肥城市第六中学 校本研修评估考核材料
二 0 一 五 年 十一 月
目 录
课程开发与实施安排表 校本课程实施纲要
第一部分 数学思维的变通性 （1）善于观察 （2）善于联想
（3）善于将问题进行转化 第二部分 数学思维的反思性
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误
(2) 验算的训练
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
校本课程开发与实施安排表
《数学思维》
校本课程纲要
一、基本项目
课程名称：《数学思维》 授课老师：
授课对象：高一、高二年级部分学生 教学材料：相关网站、资料 二、课程目标
以全面贯彻落实课改精神为宗旨，以数学思维为主线，提高学生学习数学的兴趣，全面推进素质教育。
1、通过教学，增强学生学习数学的兴趣；
2、通过教学，让学生了解数学源于生活、应用于生活； 3、通过数学，培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力 课程内容：
第一部分 数学思维的变通性 第二部分 数学思维的反思性 第三部分 数学思维的严密性 第四部分 数学思维的开拓性 四、课程实施建议
基础知识教学、实物演示、电教配合、图上作业、小组研讨、模拟训练、考查等。 五、课程评价
评价指标（一）：学生自评与互评相结合，即上课出勤情况、课
堂纪律情况、参与练习情况、团结协作情况；
评价指标（二）：平时模拟训练与考查相结合； 评价指标（三）：教师综合评定给与相应等级； 评价等级均为：优秀、良好、中等、须努力四档
第一讲 数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察 （2）善于联想
（3）善于将问题进行转化 （1）观察能力的训练
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例
1
已
知
a , b , c , d
都是实数，求证
a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c ) 2+(b -d ) 2.
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
证明 不妨设A (a , b ), B (c , d ) 如图1－2－1则AB =(a -c ) +(b -d ) .
2
2
OA =a 2+b 2, OB =c 2+d 2,
在∆OAB 中，由三角形三边之间的关系知： +OB ≥AB 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。 因此，a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c ) 2+(b -d ) 2.
例2 已知3x 2+2y 2=6x ，试求x 2+y 2的最大值。
22
解 由 3x +2y =6x 得
3
y 2=-x 2+3x .
2
3
y 2≥0, ∴-x 2+3x ≥0, ∴0≤x ≤2.
2
又x 2+y 2=x 2-x 2+3x =-(x -3) 2+,
19
∴当x =2时，x 2+y 2有最大值，最大值为-(2-3) 2+=4.
22
3
21292
思路分析 要求x 2+y 2的最大值，由已知条件很快将x 2+y 2变为一元二次函数f (x ) =-(x -3) 2+, 然后求极值点的x 值，联系到y 2≥0，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
1
2
92
例3 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c =0(a >0), 满足关系
f (2+x ) =f (2-x ) ，试比较f (0. 5) 与f (π) 的大小。
思路分析 由已知条件f (2+x ) =f (2-x ) 可知，在与x =2左右等距
称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由f (2+x ) =f (2-x ) ， 知f (x ) 是以直线x =2为对称轴，开口向上的抛物线 它与x =2距离越近的点，函数值越小。
2-0. 5>2-π∴f (0. 5) >f (π)
2
（2）联想能力的训练
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
⎧x +y =2
例如，解方程组⎨.
xy =-3⎩
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 t 2-2t -3=0的两个根，
⎧x =-1⎧x =3
所以⎨或⎨. 可见，联想可使问题变得简单。
y =3y =-1⎩⎩
例4 在∆ABC 中，若∠C 为钝角，则tgA ⋅tgB 的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在∆ABC 中确定三角函数tgA ⋅tgB 的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tg (A +B ) =
tgA +tgB
可得下面解法。
1-tgA ⋅tgB
解 ∠C 为钝角，∴tgC
tgA +tgB
1-tgA ⋅tgB
tgA >0, tgB >0, ∴1-tgA ⋅tgB >0. 即tgA ⋅tgB
故应选择（B ）
例5 若(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0, 证明：2y =x +z .
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当x -y ≠0时，等式 (z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0
可看作是关于t 的一元二次方程(x -y ) t 2+(z -x ) t +(y -z ) =0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：
y -z
=1即 2y =x +z x -y
若x -y =0，由已知条件易得 z -x =0, 即x =y =z , 显然也有
2y =x +z .
