2．3 数学归纳法
1．问题导航
(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？ (2)数学归纳法的证题步骤是什么？ 2．例题导读
通过P 94例1的学习，掌握用数学归纳法证明关于正整数命题的方法和步骤．感悟数学归纳法的实质及两个步骤中的联系．通过P 94例2的学习，体会归纳推理中由部分归纳猜想出一般结论，再用数学归纳法证明的数学探究方法．
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步，归纳奠基：证明当n *
第二步，归纳递推：假设
时命题也成
立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(2015·西安高二检测) 下面四个判断中，正确的是( )
A ．式子1＋k ＋k 2＋„＋k n (n ∈N *) 中，当n ＝1时，式子的值为1
－
B ．式子1＋k ＋k 2＋„＋k n 1(n ∈N *) 中，当n ＝1时，式子的值为1＋k
11111
C ．式子1＋„＋(n ∈N *) 中，当n ＝1时，式子的值为1＋23232n ＋1111111
D ．设f (n ) ＋(n ∈N *) ，则f (k ＋1) ＝f (k ) ＋
＋
n ＋1n ＋23n ＋13k ＋23k ＋33k ＋4
答案：C
1．数学归纳法的实质
数学归纳法是一种以数字归纳原理为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程．所以它是证明有关正整数问题的有力工具．
2．数学归纳法两个步骤的联系
第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了．
3
3
3
3
用数学归纳法证明等式
n 2（n ＋1）2
用数学归纳法证明1＋2＋3＋„＋n ＝n ∈N *) ．
412×223
[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1＝1，右边＝1，∴等式成立；
4
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时等式成立，
22
3333k （k ＋1）即1＋2＋3＋„＋k ＝
4
则当n ＝k ＋1时，
k 2（k ＋1）2k 23333332⎡1＋2＋3＋„＋k ＋(k ＋1) ＝＋(k ＋1) ＝(k ＋1) ⎣（k ＋1）＋4＝(k ＋
4
k 2＋4k ＋4（k ＋1）2（k ＋2）22
1) ·，
44
∴当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知原等式成立．
数学归纳法证明的三个关键点： (1)验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，(n 0≥1，n ∈N *) ，这个n 0就是我们要证明的命题对象对应的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心
在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1时命题也成立”，在书写f (k ＋1) 时，一定要把包含f (k ) 的式子写出来，尤其是f (k ) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就
1．用数学归纳法证明：
1111n ＋1(1－)(1－－) „(1－) ＝n ≥2，n ∈N *) ．
4916n 2n
2＋1313
证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－，右边＝，
442×24
∴左边＝右边．
111k ＋1
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *) 时结论成立，即(1)(1－) „(1－) ＝
49k 2k
那么当n ＝k ＋1时，
1111(1－)(1－„(1－－]
49k （k ＋1）k ＋1k ＋1k （k ＋2）1＝－]＝ 2k 2k （k ＋1）（k ＋1）k ＋2（k ＋1）＋1＝＝ 2（k ＋1）2（k ＋1）
即当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．
利用数学归纳法证明不等式
1
(1)已知函数f (x ) ＝x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1) ．求证：
3
a n ≥2n －1(n ∈N *) ．
[证明] ∵f ′(x ) ＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1) 2－1＝a 2n ＋2a n .
①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，不等式成立；
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时不等式成立，即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，
k k
a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2) ≥(2－1)(2－1＋2)
＋
＝22k －1≥2k 1－1，
即当n ＝k ＋1时，不等式成立， 综上所述，不等式成立．
111
(2)证明不等式1＋＋„＋n (n ∈N *) ．
23n
[证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边＜右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *) 时，不等式成立，
111
即1＋＋„＋2k .
