山东省济南市2016年中考数学试卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题结出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．） 1．5的相反数是（ ）
11
A ． B ．5 C ．－ D ．－5
55
2．随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量特达到2150万人，数字2150用科学记数法表示为（ ） A ．0.215×104 B ．2.15×103 C ．2.15×104 D ．21.5×102
3．如图，直线l 1∥l 2，等腰直角△ABC 的两个顶点A 、B 分别落在直线l 1、l 2上，∠ACB ＝90°，若∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A ． 35° B ．30° C ． 25° D ．20°
l 1
第3题图
l 2
4．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5．下列运算正确的是（ ）
A ． a 2＋a ＝2a 3 B ．a 2·a 3＝a 6 C ．(－2a 3) 2＝4a 6 D ．a 6÷a 2＝a 3
6．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美、对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
7．化简A ．
21
的结果是（ ） ÷2
x -1x -1
222 B ． C ． D ．2(x +1)
x x +1x -1
8．如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M 、N ，①中的图形M 平移后位置如图②所示，以下对图形M 的平移方法叙述正确的是 （ ）
A ．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B ．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位
M
②
9．如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图像交y 轴于点A (0，3) ，则不等式－2x ＋b ＞0的解集为（ ） A ．x ＞
第8题图
33
B ．x ＞3 C ．x ＜ D ．x ＜3 22
第9题图
10．某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择
其中一门课程，则小波和和小睿选到同一课程的概率是（ ）
1111 B ． C ． D ． 2639
【答案】B A ．
11．若关于x 的一元二次方程x 2－2x +k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＜1 B ．k ≤1 C ．k ＞－1 D ．k ＞1
12．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为60°，若学生
1.7，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ）
第
12题图
A ．47m B ．51m C ．53m D ．54m 故答案选B ．
13．（2016济南，13，3分）如图，在 ABCD 中，AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，CG ⊥BE ，垂足为G ，若EF ＝2，则线段CG 的长为（ ） 15
A ． B ．43 C ．215 D 55
2
第13题图
B
14．（2016济南，14，3分）定义：点A （x ，y ）为平面直角坐标系内的点，若满足x ＝y ，则把点A 叫做“平衡点”．例如：M （1，1），N （－2，－2）都是“平衡点”．当－1≤x ≤3时，直线y ＝2x ＋m 上有“平衡点”，则m 的取值范围是（ ）
A ．0≤m ≤1 B ．－3≤m ≤1 C ．－3≤m ≤3 D ．－1≤m ≤0
15．（2016济南，15，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是AB 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）
第15题图
【答案】D
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 16．（2016济南，16，3分）计算：21(－2) ＝_______．
－
17．（2016济南，17，3分）分解因式：a 2－4b 2＝_______．
18．（2016济南，18，3分）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：18，x ，15，16，13．若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是_______． 64
19．（2016济南，19，3分）若代数式的值相等，则x ＝_______．
x ＋2x
k
20．（2016济南，20，3分）如图，半径为2的⊙O 在第一象限与直线y ＝x 交于点A ，反比例函数y ＝x
x ＞0) 的图象过点A ，则k ＝_________．
第20题图
21．（2016济南，21，3分）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝10，点E 是CD 的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME 、NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B ′处，折痕为HG ，连接HE ，则tan ∠EHG ＝_______．
B'
M
A
G
第21题图1
A
N
第21题图2
N
第21题图3
三、解答题（本大题7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 22．（本小题满分7分）
（1）先化简再求值：a (1－4a ) ＋(2a ＋1)(2a －1) ，其中a ＝4．
⎧2x ＋1≤7 ①
（2）解不等式组：⎨
⎩3＋2x ≥1＋x ②
23．（本小题满分7分）
（1）如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF ． 求证：AE ＝AF ．
C
B
第23(1)题图
（2）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OP A ＝40°，
求∠ABC 的度数．
P
第23(2)题图
24．（本小题满分8分）
学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg ，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：
（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ （2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？
25．（本小题满分8分）
着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多． 教师为了指导学生有幸效利用网络进行学习，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图1、图2两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：
课外利用网络学习的时间问卷调查表 您好! 这是一份关于您平均每周课外利用网络学习时间的问卷调查表，请在表格中选择一项符合您学习时间的选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
选项
第25题图1
第25题图2
（1）本次接受问卷调查的学生共有
人；在扇形统计图中“D ”选项所占的百分比为 ； （2）扇形统计图中，“B ”选项所对应扇形圆心角为 度； （3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生课外利用网络学习的时间在“A ”选项的有多少人？ 26．（本小题满分9分）
如图1，□OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，OC ＝5
，反比例函数y ＝
m
(x ＞0) 的图象经过点A （
1，4）． x
（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；
（2）如图2，过BC 的中点D 作DP ∥x 轴交反比例函数图象于点P ，连接AP 、OP ． ①求△AOP 的面积；
②在□OABC 的边上是否存在点M ，使得△POM 是以PO 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（本小题满分9分）
在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究． （一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点E 、F 分別在线段BC 、CD 上，∠EAF ＝30°，连接EF ． （1）如图2，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°后得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AD 重合），请直 接写出∠E ′AF ＝________度，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为________；
