高等数学论文
论文题目：级数敛散性判别方法的归纳
姓 名：冯菲菲 院 系：电气信息学院 专 业：电子信息工程 指导老师：费 腾
时间：2013年5月
摘 要：无穷级数是《高等数学》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散
引言： 在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时， 学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性 ，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱 . 所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.
一. 级数收敛的概念和基本性质
给定一个数列｛u n ｝，形如
u 1+u 2+ +u n ①
称为无穷级数(常简称级数), 用∑u n 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为
n =1∞
s n =∑u n =u +u + +u ②
12n
n =1
n
称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛s ｝收敛于s. 则称无穷级数∑u n 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑v n 发
n n =1散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：
定理1 若级数∑u n 和∑v n 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数∑(cu n +dv n ) 亦收敛，且∑(cu n +du n ) =c∑u n +d∑v n
定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性
定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m
∞
＞N 和任意的自然数p ，都有u m +1+u m +2+ +u m +p ＜ε
以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二. 正项级数的收敛判别
各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{s n }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n有s n ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法
1 比较判别法
设∑u n 和∑v n 是两个正项级数, 如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有
u n ≤v n ，则
（i ）级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛； （ii ）若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散。 例 1 . 设∑a n 收敛，证明：∑
2
n =1∞
∞
n =2
a n
收敛（a n >0）. n ln n
1212
) 证明：因为 0
2n ln n n =1
∞∞
11122
易知：∑收敛（积分判别法），又收敛，所以a a +) n ∑∑n 22
n ln n n =2n =2n ln n n =22
∞
∞
收敛。
由比较判别法知∑
n =2
∞∞
a n
收敛（a n >0）. n ln n
x
例 2 . 证明：级数∑(-1) sin (∀x ≠0) 都是条件收敛的。
n n =1
x πx x
证： 不妨设x>0,则∃N x >0，当n>N x 时，00, 且{sin }
n 2n n
x
为单调递减数列，且lim sin =0。
n →∞n
x
由莱布尼茨判别法知∑(-1) sin (∀x ≠0) 收敛。
n n =1
∞
而当n>N x 时，(-1) n sin
x x
=sin >0，lim
n →∞n n
n
sin
x =1
∞
x x
又∑发散，由比较判别法知∑sin 也发散。
n n =1n n =1
∞
x
所以∀x ≠0，级数∑(-1) sin (∀x ≠0) 都是条件收敛的。
n n =1111
例 3. 证明级数∑[e -(1+++ +)]收敛
1! 2! n ! n =1
1111
证： 0
n ⋅n ! 1! 2! n !
1
b n (n +1) ⋅(n +1)!
l i n +1= lim = lim =0
n →∞(n +1) 2n →∞b n →∞1n
n ⋅n !
∞
∞
由比值判别法知∑b n 收敛，再由比较判别法知∑a n 收敛，即有：
111
级数∑[e -(1+++ +)]收敛。
1! 2! n ! n =1
∞
根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。
2 柯西判别法（根式判别法）
设∑u n 为正项级数，且存在某正整数N 0及正常数l ，（i ）若对一切n ＞N 0，成立不等式u n ≤l ＜1，则级数∑u n 收敛。（ii ）若对一切n ＞N 0，成立不等式
n ≥1则级数∑u n 发散。
n 2
例 1 . 判别级数∑n 的敛散性。
2
n 21
解：因为 lim u n =l i =
n →∞n →∞22
n 2
所以由根式判别法知级数∑n 收敛。
2
3 达朗贝尔判别法（比值判别法）
设∑u n 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数q （0＜q ＜1）. （i ）若对一切n ＞N 0，成立不等式
u n +1
（ii ）若对一切n ＞N 0，≤q ，则级数∑u n 收敛。
u n
成立不等式
u n +1
≥1则级数∑u n 发散。 u n
3n ⋅n !
例 1 .判别级数∑n 的敛散性。
n
3u n +13n +1(n +1)! n n 3
解：因为 l i = lim = = >1 ⋅lim n n →∞u n →∞(n +1) n +1n →∞e 3n ! n (1+) n
n
3n ⋅n !