2k
则当n ＝k ＋1时，
2k k ＋1＋111111
左边＝1＋＋＋„＋＋＜2k ＋＝＜
23k k ＋1k ＋1k ＋1（k ）2＋（k ＋1）2＋12（k ＋1）
＝＝k ＋
1.
k ＋1k ＋1∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．
用数学归纳法证明不等式的三个关键
(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数) ，则n 0＝k ＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝
k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设． (3)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
1111a
2．若不等式＋„＋对一切正整数n 都成立，求正整数a 的
n ＋1n ＋2n ＋33n ＋124
最大值，并证明你的结论．
11126
解：取n ＝1，
1＋11＋23×1＋124
26a
令a
11125
下面用数学归纳法证明：„＋>.
n ＋1n ＋23n ＋124
(1)当n ＝1时，已证结论正确．
11125
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，＋„>成立，则当n ＝k ＋1时，
k ＋1k ＋23k ＋124
111111
有＋＋„＋＋＋＋＝（k ＋1）＋1（k ＋1）＋23k ＋13k ＋23k ＋33（k ＋1）＋1
⎛11＋„＋1＋
3k ＋1⎭⎝k ＋1k ＋2
⎛11＋11 ⎝3k ＋23k ＋33k ＋4k ＋1⎭
11225
>＋⎡3k ＋2＋3k ＋43（k ＋1）. 24⎣⎦
6（k ＋1）11
∵＝ 3k ＋23k ＋49k ＋18k ＋86（k ＋1）6（k ＋1）>9k ＋18k ＋99（k ＋1）2＝ 3（k ＋1）112∴－ 3k ＋23k ＋43（k ＋1）
11125
∴＋＋„＋>， （k ＋1）＋1（k ＋1）＋23（k ＋1）＋124即当n ＝k ＋1时，结论也成立．
11125
由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，都有„＋. 故a 的最大值为
25.
n ＋1n ＋23n ＋124
归纳——猜想——证明
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ＝1，2，3，„) ． (1)求a 1，a 2；
(2)求{S n }的通项公式，并用数学归纳法证明． [解] (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0， 有一根S 1－1＝a 1－1，
于是(a 1－1) 2－a 1(a 1－1) －a 1＝0，
1
解得a 1＝
2
1
当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0，有一根S 2－1＝a 2－，
2
211
a 2－a 2⎛a 2－⎫－a 2＝0， 于是⎛22⎭⎝⎝1
解得a 2＝
6
(2)由题设(S n －1) 2－a n (S n －1) －a n ＝0， 即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.(*)
11123
由(1)知S 1＝a 1＝，S 2＝a 1＋a 2＝＝由(*)可得S 3＝.
22634
n
由此猜想S n ＝n ＝1，2，3，„.
n ＋1
下面用数学归纳法证明这个结论． ①n ＝1时已知结论成立．
②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时结论成立，即S k ＝当n ＝k ＋1时，由(*)得S k ＋1＝
1
2－S k
k
k ＋1
k ＋1
即S k ＋1＝
k ＋2
故n ＝k ＋1时结论也成立．
n
由①②可知S n ＝n 都成立．
n ＋1
数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．给出一些简单的命题(n ＝1，2，3，„) ，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．解题一般分三步进行：
(1)验证P (1)，P (2)，P (3)，P (4)，„； (2)提出猜想；
(3)用数学归纳法证明．
a n
3．(1)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＋1＝.
1＋a n
①求a 2，a 3，a 4，猜想{a n }的通项公式； ②用数学归纳法证明①中的猜想．
a 解：①∵a 1＝1，a n ＋1＝，
1＋a n 11231111
∴a 2＝，a 3＝，a 4
13141＋12
1＋1＋23
1
观察猜想a n ＝.
n
1
②证明：用数学归纳法证明a n ＝.
n
1
(ⅰ) 当n ＝1时a 1＝＝1. 猜想成立．
1
(ⅱ) 假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥1) 时猜想成立．
1
即a k ＝
k
那么当n ＝k ＋1时，
1k a 1
a k ＋1＝＝.
