相遇和追及 问题
【要点梳理】
要点一、机动车的行驶安全问题:
1、 反应时间:人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。 2、 反应距离:在反应时间内机动车仍然以原来的速度v匀速行驶的距离。
3、 刹车距离:从刹车开始,到机动车完全停下来,做匀减速运动所通过的距离。
4、 停车距离(安全距离):反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离的长短由反应距离和刹车距离共
同决定。(安全距离大于一定情况下的停车距离。) 要点二、追及与相遇问题的概述 1、 追及与相遇问题的成因
当两个物体在同一直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变 化,两物体间距越来越大或越来越小,这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题. 2、 追及问题的两类情况
(1)速度小者追速度大者 (2)速度大者追速度小者
说明:1.表中的Δx是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移;
2.x0是开始追及以前两物体之间的距离;
3.t2-t0=t0-t1; 4.v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度. 特点归类:
(1)若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度大于或等于前者的速度. (2)若后者追不上前者,则当后者的速度与前者相等时,两者相距最近. 3、 相遇问题的常见情况
(1) 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.
(2) 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇. 要点三、追及、相遇问题的解题思路
追及、相遇问题最基本的特征相同,都是在运动过程中两物体处在同一位置.
(1)画出物体运动情况的示意草图,在图中对两物体运动过程中的大概情况和可能发生的情况进行分析 (2)根据运动草图,找出两个物体的位移关系; (3)分别列出两个物体的位移方程,然后解出答案
要点四、分析追及相遇问题应注意的两个问题
要解决刹车问题,首先要搞清楚在度为负值;最后要注意单位统一。 (1)。一个条件:即两个物体的速度所满足的临界条件,例如两个物体距离最大或距离最小、后面的物体恰好追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下,速度所满足的条件. 常见的情形有三种:
1.一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙,这种情况一○
定能追上,在追上之前,两物体的速度相等(即v甲v乙)时,两者之间的距离最大;
2.二是做匀速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀加速直线运动的物体乙,这种情况不一定能追上,○
若能追上,则在相遇位置满足v甲v乙;若追不上,则两者之间有个最小距离,当两物体的速度相等时,距离最小;
3.三是做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体,情况和第二种情况相似. ○
(2)。两个关系:即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的突破口.
要点五、追及、相遇问题的处理方法
方法一:临界条件法(物理法):当追者与被追者到达同一位置,两者速度相同,则恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的临界条件)
方法二:判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距d0令两者在t时相遇,则有x甲x乙d0,得到关于时间t的一元二次方程:当b4ac0时,两者相撞或相遇两次;当b4ac0时,两者恰好相遇或相撞;b4ac0时,两者不会相撞或相遇.
2
2
2
方法三:图象法.利用速度时间图像可以直观形象的描述两物体的运动情况,通过分析图像,可以较方便
的解决这类问题。
【典型例题】
类型一、机动车的行驶安全问题
例1、为了安全,在高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速为v=120km/h。假设前方车辆突然停止运动,后面汽车的司机从眼睛发现这一情况,经过大脑反应,指挥手、脚操纵汽车刹车,到汽车真正开始减速,所经历的时间需要0.50s(即反应时间),刹车时汽车所受阻力是车重的0.40倍,为了避免发生追尾事故,在该高速公路上行驶的汽车之间至少应保留多大的距离?(答案见例2)
【变式A】酒后驾车严重威胁交通安全.其主要原因是饮酒会使人的反应时间(从发现情况到实施操作制动的时间)变长,造成制动距离(从发现情况到汽车停止的距离)变长,假定汽车以108 km/h的速度匀速行驶,刹车时汽车的加速度大小为8 m/s,正常人的反应时间为0.5 s,饮酒人的反应时间为1.5 s,试问:
(1)驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米?
2
(2)饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间?(答案见变式B)
类型二、追及问题一:速度小者追赶同向速度大者
2
例2、一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少? (答案见例3)
【例1答案】156m
【解析】v120km/h33.3m/s
匀减速过程的加速度大小为akmg/m4m/s2。匀速阶段的位移s1vt116.7m, 减速阶段的位移s2v2/2a139m,所以两车至少相距ss1s2156m。
【变式B】小轿车在十字路口等绿灯亮后,以1m/s的加速度启动,恰在此时,一辆大卡车以7m/s的速度从旁超过,做同向匀速运动,问(1)小轿车追上大卡车时已通过多少路程?(2)两车间的距离最大时为多少?