所以由比式判别法知级数∑n 发散。
n
4积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
设f 为[1，+ ∞) 上非负减函数，那么正项级数∑f (n ) 与反常积分⎰f (x ) dx
1∞
同时收敛或同时发散。
例 1 .判别级数∑ 解：设f(x)=
1
的敛散性。 p q
n =3n (lnn ) (lnln n )
∞
1
, 则f(x)在[3，+ ∞)上非负递减。 p q
n (lnn ) (lnln n )
+∞
若p =1，这时有⎰
3
dx
= p q
x (lnx ) (lnln x )
1⎧1
(q >1) du ⎪q -1
q -1(lnln 3) = ⎰ln ln 3u q ⎨
⎪+∞(q ≤1) ⎩
+∞
当小q ＞1时级数收敛；当小q ≤1时级数发散； 若p ≠1, 这时有⎰时，取t>1,有
+∞3
+∞du dx
= 对任意的q ，当p -1>0(p -1) u q p q ⎰ln ln 3e u x (lnx ) (lnln x )
e (p -1) u u q
即该积分发散。
u →∞
lim u t ⋅
1
u t ⋅=0 即该积分收敛。当p -1
u →∞
1e (p -1) u u q
=+∞
5拉贝判别法
设∑u n 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数r ，（i ）若对一切n ＞N 0，成立不等式n (1-
u n +1
（ii ）若对一切n ＞N 0，成立) ≥r ＞1，则级数∑u n 收敛。
u n
不等式n (1-
u n +1
) ≤1则级数∑u n 发散。 u n
n !
（x>0）的敛散性。
(x +1)(x +2) (x +n )
(n +1)! u n +1
∙ ) = lim n [1-
n →∞(x +1)(x +2) (x +n +1) u n
例 1 .判别级数∑
解：因为 l i n m (1-
n →∞
(x +1)(x +2) (x +n )
]
n !
nx
=x = lim
n →∞x +n +1
所以由拉贝判别法知，当小x ＞1时级数收敛；当小x ≤1时级数发散；
6对数判别法
1) u n
=q ，则当q>1时，级数∑u n 收敛；对于正项级数∑u n ，如果存在lim
n →∞ln n
ln(
当q
例 1判别级数∑a n =∑5[-ln n +(-1)
n =2∞
∞
n -1
]
的敛散性。
n =2
证明：lim
n →∞
1) a n [lnn -(-1) n -1]ln 5
= lim =ln 5>1 n →∞ln n ln n
∞
因此有对数判别法可知级数∑a n =∑5[-ln n +(-1)
n =2
∞
n -1
]
收敛。
n =2
7双比值判别法
对于正项级数∑u n ，如果存在lim 数∑u n 收敛；当ρ>
1u 2n u
= lim 2n +1= ρ，则当ρ
n →∞u n →∞u 2n n +1
1
时，级数∑u n 发散。 2
例 1判别级数∑
ln n
的敛散性。 2n n =1
∞
u 2n ln(2n ) n 211
证明：因为lim =lim ⋅=
n →∞u n →∞(2n ) 2ln n 42n
由此知级数∑
ln n
收敛。 2n n =1
∞
∞
n n
例 2 判别级数∑n 的敛散性。
n =1n ! e
n n (n +1) n +1
证明：这里a n >a n +1，即> n n +1
n ! e (n +1)! e
a 2n 2(2n ) 2n n ! e n (2n ) 2n e n 2n n n e -n
有lim = lim = = > ⋅lim ⋅2n n n 2n 2n -2n n →∞n →∞n →∞2a n (2n )! e n n e π(2n ) (2n ) e 1 2
n n
所以级数∑n 发散。
n =1n ! e
∞
8高斯判别法
设∑a n 是严格正项级数，并设
μv 1a n
) ，则关于级数=λ+++ο(
n n ln n n ln n a n +1
∑a
n
的敛散性，有以下结论：
（i ）如果λ>1，那么级数∑a n 收敛；如果λ1，那么级数∑a n 收敛；如果λ=1，μ
发散。
（iii ）如果λ=μ=1，υ>1，那么级数∑a n 收敛；如果λ=μ=1，υ
例1 Gauss 超几何级数1+∑
α(α+1) (α+n -1) β(β+1) (β+n -1) n
x 的敛
n ! γ(γ+1)(γ+2) (γ+n -1) n =1
n
散性，其中均α, β, γ, χ为非负常数。
1γ(1+)(1+)
a (n +1)(γ+n ) 11 解：因为n ==
a n +1(α+n )(β+n ) x (1+)(1+) χ
n n
αα1ββ1
又因为(1+) -1=1-+ο(2) ，(1+) -1=1-+ο(2) ，
n n n n n n
所以
1+γ-α-β1a n 1
=（1++ο(2) ）。
n n a n +1x
根据高斯判别法可以判别：
如果xα+β, 那么级数收敛。 如果x>1;或者x=1, γ≤α+β, 那么级数发散。
三. 总结
总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路，以及在此基础上对新的证明
方法的探讨，从不同的数学知识思维角度, 给出了调和级数发散的八种证明方法；同时对调和级数的性质也做了进一步的分析讨论，给出了调和级数的一些新的性质。