1k ＋11＋a k
1＋
k
即当n ＝k ＋1时，猜想成立．
1
由(ⅰ)(ⅱ) 知猜想a n n 都成立．
n
＋
(2)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn 1＋(2－λ)2n (n ∈N *) ，其中λ>0. ①求a 2，a 3，a 4；
②猜想{a n }的通项公式并加以证明．
＋
解：①由a n ＋1＝λan ＋λn 1＋(2－λ)2n ，
将a 1＝2代入，得a 2＝λa1＋λ2＋(2－λ) ×2＝λ2＋4；
将a 2＝λ2＋4代入，得a 3＝λa2＋λ3＋(2－λ) ×22＝2λ3＋8； 将a 3＝2λ3＋8代入，得a 4＝λa3＋λ4＋(2－λ) ×23＝3λ4＋16. ②由a 2，a 3，a 4，对{a n }的通项公式作出猜想： a n ＝(n －1) λn ＋2n . 证明如下：
(ⅰ) 当n ＝1时，a 1＝2＝(1－1) λ1＋21成立．
(ⅱ) 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，a k ＝(k －1) λk ＋2k ，
＋
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λak ＋λk 1＋(2－λ)2k
＋＋
＝(k －1) λk 1＋λ2k ＋λk 1＋(2－λ)2k
＋＋
＝kλk 1＋2k 1
＋＋
＝[(k ＋1) －1]λk 1＋2k 1.
＋＋
由此可知，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝[(k ＋1) －1]λk 1＋2k 1也成立． 由(ⅰ)(ⅱ) 可知，a n ＝(n －1) λn ＋2n 对任意n ∈N *都成立．
用数学归纳法证明1＋4＋7＋„＋(3n －2) ＝n (3n －1)(n ∈N *) ．
2
[证明] (1)当n ＝1时，左边＝右边＝1， ∴当n ＝1时，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，等式成立，
1
即1＋4＋7＋„＋(3k －2) ＝(3k －1) ．
2
则当n ＝k ＋1时，
1＋4＋7＋„＋(3k －2) ＋[3(k ＋1) －2] 1
＝k (3k －1) ＋(3k ＋1) 21
＝(3k 2＋5k ＋2) 21
＝(k ＋1)(3k ＋2) 21
＝(k ＋1)[3(k ＋1) －1]， 2
即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立． [错因与防范]
本例易犯以下两方面错误．
①省略第一步：归纳奠基，使要证明的数学命题没有成立的基础． ②不用归纳假设而直接推出要证结论．
1
如假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时成立，即1＋4＋7＋„＋(3k －2) k (3k －1) ，
21
则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋„＋(3k －2) ＋[3(k ＋1) －2](k ＋1)(3k ＋2) 成立．没
2
有用归纳假设，而是直接按等差数列{a n }，首项为1
，公差为3的前k ＋1项和公式求得等式
1
右端为(k ＋1)(3k ＋2) ，这种证明不符合数学归纳法的证题要求．
2
n （n ＋1）
4．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋„＋n 2
1×（1＋1）
证明：(1)当n ＝1时，左边＝11.
2
∴等式成立．
(2) 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，等式成立．
k （k ＋1）
即1＋2＋3＋„＋k ＝
2
那么当n ＝k ＋1时，
k （k ＋1）（k ＋1）（k ＋2）
1＋2＋3＋„＋k ＋(k ＋1) ＝(k ＋1) ＝
22
（k ＋1）[（k ＋1）＋1]＝
2
∴当n ＝k ＋1时，等式成立， 由(1)(2)知原等式成立．
1－x
1．用数学归纳法证明1＋x ＋x 2＋„＋x n ＝x ≠1) ，则当n ＝1时，等式的左端为
1－x
( )
A ．1 B ．1＋x C ．2 D ．1＋x ＋x 2 解析：选B. 当n ＝1时，左端＝1＋x 1＝1＋x .
