微积分论文[1]

微积分小论文

市场营销2班 黄明辉 学号：[1**********]8

微积分的学习并不是一朝一夕的事情，这需要平常大量的积累。要想掌握它，单单靠课本上的还远远不够，还得查阅一些参考书，然后再去做。把每一个题型反复的做，吃透它，为自己所用。在学习的过程中，难免会遇到一些困惑，比如，自己算出的结果和答案对不上，或是一些题目怎么解也解不出，那么，我在这里列举每章的一些题型和感受，希望老师能指正。

第一章（极限）

这一章求极限的方法多种多样，很容易混淆出错。 下面是两道易错的求极限的方法。

arctanx

xx

1

arctanx=0limarctanx=0 错解：原式=limlimxxxx

解析：x时， arctanx无极限，因此不能用法则分项求极限。

1

正解：arctanx,

2x

一、（1）lim

x21x21(x1)(x1)x1x1

(2)错解：因为2=，所以lim2=lim=-2

xx1x2x3x2x3x2(x1)(x2)x2x21x1

解析：2与是不等价的两个函数，不能用等号连接。

x3x2x2x21(x1)(x1)x1

正解：lim2=lim=lim=-2

xx2x1(x1)(x2)x1x3x2

在这两个题目中，我们都习惯用正常的思维去解决，求捷径，但不想这却导致了

错误的结果。当不知道从和下手时，应当从原定义去着手，按照书上的公式入手。

无论在什么时候，等价无穷小的几个公式都必须牢记：下列常用等价无穷小关系（x0）sinx

x ； tanxx ； arcsinxx ； arctanx



x ； 1cosx

12

x 2

ln1x

x ； ex1x ； ax1

xlna ； 1x1x

第二章（导数与微积分）

在这章中，最主要的就是记住那些书本中出现的公式，只有记住公式再加上灵活的运用，才能完整的解出问题。细心的同学们也不能放过隐函数中隐在式子中的未知数。这张需要的技巧性很高，公式应用的很灵活。

例如：求函数y(2x解：先取对数，lny再对x求导，最后得出

） 5122ln2x3lnx1ln(x1) 33

252x

y(2x) 4

32x3x1

'

有很多看似很简单的题目，却不知道怎么求出来，这个时候就返璞归真，回到课本的公式或者定义上来。下面是 复习题二的第一道题目。但是看着很多人都觉得很简单，然而，拿起笔去来却不知道从什么地方，等到老是一讲出来，所有同学都豁然开朗。

例：设f(x)x(x1)(x2)...（x20)，则f'(0)

解：原式=lim

x0

f(x)f(0）x(x1)(x2)...（x20)0

lim=(1)2020!20! x0x0x0

这就很简单的解出来了。直接是用定义，一下子就得出答案。

第三章（微分中值定理与导数的应用）

这一章也没什么好讲的了，记住罗尔、拉格朗日、柯西这三个中值定理，还

有就是熟练的应用几个不定式类型的转换，再使用洛必达法则。求最大值最小值的问题在高中已经有学习，在这个基础上在熟练掌握使用连续两次求导方程式来求就能在运算中事倍功半了，很简便。

第四章（不定式）

总领全文，这一章的内容就尤为重要了。前面一章主要是求导，中学时候已经有过，理科生的同学相信都能比好的运用了。而这一章简单来说就是求导的逆运用，有一堆的公式必须要记要背，一看到方程式就能对症下药，立马就能知道对应的公式，熟记到这一成程度了，往后的几章学习起来就不会那么吃力了（之前不明白，现在的我在学习后几章的时候就感觉到很吃力）。附加的几个公式再书本上没用，熟记它们，也能在算题中如鱼得水。一下列出几个：

