2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1. 已知集合A ={x ∈R 3x +2>0
}, B ={x ∈R (x +1)(x -3) >0}，则A B =（ ）
23
A. (-∞, -1) B. (-1, -) C. (-,3) D. (3,+∞)
23
【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算. 【考查方式】给出两个集合，求交集.
【参考答案】C 【试题解析】A =⎨x x >-⎬，利用二次不等式的解法可得B =x x >3或x
⎧⎩2⎫3⎭
{
}，画出
数轴易得A B =x x >3. 2. 在复平面内，复数
{
}
10i
对应的点坐标为 （ ） 3+i
A. (1,3) B. (3,1) C. (-1,3) D. (3-, ) 1
【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义. 【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A 故选A. 3. 设⎨
10i 10i(3-i)
==1+3i ，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，3+i (3+i)(3+i)
⎧0剟x ⎩0剟x 2⎫
则此点到坐标⎬不等式组表示的平面区域为D , 在区域D 内随机取一个点，
2⎭
原点的距离大于2的概率是 （ ）
A.
ππ-2π4-π
B. C. D. 4264
【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.
【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率. 【参考答案】D
【试题解析】题目中⎨
⎧0剟x ⎩0剟x 2⎫
⎬表示的区域表示正方形区2⎭
域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的
1
2⨯2-π⨯22
4-π圆的面积部分，因此p =，故选D =
2⨯24
4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）
A. 2 B. 4 C ．8 D. 16 【测量目标】循环结构的程序图框.
【考查方式】给出程序图，求最后的输出值. 【参考答案】C 【试题解析】
k =0, s =1⇒k =1s
, =
k ⇒s =k =
循环结束，输出的S 为8，故选C.
1
2
5. 函数f (x ) =x -() 的零点个数为 （ ）
12
x
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【测量目标】导函数的定义与应用.
【考查方式】已知复合函数，求零点个数. 【参考答案】B
1
1x 1x
【试题解析】函数f (x ) =x -() 的零点，即令f (x ) =0，根据此题可得x 2=() ，在
22
1
2
平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .
6. 已知a n }为等比数列. 下面结论中正确的是 （ ）
{
A. a 1+a 2…2a 2 B. a 12+a 32…2a 22
C. 若则a 1=a 2 ,则a 1+a 3…a 2 D. 若a 3>a 1，则a 4>a 2
【测量目标】等比数列的公式与性质.
【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质. 【参考答案】B
【试题解析】当a 10, ，所以A 选项错误；当q =-1时，
C 选项错误；当q a 2⇒a 3q
定理可知B 选项正确.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （ ）
A. 28+
B. 30+
C. 56+
D. 60+
【测量目标】由三视图求几何体的表面积.
【考查方式】给出三棱锥的三视图，求其表面积. 【参考答案】B 【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和, 利用垂直关系和三角形面积公式，可得
：，因此该几何体表面积S =B . S 底=10, S 后=10，S 左S 右=10，
8. 某棵果树前n 年得总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【测量目标】线性分布的特点与理解.
【考查方式】给出线性分布图，求总量最高时所对应的横坐标. 【参考答案】C
【试题解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，选超过平均值，所以应该加入，因此选C .
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，
共30分.
22
y =x x +(y -2) =4截得的弦长为 . 9. 直线被圆
【测量目标】直线与圆的位置关系.
【考查方式】给出直线与圆的方程，求直线被圆所截的弦长.
【参考答案】【试题解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为
l
，圆心到直线的距离2
d =
2
=，以及圆半径r =2构成了一个直角三角形，因
此
l
=r 2-d 2=42
-2=2
⇒l 2
8=l 2
1
, S 2=a 3，则a 2=；2
10. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和. 若a 1=
S n =
【测量目标】等差数列的公式与定义及前n 项和.
【参考答案】
1
n (n +1) 4
11
，所以S n =n (n +1) 24
π
11. 在△
ABC 中，若a =3, b ，∠A =，则∠C 的大小为3
【试题解析】因为S 2=a 3，所以d =
【测量目标】正弦定理、余弦定理的运算.
