八年级寒假尖子生培优训练（1）
专题（轴对称图形综合）
【经典例题解析】
1．如图，在△ABC 中，AB=AC,BC=12,∠BAC=130°，AB 的垂直平分线分别交BC 于E ，
AC 的垂直平分线分别交BC 于N
(1) 求△AEN 的周长 （2）求∠EAN 的度数 （3）判断△AEN 的形状
B
2．如图所示，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于E, 作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G, 求证：BF=CG
3. 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE=CD，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．
4. 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证： （1）BQ=CQ； （2）BQ+AQ=AB+BP．
【走进中考】
1. 已知如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90゜，D 是AB 上一点，BD=BC，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，连CD 交BE 于F ，求证：
（1）CE=DE； （2）BE ⊥CD ； （3）∠ABE=∠ACD ．
2. 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD． 求证：BD=CD．
3. 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D ．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由． （3）如果BC=10，求AB+AE的长．
4．在△ABC中，若AD 是∠BAC的角平分线，点E 和点F 分别在AB 和AC 上，且DE⊥AB，垂足为E ，DF⊥AC，垂足为F （如图（1）），则可以得到以下两个结论：①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC
中，仍然有条件“AD
是∠BAC
的角平分线，点E 和点F ，分别在AB 和AC 上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE 与DF 是否仍相等？若仍相等，请
证明；否则请举出反例． （2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）
5．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE=BD，连接CE ，DE ．求证：EC=ED．
6．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：
（1）当把△ADE绕点A 旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于
请说明理由；
（2）当把△ADE绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证
明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．
7．为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．
如图，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，延长BC ，使CE=CD，连接DE ，求证：BC+DC=AC．
思路点拨：
（1）由已知条件AB=AD，∠BAD=60°，可知：△ABD是 三角形； （2）同理由已知条件∠BCD=120°得到∠DCE= ，且CE=CD，可知 ；
（3）要证BC+DC=AC，可将问题转化为两条线段相等，即 = ；
（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：
8． 如图1所示，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD 平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，
．于是可得
出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC= ；
（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足
为E ，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长= ．
（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D 是BC 的中点，DE⊥AB，垂
足为E ，那么BE ：EA= ．
（4）如图4所示，在等边△ABC中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且CD=AE，AD 、
BE 交于点P ，作BQ⊥AD于Q ，猜想PB 与PQ 的数量关系，并说明理由．
八年级寒假尖子生培优训练（1）
专题（轴对称图形综合）
【经典例题解析】
1．如图，在△ABC 中，AB=AC,BC=12,∠BAC=130°，AB 的垂直平分线分别交BC 于E ，
AC 的垂直平分线分别交BC 于N
(1) 求△AEN 的周长 （2）求∠EAN 的度数 （3）判断△AEN 的形状
B
2．如图所示，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于E, 作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G, 求证：BF=CG
3. 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE=CD，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．
4. 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证： （1）BQ=CQ； （2）BQ+AQ=AB+BP．
【走进中考】
1. 已知如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90゜，D 是AB 上一点，BD=BC，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，连CD 交BE 于F ，求证：
（1）CE=DE； （2）BE ⊥CD ； （3）∠ABE=∠ACD ．
2. 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD． 求证：BD=CD．
3. 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D ．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由． （3）如果BC=10，求AB+AE的长．
4．在△ABC中，若AD 是∠BAC的角平分线，点E 和点F 分别在AB 和AC 上，且DE⊥AB，垂足为E ，DF⊥AC，垂足为F （如图（1）），则可以得到以下两个结论：①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC
中，仍然有条件“AD
是∠BAC
的角平分线，点E 和点F ，分别在AB 和AC 上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE 与DF 是否仍相等？若仍相等，请
证明；否则请举出反例． （2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）
5．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE=BD，连接CE ，DE ．求证：EC=ED．
6．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：
（1）当把△ADE绕点A 旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于
请说明理由；
（2）当把△ADE绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证
明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．
7．为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．
如图，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，延长BC ，使CE=CD，连接DE ，求证：BC+DC=AC．
思路点拨：
（1）由已知条件AB=AD，∠BAD=60°，可知：△ABD是 三角形； （2）同理由已知条件∠BCD=120°得到∠DCE= ，且CE=CD，可知 ；
（3）要证BC+DC=AC，可将问题转化为两条线段相等，即 = ；
（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：
8． 如图1所示，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD 平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，
．于是可得
出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC= ；
（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足
为E ，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长= ．
（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D 是BC 的中点，DE⊥AB，垂
足为E ，那么BE ：EA= ．
（4）如图4所示，在等边△ABC中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且CD=AE，AD 、
BE 交于点P ，作BQ⊥AD于Q ，猜想PB 与PQ 的数量关系，并说明理由．