例6 已知a 、b 、c 均为正实数, 满足关系式a 2+b 2=c 2, 又n 为不小于3的自然数，求证:a n +b n
思路分析 由条件a 2+b 2=c 2联想到勾股定理, a 、b 、c 可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C . 则C 是直角，A 为锐角，于是
sin A =, cos A =, 且0
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
例如，已知++=
1a
1b
1c
1
, (abc ≠0, a +b +c ≠0) ,
a +b +c
a c
b c a c
b c
求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
(a +b )(b +c )(c +a ) =0
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
1 转化成容易解决的明显题目 ○
例11 已知a +b +c =++=1, 求证a 、b 、c 中至少有一个等于1。
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a 、b 、c 中至少有一个为1，也就是说a -1、b -1、c -1中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
证明 ++=1,
1
a
1b
1c
∴bc +ac +ab =abc . 1a
1b
1c
于是 (a -1)(b -1)(c -1) =abc -(ab +ac +bc -1) +(a +b +c ) =0.
∴ a -1、b -1、c -1中至少有一个为零，即a 、b 、c 中至少有一个
为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
例12 直线L 的方程为x =-
p
，其中p >0；椭圆E 的中心为2
O '(2+
p 2
p
, 0) ，焦点在X 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点2
为A (, 0) ，问p 在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
y 2=2px
（1）
是，又从已知条件可得椭圆E 的方程为
[x -(2+
4
p 2)]+y 2=1
（2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p 的取值范围。将（2）代入（1）得：
p 2
x +(7p -4) x ++2p =0.
4
2
（3）
确定p 的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：
⎧p 22
+2p ) >0⎪(7p -4) -4(4⎪2
p
⎪+2p >0⎨
⎪4⎪⎪⎩7p -4
在p >0的条件下，得0
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和
不等式组的问题。
2 逆向思维的训练 ○
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数f (x ) =2x 2+mx +n ，求证f (1) 、f (2) 、f (3) 中至少有一个不小于1.
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即f (1) 、f (2) 、f (3) 都小于1。
则
①② ③
⎧f (1)
⎪⎪⎪f (2)
①＋③得 -11
与②矛盾，所以假设不成立，即f (1) 、f (2) 、f (3) 中至少有一个不小于1。
○3 一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通
过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
例14 已知复数z 的模为2，求z -i 的最大值。 解法一（代数法）设z =x +yi (x 、y ∈R ) ，
则x 2+y 2＝4. z -i =
x 2+(y -1) 2=5-2y .
y ≤2, ∴当y =-2z -i max =3.
解法二（三角法）设z =2(cosθ+i sin θ), 则 z -i =4cos 2θ＋（2sin θ-1) 2=5-4sin θ.
∴当sin θ=-1z -i max =3.
解法三（几何法）
z =2, ∴点z 是圆x 2+y 2=4上的点，z -i 表示z 与i 所对应的点之间的距离。
如图1－2－3 所示，可知当z =-2i 时，
z -i 解法四（运用模的性质）
z -i ≤z +-i =2+1=3
图1－2－3
而当z =-2i 时，z -i =3. ∴z -i max =3. 解法五（运用模的性质）
z -i =(z -i ) (z -i ) =z +(z -) i +1
2
=5+2I (z ), (I (z ) 表z 的虚部）.
2
又 I (z ) ≤2, ∴z -i max =9, ∴z -i max =3.
第二讲 数学思维的反思性
一、概述
数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。
二、思维训练实例
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。
例1 已知f (x ) =ax +，若-3≤f (1) ≤0, 3≤f (2) ≤6, 求f (3) 的范围。
错误解法 由条件得
⎧-3≤a +b ≤0 ⎪ ⎨b
3≤2a +≤6⎪2⎩
x b
②
③
×2－①得6≤a ≤15
①×2－②得
-
8b 2
≤≤- 333
④则 ③+④得
10b 431043
≤3a +≤, 即≤f (3) ≤. 33333
错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f (x ) =ax +，其值是同时受a 和b 制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有
⎧f (1) =a +b ⎪⎨b f (2) =2a +⎪2⎩
x b
解得：a =[2f (2) -f (1)],b =[2f (1) -f (2)],
∴f (3) =3a +
b 165=f (2) -f (1). 399
1637
把f (1) 和f (2) 的范围代入得 ≤f (3) ≤.
33
1
323
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 例2 证明勾股定理：已知在∆ABC 中，∠C =90︒，求证c 2=a 2+b 2. 错误证法 在Rt ∆ABC 中，sin A =, cos A =, 而sin 2A +cos 2A =1，
a b
∴() 2+() 2=1，即c 2=a 2+b 2. c c
a
c
b c
错误分析 在现行的中学体系中，sin 2A +cos 2A =1这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。
(2) 验算的训练
验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。
例3 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1，求a n .