（2）如图3，当点E 、F 分别在线段BC 、CD 的延长线上时，其他条件不变，请探究线 段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由． （二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC 中，E 、F 是边BC 上的两点，∠EAF ＝30°，BE ＝1，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AC 重合），连接EE ′，AF 与EE ′交于点N ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，连接MN ，求线段MN 的长度．
D
C
第27题图
1
E
第27题图3
E'
C
第27题图2
E'
B
E
M
F
第27题图4
28．（本小题满分9分）
如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3) x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
C 6
（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若1＝，求m 的値；
C 25（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°) ，连
2
接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋E ′B 的最小值．
3
第28题图1
山东省济南市2016年中考数学答案解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题结出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．） 1．5的相反数是（ ）
11
A ． B ．5 C ．－ D ．－5
55
【答案】D
【解析】一般地，只有符号不同的两个数，我说其中的一个是另一个的相反数，特别的，0的相反数是0．∴5的相反数是－5． 故答案选D ．
2．随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量特达到2150万人，数字2150用科学记数法表示为（ ） A ．0.215×104 B ．2.15×103 C ．2.15×104 D ．21.5×102 【答案】B
【解析】2150这个数共有4位整数位，所以将它用科学计数法表示为2.15×103 ． 故答案选B ．
3．如图，直线l 1∥l 2，等腰直角△ABC 的两个顶点A 、B 分别落在直线l 1、l 2上，∠ACB ＝90°，若∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A ． 35° B ．30° C ． 25° D ．20°
l 1
第3题图
l 2
【答案】B
【解析】∵△ABC 是等腰直角，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝45°． ∵∠1＝15°，∴∠3＝∠CAB －∠1＝45°－15°＝30°． ∵l 1∥l 2，∴∠2＝∠3＝30°． 故答案选B ．
l 1
2
第3题答案图
4．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】D
【解析】A 选项的主视图是三角形，所以A 选项不正确； B 选项的主视图是矩形，但俯视图是圆，所以B 选项不正确； C 选项的主视图是三角形，所以C 选项不正确；
D 选项的主视图是矩形，俯视图是三角形，所以D 选项正确； 故答案选D ．
5．下列运算正确的是（ ）
A ． a 2＋a ＝2a 3 B ．a 2·a 3＝a 6 C ．(－2a 3) 2＝4a 6 D ．a 6÷a 2＝a 3 【答案】C
【解析】因为a 2与a 不是同类项，它们不能合并，所以A 选项不正确； 因为a 2·a 3＝a 5，所以B 选项不正确；
因为(－2a 3) 2＝(-2)2(a3)2=4a 6， 所以C 选项正确； 因为a 6÷a 2＝a 4，所以D 选项不正确； 故答案选C ．
6．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美、对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【答案】D
【解析】A 、B 是轴对称图形但不是中心对称图形，C 是中心对称图形但不是轴对称图形，所以A 、B 、C 选项都不正确；D 既是轴对称图形又是中心对称图形，所以D 选项正确； 故答案选D ． 7．化简A ．
21
的结果是（ ） ÷2
x -1x -1
222 B ． C ． D ．2(x +1)
x x +1x -1
【答案】A
x －12221
【解析】2＝• ÷
x ＋1x -1x -1(x ＋1) (x －1) 1
故答案选A ．
8．如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M 、N ，①中的图形M 平移后位置如图②所示，以下对图形M 的平移方法叙述正确的是 （ ）
A ．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B ．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位
M
②
第8题图
【答案】B
【解析】图①中的点A 和图②中的点A ′是一对对应点，将点A 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位就得到点A ′，所以B 选项正确． 故答案选B ．
M
9．如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图像交y 轴于点A (0，3) ，则不等式－2x ＋b ＞0的解集为（ ） A ．x ＞
第8题答案图
②
33
B ．x ＞3 C ．x ＜ D ．x ＜3 22
第9题图
【答案】C
【解析】把点A (0，3) 代入y ＝－2x ＋b ，得3＝0＋b ．∴b ＝3． 一次函数解析式为y ＝－2x ＋3． 由－2x ＋3＞0，得x ＜故答案选C ．
3． 2
10．某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和和小睿选到同一课程的概率是（ ）
1111 B ． C ． D ． 2639
【答案】B
A ．
1
总共有9种等可能的结果，其中小波和和小睿选到同一课程结果有3种，所以其规律为
3故答案选B
．
11．若关于x 的一元二次方程x 2－2x +k =0有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是（ ）
A ．k ＜1 B ．k ≤1 C ．k ＞－1 D ．k ＞1 【答案】A
【解析】根据题意，得(－2) 2－4×1×k ＞0．解得k ＜1． 故答案选A ．
12．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为60°，若学生1.7，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ）
第12题图
A ．47m B ．51m C ．53m D ．54m 【答案】B
1
【解析】AB ＝
BD ＝60m ，BC ＝BD ＝
30m ，CD ＝3BC ≈1.7×30＝51(m)．
2故答案选B ．
13．（2016济南，13，3分）如图，在 ABCD 中，AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，CG ⊥BE ，垂足为G ，若EF ＝2，则线段CG 的长为（ ） 15
A ． B ．43 C ．215 D 55
2
第13题图
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ．∴∠ABE ＝∠DFE ，∠CBE ＝∠E ．
∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ．∴∠DFE ＝∠E ．∴DE ＝DF ． ∵∠ABE ＝∠CBE ， ∠ABE ＝∠DFE ， ∠CFB ＝∠DFE ， ∴∠CBE ＝∠CFB ．∴CF ＝CB ＝8． ∴DF ＝DC －CF ＝12－8＝4．
EF DF 24
∵AE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ．∴．∴BF ＝4．
BF CF BF 81
∵CF ＝CB ， CG ⊥BE ，∴FG ＝BG BF ＝2(三线合一) ．
2在Rt △CFG 中，CG CF －FG ＝8－2＝2．
B
∴选项C 正确．
14．（2016济南，14，3分）定义：点A （x ，y ）为平面直角坐标系内的点，若满足x ＝y ，则把点A 叫做“平衡点”．例如：M （1，1），N （－2，－2）都是“平衡点”．当－1≤x ≤3时，直线y ＝2x ＋m 上有“平衡点”，则m 的取值范围是（ ）
A ．0≤m ≤1 B ．－3≤m ≤1 C ．－3≤m ≤3 D ．－1≤m ≤0 【答案】B 【解析】
（1）把x ＝－1代入y ＝x ，得y ＝－1．
把（－1，－1）代入y ＝2x ＋m ，得m ＝1． （2）把x ＝3代入y ＝x ，得y ＝3．
把（3，3）代入y ＝2x ＋m ，得m ＝－3． ∴m 的取值范围是：－3≤m ≤1．
∴选项B 正确．