n 1111
2．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋„＋n (n ∈N *) ．
22322
证明：(1)当n ＝1时，
11
左式＝1＋，右式＝1，
22313
1＋
222
(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，
k 1111
即1＋1„＋＋k ，
22322则当n ＝k ＋1时，
k ＋1111111k 1k
1＋„＋＋„＋. ＋＋2＋＝1＋2322＋12＋2222＋22
111111111k
又1＋＋„＋＋＋＋„＋
命题对所有的n ∈N *都成立．
n ＋1
[A.基础达标]
1．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )
A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 的取值无关 D ．以上答案都不对
解析：选B. ∵n ＝2时成立，若n ＝k 取2时，n ＝k ＋2为偶数也成立，即该命题对所有正偶数都成立．
2．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当为( )
A ．1
B ．大于1且小于10的某个自然数 C ．10 D ．11
解析：选C. 当n ≥n 0时，2n >n 3，即n 0＝10. 3．某同学回答用数学归纳法证明n ＋n
A ．当n ＝1时，验证过程不具体 B ．归纳假设的写法不正确 C ．从k 到k ＋1的推理不严密
D ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设
解析：选D. 当n ＝1时证明正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩直接证明，不符合数学归纳法证题的要求．应选D.
4．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *) 时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立
解析：选C. 由题意知当n ＝k ＋1时命题不成立可推知当n ＝k (k ∈N *) 时命题不成立．因此若当n ＝5时该命题不成立，可推知当n ＝4时该命题也不成立．故选C.
5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2) „(n ＋n ) ＝2n ·1·3·„·(2n －1) ，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )
A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) 2k ＋12k ＋3 D. k ＋1k ＋1
解析：选B. 当n ＝k 时，等式左边为(k ＋1)(k ＋2) „(k ＋k ) ，而当n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·„·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3) „(k ＋k ＋2) ，前边少了一项(k ＋1) ，后
（k ＋k ＋1）（k ＋k ＋2）
边多了两项(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ，故增乘的代数式为＝2(2k ＋1) ．
k ＋1
6．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的初始值n 0应取________．
答案：5
7．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k ) ，则f (k ＋1) 与f (k ) 的关系是________．
解析：由k 条直线相交交点数为f (k ) ，再增加一条后，交点个数则增加k 个，即f (k ＋1) ＝f (k ) ＋k .
答案：f (k ＋1) ＝f (k ) ＋k
－
8．用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋„＋25n 1是31的倍数时，当n ＝1时，原式为________________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是________________．
×－
解析：当n ＝1时，原式应加到2511＝24， 所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
＋＋－
从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k ＋25k 1＋„＋25(k 1) 1.
＋＋＋＋
答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k 1＋25k 2＋25k 3＋25k 4
＋＋
9．用数学归纳法证明f (n ) ＝3×52n 1＋23n 1(n ∈N *) 能被17整除．
证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23，所以f (1)能被17整除． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，
＋＋
即f (k ) ＝3×52k 1＋23k 1能被17整除，
＋＋
则n ＝k ＋1时，f (k ＋1) ＝3×52k 3＋23k 4
＋＋＋＋
＝52×3×52k 1＋52×23k 1－52×23k 1＋23×23k 1
＋
＝25f (k ) －17×23k 1，
＋