错误解法 a n =S n -S n -1=(2n +1) -(2n -1+1) =2n -2n -1=2n -1. 错误分析 显然，当n =1时，a 1=S 1=3≠21-1=1，错误原因，没有
注意公式a n =S n -S n -1成立的条件是n ≥2(n ∈N ). 因此在运用
⎧S 1(n =1)
a n =S n -S n -1时，必须检验n =1时的情形。即：a n =⎨
S (n ≥2, n ∈N ) ⎩n
例4 实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y 2=x 有
两个公共点。
错误解法 将圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线 y 2=x 联立，消去y ， 得①
⎧∆=0⎪1
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪2a ->0 ⎨
2⎪2⎪⎩a -1>0.
1
2
12
1
x 2-(2a -) x +a 2-1=0(x ≥0).
2
解之，得a =
17. 8
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a =0时，圆与抛物线有两个公共点。
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得⎨因此，当a =
y 2=
⎧∆>0⎩a -1
2
解之，得-1
17
或-1
1
x 有两个公共点。 2
12
思考题：实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y 2=x ， （1） （2） （3） （4）
有一个公共点； 有三个公共点； 有四个公共点； 没有公共点。
养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。
例5 解方程x 2-2x +3=cos x .
考察方程两端相应的函数y =(x -1) 2+2, y =cos x ，它们的图象无交点。
所以此方程无解。
例6 设α、β是方程x 2-2kx +k +6=0的两个实根，则(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是（ ）
(A ) -
49
; 4
(B ) 8;
(C ) 18;
(D ) 不存在
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k , αβ=k +6,
∴
(α-1) 2+(β-1) 2=α2-2α+1+β2-2β+1
=(α+β) 2-2αβ-2(α+β) +2 349
=4(k -) 2-.
44
有的学生一看到-
49
，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。这4
正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根α、β，
∴∆=4k 2-4(k +6) ≥0, ∴k ≤-2或k ≥3.
当k ≥3时，当k ≤-2时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是8；(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是18；
这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。
肥城市第六中学 校本研修评估考核材料
二 0 一 五 年 十一 月
目 录
课程开发与实施安排表 校本课程实施纲要
第一部分 数学思维的变通性 （1）善于观察 （2）善于联想
（3）善于将问题进行转化 第二部分 数学思维的反思性
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误
(2) 验算的训练
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
校本课程开发与实施安排表
《数学思维》
校本课程纲要
一、基本项目
课程名称：《数学思维》 授课老师：
授课对象：高一、高二年级部分学生 教学材料：相关网站、资料 二、课程目标
以全面贯彻落实课改精神为宗旨，以数学思维为主线，提高学生学习数学的兴趣，全面推进素质教育。
1、通过教学，增强学生学习数学的兴趣；
2、通过教学，让学生了解数学源于生活、应用于生活； 3、通过数学，培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力 课程内容：
第一部分 数学思维的变通性 第二部分 数学思维的反思性 第三部分 数学思维的严密性 第四部分 数学思维的开拓性 四、课程实施建议
基础知识教学、实物演示、电教配合、图上作业、小组研讨、模拟训练、考查等。 五、课程评价
评价指标（一）：学生自评与互评相结合，即上课出勤情况、课
堂纪律情况、参与练习情况、团结协作情况；
评价指标（二）：平时模拟训练与考查相结合； 评价指标（三）：教师综合评定给与相应等级； 评价等级均为：优秀、良好、中等、须努力四档
第一讲 数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察 （2）善于联想
（3）善于将问题进行转化 （1）观察能力的训练
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例
1
已
知
a , b , c , d
都是实数，求证
a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c ) 2+(b -d ) 2.
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
证明 不妨设A (a , b ), B (c , d ) 如图1－2－1则AB =(a -c ) +(b -d ) .
2
2
OA =a 2+b 2, OB =c 2+d 2,
在∆OAB 中，由三角形三边之间的关系知： +OB ≥AB 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。 因此，a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c ) 2+(b -d ) 2.
例2 已知3x 2+2y 2=6x ，试求x 2+y 2的最大值。
22
解 由 3x +2y =6x 得
3
y 2=-x 2+3x .
2
3
y 2≥0, ∴-x 2+3x ≥0, ∴0≤x ≤2.