15．（2016济南，15，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是AB 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度
沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）
第15题图
【答案】D
【解析】过点D 作DF ⊥AB 于点F （如图1），则DF ＝BC ＝4． ∵AD ＝5，DF ＝4，∴AF ＝3．
DF 4
∴sin ∠A ＝MF ＝3－1＝2，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2，DC ＝BF ＝2．
AD 5∵AD ＝5，AN ＝3，∴ND ＝5－3＝2．
(Q ) P
第15题答案图1
第15题答案图2
F
第15题答案图3
（1）当0≤t ≤2时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图2），
此时AP ＝AM ＋MP ＝1＋t ，AQ ＝AN ＋NQ ＝3＋t ．
11422
∴S •AQ •sin ∠A (1＋t )(3＋t ) ×(t ＋2) 2―当0≤t ≤2时，S 随t 的增大而增大，且当t ＝2
22555时，S ＝6．由此可知A 、B 选项都不对．
（2）当t ＝5时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图3），
此时BP ＝1，PE ＝BC －BP －CE ＝4－1－1＝2． 11
∴S ＝•PE ＝5×2＝5．
22
∵6＞5， ∴选项D 正确．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）
16．（2016济南，16，3分）计算：21(－2) ＝_______．
－
1
【答案】2
111－
【解析】21＋(－2) 4＝2＝2
222
17．（2016济南，17，3分）分解因式：a 2－4b 2＝_______． 【答案】(a ＋2b )(a －2b )
【解析】应用平方差公式得a 2－4b 2＝(a ＋2b )(a －2b )
18．（2016济南，18，3分）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：18，x ，15，16，13．若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是_______． 【答案】16
【解析】根据题意，得
1
＋x ＋15＋16＋13) ＝16． 5
解得x ＝19．
∴这组数据是：18，19，15，16，13．
将这组数据按从小到大的顺序排列为：13，15，16，18，19． ∴这组数据的中位数是16．
64
19．（2016济南，19，3分）若代数式的值相等，则x ＝_______．
x ＋2x 【答案】4
【解析】根据题意，得
64＝． x ＋2x
解得x ＝4．
经检验：x ＝4是方程的解．
k
20．（2016济南，20，3分）如图，半径为2的⊙O 在第一象限与直线y ＝x 交于点A ，反比例函数y ＝x
x ＞0) 的图象过点A ，则k ＝_________．
第20题图
【答案】2
【解析】∵点A 在直线y ＝x 上，∴可设点A 的坐标为(x ，x ) ．
∵OA ＝2，∴x 2＋x 2＝22．解得x ＝2．∴点A 的坐标为22) ． k k
把点A 22) 代入y ＝x ＞0) ，得2＝
x 2解得k ＝2．
21．（2016济南，21，3分）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝10，点E 是CD 的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME 、NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B ′处，折痕为HG ，连接HE ，则tan ∠EHG ＝_______．
B'
M
A
G
第21题图1
A
N
第21题图2
N
第21题图3
5
【答案】3
6
【解析】在图2中，设DM ＝x ，则AM ＝EM ＝10－x ．
1
∵点E 是CD 的中点，AB ＝CD ＝3，∴DE ＝CE ＝CD ＝4．
2
在Rt △DEM 中，∵DE 2＋DM 2＝EM 2，∴(42＋x 2＝(10－x ) 2．解得x ＝2.6． ∴DM ＝2.6，AM ＝EM ＝10－2.6＝7.4．
过点N 作NF ⊥CD 于点F （如答案图1），则△DEM ∽△FNE ． ∴
DE EM 437.43737．∴ 解得EN ＝3．∴AN ＝EN ＝3． FN EN 10EN 66
37
3
AN 65
∴tan ∠AMN ＝＝＝3．
AM 7.46
B'
M
G
A
N 第21题答案图
1
A
N
第21题答案图2
在答案图2中，∵ME ⊥EN ，HG ⊥EN ，∴ME ∥HG ．∴∠NME ＝∠NHK ． 又∵∠NME ＝∠AMN ，∠EHG ＝∠NHK ，∴∠AMN ＝∠EHG ． 5
∴tan ∠EHG ＝tan ∠AMN ＝3．
6
三、解答题（本大题7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 22．（本小题满分7分）
（1）先化简再求值：a (1－4a ) ＋(2a ＋1)(2a －1) ，其中a ＝4． 【解】原式＝a －4a 2＋4a 2－1＝a －1．
当a ＝4时，
原式＝a －1＝4－1＝3．
⎧2x ＋1≤7 ①
（2）解不等式组：⎨
⎩3＋2x ≥1＋x ②
【解】由①，得x ≤3．
由②，得x ≥－2．
∴解不等式组的解集为：－2≤x ≤3．
23．（本小题满分7分）
（1）如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF ． 求证：AE ＝AF ．
C
B 第23(1)题图
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ＝AB ，∠D ＝∠B ，DC ＝BC ． ∵CE ＝CF ，
∴DC －CF ＝BC －CE ． ∴DF ＝BE ．
∴△ADF ≌△ABE ．
∴AE ＝AF ．
（2）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OP A ＝40°，
求∠ABC 的度数．
解：∵AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，∴P A ⊥AB ．∴∠A ＝90°．
又∵∠OP A ＝40°，∴∠AOP ＝50°． ∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ．
1
又∵∠AOP ＝∠B ＋∠OCB ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠AOP ＝25°．
2
24．（本小题满分8分）
学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg ，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：
（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ （2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？ 解：（1）设采摘黄瓜x 千克，采摘茄子
y 千克，根据题意，得
⎧x ＋y ＝40⎧x ＝30
⎨ ． 解得⎨． ⎩x ＋1.2y ＝42⎩y ＝10
P
第23(2)题图
答：采摘黄瓜30千克，采摘茄子10千克．
（2）30×(1.5－1) ＋10×(2－1.2) ＝23（元）．
答：采摘的黄瓜和茄子可赚23元． 25．（本小题满分8分）
着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多． 教师为了指导学生有幸效利用网络进行学习，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图1、图2两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：
课外利用网络学习的时间问卷调查表 您好! 这是一份关于您平均每周课外利用网络学习时间的问卷调查表，请在表格中选择一项符合您学习时间的选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
选项
第25题图1
第25题图2
（1）本次接受问卷调查的学生共有
人；在扇形统计图中“D ”选项所占的百分比为 ； （2）扇形统计图中，“B ”选项所对应扇形圆心角为 度； （3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生课外利用网络学习的时间在“A ”选项的有多少人？ 解：（1）50÷50%＝100．∴本次接受问卷调查的学生共有100人；
10÷100×100%＝10%．∴在扇形统计图中“D ”选项所占的百分比为10%． （2）20÷100×360°＝72°．∴扇形统计图中，“B ”选项所对应扇形圆心角为72°． （3）100－20－50－10＝20（人），∴条形统计图中“A ”选项所对应的人数是20人．
（补图略）
（4）20÷100×1200＝240（人）．
答：估计该校学生课外利用网络学习的时间在“A ”选项的有240人． 26．（本小题满分9分）
如图1，□OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，OC ＝5，反比例函数y ＝
m
(x ＞0) 的图象经过点A （1，4）． x
（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；
（2）如图2，过BC 的中点D 作DP ∥x 轴交反比例函数图象于点P ，连接AP 、OP ． ①求△AOP 的面积；