①1+tan2xsec2x,1cot2xcsc2x

②积化和差；sinasinb

1

cosabcosab；2

sinacosb

③和差化积

1

sinabsinab 2

sinasinb2sin

ababababcoscosacosb2coscos 2222

③三角代换：

则令x

asint则令x

atant则令xasect

有那么一道题目，貌似很简单就算出来了，由于公式记混淆了，结果花了很长时间算出来的答案还是不对，就怀疑答案是不是错了，结果是，我错了。 例：求定积分，tan3xdx。



22

我的错解：原式=(secx1)dsecx=



1

sec4xsec2xc （错得我都不好意思写出来2

了，但这就是记不得答案的后果啊！）

22

正解：原式=(secx1)tanxdxsecxtanxdxtanxdx



1

tan2xlncosxc 2

第五章（定积分及其应用） 这一章把上一章的内容延续了下来在这个符号

上加的点东西，说难不难，说简单

有时候看着挺复杂。前面几节还好说，但最后那节 定积分的应用上，我是真糊涂了，图形与算式相叠加，相互转换,相互变形，很让人头疼，可偏偏它在考试时又作为一个大题来出，实在是······（此处省略n个字）。这一章上没什么可写出来了，因为自己都好朦胧。就只是在定积分的分布积分法上用得比较顺手。

我不明白的地方在：连续曲线f(x)围成的平面图形又继续围绕x轴y轴上旋转，然后求出旋转所成图形的体积。只知道有两个公式很重要①Vxπ



b

a

f2(x)dx ②

Vy2πxf(x)dx。具体的运用书本上有说，这里就不在累赘。

a

b

在这章的复习题中有一道题目是由于知识面不广泛（或者课上没注意听）而导致不会做的。

例：设f(x)

2

xcostdt,求f'(x). 2x0

（解析，这道题如果不知道可以把x作为一量提出积分号外面来，很难解得出来。） 解：f(x)x



2

x

2420224cost2dt,所以f'(x)fx02costdtxcosxdxf2costdt2xcosx x

这道题就要求在反常积分上有好的基础了。

第六章（多元函数微积分）

在前面几章中，我们都是讨论的函数中只有一个自变量，而这一章中，将要学习多个

变量的相互关系。微分法、偏导数、二重积分这些的计算将是重点。理解二元函数，再从这个基础上理解二元以上的函数。需要知道它的几何意义与算式相结合的方法才能更深的理解它的含义。（在一个区域上连续的二元函数zf(x,y)的图形是一连续的空间曲面，其在） xOy面上的投影为区域D。

第二节中求二元函数的极限又牵扯到了第一章中一元函数极限的求法，等价无穷小那几个公式莫要忘记！在这一章中，由于牵扯的变量很多，一些公式很容易混淆，这就要很注意了。分清：导数（

dzu）、偏导数()和隐函数的导数，很有必要。

xdx

多元意味着多种解法，废话不多讲，我们来看下面的例题感受它们之间的互换。

zz2z

,，例：设方程xyz4z0，求． xyxy

2

2

2

解： 方法1：设函数F(x,y,z)x2y2z24z．则

Fx2x ，Fz2z4 ，Fy2y

于是

z2xxz2yy，． x2z42zy2z42z

上式

zx再对y求偏导数，得 x2z

zy

x()2

zyxy． 

xy(2z)2(2z)2(2z)3

x

方法2：方程x2y2z24z0两边对x求偏导，得 2x2z

zzz2xx40，解得， xxx2z42z

通理得

z2yy。 y2z42z

再有就是二元函数极大极小值的问题，记住公式，题目就不会太难解。拉格朗日乘数

在这方面必须得掌握，考试也就考这个了。

问题还是最后这一节二重积分的计算，由于之前定积分关于体积计算的问题很模糊，直接导致了这一小节很多地方都很费解。直角坐标系下计算的二重积分还好说，极坐标系下二重积分的计算就真一片模糊了。在这两块上，问同学，查资料，总之争取在考试之前拿下。