最后很感谢费腾老师的悉心教导，让我们就能更好地掌握如何先则数项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果，使我们对调和级数本身有了更深入的了解和认识。
四. 参考文献
[1]高等数学下册/柳翠华, 熊德之主编.-北京：科学出版社，2011.9 [2]高等数学学习与提高/杨建华, 孙霞林, 王志红主编.-2版.-北京:科学出版社,2012.8
[3]双比值判别法与对数判别法的比较/杨钟玄. [J].四川师范大学学报，2004，（1）：57-60.
[4]一类特殊正项级数的敛散性判定技巧/刘芜健. 南京邮电大学学报
高等数学论文
论文题目：级数敛散性判别方法的归纳
姓 名：冯菲菲 院 系：电气信息学院 专 业：电子信息工程 指导老师：费 腾
时间：2013年5月
摘 要：无穷级数是《高等数学》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散
引言： 在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时， 学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性 ，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱 . 所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.
一. 级数收敛的概念和基本性质
给定一个数列｛u n ｝，形如
u 1+u 2+ +u n ①
称为无穷级数(常简称级数), 用∑u n 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为
n =1∞
s n =∑u n =u +u + +u ②
12n
n =1
n
称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛s ｝收敛于s. 则称无穷级数∑u n 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑v n 发
n n =1散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：
定理1 若级数∑u n 和∑v n 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数∑(cu n +dv n ) 亦收敛，且∑(cu n +du n ) =c∑u n +d∑v n
定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性
定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m
∞
＞N 和任意的自然数p ，都有u m +1+u m +2+ +u m +p ＜ε
以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二. 正项级数的收敛判别
各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{s n }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n有s n ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法
1 比较判别法
设∑u n 和∑v n 是两个正项级数, 如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有
u n ≤v n ，则
（i ）级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛； （ii ）若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散。 例 1 . 设∑a n 收敛，证明：∑
2
n =1∞
∞
n =2
a n
收敛（a n >0）. n ln n
1212
) 证明：因为 0
2n ln n n =1
∞∞
11122
易知：∑收敛（积分判别法），又收敛，所以a a +) n ∑∑n 22
n ln n n =2n =2n ln n n =22
∞
∞
收敛。
由比较判别法知∑
n =2
∞∞
a n
收敛（a n >0）. n ln n
x
例 2 . 证明：级数∑(-1) sin (∀x ≠0) 都是条件收敛的。
n n =1
x πx x
证： 不妨设x>0,则∃N x >0，当n>N x 时，00, 且{sin }
n 2n n
x
为单调递减数列，且lim sin =0。
n →∞n
x
由莱布尼茨判别法知∑(-1) sin (∀x ≠0) 收敛。
n n =1
∞
而当n>N x 时，(-1) n sin
x x
=sin >0，lim
n →∞n n
n
sin
x =1
∞
x x
又∑发散，由比较判别法知∑sin 也发散。
n n =1n n =1
∞
x
所以∀x ≠0，级数∑(-1) sin (∀x ≠0) 都是条件收敛的。
n n =1111
例 3. 证明级数∑[e -(1+++ +)]收敛
1! 2! n ! n =1
1111
证： 0
n ⋅n ! 1! 2! n !