2
【变式A答案】 (1)30 m (2)5.25 s
【解析】 (1)汽车匀速行驶v=108 km/h=30 m/s
正常情况下刹车与饮酒后刹车,从刹车到车停止这段时间的运动是一样的,设饮酒后的刹车距离比正常时多
30 m Δs,反应时间分别为t1=0.5 s、t2=1.5 s则s=v(t2-t1)代入数据得s=
(2)饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间t3=(0-v)/a解得t3=3.75 s
5.25 s 所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间t=t2+t3解得t=
【变式C】甲、乙两车同时从同一地点出发,向同一方向运动,其中甲以10 m/s的速度匀速行驶,乙以2 m/s的加速度由静止启动,求:
【变式B答案】98m 24.5m
类型三、追及问题二:速度大者减速追赶同向速度小者
例3、火车以速度v1匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距S处有另一列火车沿同方向以速度v2(对地、且
(1)经多长时间乙车追上甲车?此时甲、乙两车速度有何关系?
(2)追上前经多长时间两者相距最远?此时二者的速度有何关系?(答案见变式D)
2
v1v2)做匀速运动,司机立即以加速度a紧急刹车,要使两车不相撞,a应满足什么条件?
【例2答案】2s 6m 【解析】:
方法一:临界状态法 运动示意图如图:
汽车在追击自行车的过程中,由于汽车的速度小于自行车的速度,汽车与自行车之间的距离越来越大;当汽车的速度大于自行车的速度以后,汽车与自行车之间的距离便开始缩小。很显然,当汽车的速度与自行车的速度相等时,两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则
v汽at v自 ∴ t
方法二:图象法
v自611
s2sxm x自 x汽 v自t at262m 322m 6m
22a3
在同一个v-t图象中画出自行车和汽车的速度-时间图线,如图所示。其中Ⅰ表示自行车的速度图线,Ⅱ表示汽车的速度图线,自行车的位移x自x汽 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差,不难看出,当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。
此时v汽at0 v自 ,t0
v自611
s2s,Smt0v自26m6m
22a3
方法三:二次函数最大(小)值法
设经过时间t汽车和自行车之间的距离x,则
123232
xxxvtat6tt(t2)6 自汽自
222
当t2s时两车之间的距离有最大值xm,且xm6m.
【变式D】汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进,突然发现正前方s 处有一辆自行车以4m/s的速度做同
2
方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做匀减速运动,加速度大小为6m/s,若汽车恰好不碰上自行车,则s大小为多少?(答案见变式E)
【变式C答案】(1)10 s 2倍 (2)5 s 相等
【解析】(1)乙车追上甲车时,二者位移相同,设甲车位移为x1,乙车位移为x2,则x1=x2,即v1t1at1,解得t1=10 s,v2=at1=20 m/s,因此v2=2v1.
1
2
2
at2= 10t2-t (2)设追上前二者之间的距离为x,则Δx=x1-x2=v1t2由数学知识知:当t212
2
10
s5s时,两者相距最远,此时v2=v1. 21
【变式E】甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动,t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标.在描述两车运动的v-t图中(如图),直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~20 s的运动情况.关于两车之间的位置关系,下列说法正确的是( ) (答案见变式F)
A.在0~10 s内两车逐渐靠近 B.在10~20 s内两车逐渐远离 C.在5~15 s内两车的位移相等 D.在t=10 s时两车在公路上相遇 【变式D答案】3m 类型四、相遇问题 例4(选做)、。。。 。。。
(v2v1)2【例3答案】a
2s
【解析】方法一:设两车恰好相撞(或不相撞),所用时间为t,此时两车速度相等
1
v1tat2v2tsv1atv2
2
(v2v1)2(v2v1)2
解之可得:a即,当a时,两车不会相撞。
2s2s
12
atv2ts2
2
方法二:要使两车不相撞,其位移关系应为:v1t
(v2v1)2
对任一时间t,不等式都成立的条件为=(v2v1)2as0由此得a
2s
【变式F】羚羊从静止开始奔跑,经过50m的距离能加速到最大速度25m/s,并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑,经过60m的距离能加速到最大速度30m/s,以后只能维持这速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击,羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑,假定羚羊和猎豹在加速阶段做匀加速运动,且均沿同一直线奔跑,求:
(1)猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊,x值应在什么范围?
