沈阳农业大学学报，2010－02，41(1) ：122-124
Journal of Shenyang Agricultural University ，2010－02，41(1) ：122-124
SI n RS 传染病模型的稳定性分析
宋贽，惠淑荣*，陶桂洪
（沈阳农业大学理学院，沈阳110866）
摘要：根据染病者不同个体病毒水平差异很大，把传统的染病者类I 分成n 个子类I k (k =1,2,…, n ) ，建立了SI n RS 传染病模型来研究传染力不同对疾病的影响，应用现代数学中的微分方程理论和非线性动力学的方法，得到了基本再生数的数学表达式及无病平衡点全局稳定性的阈值条件，讨论了影响疾病传播的主要因素，给出了仿真图。
关键词：SI n RS 传染病模型；全局稳定性；基本再生数；阈值
中图分类号：O175.14文献标识码：A 文章编号：1000-1700（2010）01-0122-03
Stability Analysis for an Epidemic Model
SONG Zhi, HUI Shu-rong*,TAO Gui-hong
(Collegeof Science, Shenyang Agricultural University, Shenyang 110866, China)
Abstract ：An epidemic model was formulated by means of dividing classical infected population into n subgroups according to viral levels widely between infected individuals, the impact of variations in infectiousness was studied, and ordinary equation theory and nonlinear dynamics methods were used, the reproductive number and the threshold condition of global stability of the infection-free equilibrium were derived, discuss the main factors affecting the spread of disease were discussed and numerical simulations were corriedout.
Key words ：SI n RS epidemic model; global stability; reproductive number; threshold
传统的流行病模型大多假设所有易感者、染病者是等同的，事实上，这种假设仅当时间较短、环境封闭时成立，近期所研究的模型更加向实际靠拢，主要分为两个方面：（1）考虑易感类个体与染病者接触被传染上疾病的可能性不同把易感者按其易感性不同划分为n 个子群体，记作S i ,(i =1,2,…, n ) ，即S n IR 模型；（2）考虑染病类个体传染他人疾病的能力不同进一步分成n 个子群体，记作I i ,(i =1,2,…, n ) ，即SI n R 模型。郭淑利等[1]研究一类S n IR 流行病模型，采用标准的感染力形式，得到了平衡点全局稳定性的阈值条件，HYMAN J M 等[2-3]主要针对艾滋病建立了SI n A 传染病模型，探寻染病者不同个体传染力的不同对疾病传播的影响，本研究在此基础上，将研究方法推广到一般的传染病，考虑康复的病人可再次被感染，建立了SI n RS 传染病模型，得到了无病平衡点全局稳定性的阈值条件，并进行了模拟仿真。
1传染病模型
假定一个国家或地区在某时刻t 的总人口为N (t ) ，因疾病的出现总人口被分为3大类：易感者类[S (t )]、染病者类[I (t )]和恢复者类[R (t )]，染病者由于免疫系统等体内特征差异被进一步分成n 个群体，记作I i ,(i =1,2,…, n ) ，则SI n RS 传染病模型可用如下微分方程组描述：
ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣdS =μ(S 0-S )-βi I i S +rR Σi =1dI =P (i =1,2,…, n ) i Σβi I i S -(μ+v i ) I i dt i =1dR =v j I j -μR -r R Σj =1n n n (1)
收稿日期：2009-09-28
基金项目：沈阳农业大学青年教师科研基金资助项目（20081021）；辽宁省博士启动基金项目（20081064）