②在□OABC 的边上是否存在点M ，使得△POM 是以PO 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
m 4m
，得4＝m ＝4．∴反比例函数的关系式为：y ＝
1x x
∵x B ＝AB ＋1＝5＋1＝6，y B ＝4，∴点B 的坐标为（6，4）．
（2）①∵D 是BC 的中点，且B （6，4），C （5，0），∴D （5.5，2）．
作DP 的延长线，交OA 于点E ．
∵DP ∥OA ，D 是BC 的中点，∴点E 是OA 的中点．∴E （0.5，2）．
过点A 作AF ⊥OC 于点F ，交PE 于点G ，则AG ⊥P E 于点G ，且AF ＝4． ∵点P 的纵坐标与点D 的纵坐标相同， ∴点P 的纵坐标为2． 解:（1）把A （1，4）代入y ＝
44
把y ＝2代入y ＝，得2＝．∴x ＝2．∴点P 的坐标为（2，2）．
x x
∴PE ＝x P －x E ＝2－0.5＝1.5．
∴△AOP 的面积＝△AEP 的面积＋△EOP 的面积
11111
＝•AG ＋PE •FG ＝PE (AG ＋FG ) ＝ •AF 1.5×4＝3． 22222
第26题答案图
1
第26题答案图2
②在□OABC 的边上是否存在点M ，使得△POM 是以PO 为斜边的直角三角形．
以OP 为直径作圆，该圆交OC 于点M 1，交OA 于点M 2，则M 1，M 2就是符合题意的点． ∵PM 1⊥OC ，且点P 的坐标为（2，2）， ∴点M 1的坐标为（2，0）．
可求得直线OA 的解析式为y ＝4x ．
1
∵PM 2⊥OA ，∴可设直线PM 2的解析式为y ＝－x ＋b ．
41
把点P （2，2）代入，得2＝－×2＋b ．解得b ＝2.5．
4
1
∴直线PM 2的解析式为y ＝－＋2.5．
4
⎧⎧x ＝17⎪y ＝4x 1040
1由⎨解 得⎨40．∴点 M 2的坐标为（．
1717y ＝－x ＋2.5⎪4⎩⎩y ＝17
1040
综合以上可得，符合题意的点M 的坐标为（2，0）或（．
1717
27．（本小题满分9分）
在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究． （一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点E 、F 分別在线段BC 、CD 上，∠EAF ＝30°，连接EF ． （1）如图2，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°后得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AD 重合），请直 接写出∠E ′AF ＝________度，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为________；
（2）如图3，当点E 、F 分别在线段BC 、CD 的延长线上时，其他条件不变，请探究线 段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由． （二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC 中，E 、F 是边BC 上的两点，∠EAF ＝30°，BE ＝1，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AC 重合），连接EE ′，AF 与EE ′交于点N ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，连接MN ，求线段MN 的长度．
10
E'
C
D
C
第27题图2
第27题图1
E
M
F
E'
第27题图3
第27题图4
解：（一）尝试探究: （1）∠E ′AF ＝30°，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为：EF ＝BE ＋FD ． 理由：∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′，
∴AE ′＝AE ，∠A ′B ′E ′＝∠B ＝90°，B ′E ′＝BE ，∠B ′A ′E ′＝∠BAE ． ∵∠ADC ＝90°，
∴∠ADC ＋∠A ′B ′E ′＝180°． ∴F 、D 、E ′在同一条直线上． ∵∠BAD ＝60°，∠EAF ＝30°， ∴∠BAE ＋∠F AD ＝30°． ∴∠B ′A ′E ′＋∠F AD ＝30°． ∴∠E ′AF ＝∠F AE ＝30°． 又∵AE ′＝AE ，AF ＝AF ， ∴△AFE ≌△AFE ′．
∴EF ＝E ′F ＝DF ＋DE ′＝DF ＋BE ．
（2）在图3中，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为：EF ＝BE －FD ． 理由：如答案图1，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°后得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AD 重合）．
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′， ∴AE ′＝AE ，∠A ′B ′E ′＝∠B ＝90°，B ′E ′＝BE ，∠B ′A ′E ′＝∠BAE ． ∵∠ADC ＝90°，
∴∠ADC ＋∠A ′B ′E ′＝180°． ∴F 、D 、E ′在同一条直线上． ∵∠BAE ＋∠EAD ＝60°， ∠B ′A ′E ′＝∠BAE ， ∴∠B ′A ′E ′＋∠EAD ＝60°． 即∠E ′AE ＝60°． 又∵∠EAF ＝30°，
∴∠E ′AF ＝∠E ′AE ―∠EAF ＝60°―30°=30°． ∴∠EAF ＝∠E ′AF ．
又∵AE ′＝AE ，AF ＝AF ， ∴△AFE ≌△AFE ′．
∴EF ＝E ′F ＝DE ′―DF ＝BE ―DF ．
E'
B
E
M
F
E'
第27题答案图1 第27题答案图2
（二）拓展延伸: 如答案图2，连接E ′F ．
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AC 重合）， ∴AE ′＝AE ， B ′E ′＝BE ＝1，∠B ′A ′E ′＝∠BAE ． ∵∠BAE ＋∠EAC ＝60°， ∠B ′A ′E ′＝∠BAE ， ∴∠B ′A ′E ′＋∠EAC ＝60°． 即∠E ′AE ＝60°． 又∵AE ′＝AE ，
∴△EAE ′是等边三角形． ∵∠E ′AE ＝60°，∠EAF ＝30°， ∴∠E ′AF ＝∠EAF ＝30°． 又∵AE ′＝AE ，
∴AN ⊥EE ′（三线合一）．∴
AN 3
＝． AE ′2
AM 31
在等边△ABC 中，∵AM ⊥BC 于点M ，∴＝，且∠CAM ＝∠BAM ＝∠BAC ＝30°．
AC 22可证∠E ′AF ＝∠EAF ＝30°．
∴∠E ′AF ＝∠CAM ＝30°．
∴∠E ′AF －∠F AC ＝∠CAM －∠F AC ． ∴∠E ′AC ＝∠F AM ． AN 3AM 3又∵＝，＝，′
AE ′2AC 2∴△MAN ∽△CAE ′． ∴
MN 3． CE ′2
3． 2
又∵CE ′＝1， ∴MN 28．（本小题满分9分）
如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3) x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB
于点M ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若
C 16
＝，求m 的値； C 25
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°) ，连
2
接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋E ′B 的最小值．
3
解：（1）把点A （4，0）代入y ＝ax 2＋(a ＋3) x ＋3，得 16a ＋4(a ＋3) ＋3＝0．
3
解得a ＝－
4
39
∴抛物线的函数表达式为：y ＝－x 2x ＋3．
44把x ＝0代入上式，得y ＝3．
∴点B 的坐标为（0，3）．
3由A （4，0），B （0，3）可得直线AB 的函数表达式为：y ＋3．
4（2）根据题意，得
39
OE ＝m ，AE ＝4－m ，AB ＝5，点P 的坐标可表示为(m ，－m 2＋＋3) ．
4439
∴PE ＝－m 2＋＋3……………………………………………………①
44AN NE AE AN NE 4－m
∵△AEN ∽△AOB ＝．∴．
AB BO 453453
∴AN ＝(4－m ) ， NE ＝(4－m ) ．
44∵△PMN ∽△AEN ，且
C 16
＝， C 25
PN 63665
∴＝．∴PN ＝AN ＝×(4－m ) ＝－m ) ． AN 52554
339
∴PE ＝NE ＋PN ＝－m ) ＋－m ) ＝－m ) ………………………... ②
424由①、②，得
399
－ 2＋m ＋3＝(4－m ) ． 444
解得m 1＝2，m 2＝4(不合题意，舍去) ． ∴m 的値为2．
（3）在（2）的条件下，m 的値为2，点E （2，0），OE ＝2．∴OE ′＝OE ＝2． 44
如图，取点F (0，) ，连接FE ′、AF ．则OF ＝AF ＝
33
4
42＋() 2＝10．
33
第28题答案图
4
OF 32OE ′2FE ′22∵＝FOE ′＝∠E ′OB ，∴△FOE ′∽△E ′OB ．∴．∴FE ′′B ． OE ′23OB 3E ′B 3324
∴E ′A ′B ＝E ′A ＋FE ′≥AF ＝．
3324
∴E ′A ′B 的最小值为10．
33