【考查方式】给出两边长及其中一边所对应的角，求另一边的边长. 【参考答案】
π2
c a πb 2+c 2-a 2
=⇒c =而【试题解析】cos A =，而sin C =1⇒C = sin C sin A 22bc
12. 已知函数f (x ) =lg x ，若f (ab ) =1，则f (a 2) +f (b 2) =【测量目标】复合函数的求解及对数函数的运算性质.
【考查方式】给出复合函数，代入求值. 【参考答案】2 【试题解析】
f (x ) =lg x , f (ab ) =1，∴lg(ab ) =1，∴f (a 2) +f (b 2) =lg a 2+lg b 2=2lg(ab ) =2.
13. 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB 的值为【测量目标】平面几何的理解与向量的运算法则.
【考查方式】给出正方形的边长及个点位置，求两向量的乘积. 【参考答案】1
CB =DE DA =DE DA cos θ，可知【试题解析】根据平面向量的点乘公式DE
2
DE cos θ=DA ，因此DE CB =DA =1；DE DC =DE DC cos α=DE cos α，
而DE cos α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE CD 最大，即让射影最大，此时
E 点与B 点重合，射影为a ，所以长度为1.
14. 已知f (x ) =m (x -2m )(x +m +3) ，g (x ) =2x -2. 若∀x ∈R ，f (x )
【测量目标】函数的定义域、值域及函数的求解.
【考查方式】给出带有未知数的两个函数，求函数小于零时的取值范围. 【参考答案】（-4,0）
g (x )
x x
f (x ) 0时，
由f (x ) =m (x -2m )(x +m +3)
m 0, x …1, 故x -2m >0，所以x +m +3>0，即m >-(x +3又x …1，故-(x +3) ，) ∈-(∞-, 4
故m ∈(-4,0) ，综上，m 的取值范围是(-4,0) .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题13分） 已知函数f (x ) =
所以m >-4，又m
(sinx -cos x )sin 2x
.
sin x
（1）求f (x ) 的定义域及最小正周期； （2）求f (x ) 的单调递减区间.
【测量目标】正弦定理、余弦定理及三角函数与三角恒等变换.
【考查方式】给出函数，求函数的定义域最小及周期及单调减区间. 【试题解析】
解：（1）由sin x ≠0得x ≠k π,(k ∈Z ) ， 故f (x ) 的定义域为x ∈R x ≠k π, k ∈Z . 因为
{}
f (x ) =
(sinx -cos x )sin 2x
sin x
π
x -) -1
4
=2cos x (sinx -
cos x ) =sin 2x -cos 2x -1=所以f (x ) 的最小正周期T =
2π
=π. 2
（2）函数y =sin x 的单调递减区间为⎢2k π+由2k π+
⎡⎣
π3π⎤
,2k π+⎥(k ∈Z ) . 22⎦
k π+
7π
,(k ∈Z ) 8
3π3π, x ≠k π(k ∈Z ) 得k π+剟x 28
3π7π剟x k π+,(k ∈Z ) 所以f (x ) 的单调递减区间为[k π+88
2k π+
16. （本小题14分）
ππ
剟2x -24
].
如图1，在R t △ABC 中，∠C =90，D , E 分别是AC , AB 上的中点,
点F 为线段CD 上的一点. 将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图
2.
（1）求证：DE 平面ACB ; （2）求证：A 1F ⊥BE ; 1（3）线段A ⊥平面DEQ ？说明理由 1B 上是否存在点Q , 使AC 1
【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理及空间想象能力与推理论证能力 【考查方式】给出四棱锥中线线关系、线面关系及面面关系，求线面垂直、线面平行及面面垂直. 【试题解析】 解：（1）因为D , E 分别为AC , AB 的中点，所以DE BC . （步骤1）又因为DE ⊄平面
, 所以DE 平面ACB . （步骤2） ACB 11
（2）由已知得AC ⊥BC 且DE BC , 所以DE ⊥AC . 所以DE ⊥A 1D , DE ⊥CD , 所以
DE ⊥平面A 1DC . 而A 1F ⊂平面A 1DC , （步骤3） 所以DE ⊥A 1F . 又因为A 1F ⊥CD , 所以A 1F ⊥平面BCDE . 所以A 1F ⊥BE ，（步骤4）
⊥平面DEQ . 理由如下：（3）线段A 如图， 1B 上存在点Q , 使AC 1
分别取AC 1, A 1B 的中点P , Q , 则PQ BC .