(2)猎豹要在其加速阶段追到羚羊,x值应在什么范围?(答案见变式G)
【变式E答案】C
【解析】由题图知乙做匀减速运动,初速度v乙=10 m/s,加速度大小a乙=0.5 m/s;甲做匀速直线运动,速度v甲=5 m/s.当t=10 s时v甲=v乙,甲、乙两车距离最大,所以0~10 s内两车越来越远,10~15 s内两车距离越来越小,t=20 s时,两车距离为零,再次相遇.故A、B、D错误.因5~15 s时间内v甲=v乙,所以两车位移相等,故C正确.
【变式G】一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时,
2
决定前去追赶,经过5.5 s后警车发动起来,并以2.5 m/s的加速度做匀加速运动,但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内.问:
(1)警车在追赶货车的过程中,两车间的最大距离是多少? (2)警车发动后要多长时间才能追上货车?(答案见变式H)
【变式F答案】(1) 31.875m≤ x ≤ 55m (2)x ≤ 31.875m
【变式H】甲乙两车在一平直道路上同向运动,其v-t图象如图所示,图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2(s2>s1).初始时,甲车在乙车前方s0处
【变式H解析】在T时刻,甲、乙两车速度相等,甲车的位移s2,乙车的位移s1+s2,当甲车在前方s0=s1+s2
时,T时刻乙车在甲车的后方s2处,此后乙车速度就比甲车小,不能与甲车相遇,A正确;如果s0=s1,说明T时刻乙车刚好赶上甲车,但由于速率将小于甲车,与甲车不会相遇第二次,C正确;如果s0
2
相遇和追及 问题
【要点梳理】
要点一、机动车的行驶安全问题:
1、 反应时间:人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。 2、 反应距离:在反应时间内机动车仍然以原来的速度v匀速行驶的距离。
3、 刹车距离:从刹车开始,到机动车完全停下来,做匀减速运动所通过的距离。
4、 停车距离(安全距离):反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离的长短由反应距离和刹车距离共
同决定。(安全距离大于一定情况下的停车距离。) 要点二、追及与相遇问题的概述 1、 追及与相遇问题的成因
当两个物体在同一直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变 化,两物体间距越来越大或越来越小,这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题. 2、 追及问题的两类情况
(1)速度小者追速度大者 (2)速度大者追速度小者
说明:1.表中的Δx是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移;
2.x0是开始追及以前两物体之间的距离;
3.t2-t0=t0-t1; 4.v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度. 特点归类:
(1)若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度大于或等于前者的速度. (2)若后者追不上前者,则当后者的速度与前者相等时,两者相距最近. 3、 相遇问题的常见情况
(1) 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.
(2) 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇. 要点三、追及、相遇问题的解题思路
追及、相遇问题最基本的特征相同,都是在运动过程中两物体处在同一位置.
(1)画出物体运动情况的示意草图,在图中对两物体运动过程中的大概情况和可能发生的情况进行分析 (2)根据运动草图,找出两个物体的位移关系; (3)分别列出两个物体的位移方程,然后解出答案
要点四、分析追及相遇问题应注意的两个问题
要解决刹车问题,首先要搞清楚在度为负值;最后要注意单位统一。 (1)。一个条件:即两个物体的速度所满足的临界条件,例如两个物体距离最大或距离最小、后面的物体恰好追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下,速度所满足的条件. 常见的情形有三种:
1.一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙,这种情况一○
定能追上,在追上之前,两物体的速度相等(即v甲v乙)时,两者之间的距离最大;
2.二是做匀速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀加速直线运动的物体乙,这种情况不一定能追上,○
若能追上,则在相遇位置满足v甲v乙;若追不上,则两者之间有个最小距离,当两物体的速度相等时,距离最小;
3.三是做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体,情况和第二种情况相似. ○
(2)。两个关系:即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的突破口.
