第 7章 模拟信号的数字传输
7.1抽样定律
7.1.1抽样的概念
1. 抽样：把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。
反过来，在接收端能否由这些离散的抽样值（样值序列）重建出原信号，也正是抽样定理所要
解决的问题。
2. 抽样定理：如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号进行抽样，当抽样速率达到一定数值时，
那么根据它的抽样值就能重建原信号。
从抽样定理可以看出，若要传输模拟信号，不一定要传输整个模拟信号本身，而只需传输按抽样定理规定的速率进行抽样而得到的抽样值序列即可。因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。
3. 抽样定理的分类（略）
根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，又分均匀抽样定理和非均匀抽样；根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和实际抽样。 4. 抽样举例
语音信号不仅在幅度取值上是连续的，而且在时间上也是连续的。 设：模拟信号的频率范围为f 0～f m ，带宽B = fm -f 0。
如果f 0
例如载波12路群信号(频率范围为60kHz ～108kHz) 、载波60路群信号(频率范围为312kHz ～552kHz) 等属于带通型信号。要使话音信号数字化，首先要在时间上对话音信号进行离散化处理，这一处理过程是由抽样来完成的。就是每隔一定时间间隔T ，抽取模拟信号的一个瞬间幅度值（样值）。抽样是由抽样门来完成的，在抽样脉冲s(t)的控制下，抽样门闭合或断开。
每当有抽样脉冲时，抽样门开关闭合，其输出取出一个模拟信号的样值；当抽样脉冲幅度为零时，抽样门开关断开，其输出为零(假设抽样门等效为一个理想开关) 。
图中输入的低通信号用x (t ) 表示，一般是连续信号；输出信号用x s (t)表示，是一个在时间上离散了的已抽样信号。设在抽样周期T S 时间内，抽样门开关闭合时间为τ，断开时间为（T S -τ）。可见，x s (t ) 是一个周期为T S 宽度为τ的脉冲序列，脉冲的幅度在开关接通的时间内正好与x(t)的幅度相同。
下面用式子来进一步说明抽样的过程：
x s (t ) 与x (t ) 的波形关系：x s (t )= x (t ) s (t ) 【相当于一个乘法器】
式中s (t ) 是一个周期性开关函数，称为抽样函数，相当于线性调制器乘法器中用的载波，这是一个非连续波，而是脉冲波形，因此也称其为脉冲载波。 采用开关抽样器时，脉冲载波可以表示为s (t ) =C 0+∑C k cos k ωs t
k =1∞
1∞
已抽样信号：x s (t ) =C 0x (t ) +∑C k x (t ) cos k ωs t ；其频谱： X s (ω) =C 0X (ω) +∑C k X (ω-k ωs )
2k =-∞k =1
∞
k ≠0
按照抽样波形的特征，可以把抽样分为三种：
抽样的分类：
(1)自然抽样：x s (t)在抽样时间以内的波形与x(t)的波形完全一样。
由于x(t)是随时间变化的，因此x s (t)在抽样时间t 以内的波形也是随时间变化的，即同一个取样间隔内幅度不是平直的，而是变化的，因此自然抽样也称为曲顶抽样。 (2) 平顶抽样：在抽样时间τ内幅度保持不变
抽样结果虽然在不同抽样时间间隔内的幅度不同，但在同一个抽样间隔内的幅度不变，是平直的，因此称为平顶抽样。平顶抽样也称为瞬时抽样的，后面会讲到它实际上只是瞬时抽样的一个特例。
(3)理想抽样：用一个周期冲击函数代替抽样函数s (t ) ，即此时s (t ) =s δ(t ) =
k =-∞
∑δ(t -kT ) , 输出x (t )
s
s
∞
可用x δ(t ) 表示，是一个间隔为T s 的冲击脉冲系列。
理想抽样是纯理论的，实际上是不能实现的。但引入理想抽样以后对分析问题带来很大的方便，另外理想抽样时得出的一些结论，对于用周期窄脉冲(脉冲宽度τ
抽样函数的周期T s 就是抽样周期，其倒数f s =1/Ts 即为抽样频率。（注意：抽样频率和码元速率是不同的概念，因为对一个抽样值可以用好几位码进行编码。）
7.1.2 低通信号的抽样定律 低通抽样定理：限带为f m 的信号f (t ) ，若以速率f s ≥2f m 进行均匀抽样，则可无失真恢复原信号f (t ) 。 也就是说，任何一个模拟信号f (t ) ，其限带(截频) 为f m ，在抽样速率f s ≥2f m 或(均匀) 抽样间隔为T s =
11
，可得一个(模拟) 样本序列，若再经过一个理想低通LPF(截频f m ) 可从抽样速率为≤
f s 2f m
f s ≥2f m 的序列恢复原信号f (t ) 。实际LPF 往往有一定滚降过渡带，所以通常应当满足f s >2f m 。 下面我们来看看具体的分析：
设：抽样脉冲序列s δ(t ) 是周期为T s 的单位冲击脉冲序列，其数学表达式为s δ(t ) =则：则抽样后的输出信号可表示为x s (t ) =x (t ) s δ(t ) =x (t ) ∑δ(t -kT s ) →x s (t ) =
k =-∞∞
∞
k =-∞
∑δ(t -kT )
s s
∞
k =-∞
∑x (kT ) δ(t -kT )
s
【δ(t -kT s) 只有在t =kT s 时才存在，其它时刻均为零】
式中x (kT s ) 是t =kT s 时的x (t ) 的值，也就是t =kT s 这个时刻x (t ) 的抽样值。
设：信号的傅立叶变换对有x (t ) X (ω) ，x s (t ) X s (ω) ，s δ(t ) S δ(ω) 则：S δ(ω) =ωs
n =-∞
∑δ(ω-k ω)
s
∞
ωs =2πf =1/T s
X s (ω) =
根据x s (t )=x (t ) s δ(t ) 的关系式，利用频率卷积公式，可以得到
1
[X (ω) *S δ(ω)]2π
∞
ωs ⎡⎤=X (ω) *δ(ω-k ω) ∑s ⎥2π⎢k =-∞⎣⎦=f s
k =-∞
∑δ(ω-k ω)
s
k =-∞
∞
1=T s
∑X (ω-k ω)
s
∞
由频谱图可知，样值序列的频谱被扩大了（频率成分增多），但样值序列中含义原始语音的信息，因此对语音信号进行抽样处理是可行的。在接收端为了能够恢复出原始语音信号，必须要求位于ωs 处的下边带频谱能与语音信号分离开来。
设原始话音信号的频带限制在0～f m (fm 为话音信号的最高频率) ，在接收端，只要用一个低通滤波器把原始话音信号(频带为0～f m ) 滤出，就可获得原始话音信号的重建。但要获得话音信号的重建，必须使f m 与(fs -f m ) 之间有一定宽度的防卫带。否则，f s 的下边带将与原始话音信号的频带发生重叠而产生失真。这种失真所产生的噪声称为折叠噪声。
经过这一系列的分析，可以得出以下结论。 结论：
(1)理想抽样得到的X s (ω) 具有无穷大的带宽；
(2)只要抽样频率f s ≥2f m ，X s (ω) 中k 值不同的频谱函数就不会出现重叠的现象；
(3)X s (ω) 中k =0时的成分是X (ω)/T s ,与X (ω) 的频谱函数只差一个系数1/T s 。因此，只要用一个