又因为DE BC , 所以DE PQ . 所以平面DEQ 即为平面
D E P . （步骤5）
由（2）知DE ⊥平面A 1DC , 所以DE ⊥AC 1. （步骤6）
又因为P 是等腰三角形DAC 1底边AC 1 的中点，
⊥平面DEP , 从而AC ⊥DP , 所以AC 所以AC 111⊥平面DEQ .
⊥平面DEQ . （步骤7） 故线段A 1B 上存在点 Q , 使得AC 1
17. （本小题13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余 垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a , b , c 其中a >0, a +b +c =600当数据a , b , c 的方差S 最大时，写出a , b , c 的值（结论不要求证
2
明），并求此时S 的值. （注：方差S =
2
2
1
⎡(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2⎤，其中x 为x 1, x 2, x n 的平均数） ⎣⎦n
【测量目标】概率的意义、频率与概率的区别及分布的特点与意义及方差的计算.
【考查方式】给出垃圾数据表，分别求各项概率及方差 【试题解析】
1）厨余垃圾投放正确的概率约为
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002
== 400+100+1003厨余垃圾总量
（2）设生活垃圾投放错误为事件A , 则事件A 表示生活垃圾投放正确。 事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃
400+240+60
=0.7, 所以圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A ) , 约为
1000
P (A ) 约为1-0.7=0.3.
12
（3）当a =600，b =c =0时，S 取得最大值. 因为x =(a +b +c ) =200，
3
1222
(600-200) +(0-200) +⎤=8000． 所以S =⎡⎣⎦3
18. （本小题13分）
已知函数f (x ) =ax 2+1(a >0) ，g (x ) =x 3+bx .
（1）若曲线y =f (x ) 与曲线y =g (x ) 在它们的交点(1,c ) 处具有公共切线，求a , b 的值； （2）当a =3, b =-9时，求函数f (x ) +g (x ) 在区间[k ,2]上的最大值为28，求k 的取值范围.
【测量目标】导数概念的实际的背景，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
【考查方式】考查导数在函数中的应用. 【试题解析】
(1)：f '(x ) =2ax ，g '(x ) =3x 2+b . 因为曲线y =f (x ) 与y =g (x ) 在它们的交点(1,c ) 处具有公共切线，f (1)=g (1),f '(1)=g '(1)．即a +1=1+b 且2a =3+b ．解得a =3, b =3.
32
（2）记h (x ) =f (x ) +g (x ) ，当a =3, b =-9时，h (x ) =x +3x -9x +1，
h '(x ) =3x 2+6x -9
令h '(x ) ，解得：x 1=-3, x 2=1；
h (x ) 与h '(x ) 在(-∞, 2]上的情况如下：
当k „-3时，函数h (x ) 在区间[k ,2]上的最大值为h (-3) =28；
当-3
(-∞, -3]
19. （本小题14分）
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的一个顶点为A
(2,0)，离心率为. 直线
a b y =k (x -1) 与椭圆C 交于不同的两点M , N .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△
AMN 得面积为
时，求k 的值. 3
【测量目标】椭圆的标准方程的定义，直线与圆的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的顶点与离心率，求椭圆的标准方程及直线与椭圆相交直线斜率的值的解.
【试题解析】
⎧a =2⎪
x 2y 2⎪c
+=1. 解：（1
）由题意得⎨解得b =所以椭圆C 的方程为=
42⎪2a 222
⎪a =b +c ⎩
⎧y =k (x -1) ⎪2222
（2）由⎨x 2y 2得(1+2k ) x -4k x +2k -4=0.
=1⎪+
⎩42
设点M , N 的坐标分别为(x 1, y 1) ，(x 2, y 2) ，则y 1=k (x 1-1) ，y 2=k (x 2-1) ，4k 2
x 1+x 2=
1+2k 2
，
x 1x 2=
41+2k 2
. 所
以
MN == =由因为点A (2,0)到直线y =k (x -
1) 的距离d
=，
所以△
ABC 的面积为S =
1
MN d =2
. =
，解得k =±1.