山东省济南市2016年中考数学试卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题结出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．） 1．5的相反数是（ ）
11
A ． B ．5 C ．－ D ．－5
55
2．随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量特达到2150万人，数字2150用科学记数法表示为（ ） A ．0.215×104 B ．2.15×103 C ．2.15×104 D ．21.5×102
3．如图，直线l 1∥l 2，等腰直角△ABC 的两个顶点A 、B 分别落在直线l 1、l 2上，∠ACB ＝90°，若∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A ． 35° B ．30° C ． 25° D ．20°
l 1
第3题图
l 2
4．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5．下列运算正确的是（ ）
A ． a 2＋a ＝2a 3 B ．a 2·a 3＝a 6 C ．(－2a 3) 2＝4a 6 D ．a 6÷a 2＝a 3
6．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美、对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
7．化简A ．
21
的结果是（ ） ÷2
x -1x -1
222 B ． C ． D ．2(x +1)
x x +1x -1
8．如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M 、N ，①中的图形M 平移后位置如图②所示，以下对图形M 的平移方法叙述正确的是 （ ）
A ．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B ．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位
M
②
9．如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图像交y 轴于点A (0，3) ，则不等式－2x ＋b ＞0的解集为（ ） A ．x ＞
第8题图
33
B ．x ＞3 C ．x ＜ D ．x ＜3 22
第9题图
10．某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择
其中一门课程，则小波和和小睿选到同一课程的概率是（ ）
1111 B ． C ． D ． 2639
【答案】B A ．
11．若关于x 的一元二次方程x 2－2x +k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＜1 B ．k ≤1 C ．k ＞－1 D ．k ＞1
12．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为60°，若学生
1.7，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ）
第
12题图
A ．47m B ．51m C ．53m D ．54m 故答案选B ．
13．（2016济南，13，3分）如图，在 ABCD 中，AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，CG ⊥BE ，垂足为G ，若EF ＝2，则线段CG 的长为（ ） 15
A ． B ．43 C ．215 D 55
2
第13题图
B
14．（2016济南，14，3分）定义：点A （x ，y ）为平面直角坐标系内的点，若满足x ＝y ，则把点A 叫做“平衡点”．例如：M （1，1），N （－2，－2）都是“平衡点”．当－1≤x ≤3时，直线y ＝2x ＋m 上有“平衡点”，则m 的取值范围是（ ）
A ．0≤m ≤1 B ．－3≤m ≤1 C ．－3≤m ≤3 D ．－1≤m ≤0
15．（2016济南，15，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是AB 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）
第15题图
【答案】D
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 16．（2016济南，16，3分）计算：21(－2) ＝_______．
－
17．（2016济南，17，3分）分解因式：a 2－4b 2＝_______．
18．（2016济南，18，3分）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：18，x ，15，16，13．若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是_______． 64
19．（2016济南，19，3分）若代数式的值相等，则x ＝_______．
x ＋2x
k
20．（2016济南，20，3分）如图，半径为2的⊙O 在第一象限与直线y ＝x 交于点A ，反比例函数y ＝x
x ＞0) 的图象过点A ，则k ＝_________．
第20题图
21．（2016济南，21，3分）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝10，点E 是CD 的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME 、NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B ′处，折痕为HG ，连接HE ，则tan ∠EHG ＝_______．
B'
M
A
G
第21题图1
A
N
第21题图2
N
第21题图3
三、解答题（本大题7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 22．（本小题满分7分）
（1）先化简再求值：a (1－4a ) ＋(2a ＋1)(2a －1) ，其中a ＝4．
⎧2x ＋1≤7 ①
（2）解不等式组：⎨
⎩3＋2x ≥1＋x ②
23．（本小题满分7分）
（1）如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF ． 求证：AE ＝AF ．
C
B
第23(1)题图
（2）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OP A ＝40°，
求∠ABC 的度数．
P
第23(2)题图
24．（本小题满分8分）
学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg ，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：
（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ （2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？
25．（本小题满分8分）
着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多． 教师为了指导学生有幸效利用网络进行学习，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图1、图2两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：
课外利用网络学习的时间问卷调查表 您好! 这是一份关于您平均每周课外利用网络学习时间的问卷调查表，请在表格中选择一项符合您学习时间的选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
选项
第25题图1
第25题图2
（1）本次接受问卷调查的学生共有
人；在扇形统计图中“D ”选项所占的百分比为 ； （2）扇形统计图中，“B ”选项所对应扇形圆心角为 度； （3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生课外利用网络学习的时间在“A ”选项的有多少人？ 26．（本小题满分9分）
如图1，□OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，OC ＝5
，反比例函数y ＝
m
(x ＞0) 的图象经过点A （
1，4）． x
（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；
（2）如图2，过BC 的中点D 作DP ∥x 轴交反比例函数图象于点P ，连接AP 、OP ． ①求△AOP 的面积；
②在□OABC 的边上是否存在点M ，使得△POM 是以PO 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（本小题满分9分）
在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究． （一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点E 、F 分別在线段BC 、CD 上，∠EAF ＝30°，连接EF ． （1）如图2，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°后得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AD 重合），请直 接写出∠E ′AF ＝________度，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为________；