作者简介：宋贽（1982-）, 女, 沈阳农业大学助教, 硕士, 从事微分方程定性和分支理论的研究。*通讯作者Corresponding author:惠淑荣（1963-）, 女,
沈阳农业大学教授, 硕士, 从事数学分析和应用数学研究。
第1期宋贽等：SI n RS 传染病模型的稳定性分析·123·式中：输入率为常数K =μS 0，且均为易感者，自然死亡率系数为μ，I i 类病人的恢复率系数为v i ，P i 为染病者进入I i 子群体的比例系数，ΣP i =1,r 为恢复者的免疫失去率。
ij =1n
由系统(1)不难看出，总人口N (t ) 满足下面的微分方程：dS =μS 0-μN ，显然，lim N (t )=S 0
t →∞
根据文献[4]，系统(1)与其极限系统等价，于是系统(2)简化为：
, , , , , , , , , , , , dS =μ(S 0-S )-βi I i S +r (S 0-S ΣI i ) Σi =1i =1dI =P i =1,2,…, n i Σβi I i S -(μ+v i ) I i dt i =1n n n (2)
设：G =(S , I i )|S ≥0, I i ≥0, S 0≥S +ΣI i ≥0, i =1,2,…, n
i =1≥n ≥
显然，G 是系统(2)的一个正向不变集。以下仅在集合G 内考虑系统(2)的轨线性态。
2
2.1结果与分析模型的平衡点
定理1：令R 0=S 0-Σβi P i ，当R 0≤1时，系统(2)仅有无病平衡点E 0（S =S 0, I i =0,i =1,2,…, n ），当R 0>1时，除无病平
j =1n i
衡点E 0外，系统(2)还有地方病平衡点E*（S *>0,I i *>0,i =1,2…, n ），其中：S*=S
n n 00
p i (μ+r ) S 0(S 0-1)[1-r Σ/1+r Σ]
i =1μ+v i i =1μ+v i I i *=0i 证明：显然系统(2)存在无病平衡点E 0（S =S 0, I i =0,i =1,2,…, n ）下面求地方病平衡点E *，可得：
(μ+r )(S -S *)(ΣβPi -1)=(ΣβPi -1) r ΣI i *j =1j =1i j =1i 0n n n
由于(μ+r )(S 0-S *)≠r ΣI i *，因此Σ=i =1j =1n n μ+v i
n S *n
p i (μ+r ) S 0(S 0-1)[1-r Σp i /1+r Σp i ]
i =1i i =1i 于是S *=I i *=R 0R 0(μ+v i )
由(3)可知，当且仅当R 0
2.2无病平衡点的全局稳定性
定理2：对于系统(2)，当R 01时，E 0是不稳定的。
证明：系统(2)在点E 0处的Jacobian 行列式为：
detJ 0=(-1)(μ+r ) 仪(R 0-1) βi i =1n n
可见，当R 0>1时，矩阵J 0至少有一个具正实部的特征根，这说明E 0是不稳定的。
将系统(2)写成下面的向量形式：
dS =(μ+r )(S 0-S )-B T IS -rIE dS =SB T IP -D I 式中：I =(I 1, I 2, …, I n ) ；B =(β1, β2, …, βn ) ；P =(p 1, p 2, …, p n ) T ；D =diag [(μ+v 1),(μ+v 2), …,(μ+v n )]；E =(1,1,…,1) T ；R 0=S 0B T D -1P 。仪, , , , 仪, , , , , （4）
取Lyapunov 函数：V =B T D -1I （V 是正定的）。沿系统(4)的轨线对V 函数求导可得：
·124·沈阳农业大学学报第41卷
dV B T D -1(SB T IP -DI ) ≤S 0B T D -1PB T I -B T I =(R -1) B T I 0可见，当R 0
2.3仿真分析
(1)对系统(2)，选取如下参数值：n =3,S (0)=0.9,I 1(0)=0.02,I 2(0)=0.03,I 3(0)=0.05,I (0)=0.1,S 0=1,r =0.01,μ=0.07yr -1, P =(0.25,0.33,0.42)T , B =(0.1,0.5,0.8)T , v =(0.43,0.41,0.55)T ，此时基本再生数R 0≈0.93
(2)P (0.15,0.33,0.52)T ，B (0.8,0.5,0.1)T ，v =(0.19,0.09,0.05)T ，其他参数同(1)，此时基本再生数R 0≈1.92>1系统
(2)的无病平衡点E 0是不稳定的(图2) 。