20. （本小题13分）
设A 是如下形式的2
行3列的数表，
满足：性质P ：a , b , c , d , e , f ∈[-1,1]，且a +b +c +d +e +f =0.
记r i (A ) 为A 的第i 行各数之和(i =1,2) ，c j (A ) 为A 的第j 列各数之和(j =1, 2,3) ； 记k (A ) 为r i (A ) ，r 2(A ) ，c 1(A ) ，c 2(A ) ，c 3(A ) 中的最小值. （1）对如下数表A , 求k (A ) 的值；
（2）设数表A 形如
其中-1剟d
0. 求k (A ) 的最大值；
【测量目标】等差数列的定义与公式.
【考查方式】给出数表与数据，求等差数列中的最大值. 【试题解析】
(1)因为r 1(A ) =1.2，r 2(A ) =-1.2，c 1(A ) =1.1，c 2(A ) =0.7，c 3(A ) =-1.8，所以k (A ) =0.7
(2)r 1(A ) =1-2d ，r 2(A ) =-1+2d ，c 1(A ) =c 2(A ) =1+d ，c 3(A ) =-2-2d .
因为-1剟d
0，所以r 1(A ) =r 2(A ) 厖d 0，c 3(A ) 厖d
当d =0时，k (A ) 取得最大值1.
(3)任给满足性质
P 的数表A （如图所示）
0. 所以k (A ) =1+d „1.
*
任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A 仍满足性质P ，并且k (A ) =k (A ) ，因此，不妨设r 1(A ) 厖0, c 1(A )
*
0, c 2(A ) ? 0，由k (A ) 的
定义知，(3)对所以满足性质P 的2行3列的数表A , 求k (A ) 的最大值.
，从而k (A ) 剟r 1(A ), k (A ) c 1(A ), k (A ) ? c 2(A ) 3k „1+(A +r (A = ) c +(A +1) 2=(a +b +c +d +e +f ) +(a +b -f ) =a +b -f „3
因此k (A ) „1，由（2）知，存在满足性质P 的数表A ，使k (A ) =1，故k (A ) 的最大值为1.
) c
2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1. 已知集合A ={x ∈R 3x +2>0
}, B ={x ∈R (x +1)(x -3) >0}，则A B =（ ）
23
A. (-∞, -1) B. (-1, -) C. (-,3) D. (3,+∞)
23
【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算. 【考查方式】给出两个集合，求交集.
【参考答案】C 【试题解析】A =⎨x x >-⎬，利用二次不等式的解法可得B =x x >3或x
⎧⎩2⎫3⎭
{
}，画出
数轴易得A B =x x >3. 2. 在复平面内，复数
{
}
10i
对应的点坐标为 （ ） 3+i
A. (1,3) B. (3,1) C. (-1,3) D. (3-, ) 1
【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义. 【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A 故选A. 3. 设⎨
10i 10i(3-i)
==1+3i ，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，3+i (3+i)(3+i)
⎧0剟x ⎩0剟x 2⎫
则此点到坐标⎬不等式组表示的平面区域为D , 在区域D 内随机取一个点，
2⎭
原点的距离大于2的概率是 （ ）
A.
ππ-2π4-π
B. C. D. 4264
【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.
【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率. 【参考答案】D
【试题解析】题目中⎨
⎧0剟x ⎩0剟x 2⎫
⎬表示的区域表示正方形区2⎭
域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的
1
2⨯2-π⨯22
4-π圆的面积部分，因此p =，故选D =
2⨯24
4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）
A. 2 B. 4 C ．8 D. 16 【测量目标】循环结构的程序图框.
【考查方式】给出程序图，求最后的输出值. 【参考答案】C 【试题解析】
k =0, s =1⇒k =1s
, =
k ⇒s =k =
循环结束，输出的S 为8，故选C.
1
2
5. 函数f (x ) =x -() 的零点个数为 （ ）
12
x
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【测量目标】导函数的定义与应用.
【考查方式】已知复合函数，求零点个数. 【参考答案】B
1
1x 1x
【试题解析】函数f (x ) =x -() 的零点，即令f (x ) =0，根据此题可得x 2=() ，在
22
1
2
平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .
6. 已知a n }为等比数列. 下面结论中正确的是 （ ）
{
A. a 1+a 2…2a 2 B. a 12+a 32…2a 22
C. 若则a 1=a 2 ,则a 1+a 3…a 2 D. 若a 3>a 1，则a 4>a 2
【测量目标】等比数列的公式与性质.
【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质. 【参考答案】B
【试题解析】当a 10, ，所以A 选项错误；当q =-1时，
C 选项错误；当q a 2⇒a 3q
定理可知B 选项正确.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （ ）
A. 28+
B. 30+
C. 56+
D. 60+
【测量目标】由三视图求几何体的表面积.
【考查方式】给出三棱锥的三视图，求其表面积. 【参考答案】B 【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和, 利用垂直关系和三角形面积公式，可得
：，因此该几何体表面积S =B . S 底=10, S 后=10，S 左S 右=10，
8. 某棵果树前n 年得总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【测量目标】线性分布的特点与理解.
【考查方式】给出线性分布图，求总量最高时所对应的横坐标. 【参考答案】C
【试题解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，选超过平均值，所以应该加入，因此选C .
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，
共30分.
22
y =x x +(y -2) =4截得的弦长为 . 9. 直线被圆
【测量目标】直线与圆的位置关系.
【考查方式】给出直线与圆的方程，求直线被圆所截的弦长.
【参考答案】【试题解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为
l
，圆心到直线的距离2
d =
2
=，以及圆半径r =2构成了一个直角三角形，因
此
l
=r 2-d 2=42
-2=2
⇒l 2
8=l 2
1
, S 2=a 3，则a 2=；2
10. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和. 若a 1=
S n =
【测量目标】等差数列的公式与定义及前n 项和.
【参考答案】
1
n (n +1) 4
11
，所以S n =n (n +1) 24
π
11. 在△
ABC 中，若a =3, b ，∠A =，则∠C 的大小为3
【试题解析】因为S 2=a 3，所以d =
【测量目标】正弦定理、余弦定理的运算.
【考查方式】给出两边长及其中一边所对应的角，求另一边的边长. 【参考答案】
π2
c a πb 2+c 2-a 2
=⇒c =而【试题解析】cos A =，而sin C =1⇒C = sin C sin A 22bc
12. 已知函数f (x ) =lg x ，若f (ab ) =1，则f (a 2) +f (b 2) =【测量目标】复合函数的求解及对数函数的运算性质.
【考查方式】给出复合函数，代入求值. 【参考答案】2 【试题解析】
f (x ) =lg x , f (ab ) =1，∴lg(ab ) =1，∴f (a 2) +f (b 2) =lg a 2+lg b 2=2lg(ab ) =2.
13. 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB 的值为【测量目标】平面几何的理解与向量的运算法则.
【考查方式】给出正方形的边长及个点位置，求两向量的乘积. 【参考答案】1
CB =DE DA =DE DA cos θ，可知【试题解析】根据平面向量的点乘公式DE
2
DE cos θ=DA ，因此DE CB =DA =1；DE DC =DE DC cos α=DE cos α，
而DE cos α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE CD 最大，即让射影最大，此时
E 点与B 点重合，射影为a ，所以长度为1.
14. 已知f (x ) =m (x -2m )(x +m +3) ，g (x ) =2x -2. 若∀x ∈R ，f (x )
【测量目标】函数的定义域、值域及函数的求解.
【考查方式】给出带有未知数的两个函数，求函数小于零时的取值范围. 【参考答案】（-4,0）
g (x )
x x
f (x ) 0时，
由f (x ) =m (x -2m )(x +m +3)
m 0, x …1, 故x -2m >0，所以x +m +3>0，即m >-(x +3又x …1，故-(x +3) ，) ∈-(∞-, 4
故m ∈(-4,0) ，综上，m 的取值范围是(-4,0) .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题13分） 已知函数f (x ) =
所以m >-4，又m
(sinx -cos x )sin 2x
.
sin x
（1）求f (x ) 的定义域及最小正周期； （2）求f (x ) 的单调递减区间.
【测量目标】正弦定理、余弦定理及三角函数与三角恒等变换.