第七章（无穷级数）

这章总的来说是运用性质、定理、判别法来判断并计算级数的敛散性。之中的方法很多，要想对症下药，主要靠去做大量的练习题来巩固总结熟悉（这点听起来容易做起来难）。这里提供一个清晰的解题思路（技巧）：首先是用比值法和跟值法判断收敛性,无法判断的时候改用比较法和莱布尼兹判别法.这是判断收敛性的基本套路和规律。

下面这几个性质虽然简单，但在选择题上使用的频率会很高。 乘积的是不可以判断的～～跟极限很类似的 。 ∑U、V都收敛 ,∑U±∑V收敛；

∑U、∑V一个发散一个收敛，则∑U±∑V必定发散；

∑U、∑V都发散，则无法确定∑U±∑V的敛散性。

还有几个常见的级数：几何级数：

；

P—级数：；

调和级数：。

有一些题目是很需要技巧性，知识面要广，算出了要去记住。 例1（复习题七）：当

时，级数

n1



.

解析：很明显，这很像p级数，用比较判别法。

p



1



n

1

p1

2

当.（取最高次幂）



n1



1n

p1

2

。

即1时p1时，级数收敛.

例2：例9 设，讨论级数的敛散性。

解 当当当

时，级数收敛，

时，级数发散，

， 故

时，根式判别法无效，但，故级数发散。

最后的幂级数展开式是相当重要的一个内容，记住和灵活运用公式显的尤为重要，收敛域的求解也是必须的，还有就是当没办法使用公式时，就要运用求导或者微分把公式变换成符合公式的级数式。几个常用的幂级数展开式的公式老师已在列出，这里不再累赘。

这道题目原先做的时候我就没想到和公式有什么关系但一看到分母，就可以把公式确定在很小范围内。

例：求和

(2n1)!

n1x





2n

（借用e的幂级数展开式计算）

x



xn(1)xnexexx2n1x

解：由于e，e。于是  x

n!2n0n!n0n0(2n1)!

因此，

(2n1)!

n1



2n





2

(ee)

第八章（微分方程与差分方程）

正在学习中……

微积分小论文

市场营销2班 黄明辉 学号：[1**********]8

微积分的学习并不是一朝一夕的事情，这需要平常大量的积累。要想掌握它，单单靠课本上的还远远不够，还得查阅一些参考书，然后再去做。把每一个题型反复的做，吃透它，为自己所用。在学习的过程中，难免会遇到一些困惑，比如，自己算出的结果和答案对不上，或是一些题目怎么解也解不出，那么，我在这里列举每章的一些题型和感受，希望老师能指正。

第一章（极限）

这一章求极限的方法多种多样，很容易混淆出错。 下面是两道易错的求极限的方法。

arctanx

xx

1

arctanx=0limarctanx=0 错解：原式=limlimxxxx

解析：x时， arctanx无极限，因此不能用法则分项求极限。

1

正解：arctanx,

2x

一、（1）lim

x21x21(x1)(x1)x1x1

(2)错解：因为2=，所以lim2=lim=-2

xx1x2x3x2x3x2(x1)(x2)x2x21x1

解析：2与是不等价的两个函数，不能用等号连接。

x3x2x2x21(x1)(x1)x1

正解：lim2=lim=lim=-2

xx2x1(x1)(x2)x1x3x2

在这两个题目中，我们都习惯用正常的思维去解决，求捷径，但不想这却导致了

错误的结果。当不知道从和下手时，应当从原定义去着手，按照书上的公式入手。

无论在什么时候，等价无穷小的几个公式都必须牢记：下列常用等价无穷小关系（x0）sinx

x ； tanxx ； arcsinxx ； arctanx



x ； 1cosx

12

x 2

ln1x

x ； ex1x ； ax1

xlna ； 1x1x

第二章（导数与微积分）

在这章中，最主要的就是记住那些书本中出现的公式，只有记住公式再加上灵活的运用，才能完整的解出问题。细心的同学们也不能放过隐函数中隐在式子中的未知数。这张需要的技巧性很高，公式应用的很灵活。