2
又x 2+y 2=x 2-x 2+3x =-(x -3) 2+,
19
∴当x =2时，x 2+y 2有最大值，最大值为-(2-3) 2+=4.
22
3
21292
思路分析 要求x 2+y 2的最大值，由已知条件很快将x 2+y 2变为一元二次函数f (x ) =-(x -3) 2+, 然后求极值点的x 值，联系到y 2≥0，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
1
2
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例3 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c =0(a >0), 满足关系
f (2+x ) =f (2-x ) ，试比较f (0. 5) 与f (π) 的大小。
思路分析 由已知条件f (2+x ) =f (2-x ) 可知，在与x =2左右等距
称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由f (2+x ) =f (2-x ) ， 知f (x ) 是以直线x =2为对称轴，开口向上的抛物线 它与x =2距离越近的点，函数值越小。
2-0. 5>2-π∴f (0. 5) >f (π)
2
（2）联想能力的训练
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
⎧x +y =2
例如，解方程组⎨.
xy =-3⎩
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 t 2-2t -3=0的两个根，
⎧x =-1⎧x =3
所以⎨或⎨. 可见，联想可使问题变得简单。
y =3y =-1⎩⎩
例4 在∆ABC 中，若∠C 为钝角，则tgA ⋅tgB 的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在∆ABC 中确定三角函数tgA ⋅tgB 的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tg (A +B ) =
tgA +tgB
可得下面解法。
1-tgA ⋅tgB
解 ∠C 为钝角，∴tgC
tgA +tgB
1-tgA ⋅tgB
tgA >0, tgB >0, ∴1-tgA ⋅tgB >0. 即tgA ⋅tgB
故应选择（B ）
例5 若(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0, 证明：2y =x +z .
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当x -y ≠0时，等式 (z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0
可看作是关于t 的一元二次方程(x -y ) t 2+(z -x ) t +(y -z ) =0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：
y -z
=1即 2y =x +z x -y
若x -y =0，由已知条件易得 z -x =0, 即x =y =z , 显然也有
2y =x +z .
例6 已知a 、b 、c 均为正实数, 满足关系式a 2+b 2=c 2, 又n 为不小于3的自然数，求证:a n +b n
思路分析 由条件a 2+b 2=c 2联想到勾股定理, a 、b 、c 可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C . 则C 是直角，A 为锐角，于是
sin A =, cos A =, 且0
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
例如，已知++=
1a
1b
1c
1
, (abc ≠0, a +b +c ≠0) ,
a +b +c
a c
b c a c
b c
求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
(a +b )(b +c )(c +a ) =0
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
1 转化成容易解决的明显题目 ○
例11 已知a +b +c =++=1, 求证a 、b 、c 中至少有一个等于1。
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a 、b 、c 中至少有一个为1，也就是说a -1、b -1、c -1中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
证明 ++=1,
1
a
1b
1c
∴bc +ac +ab =abc . 1a
1b
1c
于是 (a -1)(b -1)(c -1) =abc -(ab +ac +bc -1) +(a +b +c ) =0.
∴ a -1、b -1、c -1中至少有一个为零，即a 、b 、c 中至少有一个
为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
例12 直线L 的方程为x =-
p
，其中p >0；椭圆E 的中心为2
O '(2+
p 2
p
, 0) ，焦点在X 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点2
为A (, 0) ，问p 在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
y 2=2px
（1）
是，又从已知条件可得椭圆E 的方程为
[x -(2+
4
p 2)]+y 2=1
（2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p 的取值范围。将（2）代入（1）得：
p 2
x +(7p -4) x ++2p =0.
4
2
（3）
确定p 的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：
⎧p 22
+2p ) >0⎪(7p -4) -4(4⎪2
p
⎪+2p >0⎨
⎪4⎪⎪⎩7p -4
在p >0的条件下，得0
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和
不等式组的问题。
2 逆向思维的训练 ○
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数f (x ) =2x 2+mx +n ，求证f (1) 、f (2) 、f (3) 中至少有一个不小于1.
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即f (1) 、f (2) 、f (3) 都小于1。
则
①② ③
⎧f (1)
⎪⎪⎪f (2)
①＋③得 -11
与②矛盾，所以假设不成立，即f (1) 、f (2) 、f (3) 中至少有一个不小于1。
○3 一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通
过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
例14 已知复数z 的模为2，求z -i 的最大值。 解法一（代数法）设z =x +yi (x 、y ∈R ) ，
则x 2+y 2＝4. z -i =
x 2+(y -1) 2=5-2y .
y ≤2, ∴当y =-2z -i max =3.