带宽B 满足f m ≤B ≤f s -f m 的理想低通滤波器，就可以取出X (ω) 的成分，不失真地恢复出x (t ) 的波形。
理想抽样信号恢复的全过程模型
应当指出，抽样频率fs 不是越高越好，fs 太高时，将会降低信道的利用率。所以只要能满足f s>2f m ，并有一定频宽的防卫带即可。
7.1.3 带通信号的抽样定律
实际中遇到的许多信号是带通型信号。如果采用低通抽样定理的抽样速率f s ≥2 f m ，对频率限制在f 0与f m 之间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求。但这样选择f s 太高了，它会使0～f 0一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。为了提高信道利用率，同时又使抽样后的信号频谱不混叠，那么f s 到底怎样选择呢? 带通信号的抽样定理将回答这个问题。
带通均匀抽样定理：一个带通信号x (t ) ，其频率限制在f 0与f m 之间，带宽为B =f m -f 0，则必需的最小
2f
抽样速率f s min =m ，式中n =(f 0／B) I
n +1一般情况下，抽样速率f s 应满足如下关系：
2f m n +1
≤f s ≤2n f 0
只要满足上述关系式，就不会发生频谱重叠，x (t ) 可完全由其抽样值来确定。
2
f 0+f m ）若要求原始信号频带与其相邻频带之间的频带间隔相等，则f s = 2n +1
结论：
(1) 与原始信号（f 0～f m ）可能重叠的频带都是下边带；
(2) 当nB ≤f 0≤(n +1)B 时，在原始信号频带（f 0～f m ）的低频侧，可能重叠的频带是n 次下边带；在
高频侧可能重叠的频带为(n+1)次下边带。
7.2模拟信号的脉冲调制
模拟信号的调制与解调中讨论的连续波调制是以连续振荡的正弦信号作为载波的。然而，正弦信号并非是惟一的载波形式，利用时间上离散的脉冲序列作为载波，同样可获得已调信号，这就是模拟信号脉冲调制。 脉冲调制：以时间上离散的脉冲序列作为载波，用模拟基带信号x(t)
去控制脉冲序列的某参数，使其按x(t)的规律变化的调制方式。
通常，按基带信号改变脉冲参量(幅度、宽度和位置)
的不同，
把脉冲调制又分为脉冲振幅调制(PAM)、脉冲宽度调制(PDM)和脉冲位置调制(PPM)。虽然这三种信号在时间上都是离散的，但受调参量变化是连续的，因此也都属于模拟信号。
7.2.1脉冲振幅调制
(PAM) 1. 自然抽样的脉冲调幅 自然抽样（曲顶抽样）：抽样后的脉冲幅度(顶部) 随被抽样信号x (t ) 变化，或者说保持了x (t ) 的变
化规律。
自然抽样的PAM 原理框图及其波形如图7-10所示，图中抽样脉冲s (t ) 是一个具有一定宽度的任意的周期脉冲序列。
自然抽样PAM 的原理框图
设：脉冲载波s (t ) 是高度为1，宽度为τ，周期为T s 的矩形窄脉冲序列，取T s =1／(2f m ) 。 则：自然抽样PAM 信号x s (t ) 为x (t ) 与s (t ) 的乘积，即x s (t )= x(t ) s (t )
2πδ
其中，s (t ) 的频谱表达式为S (ω) =
T s 则由卷积定理知x s (t ) 的频谱为
X s (ω) =
⎛k ωs τ⎫S ⎪δ(ω-k ωs ) ∑a
2⎝⎭k =-∞
∞
1
[X (ω) *S (ω)]2π
⎤1⎡2πτ∞⎛k ωs τ⎫
=X (ω) *Sa δ(ω-k ω) ⎪∑s ⎥ ⎢2π⎣T s k =
-∞⎝2⎭⎦=
⎛k ωs τ⎫
Sa ⎪X (ω-k ωs ) ∑
T s k =-∞⎝2⎭
τ
∞
由自然抽样PAM 信号频谱图可以看出，它与理想抽样的频谱非常相似，也是由无限多个间隔为ωs =2ωm 的X (ω) 频谱之和组成。其中，由k =0得到的频谱函数为(τ/T s ) X (ω) ，与原信号谱X (ω)
只差一个比例常数(τ/T s ) ，因而可以用低通滤波器从X s (ω) 中滤出X ω) ，从而恢复出基带信号x (t ) 。 自然抽样与理想抽样比较：
(1) 抽样过程与信号恢复的过程是完全相同的，只是s(t)不同。
(2) 自然抽样的X s (ω) 的包络的总趋势是随|f |上升按Sa 曲线下降，因此带宽是有限的（与τ有关：
τ越大，带宽越小，τ越小，带宽越大。），而理想抽样的带宽是无限的。
(3) τ的大小要兼顾通信中对带宽和脉冲宽度这两个互相矛盾的要求。通信中一般对信号带宽的要求是越小越好，因此要求τ大；但通信中为了增加时分复用的路数要求τ小，显然二者是矛盾的。 2. 平顶抽样的脉冲调幅 平顶抽样（瞬时抽样）：抽样后信号中的脉冲均具有相同的形状——顶部平坦的矩形脉冲，矩形脉冲
的幅度即为瞬时抽样值。
平顶抽样PAM 信号在原理上可以由理想抽样和脉冲形成电路产生，其原理框图及波形如图7-12所示，其中脉冲形成电路的作用就是把冲激脉冲变为矩形脉冲。
下面对平顶抽样的脉冲调幅原理进行数学上的分析。
设：基带信号为x(t)，理想抽样脉冲为s δ(t)，理想抽样后得x δ(t ) =
k =-∞
∑x (kT ) δ(t -kT )
s
s
∞
脉冲形成电路的作用是将上述幅度随x(t)变化的冲激脉冲变为矩形脉冲。设矩形脉冲形成电路的冲激响应为h(t)=q(t)，经过矩形脉冲形成电路，每当输入一个冲激信号，在其输出端便产生一个幅度为x(kt)的矩形脉冲q(t)，因此在x δ(t)的作用下，输出便产生一系列被x(kt)加权的矩形脉冲序列，这就是平顶抽样PAM 信号x H (t)。 经脉冲形成器后的输出为：x H (t ) =
k =-∞
∑x (kT ) q (t -kT )
s
s
∞
设：脉冲形成电路的传输函数为Q(ω) q(t)，x H (t) XH (ω) 则：X H (ω)= Xδ(ω) Q(ω)
1
通常，X δ(ω) =
T s 所以有：X H (ω) =
k =-∞
∑X (ω-k ω) ，Q (ω) =τ
s
∞
∞
sin
ωτ⎫=τSa ⎛ ⎪
⎝2⎭2
ωτ
⎛ωt ⎫Sa ∑ ⎪X (ω-k ωs ) T s k =-∞⎝2⎭
τ
由上式看出，平顶抽样的PAM 信号频谱X H (ω) 是由Q(ω) 加权后的周期性重复的X(ω) 所组成。
平顶抽样和自然抽样有极大的差异：
在X H (ω) 中，已经不存在X(ω) 和X(ω-k ωs ) 频谱成分，它们已经由Q(ω) 加权而得。
在k=0时，X H (ω) 中得到的是
⎛ωτ⎫Sa ⎪X (ω) ，它是ω的函数，如果直接用低通滤波器恢复，必T s ⎝2⎭
τ
然存在失真。
为了从x H (t)中恢复原基带信号x(t)，通常采用以下两种方式：
（1） 在脉冲形成电路之后加一修正网络，修正网络的传输函数在信号的频带范围内满足1/Q(ω) ，
修正后的信号可通过低通滤波器便能无失真地恢复出原基带信号x(t)。
（2） 在脉冲形成电路之后加一理想抽样，理想抽样后的信号可通过低通滤波器便能无失真地恢复
出原基带信号x(t)。
从x H (t)中恢复原x(t)：
（1）加一个传输函数为1/Q(ω) 的修正网络
（2）加一个理想抽样
思考：为什么理想抽样后的信号可通过低通滤波器便能无失真地恢复出原基带信号x(t)？
7.2.2脉冲宽度调制(PDM)
