基于全概率公式的几何概率问题

第27卷第2期　

2007年3月云南师范大学学报

Journal of Yunnan Nor mal University

Vol . 27No . 2

Mar . 2007

基于全概率公式的几何概率问题

王昭海

1, 2

(1. 陕西师范大学数学与信息科学学院, 陕西西安710062;

2. 安康学院数学系, 陕西安康725000)

摘　要:　利用微积分知识把离散型全概率公式推广到连续型, 并给出在几何概率问题上的应用实例。关键词:　连续; 概率; 几何概率; 推广; 应用

中图分类号:　O211. 2　　文献标识码:　A 　　文章编号:　1007-9793(2007) 02-0006-02

　　有关几何概率的计算主要是利用定义直接来

求, 然而在一些概率(几何概型) 的计算中, 我们常常会遇到在计算P (B |ζ=x ) 远比直接求P (B ) 来得容易, 本文利用微积分知识把离散型全概率公式推广到连续型, 给出计算几何概率问题的另一求法。

n ) 相当。概率论中这样成对的公式还很多, 按照

这样对比的考虑, 把全概率公式(1) 推广到连续型随机变量。

为此先定义一个离散型随机变量ζ如下:ζ=,

{n}。离散型随机(=n ) =P (An ) , n =1, 2, 。全概率公式(1) 可改写为

P (B ) =∑P (B |ζ=n ) P (ζ=n )

(4)

1　式)

定理1(离散型全概率公式) :设①事件A 1, A 2, …, A n , …为两两互不相容的事件;

②∪A n =Ω

则对事件B , P (B ) =∑P (B |An ) P (A n ) (1) 在概率论中, 每一个涉及随机变量的公式总是分别有离散型与连续型两种形式。以随机变量的函数的数学期望公式为例。设随机变量η是

) 。当ζ随机变量ζ的函数:η=f (ζ为离散型随机

变量(不妨为取整数值的) 时, η的数学期望按下式计算:

η=∑f (n ) ×(2) E P (ζ=n )

[1]

按照上面的对比, 与离散型的全概率公式相当的应该是

定理2(连续型全概率公式) :设ζ为连续型随机变量, p (x ) 为ζ的分布密度函数, 则对事件B 有

P (B ) =

P (B |ζ=x ) p (x ) dx

∫

-∞+∞

(5)

证明:在数轴上取分点x 0

p (x ) dx, △x 同时也表示子区间∫

x 1x i +1

当ζ为连续型随机变量时η=E

f (x ) p (x ) dx

∫

-∞+∞

长度, 当△x i 较小时就有

P (ξ∈△x i ) ≈P (x i ) △x i , 并且这时分布列P (x 0) △x 0P (x 0) △x 0

P (x 1) △x 1P (x 1) △x 1

(3)

…P (x n ) △

x n …P (x n ) △x

其中p (x ) 为ζ的分布密度函数。对比(2) 与

(3) 式, 易见积分号与和式相当, p (x ) dx 与P (ζ=

视为ξ的一种近似分布由定理1知

收稿日期:2006-09-27

基金项目:国家自然科学基金资助项目(

10471083) ; 陕西师范大学重点科研基金资助项目(995130) .

作者简介:王昭海(1966-) , 男, 陕西省安康市人, 陕西师范大学数学与信息科学学院硕士研究生, 陕西安康学院

数学系讲师, 从事高等数学和概率论与数理统计的教学及研究.

　第2期

王昭海:　基于全概率公式的几何概率问题

・7・

P (B ) ≈∑P (B |ξ=x i ) P (x i ) △x i 。再由微积

i =1

dx πa

。

分知识, 令‖△x ‖=max△x i →0得

P (B ) =

P (B |ζ=x ) p (x ) dx

∫

-∞+∞

[例2]　设在△ABC 内部任取一点P, 在底边BC 上任取一点Q , 求直线P Q 与AB (或AC ) 相

交的概率(图2) 。

2　利用连续型全概率公式解几何概率问题

[例1](Buff on 投针问题) 　平面上画有间距为a (a >0) 的等距平行线, 向平面任意投一长度为l (l

直接求解, 参见文献[1]。这里利用连续型全概率公式求解法。

[解]以B 记事件“针与平行线相交”, 要求P (B ) , 设针与平行线的夹角为ξ, 针的中心位置

图2　概率分析图

Fig . 2　Pr obability analysis p lan

为M , ξ为[0, π]上的均匀分布, 它的分布密度函

　x ∈[0, π]