例如：求函数y(2x解：先取对数，lny再对x求导，最后得出

） 5122ln2x3lnx1ln(x1) 33

252x

y(2x) 4

32x3x1

'

有很多看似很简单的题目，却不知道怎么求出来，这个时候就返璞归真，回到课本的公式或者定义上来。下面是 复习题二的第一道题目。但是看着很多人都觉得很简单，然而，拿起笔去来却不知道从什么地方，等到老是一讲出来，所有同学都豁然开朗。

例：设f(x)x(x1)(x2)...（x20)，则f'(0)

解：原式=lim

x0

f(x)f(0）x(x1)(x2)...（x20)0

lim=(1)2020!20! x0x0x0

这就很简单的解出来了。直接是用定义，一下子就得出答案。

第三章（微分中值定理与导数的应用）

这一章也没什么好讲的了，记住罗尔、拉格朗日、柯西这三个中值定理，还

有就是熟练的应用几个不定式类型的转换，再使用洛必达法则。求最大值最小值的问题在高中已经有学习，在这个基础上在熟练掌握使用连续两次求导方程式来求就能在运算中事倍功半了，很简便。

第四章（不定式）

总领全文，这一章的内容就尤为重要了。前面一章主要是求导，中学时候已经有过，理科生的同学相信都能比好的运用了。而这一章简单来说就是求导的逆运用，有一堆的公式必须要记要背，一看到方程式就能对症下药，立马就能知道对应的公式，熟记到这一成程度了，往后的几章学习起来就不会那么吃力了（之前不明白，现在的我在学习后几章的时候就感觉到很吃力）。附加的几个公式再书本上没用，熟记它们，也能在算题中如鱼得水。一下列出几个：

①1+tan2xsec2x,1cot2xcsc2x

②积化和差；sinasinb

1

cosabcosab；2

sinacosb

③和差化积

1

sinabsinab 2

sinasinb2sin

ababababcoscosacosb2coscos 2222

③三角代换：

则令x

asint则令x

atant则令xasect

有那么一道题目，貌似很简单就算出来了，由于公式记混淆了，结果花了很长时间算出来的答案还是不对，就怀疑答案是不是错了，结果是，我错了。 例：求定积分，tan3xdx。



22

我的错解：原式=(secx1)dsecx=



1

sec4xsec2xc （错得我都不好意思写出来2

了，但这就是记不得答案的后果啊！）

22

正解：原式=(secx1)tanxdxsecxtanxdxtanxdx



1

tan2xlncosxc 2

第五章（定积分及其应用） 这一章把上一章的内容延续了下来在这个符号

上加的点东西，说难不难，说简单

有时候看着挺复杂。前面几节还好说，但最后那节 定积分的应用上，我是真糊涂了，图形与算式相叠加，相互转换,相互变形，很让人头疼，可偏偏它在考试时又作为一个大题来出，实在是······（此处省略n个字）。这一章上没什么可写出来了，因为自己都好朦胧。就只是在定积分的分布积分法上用得比较顺手。

我不明白的地方在：连续曲线f(x)围成的平面图形又继续围绕x轴y轴上旋转，然后求出旋转所成图形的体积。只知道有两个公式很重要①Vxπ



b

a

f2(x)dx ②

Vy2πxf(x)dx。具体的运用书本上有说，这里就不在累赘。

a

b

在这章的复习题中有一道题目是由于知识面不广泛（或者课上没注意听）而导致不会做的。

例：设f(x)

2

xcostdt,求f'(x). 2x0

（解析，这道题如果不知道可以把x作为一量提出积分号外面来，很难解得出来。） 解：f(x)x



2

x

2420224cost2dt,所以f'(x)fx02costdtxcosxdxf2costdt2xcosx x

这道题就要求在反常积分上有好的基础了。

第六章（多元函数微积分）

在前面几章中，我们都是讨论的函数中只有一个自变量，而这一章中，将要学习多个

变量的相互关系。微分法、偏导数、二重积分这些的计算将是重点。理解二元函数，再从这个基础上理解二元以上的函数。需要知道它的几何意义与算式相结合的方法才能更深的理解它的含义。（在一个区域上连续的二元函数zf(x,y)的图形是一连续的空间曲面，其在） xOy面上的投影为区域D。