脉冲宽度调制（PDM ，脉宽调制）：其等幅的脉冲序列以抽样时刻各x(kTs ) 的离散值与该载波脉冲序
列对应位脉冲的宽度成正比。
宽度不同的、间隔为T s 的已调序列就荷载了相应的抽样值x(kTs)的信息。 形成PDM 信号的方法：
（1）产生均匀间隔为信号抽样间隔T s
的锯齿波或三角波脉冲序列作为载波序列； （2）待传输的模拟信号x(kTs)与脉冲序列相加； （3）限幅—放大。
7.2.3 脉冲位置调制 (PPM)
脉冲位置调制（PPM ，脉位调制）：它是以均匀间隔为信号抽样间隔的等幅脉冲序列作为载波，使各
脉冲位置在不同方向移位的大小与信号样本值x(kTs ) 对应成正比。
PPM 信号实现方式与PDM 没有本质差别。PPM 模拟脉冲信号，目前在光调制和光信号处理技术中尚在广泛应用。
形成PPM 信号的方法：
将不等宽度的已调锯齿波，经过一个门限检测器——过零检测，取其后沿位置并形成极窄的脉冲，就得到PPM 信号。
PDM 和PPM 信号波形图 (a) 三角波脉冲序列； (b) 待传输模拟信号 (c) 叠加信号； (d) PDM信号； (e) PPM信号
7.3脉冲编码调制(PCM，脉码调制)
其基本原理是在发送端进行波形编码，有抽样、量化和编码三个基本过程，把模拟信号变换为二进制数字信号。通过数字通信系统进行传输后，在接收端进行相反的变换，由译码器和低通滤波器完成，把数字信号恢复为原来的模拟信号。
抽样：对模拟信号进行周期性的扫描，把时间上连续的信号变成时间上离散的信号。
我们要求经过抽样的信号应包含原信号的所有信息，即能无失真地恢复出原模拟信号，抽样速
量化：把抽样值进行幅度离散，即指定
Q 编码：用二进制码组表示有固定电平的量化值。
实际上量化是在编码过程中同时完成的。图7-18是PCM 单路抽样、量化、编码波形图。
7.3.1量化
模拟信号经过抽样后，虽然在时间上离散了，幅度取值是任意的、无限的(即连续的) ，但是，抽样值脉冲序列的幅度仍然取决于输入的模拟信号，它仍属于模拟信号，不能直接进行编码。因此就必须对它进行变换，使其在幅度取值上离散化，这就是量化的目的。
P224/图7-19表示的例子就是量化的物理过程。 x(t)：模拟信号
抽样速率：f s =1/Ts ，抽样值用“· ”表示。 则：第k 个抽样值为x(kTs )
m 1-m Q 表示Q 个电平(这里Q=7)，它们是预先规定好的，相邻电平间距离称为量化间隔，用“Δ”表示。x i ：第i 个量化电平的终点电平，那么量化应该是 x q (kT s ) =m i ；
x i -1≤x (kT s ) ≤x i
例如图7-19中，t =4T s 时的抽样值x (4T s ) 在x 5和x 6之间，此时按规定量化值为m 6。
量化器的输出为：x q (t ) =x q (kT s ) ； kT s ≤t ≤(k +1) T s
从上面结果可见，x q (t ) 阶梯信号是用Q 个电平去取代抽样值的一种近似，近似的原则就是量化原则。量化电平数越大，x q (t ) 就越接近x (t ) 。
量化误差：x q (kT s ) 与x (kT s ) 的误差，不超过±Δ/2，而量化级数目越多，Δ越小，量化误差越小。
量化误差一旦形成，在接收端无法去掉，它与传输距离、转发次数无关，又称为量化噪声。 衡量量化性能好坏的最常用指标是量化信噪功率比(S q /N q ) ，其中S q 表示x q (kT s ) 产生的功率，N q 表示由量化误差产生的功率，(S q /N q ) 越大，说明量化性能越好。
量化有两种方法：均匀量化和非均匀量化，根据量化间隔是否相等进行划分。非均匀量化能够克服均匀量化的缺点，所以我们需要对这两种量化分别进行讨论，以了解它们之间的区别和联系。 1. 均匀量化
(1) 量化特性。
量化特性：指量化器的输入、输出特性。
均匀量化的量化特性是等阶距的梯形曲线。图7-20(b)为“中间上升”型量化器特性， 其原点出现在阶梯函数上升部分中点；图7-20(c)为“中间水平”型量化器特性，其原点出现在阶梯形函数水平部分中点。二者的区别仅在于输入为空闲噪声时输出电平有无变化，中间上升适用于语音编码。
(2) 量化误差功率 ① 量化误差。
图7-21所示第一个工作区域是锯齿形特性的量化误差区，在这一区域内，量化误差受量化间隔大小的制约，这个区域由量化器的动态范围确定，通常也称为量化区或线性工作区。量化器的正确运用是设法调节输入信号，使其动态范围与量化器的动态范围相匹配，可由增益控制系统来完成。
第二个工作区域为非量化误差区，这个区域的误差特性是线性增长的，这个区也称为过载区或饱和区。这种误差比量化误差大，对重建信号有很坏的影响。 ② 量化误差功率。
设：输入模拟信号x 概率密度函数是f x (x)，x ∈(a , b ) ，且不会出现过载量化 则：量化误差功率N q 为
N q =E {(x -x q ) 2}=⎰(x -x q ) 2f x (x ) dx
a
b
=∑⎰(x -m i ) f x (x ) dx
2
i =1
x i -1
Q
x i
其中Q 为量化电平数，m i 为第i 个电平，可表示为m i =(x i -1+x i )/2 (i=1, 2, „, Q ) ，x i 为第i
个量化间隔的终点，可表示为x i =a +i Δ。
一般来说，量化电平数Q 很大，Δ很小，因而可认为在Δ量化间隔内f x (x ) 不变，以p i 表示，且假设各层之间量化噪声相互独立，则N q 表示为
N q =∑p i ⎰(x -m i ) 2d x
i =1
x i -1
Q
x i
∆2Q
=∑p i ∆12i =1∆2=12
(3) 量化信噪比。
量化信噪比是衡量量化性能好坏的指标，按照上面求量化噪声功率给出的条件，可得出 量化信号功率S q ：（求解【例7.2】）
2
S q =E {x q }2
=⎰x q f x (x ) d x a b
=∑(m i )
i =1
a
2
⎰
x i
x i -1
f x (x ) d x
(4) 均匀量化的缺点。
均匀量化时其量化信噪比随信号电平的减小而下降。
产生这一现象的原因就是均匀量化时的量化级间隔Δ为固定值，而量化误差不管输入信号的大
小均在(-Δ/2, Δ/2)内变化。故大信号时量化信噪比大，小信号时量化信噪比小。对于语音信号来说，小信号出现的概率要大于大信号出现的概率，这就使平均信噪比下降。同时，为了满足一定的信噪比输出要求，输入信号应有一定范围(即动态范围) ，由于小信号信噪比明显下降，也使输入信号范围减小。要改善小信号量化信噪比，可以采用量化间隔非均匀的方法，即非均匀量化。
2. 非均匀量化
非均匀量化是一种在整个动态范围内量化间隔不相等的量化，在信号幅度小时，量化级间隔划分得小；信号幅度大时，量化级间隔也划分得大，以提高小信号的信噪比，适当减少大信号信噪比，使平均信噪比提高，从而获得较好的小信号接收效果。
1) μ律与
A
⎧Ax ⎪1n (1+μx ) ⎪
μ律： y =±(-1≤x ≤1) A 律：y =⎨1+1n A
1n (1+μ) ⎪±1+1n A |x |
⎪⎩1+1n A
0≤|x |≤
1
1A
式中，x 为归一化输入，y 为归一化输出，A 、μ为压缩系数。 来看看A 律是怎样做到不同的量化间隔的。例如，对A 特性求导可1⎧
160≤|x |≤