数p (x ) π

　其他

若ξ=x 取定时,

之间, 即M ∈a 〗[解]　以E 记事件“P Q 与AB 相交”, 要求P (E ) 。

设的长度为的长度为ξ, 则ξ[], 即它的分布密

1, x ∈[0, 1]

p (x ) 0, 其它

P Q 与AB 相交相当于P 点落在△ABQ 内。如果ζ=x 已取定, P (E |ζ=x ) 等于△ABQ 的面积与△ABC 的面积之比, 即相应的底边BQ 与BC 之比, 即P (E |ζ=x ) =x

由定理2即得

P (E ) =xdx =。

不相交, 如图1。

∫

所以P Q 与AC 相交的概率为

图1　Buff on 问题概率分析图

Fig . 1　Pr obability analysis p lan of Buff on questi on

[例3]　在圆周上先任取两点A 、B 连成一

(a -

P =(B |ξ=x ) =a

sin x ) -a

弦, 再任取两点C 、D 也连成一弦, 求两弦AB 与CD 相交的概率(图3) 。=

sinx

由逆概率公式得P (B |ξ=x ) =1-

图3　概率分析图

P (B ) =

P (B |ζ=x ) P (x ) dx =

∫-∞

+∞π

・a

Fig . 3　Pr obability analysis p lan

(下转第11页)

・11・第2期　　　　　　　赵奎奇:　曲线方程(a 1x +b 1y +c 1) (a 2x +b 2y +c 2) =1的定量几何特征

(k ≠0, m ≠0) 的图形是双曲线的探讨[J ].数学通报2004, (9) :43-45. x

[6]　吴光磊, 丁石孙, 姜伯驹, 田畴等. 解析几何(第二版) . [M].北京:人民教育出版社, 1962. 5. [5]　唐　昊, 云　韵. 关于函数y =kx The Ra ti on Geom etr i ca l Character isti c of the Curv ili n ear Equa ti on

(a 1x +b 1y +c 1) (a 2x +b 2y +c 2) =1

Zhao Ku i -q i

(school of Mathe matics, Yunnan Nor mal University, Kun m ing 650031, China )

Abstract:　Here we obtain the comp lete rati on geometrical characteristic of the curvilinear equati on in p lane by using translati on and r otati on of axes, therefore we can show the i m portant para meter of the curve exp ressed as their idi ographic equati on conveniently .

Key word:　curvilinear equati on; rati on; geometrical characteristic

　　(上接第7页)

[解]　以E 记事件“AB 与CD 相交”, 要求(E ) 。设A 点无取定, 再取B 两段弧(Ⅰ) 与() 园周长为1, ζ]。设ζ=x 已取定, CD 相交于C 、D 两点分别落在不同的两段弧上。C 点落在弧(Ⅰ) 上的概率为x, D 点落在弧(Ⅱ) 上的概率为1-x, 由于两点的取法独立, 因此C 落在弧(Ⅰ) 上同时D 落在弧(Ⅱ) 上的概率为x (1-x ) 。同理, C 落在弧(Ⅱ) 上同进D 落在弧(Ⅰ) 上的概率为x (1-x ) , 所以

P (E |ζ=x ) =2x (1-x ) ,

由定理2得　P (E ) =

P (B |ζ=x ) 远(B ) 。参　考　文　献:

[1]　魏宗舒. 概率论与数理统计教程[M].北京:高等教

育出版社, 1997. 30-32. [2]　王梓坤. 概率论基础及其应用[M].北京:科学出版

社, 1979. 20-22. [3]　华东师大数理统计系. 概率论与数理统计教程习题

解答[M](内部资料) , 1985. 40-49. [4]　周概容. 概率论与数理统计[M].北京:科学出版

社, 1984. 32-34.