解法二（三角法）设z =2(cosθ+i sin θ), 则 z -i =4cos 2θ＋（2sin θ-1) 2=5-4sin θ.
∴当sin θ=-1z -i max =3.
解法三（几何法）
z =2, ∴点z 是圆x 2+y 2=4上的点，z -i 表示z 与i 所对应的点之间的距离。
如图1－2－3 所示，可知当z =-2i 时，
z -i 解法四（运用模的性质）
z -i ≤z +-i =2+1=3
图1－2－3
而当z =-2i 时，z -i =3. ∴z -i max =3. 解法五（运用模的性质）
z -i =(z -i ) (z -i ) =z +(z -) i +1
2
=5+2I (z ), (I (z ) 表z 的虚部）.
2
又 I (z ) ≤2, ∴z -i max =9, ∴z -i max =3.
第二讲 数学思维的反思性
一、概述
数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。
二、思维训练实例
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。
例1 已知f (x ) =ax +，若-3≤f (1) ≤0, 3≤f (2) ≤6, 求f (3) 的范围。
错误解法 由条件得
⎧-3≤a +b ≤0 ⎪ ⎨b
3≤2a +≤6⎪2⎩
x b
②
③
×2－①得6≤a ≤15
①×2－②得
-
8b 2
≤≤- 333
④则 ③+④得
10b 431043
≤3a +≤, 即≤f (3) ≤. 33333
错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f (x ) =ax +，其值是同时受a 和b 制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有
⎧f (1) =a +b ⎪⎨b f (2) =2a +⎪2⎩
x b
解得：a =[2f (2) -f (1)],b =[2f (1) -f (2)],
∴f (3) =3a +
b 165=f (2) -f (1). 399
1637
把f (1) 和f (2) 的范围代入得 ≤f (3) ≤.
33
1
323
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 例2 证明勾股定理：已知在∆ABC 中，∠C =90︒，求证c 2=a 2+b 2. 错误证法 在Rt ∆ABC 中，sin A =, cos A =, 而sin 2A +cos 2A =1，
a b
∴() 2+() 2=1，即c 2=a 2+b 2. c c
a
c
b c
错误分析 在现行的中学体系中，sin 2A +cos 2A =1这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。
(2) 验算的训练
验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。
例3 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1，求a n .
错误解法 a n =S n -S n -1=(2n +1) -(2n -1+1) =2n -2n -1=2n -1. 错误分析 显然，当n =1时，a 1=S 1=3≠21-1=1，错误原因，没有
注意公式a n =S n -S n -1成立的条件是n ≥2(n ∈N ). 因此在运用
⎧S 1(n =1)
a n =S n -S n -1时，必须检验n =1时的情形。即：a n =⎨
S (n ≥2, n ∈N ) ⎩n
例4 实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y 2=x 有
两个公共点。
错误解法 将圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线 y 2=x 联立，消去y ， 得①
⎧∆=0⎪1
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪2a ->0 ⎨
2⎪2⎪⎩a -1>0.
1
2
12
1
x 2-(2a -) x +a 2-1=0(x ≥0).
2
解之，得a =
17. 8
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a =0时，圆与抛物线有两个公共点。
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得⎨因此，当a =
y 2=
⎧∆>0⎩a -1
2
解之，得-1
17
或-1
1
x 有两个公共点。 2
12
思考题：实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y 2=x ， （1） （2） （3） （4）
有一个公共点； 有三个公共点； 有四个公共点； 没有公共点。
养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。
例5 解方程x 2-2x +3=cos x .
考察方程两端相应的函数y =(x -1) 2+2, y =cos x ，它们的图象无交点。
所以此方程无解。
例6 设α、β是方程x 2-2kx +k +6=0的两个实根，则(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是（ ）
(A ) -
49
; 4
(B ) 8;
(C ) 18;
(D ) 不存在
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k , αβ=k +6,
∴
(α-1) 2+(β-1) 2=α2-2α+1+β2-2β+1
=(α+β) 2-2αβ-2(α+β) +2 349
=4(k -) 2-.
44
有的学生一看到-
49
，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。这4
正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根α、β，
∴∆=4k 2-4(k +6) ≥0, ∴k ≤-2或k ≥3.
当k ≥3时，当k ≤-2时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是8；(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是18；
这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。