得A =87.6时的值为 A d y ⎪⎪
=⎨当x=1时，放大量缩小为0.182 7，显然大信号比小信号下降很多， d x
1⎪0. 1827≤|x |≤1这样就起到了压缩的作用。 ⎪A ⎩x
对于μ律也有类似的结论。
2) (1) 数字压扩技术。
一种通过大量的数字电路形成若干段折线，并用这些折线来近似A 律或μ律压扩特性，从而达到压扩目的的方法。
用折线作压扩特性，它既不同于均匀量化的直线，又不同于对数压扩特性的光滑曲线。虽然总的来说用折线作压扩特性是非均匀量化的， 但它既有非均匀量化(不同折线有不同斜率) ， 又有均匀量化(在同一折线的小范围内) 。
两种常用的数字压扩技术：13折线A 律压扩，它的特性近似A =87.6的A 律压扩特性；15折线μ律
压扩，其特性近似μ=255的μ律压扩特性。
13折线A 律主要用于英、法、德等欧洲各国的PCM 30/32路基群中，我国的PCM 30/32路基群也采用A 律13折线压缩律。15折线μ律主要用于美国、加拿大和日本等国的PCM-24路基群中。 CCITT建议G.711规定上述两种折线近似压缩律为国际标准，且在国际间数字系统相互联接时，要以A 律为标准。因此这里仅介绍13折线A 律压缩特性。 (2) 13折线A 律的产生。
13折线A 律是从不均匀量化的基点出发，设法用许多折线来逼近A 律对数压扩特性的。
设：在直角坐标系中，x 轴和y 轴分别表示输入信号和输出信号，并假定输入信号和输出信号的最大
取值范围都是+1至-1，即都是归一化的。
x 轴：区间(0，1) 不均匀地分成8段，分段的规律是每次1/2取段。
即： 首先以1/2至1为一段；再将余下的0至1/2平分，取1/2至1/4为一段；再将余下的1/4至0平分，取1/8 至1/4为一段； ……；直至分成8段为止。
其中第一、第二两段长度相等，都是1/128。上述8段之中，每一段都要再均匀地分成16等份，每一等份就是一个量化级。要注意在每一段内，这些等份之间(即16个量化级之间) 长度是相等的，但是，在不同的段内，这些量化级又是不相等的。
输入信号的取值范围0至1总共被划分为16×8=128个不均匀的量化级。
可见，用这种分段方法就可对输入信号形成一种不均匀量化分级，它对小信号分得细，最小量化级(第一、二段的量化级) 为(1/128)×(1/16)=1/2048，对大信号的量化级分得粗，最大量化级为1/(2×16)=1/32。
最小量化级为一个量化单位，用Δ表示，可计算出输入信号的取值范围0至1总共被划分为2048Δ。
y 轴：均匀地分成8段，每一段又均匀地分成16等份，每一等份就是一个量化级。
则，y 轴的区间(0，1) 就被分为128个均匀量化级， 每个量化级均为1/128。
将x 轴的8段和y 轴的8段各相应段的交点连接起来，于是就得到由8段直线组成的折线。由于y 轴是均匀分为8段的，每段长度为1/8，而x 轴是不均匀分成8段的，每段长度不同，因此，可分别求出8段直线线段的斜率（略）。据此，也就可以画出13折线图。
7.3.2 编码和译码 1. 编码原理
1)
PCM 中一般采用二进制码。Q 个量化电平，可以用k 位二进制码来表示，其中每一种组合为一个码字。
因为二进制码可以经受较高的噪声电平的干扰，并易于再生，在点对点之间通信或短距离通信中，采用k=7位码已基本能满足质量要求。而对于干线远程的全网通信，一般要经过多次转接，要有较高的质量要求，目前国际上多采用8位编码PCM 设备。
码型：把量化后的所有量化级，按其量化电平的大小次序排列起来，并列出各对应的码字。
在PCM 中常用的码型有自然二进制码、折叠二进制码和反射二进制码(又称格雷码) 。（P230/表7-1，叙述一下三种码型的异同与优缺点）
2)
目前国际上普遍采用8位非线性编码。例如PCM 30/32路终端机中最大输入信号幅度对应4 096个量化单位(最小的量化间隔称为一个量化单位) ，在4096单位的输入幅度范围内，被分成256个量化级，因此须用8位码表示每一个量化级。
用于13折线A 律特性的8位非线性编码的码组（结构具体见表7-2）：
第1位码M 1的数值“1”或“0”分别代表信号的正、负极性，称为极性码。从折叠二进制码的规律可知，对于两个极性不同，但绝对值相同的样值脉冲，用折叠码表示时，除极性码M 1不同外，其余几位码是完全一样的。因此在编码过程中，只要将样值脉冲的极性判出后，编码器便是以样值脉冲的绝对值进行量化和输出码组的。这样只要考虑13折线中对应于正输入信号的8段折线就行了。这8段折线共包含128个量化级，正好用剩下的7位码(M2，…, M8)就能表示出来。
第2位至第4位码(即M 2，M 3，M 4) 称为段落码。用3位码表示8段折线。具体划分如表7-3所示。应注意，段落码的每一位不表示固定的电平，只是用M 2，M 3，M 4的不同排列码组表示各段的起始电平。这样就把样值脉冲属于哪一段先确定下来了，以便很快地定出样值脉冲应纳入到这一段内的哪个量化级上。
第5位至第8位码（即M 5，M 6，M 7，M 8) 称为段内码。用4位码表示16个量化级。具体划分如表7-3。
3) 编码原理
逐次比较型编码器编码的方法与用天平称重物的过程极为相似，因此先说天平称重的过程： 第1次称重所加砝码(在编码术语中称为“权”，它的大小称为权值) 是估计的，这种权值当然不能正好使天平平衡。若砝码的权值大了，换一个小一些的砝码再称。请注意，第2次所加砝码的权值，是根据第1次做出判断的结果确定的。若第2次称的结果说明砝码小了，就要在第2次权值基础上加上一个更小一些的砝码。如此进行下去，直到接近平衡为止。这个过程叫做逐次比较称重过程。“逐次”的含意，可理解为称重是一次次由粗到细进行的。而“比较”则是把上一次称重的结果作为参考，比较得到下一次输出权值的大小，如此反复进行下去，使所加权值逐步逼近物体真实重量。
用一个例子来说明编码过程：
【例 7.3】已知抽样值为+635Δ，要求按13折线A 律编出8位码。
【解】 第1次比较：信号I c 为正极性，M 1=1
第2次比较：本地译码器输出为I s2=128Δ I c =635Δ＞I s2=128Δ，Μ2=1
第3次比较：本地译码器输出为I s3=512Δ I c =635Δ＞I s 3=512Δ，Μ3
=1
第4次比较：本地译码器输出为I s4=1024Δ I c =635Δ＜I s4=1024Δ，Μ4=0
这表明，M 2M 3M 4=110，信号处在第7段。
1024∆-512∆⨯8=768∆ 第5次比较：本地译码器输出为I s5=512∆+16
表示处在第7段的量化间隔。I c =635Δ＜=768Δ，Μ5=0
第6次比较：本地译码器输出为I s6=512Δ+32Δ×4=640Δ＜635Δ，Μ6=0
第7次比较：本地译码器输出为I s7=512Δ+32Δ×2=576Δ＞635Δ，Μ7=1
第8次比较：本地译码器输出为I s 8=512Δ+32Δ×3=608Δ＞635Δ，Μ8=1
结果：编码码字为11100011，量化误差为635Δ-608Δ=27Δ。
可见，编码器输出的码字实际对应的电平应为608Δ，称为编码电平。
也可以按照下式计算编码电平：
I c =I si +(23M 5+22M 6+21M 7+20M 8)Δi
即，编码电平等于样值信号所处段落的起始电平与该段内量值电平之和。
11
第 7章 模拟信号的数字传输
7.1抽样定律