由假设知，f (k ) 能被17整除，且17×23k 1显然可被17整除，故f (k ＋1) 能被17整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n ) 能被17整除．
1
10．证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n ) (n －3)(n ≥4，n ∈N *) ．
2
1
证明：(1)当n ＝4时，四边形有两条对角线，f (4)＝4×(4－3) ＝2，命题成立．
21
(2)假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *) 时命题成立，即f (k ) ＝k (k －3) ，那么，当n ＝k ＋1时，增
2111
加一个顶点，凸多边形的对角线增加k －1条，则f (k ＋1) k (k －3) ＋k －1＝(k 2－k －2) ＝(k
222
1
＋1)(k －2) ＝(k ＋1)[(k ＋1) －3]，
2
即当n ＝k ＋1时命题也成立．
根据(1)(2)，可知命题对任意的n ≥4，n ∈N *都成立．
[B.能力提升]
1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N *)
D ．假设n ≤k (k ≥1) 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N *)
解析：选B. n ∈N *且为奇数，由假设n ＝2k －1成立推证出n ＝2k ＋1成立，就完成了归纳递推．
11111
2．用数学归纳法证明不等式＋„＋>n ＝k 到n ＝k ＋1
n ＋1n ＋2n ＋n 24
时，不等式左边的变化情况为( )
1
A ．增加
2（k ＋1）11
B ．增加2k ＋12（k ＋1）111
C ．增加2k ＋12（k ＋1）k ＋1
11
D ．增加，减少
2（k ＋1）k ＋1
111
解析：选C. 当n ＝k 时，不等式的左边＝＋„＋，当n ＝k ＋1时，不等
k ＋1k ＋2k ＋k
11111
式的左边＝＋＋„＋，所以＋＋„＋
k ＋2k ＋3（k ＋1）＋（k ＋1）k ＋2k ＋3
1111111－⎛k ＋1k ＋2„k ＋k ＝所以由n ＝k 到
⎭2k ＋12（k ＋1）k ＋1，（k ＋1）＋（k ＋1）⎝
111
n ＝k ＋1时，不等式的左边增加＋，减少
2k ＋12（k ＋1）k ＋1
3．证明凸n 边形内角和为f (n ) ＝(n －2) ×180°(n ≥3) ．假设n ＝k (k ∈N *且k ≥3) 时，等式成立，而f (k ) ＝(k －2) ×180°，那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1) ＝f (k ) ＋________．
解析：从凸n 边形到n ＋1边形多了一个内角，所以由n 边形内角和f (k ) 到n ＋1边形内角和f (k ＋1) 之间的关系为f (k ＋1) ＝f (k ) ＋180°.
答案：180°
＋＋
4．用数学归纳法证明等式1＋2＋22＋„＋2n 1＝2n 2－1(n ∈N *) 的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________．
答案：1＋2＋22
5．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项的和S 10＝185， (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若从数列{a n }中依次取出第2，4，8，„，2n ，„项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和A n ；
(3)设B n ＝n (5＋3a n ) ，试比较A n 和B n 的大小，并说明理由．
⎧⎪a 1＝8－d ，
解：(1)设公差为d ，由题意得⎨
⎪185＝10a 1＋45d ，⎩
⎧⎪d ＝3，解得⎨
⎪a 1＝5. ⎩
∴a n ＝5＋3×(n －1) ＝3n ＋2.
(2)设新数列为{b n }，∴b n ＝a 2n ＝3×2n ＋2.
＋
∴A n ＝3×(2＋22＋23＋„＋2n ) ＋2n ＝3×2n 1＋2n －6. (3)∵B n ＝n (9n ＋11) ＝9n 2＋11n ，
∴A 1＝3×4－4＝8，A 2＝3×8－2＝22，A 3＝3×16＝48， A 4＝3×32＋2＝98，A 5＝3×64＋4＝196，A 6＝3×128＋6＝390，A 7＝3×256＋8＝776，„ 而B 1＝20，B 2＝58，B 3＝114，B 4＝188，B 5＝280，B 6＝390，B 7＝518，„ ①当n ＝1，2，3，4，5时，B n >A n ； ②当n ＝6时，B 6＝A 6； ③当n ≥7，且n ∈N *时，
猜想A n >B n ，用数学归纳法证明：
当n ＝7时，A 7＝776>518＝B 7，结论正确； 假设当n ＝k (k ≥7，k ∈N *) 时，A k >B k ，
＋＋
即3×2k 1＋2k －6>9k 2＋11k ⇒2k 1>3k 2＋3k ＋2， ∴n ＝k ＋1时，
＋＋
A k ＋1－B k ＋1＝[3×2k 2＋2(k ＋1) －6]－[9(k ＋1) 2＋11(k ＋1)]＝6×2k 1－9k 2－27k －24＝＋＋
6×[2k 1－(3k 2＋3k ＋2)]＋6×(3k 2＋3k ＋2) －9k 2－27k －24＝6×[2k 1－(3k 2＋3k ＋2)]＋9k 2－9k －12>9k 2－9k －12＝9k (k －1) －12≥9×7×(7－1) －12>0，
∴A k ＋1>B k ＋1，即n ＝k ＋1时，结论也正确． 综上知，当n ≥7，且n ∈N *时，有A n >B n .