（2）如图3，当点E 、F 分别在线段BC 、CD 的延长线上时，其他条件不变，请探究线 段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由． （二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC 中，E 、F 是边BC 上的两点，∠EAF ＝30°，BE ＝1，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AC 重合），连接EE ′，AF 与EE ′交于点N ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，连接MN ，求线段MN 的长度．
D
C
第27题图
1
E
第27题图3
E'
C
第27题图2
E'
B
E
M
F
第27题图4
28．（本小题满分9分）
如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3) x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
C 6
（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若1＝，求m 的値；
C 25（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°) ，连
2
接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋E ′B 的最小值．
3
第28题图1
山东省济南市2016年中考数学答案解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题结出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．） 1．5的相反数是（ ）
11
A ． B ．5 C ．－ D ．－5
55
【答案】D
【解析】一般地，只有符号不同的两个数，我说其中的一个是另一个的相反数，特别的，0的相反数是0．∴5的相反数是－5． 故答案选D ．
2．随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量特达到2150万人，数字2150用科学记数法表示为（ ） A ．0.215×104 B ．2.15×103 C ．2.15×104 D ．21.5×102 【答案】B
【解析】2150这个数共有4位整数位，所以将它用科学计数法表示为2.15×103 ． 故答案选B ．
3．如图，直线l 1∥l 2，等腰直角△ABC 的两个顶点A 、B 分别落在直线l 1、l 2上，∠ACB ＝90°，若∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A ． 35° B ．30° C ． 25° D ．20°
l 1
第3题图
l 2
【答案】B
【解析】∵△ABC 是等腰直角，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝45°． ∵∠1＝15°，∴∠3＝∠CAB －∠1＝45°－15°＝30°． ∵l 1∥l 2，∴∠2＝∠3＝30°． 故答案选B ．
l 1
2
第3题答案图
4．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】D
【解析】A 选项的主视图是三角形，所以A 选项不正确； B 选项的主视图是矩形，但俯视图是圆，所以B 选项不正确； C 选项的主视图是三角形，所以C 选项不正确；
D 选项的主视图是矩形，俯视图是三角形，所以D 选项正确； 故答案选D ．
5．下列运算正确的是（ ）
A ． a 2＋a ＝2a 3 B ．a 2·a 3＝a 6 C ．(－2a 3) 2＝4a 6 D ．a 6÷a 2＝a 3 【答案】C
【解析】因为a 2与a 不是同类项，它们不能合并，所以A 选项不正确； 因为a 2·a 3＝a 5，所以B 选项不正确；
因为(－2a 3) 2＝(-2)2(a3)2=4a 6， 所以C 选项正确； 因为a 6÷a 2＝a 4，所以D 选项不正确； 故答案选C ．
6．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美、对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【答案】D
【解析】A 、B 是轴对称图形但不是中心对称图形，C 是中心对称图形但不是轴对称图形，所以A 、B 、C 选项都不正确；D 既是轴对称图形又是中心对称图形，所以D 选项正确； 故答案选D ． 7．化简A ．
21
的结果是（ ） ÷2
x -1x -1
222 B ． C ． D ．2(x +1)
x x +1x -1
【答案】A
x －12221
【解析】2＝• ÷
x ＋1x -1x -1(x ＋1) (x －1) 1
故答案选A ．
8．如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M 、N ，①中的图形M 平移后位置如图②所示，以下对图形M 的平移方法叙述正确的是 （ ）
A ．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B ．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位
M
②
第8题图
【答案】B
【解析】图①中的点A 和图②中的点A ′是一对对应点，将点A 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位就得到点A ′，所以B 选项正确． 故答案选B ．
M
9．如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图像交y 轴于点A (0，3) ，则不等式－2x ＋b ＞0的解集为（ ） A ．x ＞
第8题答案图
②
33
B ．x ＞3 C ．x ＜ D ．x ＜3 22
第9题图
【答案】C
【解析】把点A (0，3) 代入y ＝－2x ＋b ，得3＝0＋b ．∴b ＝3． 一次函数解析式为y ＝－2x ＋3． 由－2x ＋3＞0，得x ＜故答案选C ．
3． 2
10．某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和和小睿选到同一课程的概率是（ ）
1111 B ． C ． D ． 2639
【答案】B
A ．
1
总共有9种等可能的结果，其中小波和和小睿选到同一课程结果有3种，所以其规律为
3故答案选B
．
11．若关于x 的一元二次方程x 2－2x +k =0有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是（ ）
A ．k ＜1 B ．k ≤1 C ．k ＞－1 D ．k ＞1 【答案】A
【解析】根据题意，得(－2) 2－4×1×k ＞0．解得k ＜1． 故答案选A ．
12．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为60°，若学生1.7，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ）
第12题图
A ．47m B ．51m C ．53m D ．54m 【答案】B
1
【解析】AB ＝
BD ＝60m ，BC ＝BD ＝
30m ，CD ＝3BC ≈1.7×30＝51(m)．
2故答案选B ．
13．（2016济南，13，3分）如图，在 ABCD 中，AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，CG ⊥BE ，垂足为G ，若EF ＝2，则线段CG 的长为（ ） 15
A ． B ．43 C ．215 D 55
2
第13题图
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ．∴∠ABE ＝∠DFE ，∠CBE ＝∠E ．
∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ．∴∠DFE ＝∠E ．∴DE ＝DF ． ∵∠ABE ＝∠CBE ， ∠ABE ＝∠DFE ， ∠CFB ＝∠DFE ， ∴∠CBE ＝∠CFB ．∴CF ＝CB ＝8． ∴DF ＝DC －CF ＝12－8＝4．
EF DF 24
∵AE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ．∴．∴BF ＝4．
BF CF BF 81
∵CF ＝CB ， CG ⊥BE ，∴FG ＝BG BF ＝2(三线合一) ．
2在Rt △CFG 中，CG CF －FG ＝8－2＝2．
B
∴选项C 正确．
14．（2016济南，14，3分）定义：点A （x ，y ）为平面直角坐标系内的点，若满足x ＝y ，则把点A 叫做“平衡点”．例如：M （1，1），N （－2，－2）都是“平衡点”．当－1≤x ≤3时，直线y ＝2x ＋m 上有“平衡点”，则m 的取值范围是（ ）
A ．0≤m ≤1 B ．－3≤m ≤1 C ．－3≤m ≤3 D ．－1≤m ≤0 【答案】B 【解析】
（1）把x ＝－1代入y ＝x ，得y ＝－1．
把（－1，－1）代入y ＝2x ＋m ，得m ＝1． （2）把x ＝3代入y ＝x ，得y ＝3．
把（3，3）代入y ＝2x ＋m ，得m ＝－3． ∴m 的取值范围是：－3≤m ≤1．
∴选项B 正确．
15．（2016济南，15，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是AB 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度
沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）
第15题图
【答案】D
【解析】过点D 作DF ⊥AB 于点F （如图1），则DF ＝BC ＝4． ∵AD ＝5，DF ＝4，∴AF ＝3．
DF 4
∴sin ∠A ＝MF ＝3－1＝2，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2，DC ＝BF ＝2．
AD 5∵AD ＝5，AN ＝3，∴ND ＝5－3＝2．
(Q ) P
第15题答案图1
第15题答案图2
F
第15题答案图3
（1）当0≤t ≤2时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图2），
此时AP ＝AM ＋MP ＝1＋t ，AQ ＝AN ＋NQ ＝3＋t ．
11422
∴S •AQ •sin ∠A (1＋t )(3＋t ) ×(t ＋2) 2―当0≤t ≤2时，S 随t 的增大而增大，且当t ＝2
22555时，S ＝6．由此可知A 、B 选项都不对．
（2）当t ＝5时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图3），
此时BP ＝1，PE ＝BC －BP －CE ＝4－1－1＝2． 11
∴S ＝•PE ＝5×2＝5．
22
∵6＞5， ∴选项D 正确．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）
16．（2016济南，16，3分）计算：21(－2) ＝_______．
－
1
【答案】2
111－
【解析】21＋(－2) 4＝2＝2
222
17．（2016济南，17，3分）分解因式：a 2－4b 2＝_______． 【答案】(a ＋2b )(a －2b )
【解析】应用平方差公式得a 2－4b 2＝(a ＋2b )(a －2b )
18．（2016济南，18，3分）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：18，x ，15，16，13．若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是_______． 【答案】16
【解析】根据题意，得
1
＋x ＋15＋16＋13) ＝16． 5
解得x ＝19．
∴这组数据是：18，19，15，16，13．
将这组数据按从小到大的顺序排列为：13，15，16，18，19． ∴这组数据的中位数是16．
64
19．（2016济南，19，3分）若代数式的值相等，则x ＝_______．
x ＋2x 【答案】4
【解析】根据题意，得
64＝． x ＋2x
解得x ＝4．
经检验：x ＝4是方程的解．
k
20．（2016济南，20，3分）如图，半径为2的⊙O 在第一象限与直线y ＝x 交于点A ，反比例函数y ＝x
x ＞0) 的图象过点A ，则k ＝_________．
第20题图
【答案】2
【解析】∵点A 在直线y ＝x 上，∴可设点A 的坐标为(x ，x ) ．
∵OA ＝2，∴x 2＋x 2＝22．解得x ＝2．∴点A 的坐标为22) ． k k
把点A 22) 代入y ＝x ＞0) ，得2＝
x 2解得k ＝2．
21．（2016济南，21，3分）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝10，点E 是CD 的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME 、NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B ′处，折痕为HG ，连接HE ，则tan ∠EHG ＝_______．
B'
M
A
G
第21题图1
A
N
第21题图2
N
第21题图3
5
【答案】3
6
【解析】在图2中，设DM ＝x ，则AM ＝EM ＝10－x ．
1
∵点E 是CD 的中点，AB ＝CD ＝3，∴DE ＝CE ＝CD ＝4．
2
在Rt △DEM 中，∵DE 2＋DM 2＝EM 2，∴(42＋x 2＝(10－x ) 2．解得x ＝2.6． ∴DM ＝2.6，AM ＝EM ＝10－2.6＝7.4．
过点N 作NF ⊥CD 于点F （如答案图1），则△DEM ∽△FNE ． ∴
DE EM 437.43737．∴ 解得EN ＝3．∴AN ＝EN ＝3． FN EN 10EN 66
37
3
AN 65
∴tan ∠AMN ＝＝＝3．
AM 7.46
B'
M
G
A
N 第21题答案图
1
A
N
第21题答案图2
在答案图2中，∵ME ⊥EN ，HG ⊥EN ，∴ME ∥HG ．∴∠NME ＝∠NHK ． 又∵∠NME ＝∠AMN ，∠EHG ＝∠NHK ，∴∠AMN ＝∠EHG ． 5
∴tan ∠EHG ＝tan ∠AMN ＝3．
6
三、解答题（本大题7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 22．（本小题满分7分）
（1）先化简再求值：a (1－4a ) ＋(2a ＋1)(2a －1) ，其中a ＝4． 【解】原式＝a －4a 2＋4a 2－1＝a －1．
当a ＝4时，
原式＝a －1＝4－1＝3．
⎧2x ＋1≤7 ①
（2）解不等式组：⎨
⎩3＋2x ≥1＋x ②
【解】由①，得x ≤3．
由②，得x ≥－2．
∴解不等式组的解集为：－2≤x ≤3．
23．（本小题满分7分）
（1）如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF ． 求证：AE ＝AF ．
C
B 第23(1)题图
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ＝AB ，∠D ＝∠B ，DC ＝BC ． ∵CE ＝CF ，
∴DC －CF ＝BC －CE ． ∴DF ＝BE ．
∴△ADF ≌△ABE ．
∴AE ＝AF ．
（2）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OP A ＝40°，
求∠ABC 的度数．
解：∵AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，∴P A ⊥AB ．∴∠A ＝90°．
又∵∠OP A ＝40°，∴∠AOP ＝50°． ∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ．
1
又∵∠AOP ＝∠B ＋∠OCB ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠AOP ＝25°．
2
24．（本小题满分8分）
学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg ，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：
（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ （2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？ 解：（1）设采摘黄瓜x 千克，采摘茄子
y 千克，根据题意，得
⎧x ＋y ＝40⎧x ＝30
⎨ ． 解得⎨． ⎩x ＋1.2y ＝42⎩y ＝10
P
第23(2)题图
答：采摘黄瓜30千克，采摘茄子10千克．
（2）30×(1.5－1) ＋10×(2－1.2) ＝23（元）．
答：采摘的黄瓜和茄子可赚23元． 25．（本小题满分8分）
着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多． 教师为了指导学生有幸效利用网络进行学习，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图1、图2两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：
课外利用网络学习的时间问卷调查表 您好! 这是一份关于您平均每周课外利用网络学习时间的问卷调查表，请在表格中选择一项符合您学习时间的选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
选项
第25题图1
第25题图2
（1）本次接受问卷调查的学生共有
人；在扇形统计图中“D ”选项所占的百分比为 ； （2）扇形统计图中，“B ”选项所对应扇形圆心角为 度； （3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生课外利用网络学习的时间在“A ”选项的有多少人？ 解：（1）50÷50%＝100．∴本次接受问卷调查的学生共有100人；
10÷100×100%＝10%．∴在扇形统计图中“D ”选项所占的百分比为10%． （2）20÷100×360°＝72°．∴扇形统计图中，“B ”选项所对应扇形圆心角为72°． （3）100－20－50－10＝20（人），∴条形统计图中“A ”选项所对应的人数是20人．
（补图略）
（4）20÷100×1200＝240（人）．
答：估计该校学生课外利用网络学习的时间在“A ”选项的有240人． 26．（本小题满分9分）
如图1，□OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，OC ＝5，反比例函数y ＝
m
(x ＞0) 的图象经过点A （1，4）． x
（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；
（2）如图2，过BC 的中点D 作DP ∥x 轴交反比例函数图象于点P ，连接AP 、OP ． ①求△AOP 的面积；