1
b n (n +1) ⋅(n +1)!
l i n +1= lim = lim =0
n →∞(n +1) 2n →∞b n →∞1n
n ⋅n !
∞
∞
由比值判别法知∑b n 收敛，再由比较判别法知∑a n 收敛，即有：
111
级数∑[e -(1+++ +)]收敛。
1! 2! n ! n =1
∞
根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。
2 柯西判别法（根式判别法）
设∑u n 为正项级数，且存在某正整数N 0及正常数l ，（i ）若对一切n ＞N 0，成立不等式u n ≤l ＜1，则级数∑u n 收敛。（ii ）若对一切n ＞N 0，成立不等式
n ≥1则级数∑u n 发散。
n 2
例 1 . 判别级数∑n 的敛散性。
2
n 21
解：因为 lim u n =l i =
n →∞n →∞22
n 2
所以由根式判别法知级数∑n 收敛。
2
3 达朗贝尔判别法（比值判别法）
设∑u n 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数q （0＜q ＜1）. （i ）若对一切n ＞N 0，成立不等式
u n +1
（ii ）若对一切n ＞N 0，≤q ，则级数∑u n 收敛。
u n
成立不等式
u n +1
≥1则级数∑u n 发散。 u n
3n ⋅n !
例 1 .判别级数∑n 的敛散性。
n
3u n +13n +1(n +1)! n n 3
解：因为 l i = lim = = >1 ⋅lim n n →∞u n →∞(n +1) n +1n →∞e 3n ! n (1+) n
n
3n ⋅n !
所以由比式判别法知级数∑n 发散。
n
4积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
设f 为[1，+ ∞) 上非负减函数，那么正项级数∑f (n ) 与反常积分⎰f (x ) dx
1∞
同时收敛或同时发散。
例 1 .判别级数∑ 解：设f(x)=
1
的敛散性。 p q
n =3n (lnn ) (lnln n )
∞
1
, 则f(x)在[3，+ ∞)上非负递减。 p q
n (lnn ) (lnln n )
+∞
若p =1，这时有⎰
3
dx
= p q
x (lnx ) (lnln x )
1⎧1
(q >1) du ⎪q -1
q -1(lnln 3) = ⎰ln ln 3u q ⎨
⎪+∞(q ≤1) ⎩
+∞
当小q ＞1时级数收敛；当小q ≤1时级数发散； 若p ≠1, 这时有⎰时，取t>1,有
+∞3
+∞du dx
= 对任意的q ，当p -1>0(p -1) u q p q ⎰ln ln 3e u x (lnx ) (lnln x )
e (p -1) u u q
即该积分发散。
u →∞
lim u t ⋅
1
u t ⋅=0 即该积分收敛。当p -1
u →∞
1e (p -1) u u q
=+∞
5拉贝判别法
设∑u n 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数r ，（i ）若对一切n ＞N 0，成立不等式n (1-
u n +1
（ii ）若对一切n ＞N 0，成立) ≥r ＞1，则级数∑u n 收敛。
u n
不等式n (1-
u n +1
) ≤1则级数∑u n 发散。 u n
n !