7.1.1抽样的概念
1. 抽样：把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。
反过来，在接收端能否由这些离散的抽样值（样值序列）重建出原信号，也正是抽样定理所要
解决的问题。
2. 抽样定理：如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号进行抽样，当抽样速率达到一定数值时，
那么根据它的抽样值就能重建原信号。
从抽样定理可以看出，若要传输模拟信号，不一定要传输整个模拟信号本身，而只需传输按抽样定理规定的速率进行抽样而得到的抽样值序列即可。因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。
3. 抽样定理的分类（略）
根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，又分均匀抽样定理和非均匀抽样；根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和实际抽样。 4. 抽样举例
语音信号不仅在幅度取值上是连续的，而且在时间上也是连续的。 设：模拟信号的频率范围为f 0～f m ，带宽B = fm -f 0。
如果f 0
例如载波12路群信号(频率范围为60kHz ～108kHz) 、载波60路群信号(频率范围为312kHz ～552kHz) 等属于带通型信号。要使话音信号数字化，首先要在时间上对话音信号进行离散化处理，这一处理过程是由抽样来完成的。就是每隔一定时间间隔T ，抽取模拟信号的一个瞬间幅度值（样值）。抽样是由抽样门来完成的，在抽样脉冲s(t)的控制下，抽样门闭合或断开。
每当有抽样脉冲时，抽样门开关闭合，其输出取出一个模拟信号的样值；当抽样脉冲幅度为零时，抽样门开关断开，其输出为零(假设抽样门等效为一个理想开关) 。
图中输入的低通信号用x (t ) 表示，一般是连续信号；输出信号用x s (t)表示，是一个在时间上离散了的已抽样信号。设在抽样周期T S 时间内，抽样门开关闭合时间为τ，断开时间为（T S -τ）。可见，x s (t ) 是一个周期为T S 宽度为τ的脉冲序列，脉冲的幅度在开关接通的时间内正好与x(t)的幅度相同。
下面用式子来进一步说明抽样的过程：
x s (t ) 与x (t ) 的波形关系：x s (t )= x (t ) s (t ) 【相当于一个乘法器】
式中s (t ) 是一个周期性开关函数，称为抽样函数，相当于线性调制器乘法器中用的载波，这是一个非连续波，而是脉冲波形，因此也称其为脉冲载波。 采用开关抽样器时，脉冲载波可以表示为s (t ) =C 0+∑C k cos k ωs t
k =1∞
1∞
已抽样信号：x s (t ) =C 0x (t ) +∑C k x (t ) cos k ωs t ；其频谱： X s (ω) =C 0X (ω) +∑C k X (ω-k ωs )
2k =-∞k =1
∞
k ≠0
按照抽样波形的特征，可以把抽样分为三种：
抽样的分类：
(1)自然抽样：x s (t)在抽样时间以内的波形与x(t)的波形完全一样。
由于x(t)是随时间变化的，因此x s (t)在抽样时间t 以内的波形也是随时间变化的，即同一个取样间隔内幅度不是平直的，而是变化的，因此自然抽样也称为曲顶抽样。 (2) 平顶抽样：在抽样时间τ内幅度保持不变
抽样结果虽然在不同抽样时间间隔内的幅度不同，但在同一个抽样间隔内的幅度不变，是平直的，因此称为平顶抽样。平顶抽样也称为瞬时抽样的，后面会讲到它实际上只是瞬时抽样的一个特例。
(3)理想抽样：用一个周期冲击函数代替抽样函数s (t ) ，即此时s (t ) =s δ(t ) =
k =-∞
∑δ(t -kT ) , 输出x (t )
s
s
∞
可用x δ(t ) 表示，是一个间隔为T s 的冲击脉冲系列。
理想抽样是纯理论的，实际上是不能实现的。但引入理想抽样以后对分析问题带来很大的方便，另外理想抽样时得出的一些结论，对于用周期窄脉冲(脉冲宽度τ
抽样函数的周期T s 就是抽样周期，其倒数f s =1/Ts 即为抽样频率。（注意：抽样频率和码元速率是不同的概念，因为对一个抽样值可以用好几位码进行编码。）
7.1.2 低通信号的抽样定律 低通抽样定理：限带为f m 的信号f (t ) ，若以速率f s ≥2f m 进行均匀抽样，则可无失真恢复原信号f (t ) 。 也就是说，任何一个模拟信号f (t ) ，其限带(截频) 为f m ，在抽样速率f s ≥2f m 或(均匀) 抽样间隔为T s =
11
，可得一个(模拟) 样本序列，若再经过一个理想低通LPF(截频f m ) 可从抽样速率为≤
f s 2f m
f s ≥2f m 的序列恢复原信号f (t ) 。实际LPF 往往有一定滚降过渡带，所以通常应当满足f s >2f m 。 下面我们来看看具体的分析：
设：抽样脉冲序列s δ(t ) 是周期为T s 的单位冲击脉冲序列，其数学表达式为s δ(t ) =则：则抽样后的输出信号可表示为x s (t ) =x (t ) s δ(t ) =x (t ) ∑δ(t -kT s ) →x s (t ) =
k =-∞∞
∞
k =-∞
∑δ(t -kT )
s s
∞
k =-∞
∑x (kT ) δ(t -kT )
s
【δ(t -kT s) 只有在t =kT s 时才存在，其它时刻均为零】
式中x (kT s ) 是t =kT s 时的x (t ) 的值，也就是t =kT s 这个时刻x (t ) 的抽样值。
设：信号的傅立叶变换对有x (t ) X (ω) ，x s (t ) X s (ω) ，s δ(t ) S δ(ω) 则：S δ(ω) =ωs
n =-∞
∑δ(ω-k ω)
s
∞
ωs =2πf =1/T s
X s (ω) =
根据x s (t )=x (t ) s δ(t ) 的关系式，利用频率卷积公式，可以得到
1
[X (ω) *S δ(ω)]2π
∞
ωs ⎡⎤=X (ω) *δ(ω-k ω) ∑s ⎥2π⎢k =-∞⎣⎦=f s
k =-∞
∑δ(ω-k ω)
s
k =-∞
∞
1=T s
∑X (ω-k ω)
s
∞
由频谱图可知，样值序列的频谱被扩大了（频率成分增多），但样值序列中含义原始语音的信息，因此对语音信号进行抽样处理是可行的。在接收端为了能够恢复出原始语音信号，必须要求位于ωs 处的下边带频谱能与语音信号分离开来。
设原始话音信号的频带限制在0～f m (fm 为话音信号的最高频率) ，在接收端，只要用一个低通滤波器把原始话音信号(频带为0～f m ) 滤出，就可获得原始话音信号的重建。但要获得话音信号的重建，必须使f m 与(fs -f m ) 之间有一定宽度的防卫带。否则，f s 的下边带将与原始话音信号的频带发生重叠而产生失真。这种失真所产生的噪声称为折叠噪声。
经过这一系列的分析，可以得出以下结论。 结论：
(1)理想抽样得到的X s (ω) 具有无穷大的带宽；
(2)只要抽样频率f s ≥2f m ，X s (ω) 中k 值不同的频谱函数就不会出现重叠的现象；
(3)X s (ω) 中k =0时的成分是X (ω)/T s ,与X (ω) 的频谱函数只差一个系数1/T s 。因此，只要用一个