ax
6．设函数f (x ) ＝ln(x ＋1) －a >1)．
x ＋a
(1)讨论f (x ) 的单调性；
23
(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1) ，证明a n ≤n ∈N *)
n ＋2n ＋2
解：(1)f (x ) 的定义域为(－1，＋∞) ，
x [x －（a 2－2a ）]f ′(x ) ＝. （x ＋1）（x ＋a ）①当10，f (x ) 在(－1，a 2－2a ) 上是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0) ，则f ′(x )
若x ∈(0，＋∞) ，则f ′(x )>0，f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数．
②当a ＝2时，f ′(x ) ≥0，f ′(x ) ＝0成立当且仅当x ＝0，f (x ) 在(－1，＋∞) 上是增函数． ③当a >2时，若x ∈(－1，0) ，则f ′(x )>0，f (x ) 在(－1，0) 上是增函数；
若x ∈(0，a 2－2a ) ，则f ′(x )
若x ∈(a 2－2a ，＋∞) ，则f ′(x )>0，f (x ) 在(a 2－2a ，＋∞) 上是增函数．
(2)证明：由(1)知，当a ＝2时，f (x ) 在(－1，＋∞) 上是增函数．
当x ∈(0，＋∞) 时，f (x )>f (0)＝0，
2x 即ln(x ＋1)>(x >0)． x ＋2
又由(1)知，当a ＝3时，f (x ) 在[0，3) 上是减函数，当x ∈(0，3) 时，f (x )
3x 即ln(x ＋1)
23下面用数学归纳法证明a n ≤ n ＋2n ＋2
2①当n ＝1
23②设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时结论成立，即a k ≤. k ＋2k ＋2
当n ＝k ＋1时，
22k ＋222a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln⎛k ＋2＋1⎫＝ ⎝⎭2k ＋32k ＋2
33×k ＋233a k ＋1＝ln(a k ＋1) ≤ln ⎛k ＋21⎫＝ ⎝⎭3k ＋33k ＋2
23即当n ＝k ＋1时，有
根据①，②知对任何n ∈N *结论都成立．
2．3 数学归纳法
1．问题导航
(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？ (2)数学归纳法的证题步骤是什么？ 2．例题导读
通过P 94例1的学习，掌握用数学归纳法证明关于正整数命题的方法和步骤．感悟数学归纳法的实质及两个步骤中的联系．通过P 94例2的学习，体会归纳推理中由部分归纳猜想出一般结论，再用数学归纳法证明的数学探究方法．
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步，归纳奠基：证明当n *
第二步，归纳递推：假设
时命题也成
立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(2015·西安高二检测) 下面四个判断中，正确的是( )
A ．式子1＋k ＋k 2＋„＋k n (n ∈N *) 中，当n ＝1时，式子的值为1
－
B ．式子1＋k ＋k 2＋„＋k n 1(n ∈N *) 中，当n ＝1时，式子的值为1＋k
11111
C ．式子1＋„＋(n ∈N *) 中，当n ＝1时，式子的值为1＋23232n ＋1111111
D ．设f (n ) ＋(n ∈N *) ，则f (k ＋1) ＝f (k ) ＋
＋
n ＋1n ＋23n ＋13k ＋23k ＋33k ＋4
答案：C
1．数学归纳法的实质
数学归纳法是一种以数字归纳原理为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程．所以它是证明有关正整数问题的有力工具．
2．数学归纳法两个步骤的联系
第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了．
3
3
3
3
用数学归纳法证明等式
n 2（n ＋1）2
用数学归纳法证明1＋2＋3＋„＋n ＝n ∈N *) ．
412×223
[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1＝1，右边＝1，∴等式成立；
4
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时等式成立，
22
3333k （k ＋1）即1＋2＋3＋„＋k ＝
4
则当n ＝k ＋1时，
k 2（k ＋1）2k 23333332⎡1＋2＋3＋„＋k ＋(k ＋1) ＝＋(k ＋1) ＝(k ＋1) ⎣（k ＋1）＋4＝(k ＋
4
k 2＋4k ＋4（k ＋1）2（k ＋2）22
1) ·，
44
∴当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知原等式成立．
数学归纳法证明的三个关键点： (1)验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，(n 0≥1，n ∈N *) ，这个n 0就是我们要证明的命题对象对应的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心