要点五、追及、相遇问题的处理方法
方法一:临界条件法(物理法):当追者与被追者到达同一位置,两者速度相同,则恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的临界条件)
方法二:判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距d0令两者在t时相遇,则有x甲x乙d0,得到关于时间t的一元二次方程:当b4ac0时,两者相撞或相遇两次;当b4ac0时,两者恰好相遇或相撞;b4ac0时,两者不会相撞或相遇.
2
2
2
方法三:图象法.利用速度时间图像可以直观形象的描述两物体的运动情况,通过分析图像,可以较方便
的解决这类问题。
【典型例题】
类型一、机动车的行驶安全问题
例1、为了安全,在高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速为v=120km/h。假设前方车辆突然停止运动,后面汽车的司机从眼睛发现这一情况,经过大脑反应,指挥手、脚操纵汽车刹车,到汽车真正开始减速,所经历的时间需要0.50s(即反应时间),刹车时汽车所受阻力是车重的0.40倍,为了避免发生追尾事故,在该高速公路上行驶的汽车之间至少应保留多大的距离?(答案见例2)
【变式A】酒后驾车严重威胁交通安全.其主要原因是饮酒会使人的反应时间(从发现情况到实施操作制动的时间)变长,造成制动距离(从发现情况到汽车停止的距离)变长,假定汽车以108 km/h的速度匀速行驶,刹车时汽车的加速度大小为8 m/s,正常人的反应时间为0.5 s,饮酒人的反应时间为1.5 s,试问:
(1)驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米?
2
(2)饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间?(答案见变式B)
类型二、追及问题一:速度小者追赶同向速度大者
2
例2、一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少? (答案见例3)
【例1答案】156m
【解析】v120km/h33.3m/s
匀减速过程的加速度大小为akmg/m4m/s2。匀速阶段的位移s1vt116.7m, 减速阶段的位移s2v2/2a139m,所以两车至少相距ss1s2156m。
【变式B】小轿车在十字路口等绿灯亮后,以1m/s的加速度启动,恰在此时,一辆大卡车以7m/s的速度从旁超过,做同向匀速运动,问(1)小轿车追上大卡车时已通过多少路程?(2)两车间的距离最大时为多少?
2
【变式A答案】 (1)30 m (2)5.25 s
【解析】 (1)汽车匀速行驶v=108 km/h=30 m/s
正常情况下刹车与饮酒后刹车,从刹车到车停止这段时间的运动是一样的,设饮酒后的刹车距离比正常时多
30 m Δs,反应时间分别为t1=0.5 s、t2=1.5 s则s=v(t2-t1)代入数据得s=
(2)饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间t3=(0-v)/a解得t3=3.75 s
5.25 s 所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间t=t2+t3解得t=
【变式C】甲、乙两车同时从同一地点出发,向同一方向运动,其中甲以10 m/s的速度匀速行驶,乙以2 m/s的加速度由静止启动,求:
【变式B答案】98m 24.5m
类型三、追及问题二:速度大者减速追赶同向速度小者
例3、火车以速度v1匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距S处有另一列火车沿同方向以速度v2(对地、且
(1)经多长时间乙车追上甲车?此时甲、乙两车速度有何关系?
(2)追上前经多长时间两者相距最远?此时二者的速度有何关系?(答案见变式D)
2
v1v2)做匀速运动,司机立即以加速度a紧急刹车,要使两车不相撞,a应满足什么条件?
【例2答案】2s 6m 【解析】:
方法一:临界状态法 运动示意图如图:
汽车在追击自行车的过程中,由于汽车的速度小于自行车的速度,汽车与自行车之间的距离越来越大;当汽车的速度大于自行车的速度以后,汽车与自行车之间的距离便开始缩小。很显然,当汽车的速度与自行车的速度相等时,两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则
v汽at v自 ∴ t
方法二:图象法
v自611
s2sxm x自 x汽 v自t at262m 322m 6m
22a3
在同一个v-t图象中画出自行车和汽车的速度-时间图线,如图所示。其中Ⅰ表示自行车的速度图线,Ⅱ表示汽车的速度图线,自行车的位移x自x汽 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差,不难看出,当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。
此时v汽at0 v自 ,t0
v自611
s2s,Smt0v自26m6m
22a3
方法三:二次函数最大(小)值法
设经过时间t汽车和自行车之间的距离x,则
123232
xxxvtat6tt(t2)6 自汽自
222
当t2s时两车之间的距离有最大值xm,且xm6m.