(3)选取的参数值同(2)，令λi (t )=βi I i (t ), i =1,2,3，λ(t )=Σλi (t ) ，ρi (t )=λi (t ) , i =1,2,3。用ρi (t ) 表示每个染病子群体的i =1
相对影响，由图3可知，在传染病传播初期，初值最小但传染率最大的子群体I 1导致主要感染，但是，由于I 1子群体的恢复率比其它子群体大很多，随着疫情发展，I 1子群体对疾病的影响力不断减弱，I 2子群体对疾病的影响力迅速增加，大约1年以后I 2子群体变成对疾病影响最大的。I 3子群体初值最大，恢复率最小，但是，由于它的传染率最小，所以它对疾病的影响不是主要的。3
3结论
本研究与传统的传染病模型相比，考虑染病者传染力不同对疾病的影响，更符合疾病传播的内在规律，通过仿真图可以看出，传染率大的群体在初期是疾病传播的主要因素，这与HYMAN J M 等[2]得到的结论是一致的，本研究在考虑了恢复者可再次被感染的情况下，得到恢复率的大小是影响疾病传播的另一个重要因素，疾病开始一段时间后，传染率较大，恢复率小的群体是疾病流行的主要原因。
参考文献：
[1]郭淑利, 李学志. 一类流行病模型的全局稳定性[J].数学的实践与认识，2008,38(10):84-88.
[2]HYMAN J M , JIA LI, STANLEY E A. The differential infectivity and staged progression models for the transmission of HIV
[J].MathBiosci,1999,155(2):77-109.
[3]ZHIEN MA, JIANPING LIU, JIA LI.Stability analysis for differential infectivity epidemic models [J].NonlinearAnalysis:Real
World Applications,2003,4(5):841-856.
[4]MILLER R K. Nonlinear Volterra Integral Equations[M].NewYork:WA Benjamin Inc,1971.
[责任编辑亓国]
沈阳农业大学学报，2010－02，41(1) ：122-124
Journal of Shenyang Agricultural University ，2010－02，41(1) ：122-124
SI n RS 传染病模型的稳定性分析
宋贽，惠淑荣*，陶桂洪
（沈阳农业大学理学院，沈阳110866）
摘要：根据染病者不同个体病毒水平差异很大，把传统的染病者类I 分成n 个子类I k (k =1,2,…, n ) ，建立了SI n RS 传染病模型来研究传染力不同对疾病的影响，应用现代数学中的微分方程理论和非线性动力学的方法，得到了基本再生数的数学表达式及无病平衡点全局稳定性的阈值条件，讨论了影响疾病传播的主要因素，给出了仿真图。
关键词：SI n RS 传染病模型；全局稳定性；基本再生数；阈值
中图分类号：O175.14文献标识码：A 文章编号：1000-1700（2010）01-0122-03
Stability Analysis for an Epidemic Model
SONG Zhi, HUI Shu-rong*,TAO Gui-hong
(Collegeof Science, Shenyang Agricultural University, Shenyang 110866, China)
Abstract ：An epidemic model was formulated by means of dividing classical infected population into n subgroups according to viral levels widely between infected individuals, the impact of variations in infectiousness was studied, and ordinary equation theory and nonlinear dynamics methods were used, the reproductive number and the threshold condition of global stability of the infection-free equilibrium were derived, discuss the main factors affecting the spread of disease were discussed and numerical simulations were corriedout.