带宽B 满足f m ≤B ≤f s -f m 的理想低通滤波器，就可以取出X (ω) 的成分，不失真地恢复出x (t ) 的波形。
理想抽样信号恢复的全过程模型
应当指出，抽样频率fs 不是越高越好，fs 太高时，将会降低信道的利用率。所以只要能满足f s>2f m ，并有一定频宽的防卫带即可。
7.1.3 带通信号的抽样定律
实际中遇到的许多信号是带通型信号。如果采用低通抽样定理的抽样速率f s ≥2 f m ，对频率限制在f 0与f m 之间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求。但这样选择f s 太高了，它会使0～f 0一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。为了提高信道利用率，同时又使抽样后的信号频谱不混叠，那么f s 到底怎样选择呢? 带通信号的抽样定理将回答这个问题。
带通均匀抽样定理：一个带通信号x (t ) ，其频率限制在f 0与f m 之间，带宽为B =f m -f 0，则必需的最小
2f
抽样速率f s min =m ，式中n =(f 0／B) I
n +1一般情况下，抽样速率f s 应满足如下关系：
2f m n +1
≤f s ≤2n f 0
只要满足上述关系式，就不会发生频谱重叠，x (t ) 可完全由其抽样值来确定。
2
f 0+f m ）若要求原始信号频带与其相邻频带之间的频带间隔相等，则f s = 2n +1
结论：
(1) 与原始信号（f 0～f m ）可能重叠的频带都是下边带；
(2) 当nB ≤f 0≤(n +1)B 时，在原始信号频带（f 0～f m ）的低频侧，可能重叠的频带是n 次下边带；在
高频侧可能重叠的频带为(n+1)次下边带。
7.2模拟信号的脉冲调制
模拟信号的调制与解调中讨论的连续波调制是以连续振荡的正弦信号作为载波的。然而，正弦信号并非是惟一的载波形式，利用时间上离散的脉冲序列作为载波，同样可获得已调信号，这就是模拟信号脉冲调制。 脉冲调制：以时间上离散的脉冲序列作为载波，用模拟基带信号x(t)
去控制脉冲序列的某参数，使其按x(t)的规律变化的调制方式。
通常，按基带信号改变脉冲参量(幅度、宽度和位置)
的不同，
把脉冲调制又分为脉冲振幅调制(PAM)、脉冲宽度调制(PDM)和脉冲位置调制(PPM)。虽然这三种信号在时间上都是离散的，但受调参量变化是连续的，因此也都属于模拟信号。
7.2.1脉冲振幅调制
(PAM) 1. 自然抽样的脉冲调幅 自然抽样（曲顶抽样）：抽样后的脉冲幅度(顶部) 随被抽样信号x (t ) 变化，或者说保持了x (t ) 的变
化规律。
自然抽样的PAM 原理框图及其波形如图7-10所示，图中抽样脉冲s (t ) 是一个具有一定宽度的任意的周期脉冲序列。
自然抽样PAM 的原理框图
设：脉冲载波s (t ) 是高度为1，宽度为τ，周期为T s 的矩形窄脉冲序列，取T s =1／(2f m ) 。 则：自然抽样PAM 信号x s (t ) 为x (t ) 与s (t ) 的乘积，即x s (t )= x(t ) s (t )
2πδ
其中，s (t ) 的频谱表达式为S (ω) =
T s 则由卷积定理知x s (t ) 的频谱为
X s (ω) =
⎛k ωs τ⎫S ⎪δ(ω-k ωs ) ∑a
2⎝⎭k =-∞
∞
1
[X (ω) *S (ω)]2π
⎤1⎡2πτ∞⎛k ωs τ⎫
=X (ω) *Sa δ(ω-k ω) ⎪∑s ⎥ ⎢2π⎣T s k =
-∞⎝2⎭⎦=
⎛k ωs τ⎫
Sa ⎪X (ω-k ωs ) ∑
T s k =-∞⎝2⎭
τ
∞
由自然抽样PAM 信号频谱图可以看出，它与理想抽样的频谱非常相似，也是由无限多个间隔为ωs =2ωm 的X (ω) 频谱之和组成。其中，由k =0得到的频谱函数为(τ/T s ) X (ω) ，与原信号谱X (ω)
只差一个比例常数(τ/T s ) ，因而可以用低通滤波器从X s (ω) 中滤出X ω) ，从而恢复出基带信号x (t ) 。 自然抽样与理想抽样比较：
(1) 抽样过程与信号恢复的过程是完全相同的，只是s(t)不同。
(2) 自然抽样的X s (ω) 的包络的总趋势是随|f |上升按Sa 曲线下降，因此带宽是有限的（与τ有关：
τ越大，带宽越小，τ越小，带宽越大。），而理想抽样的带宽是无限的。
(3) τ的大小要兼顾通信中对带宽和脉冲宽度这两个互相矛盾的要求。通信中一般对信号带宽的要求是越小越好，因此要求τ大；但通信中为了增加时分复用的路数要求τ小，显然二者是矛盾的。 2. 平顶抽样的脉冲调幅 平顶抽样（瞬时抽样）：抽样后信号中的脉冲均具有相同的形状——顶部平坦的矩形脉冲，矩形脉冲
的幅度即为瞬时抽样值。
平顶抽样PAM 信号在原理上可以由理想抽样和脉冲形成电路产生，其原理框图及波形如图7-12所示，其中脉冲形成电路的作用就是把冲激脉冲变为矩形脉冲。
下面对平顶抽样的脉冲调幅原理进行数学上的分析。
设：基带信号为x(t)，理想抽样脉冲为s δ(t)，理想抽样后得x δ(t ) =
k =-∞
∑x (kT ) δ(t -kT )
s
s
∞
脉冲形成电路的作用是将上述幅度随x(t)变化的冲激脉冲变为矩形脉冲。设矩形脉冲形成电路的冲激响应为h(t)=q(t)，经过矩形脉冲形成电路，每当输入一个冲激信号，在其输出端便产生一个幅度为x(kt)的矩形脉冲q(t)，因此在x δ(t)的作用下，输出便产生一系列被x(kt)加权的矩形脉冲序列，这就是平顶抽样PAM 信号x H (t)。 经脉冲形成器后的输出为：x H (t ) =
k =-∞
∑x (kT ) q (t -kT )
s
s
∞
设：脉冲形成电路的传输函数为Q(ω) q(t)，x H (t) XH (ω) 则：X H (ω)= Xδ(ω) Q(ω)
1
通常，X δ(ω) =
T s 所以有：X H (ω) =
k =-∞
∑X (ω-k ω) ，Q (ω) =τ
s
∞
∞
sin
ωτ⎫=τSa ⎛ ⎪
⎝2⎭2
ωτ
⎛ωt ⎫Sa ∑ ⎪X (ω-k ωs ) T s k =-∞⎝2⎭
τ
由上式看出，平顶抽样的PAM 信号频谱X H (ω) 是由Q(ω) 加权后的周期性重复的X(ω) 所组成。
平顶抽样和自然抽样有极大的差异：
在X H (ω) 中，已经不存在X(ω) 和X(ω-k ωs ) 频谱成分，它们已经由Q(ω) 加权而得。
在k=0时，X H (ω) 中得到的是
⎛ωτ⎫Sa ⎪X (ω) ，它是ω的函数，如果直接用低通滤波器恢复，必T s ⎝2⎭
τ
然存在失真。
为了从x H (t)中恢复原基带信号x(t)，通常采用以下两种方式：
（1） 在脉冲形成电路之后加一修正网络，修正网络的传输函数在信号的频带范围内满足1/Q(ω) ，
修正后的信号可通过低通滤波器便能无失真地恢复出原基带信号x(t)。
（2） 在脉冲形成电路之后加一理想抽样，理想抽样后的信号可通过低通滤波器便能无失真地恢复
出原基带信号x(t)。
从x H (t)中恢复原x(t)：
（1）加一个传输函数为1/Q(ω) 的修正网络
（2）加一个理想抽样
思考：为什么理想抽样后的信号可通过低通滤波器便能无失真地恢复出原基带信号x(t)？
7.2.2脉冲宽度调制(PDM)