②在□OABC 的边上是否存在点M ，使得△POM 是以PO 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
m 4m
，得4＝m ＝4．∴反比例函数的关系式为：y ＝
1x x
∵x B ＝AB ＋1＝5＋1＝6，y B ＝4，∴点B 的坐标为（6，4）．
（2）①∵D 是BC 的中点，且B （6，4），C （5，0），∴D （5.5，2）．
作DP 的延长线，交OA 于点E ．
∵DP ∥OA ，D 是BC 的中点，∴点E 是OA 的中点．∴E （0.5，2）．
过点A 作AF ⊥OC 于点F ，交PE 于点G ，则AG ⊥P E 于点G ，且AF ＝4． ∵点P 的纵坐标与点D 的纵坐标相同， ∴点P 的纵坐标为2． 解:（1）把A （1，4）代入y ＝
44
把y ＝2代入y ＝，得2＝．∴x ＝2．∴点P 的坐标为（2，2）．
x x
∴PE ＝x P －x E ＝2－0.5＝1.5．
∴△AOP 的面积＝△AEP 的面积＋△EOP 的面积
11111
＝•AG ＋PE •FG ＝PE (AG ＋FG ) ＝ •AF 1.5×4＝3． 22222
第26题答案图
1
第26题答案图2
②在□OABC 的边上是否存在点M ，使得△POM 是以PO 为斜边的直角三角形．
以OP 为直径作圆，该圆交OC 于点M 1，交OA 于点M 2，则M 1，M 2就是符合题意的点． ∵PM 1⊥OC ，且点P 的坐标为（2，2）， ∴点M 1的坐标为（2，0）．
可求得直线OA 的解析式为y ＝4x ．
1
∵PM 2⊥OA ，∴可设直线PM 2的解析式为y ＝－x ＋b ．
41
把点P （2，2）代入，得2＝－×2＋b ．解得b ＝2.5．
4
1
∴直线PM 2的解析式为y ＝－＋2.5．
4
⎧⎧x ＝17⎪y ＝4x 1040
1由⎨解 得⎨40．∴点 M 2的坐标为（．
1717y ＝－x ＋2.5⎪4⎩⎩y ＝17
1040
综合以上可得，符合题意的点M 的坐标为（2，0）或（．
1717
27．（本小题满分9分）
在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究． （一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点E 、F 分別在线段BC 、CD 上，∠EAF ＝30°，连接EF ． （1）如图2，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°后得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AD 重合），请直 接写出∠E ′AF ＝________度，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为________；
（2）如图3，当点E 、F 分别在线段BC 、CD 的延长线上时，其他条件不变，请探究线 段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由． （二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC 中，E 、F 是边BC 上的两点，∠EAF ＝30°，BE ＝1，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AC 重合），连接EE ′，AF 与EE ′交于点N ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，连接MN ，求线段MN 的长度．
10
E'
C
D
C
第27题图2
第27题图1
E
M
F
E'
第27题图3
第27题图4
解：（一）尝试探究: （1）∠E ′AF ＝30°，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为：EF ＝BE ＋FD ． 理由：∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′，
∴AE ′＝AE ，∠A ′B ′E ′＝∠B ＝90°，B ′E ′＝BE ，∠B ′A ′E ′＝∠BAE ． ∵∠ADC ＝90°，
∴∠ADC ＋∠A ′B ′E ′＝180°． ∴F 、D 、E ′在同一条直线上． ∵∠BAD ＝60°，∠EAF ＝30°， ∴∠BAE ＋∠F AD ＝30°． ∴∠B ′A ′E ′＋∠F AD ＝30°． ∴∠E ′AF ＝∠F AE ＝30°． 又∵AE ′＝AE ，AF ＝AF ， ∴△AFE ≌△AFE ′．
∴EF ＝E ′F ＝DF ＋DE ′＝DF ＋BE ．
（2）在图3中，线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为：EF ＝BE －FD ． 理由：如答案图1，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°后得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AD 重合）．
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′， ∴AE ′＝AE ，∠A ′B ′E ′＝∠B ＝90°，B ′E ′＝BE ，∠B ′A ′E ′＝∠BAE ． ∵∠ADC ＝90°，
∴∠ADC ＋∠A ′B ′E ′＝180°． ∴F 、D 、E ′在同一条直线上． ∵∠BAE ＋∠EAD ＝60°， ∠B ′A ′E ′＝∠BAE ， ∴∠B ′A ′E ′＋∠EAD ＝60°． 即∠E ′AE ＝60°． 又∵∠EAF ＝30°，
∴∠E ′AF ＝∠E ′AE ―∠EAF ＝60°―30°=30°． ∴∠EAF ＝∠E ′AF ．
又∵AE ′＝AE ，AF ＝AF ， ∴△AFE ≌△AFE ′．
∴EF ＝E ′F ＝DE ′―DF ＝BE ―DF ．
E'
B
E
M
F
E'
第27题答案图1 第27题答案图2
（二）拓展延伸: 如答案图2，连接E ′F ．
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′（A ′B ′与AC 重合）， ∴AE ′＝AE ， B ′E ′＝BE ＝1，∠B ′A ′E ′＝∠BAE ． ∵∠BAE ＋∠EAC ＝60°， ∠B ′A ′E ′＝∠BAE ， ∴∠B ′A ′E ′＋∠EAC ＝60°． 即∠E ′AE ＝60°． 又∵AE ′＝AE ，
∴△EAE ′是等边三角形． ∵∠E ′AE ＝60°，∠EAF ＝30°， ∴∠E ′AF ＝∠EAF ＝30°． 又∵AE ′＝AE ，
∴AN ⊥EE ′（三线合一）．∴
AN 3
＝． AE ′2
AM 31
在等边△ABC 中，∵AM ⊥BC 于点M ，∴＝，且∠CAM ＝∠BAM ＝∠BAC ＝30°．
AC 22可证∠E ′AF ＝∠EAF ＝30°．
∴∠E ′AF ＝∠CAM ＝30°．
∴∠E ′AF －∠F AC ＝∠CAM －∠F AC ． ∴∠E ′AC ＝∠F AM ． AN 3AM 3又∵＝，＝，′
AE ′2AC 2∴△MAN ∽△CAE ′． ∴
MN 3． CE ′2
3． 2
又∵CE ′＝1， ∴MN 28．（本小题满分9分）
如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3) x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB
于点M ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若
C 16
＝，求m 的値； C 25
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°) ，连
2
接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋E ′B 的最小值．
3
解：（1）把点A （4，0）代入y ＝ax 2＋(a ＋3) x ＋3，得 16a ＋4(a ＋3) ＋3＝0．
3
解得a ＝－
4
39
∴抛物线的函数表达式为：y ＝－x 2x ＋3．
44把x ＝0代入上式，得y ＝3．
∴点B 的坐标为（0，3）．
3由A （4，0），B （0，3）可得直线AB 的函数表达式为：y ＋3．
4（2）根据题意，得
39
OE ＝m ，AE ＝4－m ，AB ＝5，点P 的坐标可表示为(m ，－m 2＋＋3) ．
4439
∴PE ＝－m 2＋＋3……………………………………………………①
44AN NE AE AN NE 4－m
∵△AEN ∽△AOB ＝．∴．
AB BO 453453
∴AN ＝(4－m ) ， NE ＝(4－m ) ．
44∵△PMN ∽△AEN ，且
C 16
＝， C 25
PN 63665
∴＝．∴PN ＝AN ＝×(4－m ) ＝－m ) ． AN 52554
339
∴PE ＝NE ＋PN ＝－m ) ＋－m ) ＝－m ) ………………………... ②
424由①、②，得
399
－ 2＋m ＋3＝(4－m ) ． 444
解得m 1＝2，m 2＝4(不合题意，舍去) ． ∴m 的値为2．
（3）在（2）的条件下，m 的値为2，点E （2，0），OE ＝2．∴OE ′＝OE ＝2． 44
如图，取点F (0，) ，连接FE ′、AF ．则OF ＝AF ＝
33
4
42＋() 2＝10．
33
第28题答案图
4
OF 32OE ′2FE ′22∵＝FOE ′＝∠E ′OB ，∴△FOE ′∽△E ′OB ．∴．∴FE ′′B ． OE ′23OB 3E ′B 3324
∴E ′A ′B ＝E ′A ＋FE ′≥AF ＝．
3324
∴E ′A ′B 的最小值为10．
33