Key words ：SI n RS epidemic model; global stability; reproductive number; threshold
传统的流行病模型大多假设所有易感者、染病者是等同的，事实上，这种假设仅当时间较短、环境封闭时成立，近期所研究的模型更加向实际靠拢，主要分为两个方面：（1）考虑易感类个体与染病者接触被传染上疾病的可能性不同把易感者按其易感性不同划分为n 个子群体，记作S i ,(i =1,2,…, n ) ，即S n IR 模型；（2）考虑染病类个体传染他人疾病的能力不同进一步分成n 个子群体，记作I i ,(i =1,2,…, n ) ，即SI n R 模型。郭淑利等[1]研究一类S n IR 流行病模型，采用标准的感染力形式，得到了平衡点全局稳定性的阈值条件，HYMAN J M 等[2-3]主要针对艾滋病建立了SI n A 传染病模型，探寻染病者不同个体传染力的不同对疾病传播的影响，本研究在此基础上，将研究方法推广到一般的传染病，考虑康复的病人可再次被感染，建立了SI n RS 传染病模型，得到了无病平衡点全局稳定性的阈值条件，并进行了模拟仿真。
1传染病模型
假定一个国家或地区在某时刻t 的总人口为N (t ) ，因疾病的出现总人口被分为3大类：易感者类[S (t )]、染病者类[I (t )]和恢复者类[R (t )]，染病者由于免疫系统等体内特征差异被进一步分成n 个群体，记作I i ,(i =1,2,…, n ) ，则SI n RS 传染病模型可用如下微分方程组描述：
ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣdS =μ(S 0-S )-βi I i S +rR Σi =1dI =P (i =1,2,…, n ) i Σβi I i S -(μ+v i ) I i dt i =1dR =v j I j -μR -r R Σj =1n n n (1)
收稿日期：2009-09-28
基金项目：沈阳农业大学青年教师科研基金资助项目（20081021）；辽宁省博士启动基金项目（20081064）
作者简介：宋贽（1982-）, 女, 沈阳农业大学助教, 硕士, 从事微分方程定性和分支理论的研究。*通讯作者Corresponding author:惠淑荣（1963-）, 女,
沈阳农业大学教授, 硕士, 从事数学分析和应用数学研究。
第1期宋贽等：SI n RS 传染病模型的稳定性分析·123·式中：输入率为常数K =μS 0，且均为易感者，自然死亡率系数为μ，I i 类病人的恢复率系数为v i ，P i 为染病者进入I i 子群体的比例系数，ΣP i =1,r 为恢复者的免疫失去率。
ij =1n
由系统(1)不难看出，总人口N (t ) 满足下面的微分方程：dS =μS 0-μN ，显然，lim N (t )=S 0
t →∞
根据文献[4]，系统(1)与其极限系统等价，于是系统(2)简化为：
, , , , , , , , , , , , dS =μ(S 0-S )-βi I i S +r (S 0-S ΣI i ) Σi =1i =1dI =P i =1,2,…, n i Σβi I i S -(μ+v i ) I i dt i =1n n n (2)
设：G =(S , I i )|S ≥0, I i ≥0, S 0≥S +ΣI i ≥0, i =1,2,…, n
i =1≥n ≥
显然，G 是系统(2)的一个正向不变集。以下仅在集合G 内考虑系统(2)的轨线性态。
2
2.1结果与分析模型的平衡点
定理1：令R 0=S 0-Σβi P i ，当R 0≤1时，系统(2)仅有无病平衡点E 0（S =S 0, I i =0,i =1,2,…, n ），当R 0>1时，除无病平
j =1n i
衡点E 0外，系统(2)还有地方病平衡点E*（S *>0,I i *>0,i =1,2…, n ），其中：S*=S
n n 00
p i (μ+r ) S 0(S 0-1)[1-r Σ/1+r Σ]
i =1μ+v i i =1μ+v i I i *=0i 证明：显然系统(2)存在无病平衡点E 0（S =S 0, I i =0,i =1,2,…, n ）下面求地方病平衡点E *，可得：
(μ+r )(S -S *)(ΣβPi -1)=(ΣβPi -1) r ΣI i *j =1j =1i j =1i 0n n n
由于(μ+r )(S 0-S *)≠r ΣI i *，因此Σ=i =1j =1n n μ+v i