第二节中求二元函数的极限又牵扯到了第一章中一元函数极限的求法，等价无穷小那几个公式莫要忘记！在这一章中，由于牵扯的变量很多，一些公式很容易混淆，这就要很注意了。分清：导数（

dzu）、偏导数()和隐函数的导数，很有必要。

xdx

多元意味着多种解法，废话不多讲，我们来看下面的例题感受它们之间的互换。

zz2z

,，例：设方程xyz4z0，求． xyxy

2

2

2

解： 方法1：设函数F(x,y,z)x2y2z24z．则

Fx2x ，Fz2z4 ，Fy2y

于是

z2xxz2yy，． x2z42zy2z42z

上式

zx再对y求偏导数，得 x2z

zy

x()2

zyxy． 

xy(2z)2(2z)2(2z)3

x

方法2：方程x2y2z24z0两边对x求偏导，得 2x2z

zzz2xx40，解得， xxx2z42z

通理得

z2yy。 y2z42z

再有就是二元函数极大极小值的问题，记住公式，题目就不会太难解。拉格朗日乘数

在这方面必须得掌握，考试也就考这个了。

问题还是最后这一节二重积分的计算，由于之前定积分关于体积计算的问题很模糊，直接导致了这一小节很多地方都很费解。直角坐标系下计算的二重积分还好说，极坐标系下二重积分的计算就真一片模糊了。在这两块上，问同学，查资料，总之争取在考试之前拿下。

第七章（无穷级数）

这章总的来说是运用性质、定理、判别法来判断并计算级数的敛散性。之中的方法很多，要想对症下药，主要靠去做大量的练习题来巩固总结熟悉（这点听起来容易做起来难）。这里提供一个清晰的解题思路（技巧）：首先是用比值法和跟值法判断收敛性,无法判断的时候改用比较法和莱布尼兹判别法.这是判断收敛性的基本套路和规律。

下面这几个性质虽然简单，但在选择题上使用的频率会很高。 乘积的是不可以判断的～～跟极限很类似的 。 ∑U、V都收敛 ,∑U±∑V收敛；

∑U、∑V一个发散一个收敛，则∑U±∑V必定发散；

∑U、∑V都发散，则无法确定∑U±∑V的敛散性。

还有几个常见的级数：几何级数：

；

P—级数：；

调和级数：。

有一些题目是很需要技巧性，知识面要广，算出了要去记住。 例1（复习题七）：当

时，级数

n1



.

解析：很明显，这很像p级数，用比较判别法。

p



1



n

1

p1

2

当.（取最高次幂）



n1



1n

p1

2

。

即1时p1时，级数收敛.

例2：例9 设，讨论级数的敛散性。

解 当当当

时，级数收敛，

时，级数发散，

， 故

时，根式判别法无效，但，故级数发散。

最后的幂级数展开式是相当重要的一个内容，记住和灵活运用公式显的尤为重要，收敛域的求解也是必须的，还有就是当没办法使用公式时，就要运用求导或者微分把公式变换成符合公式的级数式。几个常用的幂级数展开式的公式老师已在列出，这里不再累赘。

这道题目原先做的时候我就没想到和公式有什么关系但一看到分母，就可以把公式确定在很小范围内。

例：求和

(2n1)!

n1x





2n

（借用e的幂级数展开式计算）

x



xn(1)xnexexx2n1x

解：由于e，e。于是  x

n!2n0n!n0n0(2n1)!

因此，

(2n1)!

n1



2n





2

(ee)

第八章（微分方程与差分方程）

正在学习中……