脉冲宽度调制（PDM ，脉宽调制）：其等幅的脉冲序列以抽样时刻各x(kTs ) 的离散值与该载波脉冲序
列对应位脉冲的宽度成正比。
宽度不同的、间隔为T s 的已调序列就荷载了相应的抽样值x(kTs)的信息。 形成PDM 信号的方法：
（1）产生均匀间隔为信号抽样间隔T s
的锯齿波或三角波脉冲序列作为载波序列； （2）待传输的模拟信号x(kTs)与脉冲序列相加； （3）限幅—放大。
7.2.3 脉冲位置调制 (PPM)
脉冲位置调制（PPM ，脉位调制）：它是以均匀间隔为信号抽样间隔的等幅脉冲序列作为载波，使各
脉冲位置在不同方向移位的大小与信号样本值x(kTs ) 对应成正比。
PPM 信号实现方式与PDM 没有本质差别。PPM 模拟脉冲信号，目前在光调制和光信号处理技术中尚在广泛应用。
形成PPM 信号的方法：
将不等宽度的已调锯齿波，经过一个门限检测器——过零检测，取其后沿位置并形成极窄的脉冲，就得到PPM 信号。
PDM 和PPM 信号波形图 (a) 三角波脉冲序列； (b) 待传输模拟信号 (c) 叠加信号； (d) PDM信号； (e) PPM信号
7.3脉冲编码调制(PCM，脉码调制)
其基本原理是在发送端进行波形编码，有抽样、量化和编码三个基本过程，把模拟信号变换为二进制数字信号。通过数字通信系统进行传输后，在接收端进行相反的变换，由译码器和低通滤波器完成，把数字信号恢复为原来的模拟信号。
抽样：对模拟信号进行周期性的扫描，把时间上连续的信号变成时间上离散的信号。
我们要求经过抽样的信号应包含原信号的所有信息，即能无失真地恢复出原模拟信号，抽样速
量化：把抽样值进行幅度离散，即指定
Q 编码：用二进制码组表示有固定电平的量化值。
实际上量化是在编码过程中同时完成的。图7-18是PCM 单路抽样、量化、编码波形图。
7.3.1量化
模拟信号经过抽样后，虽然在时间上离散了，幅度取值是任意的、无限的(即连续的) ，但是，抽样值脉冲序列的幅度仍然取决于输入的模拟信号，它仍属于模拟信号，不能直接进行编码。因此就必须对它进行变换，使其在幅度取值上离散化，这就是量化的目的。
P224/图7-19表示的例子就是量化的物理过程。 x(t)：模拟信号
抽样速率：f s =1/Ts ，抽样值用“· ”表示。 则：第k 个抽样值为x(kTs )
m 1-m Q 表示Q 个电平(这里Q=7)，它们是预先规定好的，相邻电平间距离称为量化间隔，用“Δ”表示。x i ：第i 个量化电平的终点电平，那么量化应该是 x q (kT s ) =m i ；
x i -1≤x (kT s ) ≤x i
例如图7-19中，t =4T s 时的抽样值x (4T s ) 在x 5和x 6之间，此时按规定量化值为m 6。
量化器的输出为：x q (t ) =x q (kT s ) ； kT s ≤t ≤(k +1) T s
从上面结果可见，x q (t ) 阶梯信号是用Q 个电平去取代抽样值的一种近似，近似的原则就是量化原则。量化电平数越大，x q (t ) 就越接近x (t ) 。
量化误差：x q (kT s ) 与x (kT s ) 的误差，不超过±Δ/2，而量化级数目越多，Δ越小，量化误差越小。
量化误差一旦形成，在接收端无法去掉，它与传输距离、转发次数无关，又称为量化噪声。 衡量量化性能好坏的最常用指标是量化信噪功率比(S q /N q ) ，其中S q 表示x q (kT s ) 产生的功率，N q 表示由量化误差产生的功率，(S q /N q ) 越大，说明量化性能越好。
量化有两种方法：均匀量化和非均匀量化，根据量化间隔是否相等进行划分。非均匀量化能够克服均匀量化的缺点，所以我们需要对这两种量化分别进行讨论，以了解它们之间的区别和联系。 1. 均匀量化
(1) 量化特性。
量化特性：指量化器的输入、输出特性。
均匀量化的量化特性是等阶距的梯形曲线。图7-20(b)为“中间上升”型量化器特性， 其原点出现在阶梯函数上升部分中点；图7-20(c)为“中间水平”型量化器特性，其原点出现在阶梯形函数水平部分中点。二者的区别仅在于输入为空闲噪声时输出电平有无变化，中间上升适用于语音编码。
(2) 量化误差功率 ① 量化误差。
图7-21所示第一个工作区域是锯齿形特性的量化误差区，在这一区域内，量化误差受量化间隔大小的制约，这个区域由量化器的动态范围确定，通常也称为量化区或线性工作区。量化器的正确运用是设法调节输入信号，使其动态范围与量化器的动态范围相匹配，可由增益控制系统来完成。
第二个工作区域为非量化误差区，这个区域的误差特性是线性增长的，这个区也称为过载区或饱和区。这种误差比量化误差大，对重建信号有很坏的影响。 ② 量化误差功率。
设：输入模拟信号x 概率密度函数是f x (x)，x ∈(a , b ) ，且不会出现过载量化 则：量化误差功率N q 为
N q =E {(x -x q ) 2}=⎰(x -x q ) 2f x (x ) dx
a
b
=∑⎰(x -m i ) f x (x ) dx
2
i =1
x i -1
Q
x i
其中Q 为量化电平数，m i 为第i 个电平，可表示为m i =(x i -1+x i )/2 (i=1, 2, „, Q ) ，x i 为第i
个量化间隔的终点，可表示为x i =a +i Δ。
一般来说，量化电平数Q 很大，Δ很小，因而可认为在Δ量化间隔内f x (x ) 不变，以p i 表示，且假设各层之间量化噪声相互独立，则N q 表示为
N q =∑p i ⎰(x -m i ) 2d x
i =1
x i -1
Q
x i
∆2Q
=∑p i ∆12i =1∆2=12
(3) 量化信噪比。
量化信噪比是衡量量化性能好坏的指标，按照上面求量化噪声功率给出的条件，可得出 量化信号功率S q ：（求解【例7.2】）
2
S q =E {x q }2
=⎰x q f x (x ) d x a b
=∑(m i )
i =1
a
2
⎰
x i
x i -1
f x (x ) d x
(4) 均匀量化的缺点。
均匀量化时其量化信噪比随信号电平的减小而下降。
产生这一现象的原因就是均匀量化时的量化级间隔Δ为固定值，而量化误差不管输入信号的大
小均在(-Δ/2, Δ/2)内变化。故大信号时量化信噪比大，小信号时量化信噪比小。对于语音信号来说，小信号出现的概率要大于大信号出现的概率，这就使平均信噪比下降。同时，为了满足一定的信噪比输出要求，输入信号应有一定范围(即动态范围) ，由于小信号信噪比明显下降，也使输入信号范围减小。要改善小信号量化信噪比，可以采用量化间隔非均匀的方法，即非均匀量化。
2. 非均匀量化
非均匀量化是一种在整个动态范围内量化间隔不相等的量化，在信号幅度小时，量化级间隔划分得小；信号幅度大时，量化级间隔也划分得大，以提高小信号的信噪比，适当减少大信号信噪比，使平均信噪比提高，从而获得较好的小信号接收效果。
1) μ律与
A
⎧Ax ⎪1n (1+μx ) ⎪
μ律： y =±(-1≤x ≤1) A 律：y =⎨1+1n A
1n (1+μ) ⎪±1+1n A |x |
⎪⎩1+1n A
0≤|x |≤
1
1A
式中，x 为归一化输入，y 为归一化输出，A 、μ为压缩系数。 来看看A 律是怎样做到不同的量化间隔的。例如，对A 特性求导可1⎧
160≤|x |≤
得A =87.6时的值为 A d y ⎪⎪