【考查方式】给出函数，求函数的定义域最小及周期及单调减区间. 【试题解析】
解：（1）由sin x ≠0得x ≠k π,(k ∈Z ) ， 故f (x ) 的定义域为x ∈R x ≠k π, k ∈Z . 因为
{}
f (x ) =
(sinx -cos x )sin 2x
sin x
π
x -) -1
4
=2cos x (sinx -
cos x ) =sin 2x -cos 2x -1=所以f (x ) 的最小正周期T =
2π
=π. 2
（2）函数y =sin x 的单调递减区间为⎢2k π+由2k π+
⎡⎣
π3π⎤
,2k π+⎥(k ∈Z ) . 22⎦
k π+
7π
,(k ∈Z ) 8
3π3π, x ≠k π(k ∈Z ) 得k π+剟x 28
3π7π剟x k π+,(k ∈Z ) 所以f (x ) 的单调递减区间为[k π+88
2k π+
16. （本小题14分）
ππ
剟2x -24
].
如图1，在R t △ABC 中，∠C =90，D , E 分别是AC , AB 上的中点,
点F 为线段CD 上的一点. 将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图
2.
（1）求证：DE 平面ACB ; （2）求证：A 1F ⊥BE ; 1（3）线段A ⊥平面DEQ ？说明理由 1B 上是否存在点Q , 使AC 1
【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理及空间想象能力与推理论证能力 【考查方式】给出四棱锥中线线关系、线面关系及面面关系，求线面垂直、线面平行及面面垂直. 【试题解析】 解：（1）因为D , E 分别为AC , AB 的中点，所以DE BC . （步骤1）又因为DE ⊄平面
, 所以DE 平面ACB . （步骤2） ACB 11
（2）由已知得AC ⊥BC 且DE BC , 所以DE ⊥AC . 所以DE ⊥A 1D , DE ⊥CD , 所以
DE ⊥平面A 1DC . 而A 1F ⊂平面A 1DC , （步骤3） 所以DE ⊥A 1F . 又因为A 1F ⊥CD , 所以A 1F ⊥平面BCDE . 所以A 1F ⊥BE ，（步骤4）
⊥平面DEQ . 理由如下：（3）线段A 如图， 1B 上存在点Q , 使AC 1
分别取AC 1, A 1B 的中点P , Q , 则PQ BC .
又因为DE BC , 所以DE PQ . 所以平面DEQ 即为平面
D E P . （步骤5）
由（2）知DE ⊥平面A 1DC , 所以DE ⊥AC 1. （步骤6）
又因为P 是等腰三角形DAC 1底边AC 1 的中点，
⊥平面DEP , 从而AC ⊥DP , 所以AC 所以AC 111⊥平面DEQ .
⊥平面DEQ . （步骤7） 故线段A 1B 上存在点 Q , 使得AC 1
17. （本小题13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余 垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a , b , c 其中a >0, a +b +c =600当数据a , b , c 的方差S 最大时，写出a , b , c 的值（结论不要求证
2
明），并求此时S 的值. （注：方差S =
2
2
1
⎡(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2⎤，其中x 为x 1, x 2, x n 的平均数） ⎣⎦n
【测量目标】概率的意义、频率与概率的区别及分布的特点与意义及方差的计算.
【考查方式】给出垃圾数据表，分别求各项概率及方差 【试题解析】
1）厨余垃圾投放正确的概率约为
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002
== 400+100+1003厨余垃圾总量
（2）设生活垃圾投放错误为事件A , 则事件A 表示生活垃圾投放正确。 事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃
400+240+60
=0.7, 所以圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A ) , 约为
1000
P (A ) 约为1-0.7=0.3.
12
（3）当a =600，b =c =0时，S 取得最大值. 因为x =(a +b +c ) =200，
3
1222
(600-200) +(0-200) +⎤=8000． 所以S =⎡⎣⎦3
18. （本小题13分）
已知函数f (x ) =ax 2+1(a >0) ，g (x ) =x 3+bx .
（1）若曲线y =f (x ) 与曲线y =g (x ) 在它们的交点(1,c ) 处具有公共切线，求a , b 的值； （2）当a =3, b =-9时，求函数f (x ) +g (x ) 在区间[k ,2]上的最大值为28，求k 的取值范围.