2x (1-x ) dx =1/3。∫

Accord i n g to a ll a ll ra te form ul a of severa l why a ll ra te problem

WAN G Zhao -ha i

1, 2

(1、College of Mathe matics and I nf or mati on Science; Shaanxi Nor mal University; Xi ′an; Shaanxi; 710062China;

2、Depart m ent of Mathe matics, Ankang College, Ankang, Shanxi, 725000, china )

ABSTRACT:　I n this article, the author s p reads the whole p r obability fr om the scattered style t o the continu 2

al style by using the know ledge of infinitesi m al calculus and p r ovides its app lied exa mp le in res owing geometry p r obability p r oble m s .

KE Y WO R D S:　continual; p r obability; geometry p r obability; disse m inati on; app licati on

第27卷第2期　

2007年3月云南师范大学学报

Journal of Yunnan Nor mal University

Vol . 27No . 2

Mar . 2007

基于全概率公式的几何概率问题

王昭海

1, 2

(1. 陕西师范大学数学与信息科学学院, 陕西西安710062;

2. 安康学院数学系, 陕西安康725000)

摘　要:　利用微积分知识把离散型全概率公式推广到连续型, 并给出在几何概率问题上的应用实例。关键词:　连续; 概率; 几何概率; 推广; 应用

中图分类号:　O211. 2　　文献标识码:　A 　　文章编号:　1007-9793(2007) 02-0006-02

　　有关几何概率的计算主要是利用定义直接来

n ) 相当。概率论中这样成对的公式还很多, 按照

这样对比的考虑, 把全概率公式(1) 推广到连续型随机变量。

为此先定义一个离散型随机变量ζ如下:ζ=,

{n}。离散型随机(=n ) =P (An ) , n =1, 2, 。全概率公式(1) 可改写为

P (B ) =∑P (B |ζ=n ) P (ζ=n )

(4)

1　式)

定理1(离散型全概率公式) :设①事件A 1, A 2, …, A n , …为两两互不相容的事件;

②∪A n =Ω

) 。当ζ随机变量ζ的函数:η=f (ζ为离散型随机

变量(不妨为取整数值的) 时, η的数学期望按下式计算:

η=∑f (n ) ×(2) E P (ζ=n )

[1]

按照上面的对比, 与离散型的全概率公式相当的应该是

定理2(连续型全概率公式) :设ζ为连续型随机变量, p (x ) 为ζ的分布密度函数, 则对事件B 有

P (B ) =

P (B |ζ=x ) p (x ) dx

∫

-∞+∞

(5)

证明:在数轴上取分点x 0

p (x ) dx, △x 同时也表示子区间∫

x 1x i +1

当ζ为连续型随机变量时η=E

f (x ) p (x ) dx

∫

-∞+∞

长度, 当△x i 较小时就有

P (ξ∈△x i ) ≈P (x i ) △x i , 并且这时分布列P (x 0) △x 0P (x 0) △x 0

P (x 1) △x 1P (x 1) △x 1

(3)

…P (x n ) △

x n …P (x n ) △x

其中p (x ) 为ζ的分布密度函数。对比(2) 与

(3) 式, 易见积分号与和式相当, p (x ) dx 与P (ζ=

视为ξ的一种近似分布由定理1知

收稿日期:2006-09-27

基金项目:国家自然科学基金资助项目(

10471083) ; 陕西师范大学重点科研基金资助项目(995130) .

作者简介:王昭海(1966-) , 男, 陕西省安康市人, 陕西师范大学数学与信息科学学院硕士研究生, 陕西安康学院

数学系讲师, 从事高等数学和概率论与数理统计的教学及研究.