=⎨当x=1时，放大量缩小为0.182 7，显然大信号比小信号下降很多， d x
1⎪0. 1827≤|x |≤1这样就起到了压缩的作用。 ⎪A ⎩x
对于μ律也有类似的结论。
2) (1) 数字压扩技术。
一种通过大量的数字电路形成若干段折线，并用这些折线来近似A 律或μ律压扩特性，从而达到压扩目的的方法。
用折线作压扩特性，它既不同于均匀量化的直线，又不同于对数压扩特性的光滑曲线。虽然总的来说用折线作压扩特性是非均匀量化的， 但它既有非均匀量化(不同折线有不同斜率) ， 又有均匀量化(在同一折线的小范围内) 。
两种常用的数字压扩技术：13折线A 律压扩，它的特性近似A =87.6的A 律压扩特性；15折线μ律
压扩，其特性近似μ=255的μ律压扩特性。
13折线A 律主要用于英、法、德等欧洲各国的PCM 30/32路基群中，我国的PCM 30/32路基群也采用A 律13折线压缩律。15折线μ律主要用于美国、加拿大和日本等国的PCM-24路基群中。 CCITT建议G.711规定上述两种折线近似压缩律为国际标准，且在国际间数字系统相互联接时，要以A 律为标准。因此这里仅介绍13折线A 律压缩特性。 (2) 13折线A 律的产生。
13折线A 律是从不均匀量化的基点出发，设法用许多折线来逼近A 律对数压扩特性的。
设：在直角坐标系中，x 轴和y 轴分别表示输入信号和输出信号，并假定输入信号和输出信号的最大
取值范围都是+1至-1，即都是归一化的。
x 轴：区间(0，1) 不均匀地分成8段，分段的规律是每次1/2取段。
即： 首先以1/2至1为一段；再将余下的0至1/2平分，取1/2至1/4为一段；再将余下的1/4至0平分，取1/8 至1/4为一段； ……；直至分成8段为止。
其中第一、第二两段长度相等，都是1/128。上述8段之中，每一段都要再均匀地分成16等份，每一等份就是一个量化级。要注意在每一段内，这些等份之间(即16个量化级之间) 长度是相等的，但是，在不同的段内，这些量化级又是不相等的。
输入信号的取值范围0至1总共被划分为16×8=128个不均匀的量化级。
可见，用这种分段方法就可对输入信号形成一种不均匀量化分级，它对小信号分得细，最小量化级(第一、二段的量化级) 为(1/128)×(1/16)=1/2048，对大信号的量化级分得粗，最大量化级为1/(2×16)=1/32。
最小量化级为一个量化单位，用Δ表示，可计算出输入信号的取值范围0至1总共被划分为2048Δ。
y 轴：均匀地分成8段，每一段又均匀地分成16等份，每一等份就是一个量化级。
则，y 轴的区间(0，1) 就被分为128个均匀量化级， 每个量化级均为1/128。
将x 轴的8段和y 轴的8段各相应段的交点连接起来，于是就得到由8段直线组成的折线。由于y 轴是均匀分为8段的，每段长度为1/8，而x 轴是不均匀分成8段的，每段长度不同，因此，可分别求出8段直线线段的斜率（略）。据此，也就可以画出13折线图。
7.3.2 编码和译码 1. 编码原理
1)
PCM 中一般采用二进制码。Q 个量化电平，可以用k 位二进制码来表示，其中每一种组合为一个码字。
因为二进制码可以经受较高的噪声电平的干扰，并易于再生，在点对点之间通信或短距离通信中，采用k=7位码已基本能满足质量要求。而对于干线远程的全网通信，一般要经过多次转接，要有较高的质量要求，目前国际上多采用8位编码PCM 设备。
码型：把量化后的所有量化级，按其量化电平的大小次序排列起来，并列出各对应的码字。
在PCM 中常用的码型有自然二进制码、折叠二进制码和反射二进制码(又称格雷码) 。（P230/表7-1，叙述一下三种码型的异同与优缺点）
2)
目前国际上普遍采用8位非线性编码。例如PCM 30/32路终端机中最大输入信号幅度对应4 096个量化单位(最小的量化间隔称为一个量化单位) ，在4096单位的输入幅度范围内，被分成256个量化级，因此须用8位码表示每一个量化级。
用于13折线A 律特性的8位非线性编码的码组（结构具体见表7-2）：
第1位码M 1的数值“1”或“0”分别代表信号的正、负极性，称为极性码。从折叠二进制码的规律可知，对于两个极性不同，但绝对值相同的样值脉冲，用折叠码表示时，除极性码M 1不同外，其余几位码是完全一样的。因此在编码过程中，只要将样值脉冲的极性判出后，编码器便是以样值脉冲的绝对值进行量化和输出码组的。这样只要考虑13折线中对应于正输入信号的8段折线就行了。这8段折线共包含128个量化级，正好用剩下的7位码(M2，…, M8)就能表示出来。
第2位至第4位码(即M 2，M 3，M 4) 称为段落码。用3位码表示8段折线。具体划分如表7-3所示。应注意，段落码的每一位不表示固定的电平，只是用M 2，M 3，M 4的不同排列码组表示各段的起始电平。这样就把样值脉冲属于哪一段先确定下来了，以便很快地定出样值脉冲应纳入到这一段内的哪个量化级上。
第5位至第8位码（即M 5，M 6，M 7，M 8) 称为段内码。用4位码表示16个量化级。具体划分如表7-3。
3) 编码原理
逐次比较型编码器编码的方法与用天平称重物的过程极为相似，因此先说天平称重的过程： 第1次称重所加砝码(在编码术语中称为“权”，它的大小称为权值) 是估计的，这种权值当然不能正好使天平平衡。若砝码的权值大了，换一个小一些的砝码再称。请注意，第2次所加砝码的权值，是根据第1次做出判断的结果确定的。若第2次称的结果说明砝码小了，就要在第2次权值基础上加上一个更小一些的砝码。如此进行下去，直到接近平衡为止。这个过程叫做逐次比较称重过程。“逐次”的含意，可理解为称重是一次次由粗到细进行的。而“比较”则是把上一次称重的结果作为参考，比较得到下一次输出权值的大小，如此反复进行下去，使所加权值逐步逼近物体真实重量。
用一个例子来说明编码过程：
【例 7.3】已知抽样值为+635Δ，要求按13折线A 律编出8位码。
【解】 第1次比较：信号I c 为正极性，M 1=1
第2次比较：本地译码器输出为I s2=128Δ I c =635Δ＞I s2=128Δ，Μ2=1
第3次比较：本地译码器输出为I s3=512Δ I c =635Δ＞I s 3=512Δ，Μ3
=1
第4次比较：本地译码器输出为I s4=1024Δ I c =635Δ＜I s4=1024Δ，Μ4=0
这表明，M 2M 3M 4=110，信号处在第7段。
1024∆-512∆⨯8=768∆ 第5次比较：本地译码器输出为I s5=512∆+16
表示处在第7段的量化间隔。I c =635Δ＜=768Δ，Μ5=0
第6次比较：本地译码器输出为I s6=512Δ+32Δ×4=640Δ＜635Δ，Μ6=0
第7次比较：本地译码器输出为I s7=512Δ+32Δ×2=576Δ＞635Δ，Μ7=1
第8次比较：本地译码器输出为I s 8=512Δ+32Δ×3=608Δ＞635Δ，Μ8=1
结果：编码码字为11100011，量化误差为635Δ-608Δ=27Δ。
可见，编码器输出的码字实际对应的电平应为608Δ，称为编码电平。
也可以按照下式计算编码电平：
I c =I si +(23M 5+22M 6+21M 7+20M 8)Δi
即，编码电平等于样值信号所处段落的起始电平与该段内量值电平之和。
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