在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1时命题也成立”，在书写f (k ＋1) 时，一定要把包含f (k ) 的式子写出来，尤其是f (k ) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就
1．用数学归纳法证明：
1111n ＋1(1－)(1－－) „(1－) ＝n ≥2，n ∈N *) ．
4916n 2n
2＋1313
证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－，右边＝，
442×24
∴左边＝右边．
111k ＋1
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *) 时结论成立，即(1)(1－) „(1－) ＝
49k 2k
那么当n ＝k ＋1时，
1111(1－)(1－„(1－－]
49k （k ＋1）k ＋1k ＋1k （k ＋2）1＝－]＝ 2k 2k （k ＋1）（k ＋1）k ＋2（k ＋1）＋1＝＝ 2（k ＋1）2（k ＋1）
即当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．
利用数学归纳法证明不等式
1
(1)已知函数f (x ) ＝x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1) ．求证：
3
a n ≥2n －1(n ∈N *) ．
[证明] ∵f ′(x ) ＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1) 2－1＝a 2n ＋2a n .
①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，不等式成立；
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时不等式成立，即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，
k k
a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2) ≥(2－1)(2－1＋2)
＋
＝22k －1≥2k 1－1，
即当n ＝k ＋1时，不等式成立， 综上所述，不等式成立．
111
(2)证明不等式1＋＋„＋n (n ∈N *) ．
23n
[证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边＜右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *) 时，不等式成立，
111
即1＋＋„＋2k .
2k
则当n ＝k ＋1时，
2k k ＋1＋111111
左边＝1＋＋＋„＋＋＜2k ＋＝＜
23k k ＋1k ＋1k ＋1（k ）2＋（k ＋1）2＋12（k ＋1）
＝＝k ＋
1.
k ＋1k ＋1∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．
用数学归纳法证明不等式的三个关键
(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数) ，则n 0＝k ＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝
k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设． (3)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
1111a
2．若不等式＋„＋对一切正整数n 都成立，求正整数a 的
n ＋1n ＋2n ＋33n ＋124
最大值，并证明你的结论．
11126
解：取n ＝1，
1＋11＋23×1＋124
26a
令a
11125
下面用数学归纳法证明：„＋>.
n ＋1n ＋23n ＋124
(1)当n ＝1时，已证结论正确．
11125
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，＋„>成立，则当n ＝k ＋1时，
k ＋1k ＋23k ＋124
111111
有＋＋„＋＋＋＋＝（k ＋1）＋1（k ＋1）＋23k ＋13k ＋23k ＋33（k ＋1）＋1
⎛11＋„＋1＋
3k ＋1⎭⎝k ＋1k ＋2
⎛11＋11 ⎝3k ＋23k ＋33k ＋4k ＋1⎭
11225
>＋⎡3k ＋2＋3k ＋43（k ＋1）. 24⎣⎦
6（k ＋1）11
∵＝ 3k ＋23k ＋49k ＋18k ＋86（k ＋1）6（k ＋1）>9k ＋18k ＋99（k ＋1）2＝ 3（k ＋1）112∴－ 3k ＋23k ＋43（k ＋1）
11125
∴＋＋„＋>， （k ＋1）＋1（k ＋1）＋23（k ＋1）＋124即当n ＝k ＋1时，结论也成立．
11125
由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，都有„＋. 故a 的最大值为
25.