（x>0）的敛散性。
(x +1)(x +2) (x +n )
(n +1)! u n +1
∙ ) = lim n [1-
n →∞(x +1)(x +2) (x +n +1) u n
例 1 .判别级数∑
解：因为 l i n m (1-
n →∞
(x +1)(x +2) (x +n )
]
n !
nx
=x = lim
n →∞x +n +1
所以由拉贝判别法知，当小x ＞1时级数收敛；当小x ≤1时级数发散；
6对数判别法
1) u n
=q ，则当q>1时，级数∑u n 收敛；对于正项级数∑u n ，如果存在lim
n →∞ln n
ln(
当q
例 1判别级数∑a n =∑5[-ln n +(-1)
n =2∞
∞
n -1
]
的敛散性。
n =2
证明：lim
n →∞
1) a n [lnn -(-1) n -1]ln 5
= lim =ln 5>1 n →∞ln n ln n
∞
因此有对数判别法可知级数∑a n =∑5[-ln n +(-1)
n =2
∞
n -1
]
收敛。
n =2
7双比值判别法
对于正项级数∑u n ，如果存在lim 数∑u n 收敛；当ρ>
1u 2n u
= lim 2n +1= ρ，则当ρ
n →∞u n →∞u 2n n +1
1
时，级数∑u n 发散。 2
例 1判别级数∑
ln n
的敛散性。 2n n =1
∞
u 2n ln(2n ) n 211
证明：因为lim =lim ⋅=
n →∞u n →∞(2n ) 2ln n 42n
由此知级数∑
ln n
收敛。 2n n =1
∞
∞
n n
例 2 判别级数∑n 的敛散性。
n =1n ! e
n n (n +1) n +1
证明：这里a n >a n +1，即> n n +1
n ! e (n +1)! e
a 2n 2(2n ) 2n n ! e n (2n ) 2n e n 2n n n e -n
有lim = lim = = > ⋅lim ⋅2n n n 2n 2n -2n n →∞n →∞n →∞2a n (2n )! e n n e π(2n ) (2n ) e 1 2
n n
所以级数∑n 发散。
n =1n ! e
∞
8高斯判别法
设∑a n 是严格正项级数，并设
μv 1a n
) ，则关于级数=λ+++ο(
n n ln n n ln n a n +1
∑a
n
的敛散性，有以下结论：
（i ）如果λ>1，那么级数∑a n 收敛；如果λ1，那么级数∑a n 收敛；如果λ=1，μ
发散。
（iii ）如果λ=μ=1，υ>1，那么级数∑a n 收敛；如果λ=μ=1，υ
例1 Gauss 超几何级数1+∑
α(α+1) (α+n -1) β(β+1) (β+n -1) n
x 的敛
n ! γ(γ+1)(γ+2) (γ+n -1) n =1
n
散性，其中均α, β, γ, χ为非负常数。
1γ(1+)(1+)
a (n +1)(γ+n ) 11 解：因为n ==
a n +1(α+n )(β+n ) x (1+)(1+) χ
n n
αα1ββ1
又因为(1+) -1=1-+ο(2) ，(1+) -1=1-+ο(2) ，
n n n n n n
所以
1+γ-α-β1a n 1
=（1++ο(2) ）。
n n a n +1x
根据高斯判别法可以判别：
如果xα+β, 那么级数收敛。 如果x>1;或者x=1, γ≤α+β, 那么级数发散。
三. 总结
总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路，以及在此基础上对新的证明
方法的探讨，从不同的数学知识思维角度, 给出了调和级数发散的八种证明方法；同时对调和级数的性质也做了进一步的分析讨论，给出了调和级数的一些新的性质。
最后很感谢费腾老师的悉心教导，让我们就能更好地掌握如何先则数项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果，使我们对调和级数本身有了更深入的了解和认识。
四. 参考文献
[1]高等数学下册/柳翠华, 熊德之主编.-北京：科学出版社，2011.9 [2]高等数学学习与提高/杨建华, 孙霞林, 王志红主编.-2版.-北京:科学出版社,2012.8
[3]双比值判别法与对数判别法的比较/杨钟玄. [J].四川师范大学学报，2004，（1）：57-60.
[4]一类特殊正项级数的敛散性判定技巧/刘芜健. 南京邮电大学学报