形图，图2是波中某振动质元位移随时
间变化的振动图线（两图用同一时间起点），则图2可能是图1中哪个质元的振动图线？
A ．x =0处的质元 B ．x =1m处的质元
C ．x =2m处的质元 D ．x =3m处的质元
2．图中是观察水面波衍射的实验装置，AC 和BD 是两块挡板，AB 是一个孔，O 为波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间距离表示一个波长，则波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是：
A ．此时能明显观察到波的衍射现象；
B ．挡板前后波纹间距离相等；
C ．如果将孔AB 扩大，有可能观察不到明显的衍射现象；
D ．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能更明显地观察到衍射现
象。
3．一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为λ，沿 x 轴正方向传播.
某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两
点 P 1、P 2，已知P 1的 x 坐标小于P 2的 x 坐标.
A. 若P 1P 2＜
B. 若P 1P 2＜
C. 若P 1P 2＞
D. 若P 1P 2＞λ，则P 1向下运动，P 2向上运动 2λ，则P 1向上运动，P 2向下运动 2λ，则P 1向上运动，P 2向下运动 2λ，则P 1向下运动，P 2向上运动 2
4．如图所示，一根张紧的水平弹性长绳上的 a 、b 两点，相 距14.0 m ，b 点在 a 点的右方. 当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若 a 点的位移达到正极大时，b 点的位移恰为零，且向下运动. 经过1.00 s 后，a 点的位移为零，且向下运动，而 b 点的位移恰达到负极大.
则这简谐横波的波速可能
等于
A.14 m/s B.10 m/s C.6 m/s D.4.67 m/s
5．简谐横波在某时刻的波形图线如图所示，由此图可知
A ．若质点 a 向下运动，则波是从左向右传播的
B ．若质点b 向上运动，则波是从左向右传播的
C. 若波从右向左传播，则质点 c 向下运动
D ．若波从右向左传播，则质点d 向上运动
6．如图所示，O 是波源，a 、b 、c 、d 是波传播方向上各质点的平衡位置，且Oa =ab =bc =cd =3 m，开始各质点均静止在平衡位置，t =0时波源O 开始向上做简谐运动，振幅是0.1 m ，波沿Ox 方向传播，波长是8 m，当O 点振动了一段时间后，经过的路程是0.5 m ，各质点运动的方向是
A ．a 质点向上 B ．b 质点向上 C ．c 质点向下 D ．d 质点向下
7．如图在x y平面内有一沿x 轴正方向传播的简谐横波，波速为1 m/s，振幅为4 cm，频率为2.5 H z. 在t=0时刻，P 点位于其平衡位置上方最大位移处，则距P 为0.2 m 的Q 点（见图）
A ．在0.1 s时的位移是4 cm B ．在0.1 s时的速度最大
C ．在0.1 s时的速度向下 D ．在0到0.1 s时间内的路程是4 cm
8．一列简谐横波，在t =0时刻的波形如图8-13所示，自右向左传播，已知在t 1 =0.7 s 时，P 点出现第二次波峰（0.7 s内P 点出现两次波峰），Q 点的坐标是（-7，0），则以下判断中正确的是
A ．质点A 和质点B 在t =0时刻的位移是相等的
B ．在t =0时刻，质点C 向上运动
C ．. 在t 2=0.9 s 末，Q 点第一次出现波峰
D ．在t 3=1.26 s 末，Q 点第一次出现波峰
9．如图所示，一列沿 x 正方向传播的简谐横波，波速大小为 0.6 m/s ，P 点的横坐标为96 cm ，从图中状态开始计时，求：
（1）经过多长时间，P 质点开始振动，振动时方向如何？
（2）经过多少时间，P 质点第一次到达波峰？
参考答案：
1．A 2．ABC 3．AC 4．BD
5．BD 6．A 7．BD 8．BC
9．解析：开始计时时，这列波的最前端的质点坐标是24 cm ，根据波的传播方向，可知这一点沿 y 轴负方向运动，因此在波前进方向的每一个质点开始振动的方向都是沿 y 轴负方向运动，故P 点开始振动时的方向是沿 y 轴负方向，P 质点开始振动的时间是
（1）t =∆x 0. 96-0. 24==1.2 s v 0. 6
（2）用两种方法求解
质点振动法：这列波的波长是λ=0.24 m，故周期是
T =λ
v =0. 24=0.4 s 0. 6
3T 才能第一次到达波峰，因此所用4经过1.2 s，P 质点开始振动，振动时方向向下，故还要经过
时间是1.2 s+0.3 s=1.5 s.
波形移动法：质点P 第一次到达波峰，即初始时刻这列波的波峰传到P 点，因此所用的时间是 t ′=0. 96-
0. 06=1.5 s 0. 6