【变式D】汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进,突然发现正前方s 处有一辆自行车以4m/s的速度做同
2
方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做匀减速运动,加速度大小为6m/s,若汽车恰好不碰上自行车,则s大小为多少?(答案见变式E)
【变式C答案】(1)10 s 2倍 (2)5 s 相等
【解析】(1)乙车追上甲车时,二者位移相同,设甲车位移为x1,乙车位移为x2,则x1=x2,即v1t1at1,解得t1=10 s,v2=at1=20 m/s,因此v2=2v1.
1
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at2= 10t2-t (2)设追上前二者之间的距离为x,则Δx=x1-x2=v1t2由数学知识知:当t212
2
10
s5s时,两者相距最远,此时v2=v1. 21
【变式E】甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动,t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标.在描述两车运动的v-t图中(如图),直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~20 s的运动情况.关于两车之间的位置关系,下列说法正确的是( ) (答案见变式F)
A.在0~10 s内两车逐渐靠近 B.在10~20 s内两车逐渐远离 C.在5~15 s内两车的位移相等 D.在t=10 s时两车在公路上相遇 【变式D答案】3m 类型四、相遇问题 例4(选做)、。。。 。。。
(v2v1)2【例3答案】a
2s
【解析】方法一:设两车恰好相撞(或不相撞),所用时间为t,此时两车速度相等
1
v1tat2v2tsv1atv2
2
(v2v1)2(v2v1)2
解之可得:a即,当a时,两车不会相撞。
2s2s
12
atv2ts2
2
方法二:要使两车不相撞,其位移关系应为:v1t
(v2v1)2
对任一时间t,不等式都成立的条件为=(v2v1)2as0由此得a
2s
【变式F】羚羊从静止开始奔跑,经过50m的距离能加速到最大速度25m/s,并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑,经过60m的距离能加速到最大速度30m/s,以后只能维持这速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击,羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑,假定羚羊和猎豹在加速阶段做匀加速运动,且均沿同一直线奔跑,求:
(1)猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊,x值应在什么范围?
(2)猎豹要在其加速阶段追到羚羊,x值应在什么范围?(答案见变式G)
【变式E答案】C
【解析】由题图知乙做匀减速运动,初速度v乙=10 m/s,加速度大小a乙=0.5 m/s;甲做匀速直线运动,速度v甲=5 m/s.当t=10 s时v甲=v乙,甲、乙两车距离最大,所以0~10 s内两车越来越远,10~15 s内两车距离越来越小,t=20 s时,两车距离为零,再次相遇.故A、B、D错误.因5~15 s时间内v甲=v乙,所以两车位移相等,故C正确.
【变式G】一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时,
2
决定前去追赶,经过5.5 s后警车发动起来,并以2.5 m/s的加速度做匀加速运动,但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内.问:
(1)警车在追赶货车的过程中,两车间的最大距离是多少? (2)警车发动后要多长时间才能追上货车?(答案见变式H)
【变式F答案】(1) 31.875m≤ x ≤ 55m (2)x ≤ 31.875m
【变式H】甲乙两车在一平直道路上同向运动,其v-t图象如图所示,图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2(s2>s1).初始时,甲车在乙车前方s0处
【变式H解析】在T时刻,甲、乙两车速度相等,甲车的位移s2,乙车的位移s1+s2,当甲车在前方s0=s1+s2
时,T时刻乙车在甲车的后方s2处,此后乙车速度就比甲车小,不能与甲车相遇,A正确;如果s0=s1,说明T时刻乙车刚好赶上甲车,但由于速率将小于甲车,与甲车不会相遇第二次,C正确;如果s0
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