【测量目标】导数概念的实际的背景，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
【考查方式】考查导数在函数中的应用. 【试题解析】
(1)：f '(x ) =2ax ，g '(x ) =3x 2+b . 因为曲线y =f (x ) 与y =g (x ) 在它们的交点(1,c ) 处具有公共切线，f (1)=g (1),f '(1)=g '(1)．即a +1=1+b 且2a =3+b ．解得a =3, b =3.
32
（2）记h (x ) =f (x ) +g (x ) ，当a =3, b =-9时，h (x ) =x +3x -9x +1，
h '(x ) =3x 2+6x -9
令h '(x ) ，解得：x 1=-3, x 2=1；
h (x ) 与h '(x ) 在(-∞, 2]上的情况如下：
当k „-3时，函数h (x ) 在区间[k ,2]上的最大值为h (-3) =28；
当-3
(-∞, -3]
19. （本小题14分）
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的一个顶点为A
(2,0)，离心率为. 直线
a b y =k (x -1) 与椭圆C 交于不同的两点M , N .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△
AMN 得面积为
时，求k 的值. 3
【测量目标】椭圆的标准方程的定义，直线与圆的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的顶点与离心率，求椭圆的标准方程及直线与椭圆相交直线斜率的值的解.
【试题解析】
⎧a =2⎪
x 2y 2⎪c
+=1. 解：（1
）由题意得⎨解得b =所以椭圆C 的方程为=
42⎪2a 222
⎪a =b +c ⎩
⎧y =k (x -1) ⎪2222
（2）由⎨x 2y 2得(1+2k ) x -4k x +2k -4=0.
=1⎪+
⎩42
设点M , N 的坐标分别为(x 1, y 1) ，(x 2, y 2) ，则y 1=k (x 1-1) ，y 2=k (x 2-1) ，4k 2
x 1+x 2=
1+2k 2
，
x 1x 2=
41+2k 2
. 所
以
MN == =由因为点A (2,0)到直线y =k (x -
1) 的距离d
=，
所以△
ABC 的面积为S =
1
MN d =2
. =
，解得k =±1.
20. （本小题13分）
设A 是如下形式的2
行3列的数表，
满足：性质P ：a , b , c , d , e , f ∈[-1,1]，且a +b +c +d +e +f =0.
记r i (A ) 为A 的第i 行各数之和(i =1,2) ，c j (A ) 为A 的第j 列各数之和(j =1, 2,3) ； 记k (A ) 为r i (A ) ，r 2(A ) ，c 1(A ) ，c 2(A ) ，c 3(A ) 中的最小值. （1）对如下数表A , 求k (A ) 的值；
（2）设数表A 形如
其中-1剟d
0. 求k (A ) 的最大值；
【测量目标】等差数列的定义与公式.
【考查方式】给出数表与数据，求等差数列中的最大值. 【试题解析】
(1)因为r 1(A ) =1.2，r 2(A ) =-1.2，c 1(A ) =1.1，c 2(A ) =0.7，c 3(A ) =-1.8，所以k (A ) =0.7
(2)r 1(A ) =1-2d ，r 2(A ) =-1+2d ，c 1(A ) =c 2(A ) =1+d ，c 3(A ) =-2-2d .
因为-1剟d
0，所以r 1(A ) =r 2(A ) 厖d 0，c 3(A ) 厖d
当d =0时，k (A ) 取得最大值1.
(3)任给满足性质
P 的数表A （如图所示）
0. 所以k (A ) =1+d „1.
*
任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A 仍满足性质P ，并且k (A ) =k (A ) ，因此，不妨设r 1(A ) 厖0, c 1(A )
*
0, c 2(A ) ? 0，由k (A ) 的
定义知，(3)对所以满足性质P 的2行3列的数表A , 求k (A ) 的最大值.
，从而k (A ) 剟r 1(A ), k (A ) c 1(A ), k (A ) ? c 2(A ) 3k „1+(A +r (A = ) c +(A +1) 2=(a +b +c +d +e +f ) +(a +b -f ) =a +b -f „3
因此k (A ) „1，由（2）知，存在满足性质P 的数表A ，使k (A ) =1，故k (A ) 的最大值为1.
) c