n S *n
p i (μ+r ) S 0(S 0-1)[1-r Σp i /1+r Σp i ]
i =1i i =1i 于是S *=I i *=R 0R 0(μ+v i )
由(3)可知，当且仅当R 0
2.2无病平衡点的全局稳定性
定理2：对于系统(2)，当R 01时，E 0是不稳定的。
证明：系统(2)在点E 0处的Jacobian 行列式为：
detJ 0=(-1)(μ+r ) 仪(R 0-1) βi i =1n n
可见，当R 0>1时，矩阵J 0至少有一个具正实部的特征根，这说明E 0是不稳定的。
将系统(2)写成下面的向量形式：
dS =(μ+r )(S 0-S )-B T IS -rIE dS =SB T IP -D I 式中：I =(I 1, I 2, …, I n ) ；B =(β1, β2, …, βn ) ；P =(p 1, p 2, …, p n ) T ；D =diag [(μ+v 1),(μ+v 2), …,(μ+v n )]；E =(1,1,…,1) T ；R 0=S 0B T D -1P 。仪, , , , 仪, , , , , （4）
取Lyapunov 函数：V =B T D -1I （V 是正定的）。沿系统(4)的轨线对V 函数求导可得：
·124·沈阳农业大学学报第41卷
dV B T D -1(SB T IP -DI ) ≤S 0B T D -1PB T I -B T I =(R -1) B T I 0可见，当R 0
2.3仿真分析
(1)对系统(2)，选取如下参数值：n =3,S (0)=0.9,I 1(0)=0.02,I 2(0)=0.03,I 3(0)=0.05,I (0)=0.1,S 0=1,r =0.01,μ=0.07yr -1, P =(0.25,0.33,0.42)T , B =(0.1,0.5,0.8)T , v =(0.43,0.41,0.55)T ，此时基本再生数R 0≈0.93
(2)P (0.15,0.33,0.52)T ，B (0.8,0.5,0.1)T ，v =(0.19,0.09,0.05)T ，其他参数同(1)，此时基本再生数R 0≈1.92>1系统
(2)的无病平衡点E 0是不稳定的(图2) 。
(3)选取的参数值同(2)，令λi (t )=βi I i (t ), i =1,2,3，λ(t )=Σλi (t ) ，ρi (t )=λi (t ) , i =1,2,3。用ρi (t ) 表示每个染病子群体的i =1
相对影响，由图3可知，在传染病传播初期，初值最小但传染率最大的子群体I 1导致主要感染，但是，由于I 1子群体的恢复率比其它子群体大很多，随着疫情发展，I 1子群体对疾病的影响力不断减弱，I 2子群体对疾病的影响力迅速增加，大约1年以后I 2子群体变成对疾病影响最大的。I 3子群体初值最大，恢复率最小，但是，由于它的传染率最小，所以它对疾病的影响不是主要的。3
3结论
本研究与传统的传染病模型相比，考虑染病者传染力不同对疾病的影响，更符合疾病传播的内在规律，通过仿真图可以看出，传染率大的群体在初期是疾病传播的主要因素，这与HYMAN J M 等[2]得到的结论是一致的，本研究在考虑了恢复者可再次被感染的情况下，得到恢复率的大小是影响疾病传播的另一个重要因素，疾病开始一段时间后，传染率较大，恢复率小的群体是疾病流行的主要原因。
参考文献：
[1]郭淑利, 李学志. 一类流行病模型的全局稳定性[J].数学的实践与认识，2008,38(10):84-88.
[2]HYMAN J M , JIA LI, STANLEY E A. The differential infectivity and staged progression models for the transmission of HIV
[J].MathBiosci,1999,155(2):77-109.
[3]ZHIEN MA, JIANPING LIU, JIA LI.Stability analysis for differential infectivity epidemic models [J].NonlinearAnalysis:Real
World Applications,2003,4(5):841-856.
[4]MILLER R K. Nonlinear Volterra Integral Equations[M].NewYork:WA Benjamin Inc,1971.
[责任编辑亓国]