　第2期

王昭海:　基于全概率公式的几何概率问题

・7・

P (B ) ≈∑P (B |ξ=x i ) P (x i ) △x i 。再由微积

i =1

dx πa

。

分知识, 令‖△x ‖=max△x i →0得

P (B ) =

P (B |ζ=x ) p (x ) dx

∫

-∞+∞

[例2]　设在△ABC 内部任取一点P, 在底边BC 上任取一点Q , 求直线P Q 与AB (或AC ) 相

交的概率(图2) 。

2　利用连续型全概率公式解几何概率问题

[例1](Buff on 投针问题) 　平面上画有间距为a (a >0) 的等距平行线, 向平面任意投一长度为l (l

直接求解, 参见文献[1]。这里利用连续型全概率公式求解法。

[解]以B 记事件“针与平行线相交”, 要求P (B ) , 设针与平行线的夹角为ξ, 针的中心位置

图2　概率分析图

Fig . 2　Pr obability analysis p lan

为M , ξ为[0, π]上的均匀分布, 它的分布密度函

　x ∈[0, π]

数p (x ) π

　其他

若ξ=x 取定时,

之间, 即M ∈a 〗[解]　以E 记事件“P Q 与AB 相交”, 要求P (E ) 。

设的长度为的长度为ξ, 则ξ[], 即它的分布密

1, x ∈[0, 1]

p (x ) 0, 其它

P Q 与AB 相交相当于P 点落在△ABQ 内。如果ζ=x 已取定, P (E |ζ=x ) 等于△ABQ 的面积与△ABC 的面积之比, 即相应的底边BQ 与BC 之比, 即P (E |ζ=x ) =x

由定理2即得

P (E ) =xdx =。

不相交, 如图1。

∫

所以P Q 与AC 相交的概率为

图1　Buff on 问题概率分析图

Fig . 1　Pr obability analysis p lan of Buff on questi on

[例3]　在圆周上先任取两点A 、B 连成一

(a -

P =(B |ξ=x ) =a

sin x ) -a

弦, 再任取两点C 、D 也连成一弦, 求两弦AB 与CD 相交的概率(图3) 。=

sinx

由逆概率公式得P (B |ξ=x ) =1-

图3　概率分析图

P (B ) =

P (B |ζ=x ) P (x ) dx =

∫-∞

+∞π

・a

Fig . 3　Pr obability analysis p lan

(下转第11页)

・11・第2期　　　　　　　赵奎奇:　曲线方程(a 1x +b 1y +c 1) (a 2x +b 2y +c 2) =1的定量几何特征

(k ≠0, m ≠0) 的图形是双曲线的探讨[J ].数学通报2004, (9) :43-45. x

(a 1x +b 1y +c 1) (a 2x +b 2y +c 2) =1

Zhao Ku i -q i

(school of Mathe matics, Yunnan Nor mal University, Kun m ing 650031, China )

Key word:　curvilinear equati on; rati on; geometrical characteristic

　　(上接第7页)

P (E |ζ=x ) =2x (1-x ) ,

由定理2得　P (E ) =

P (B |ζ=x ) 远(B ) 。参　考　文　献:

[1]　魏宗舒. 概率论与数理统计教程[M].北京:高等教

育出版社, 1997. 30-32. [2]　王梓坤. 概率论基础及其应用[M].北京:科学出版

社, 1979. 20-22. [3]　华东师大数理统计系. 概率论与数理统计教程习题

解答[M](内部资料) , 1985. 40-49. [4]　周概容. 概率论与数理统计[M].北京:科学出版

社, 1984. 32-34.

2x (1-x ) dx =1/3。∫

Accord i n g to a ll a ll ra te form ul a of severa l why a ll ra te problem

WAN G Zhao -ha i

1, 2

(1、College of Mathe matics and I nf or mati on Science; Shaanxi Nor mal University; Xi ′an; Shaanxi; 710062China;

2、Depart m ent of Mathe matics, Ankang College, Ankang, Shanxi, 725000, china )

ABSTRACT:　I n this article, the author s p reads the whole p r obability fr om the scattered style t o the continu 2

al style by using the know ledge of infinitesi m al calculus and p r ovides its app lied exa mp le in res owing geometry p r obability p r oble m s .

KE Y WO R D S:　continual; p r obability; geometry p r obability; disse m inati on; app licati on

基于全概率公式的几何概率问题

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