n ＋1n ＋23n ＋124
归纳——猜想——证明
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ＝1，2，3，„) ． (1)求a 1，a 2；
(2)求{S n }的通项公式，并用数学归纳法证明． [解] (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0， 有一根S 1－1＝a 1－1，
于是(a 1－1) 2－a 1(a 1－1) －a 1＝0，
1
解得a 1＝
2
1
当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0，有一根S 2－1＝a 2－，
2
211
a 2－a 2⎛a 2－⎫－a 2＝0， 于是⎛22⎭⎝⎝1
解得a 2＝
6
(2)由题设(S n －1) 2－a n (S n －1) －a n ＝0， 即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.(*)
11123
由(1)知S 1＝a 1＝，S 2＝a 1＋a 2＝＝由(*)可得S 3＝.
22634
n
由此猜想S n ＝n ＝1，2，3，„.
n ＋1
下面用数学归纳法证明这个结论． ①n ＝1时已知结论成立．
②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时结论成立，即S k ＝当n ＝k ＋1时，由(*)得S k ＋1＝
1
2－S k
k
k ＋1
k ＋1
即S k ＋1＝
k ＋2
故n ＝k ＋1时结论也成立．
n
由①②可知S n ＝n 都成立．
n ＋1
数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．给出一些简单的命题(n ＝1，2，3，„) ，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．解题一般分三步进行：
(1)验证P (1)，P (2)，P (3)，P (4)，„； (2)提出猜想；
(3)用数学归纳法证明．
a n
3．(1)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＋1＝.
1＋a n
①求a 2，a 3，a 4，猜想{a n }的通项公式； ②用数学归纳法证明①中的猜想．
a 解：①∵a 1＝1，a n ＋1＝，
1＋a n 11231111
∴a 2＝，a 3＝，a 4
13141＋12
1＋1＋23
1
观察猜想a n ＝.
n
1
②证明：用数学归纳法证明a n ＝.
n
1
(ⅰ) 当n ＝1时a 1＝＝1. 猜想成立．
1
(ⅱ) 假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥1) 时猜想成立．
1
即a k ＝
k
那么当n ＝k ＋1时，
1k a 1
a k ＋1＝＝.
1k ＋11＋a k
1＋
k
即当n ＝k ＋1时，猜想成立．
1
由(ⅰ)(ⅱ) 知猜想a n n 都成立．
n
＋
(2)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn 1＋(2－λ)2n (n ∈N *) ，其中λ>0. ①求a 2，a 3，a 4；
②猜想{a n }的通项公式并加以证明．
＋
解：①由a n ＋1＝λan ＋λn 1＋(2－λ)2n ，
将a 1＝2代入，得a 2＝λa1＋λ2＋(2－λ) ×2＝λ2＋4；
将a 2＝λ2＋4代入，得a 3＝λa2＋λ3＋(2－λ) ×22＝2λ3＋8； 将a 3＝2λ3＋8代入，得a 4＝λa3＋λ4＋(2－λ) ×23＝3λ4＋16. ②由a 2，a 3，a 4，对{a n }的通项公式作出猜想： a n ＝(n －1) λn ＋2n . 证明如下：
(ⅰ) 当n ＝1时，a 1＝2＝(1－1) λ1＋21成立．
(ⅱ) 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，a k ＝(k －1) λk ＋2k ，
＋
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λak ＋λk 1＋(2－λ)2k
＋＋
＝(k －1) λk 1＋λ2k ＋λk 1＋(2－λ)2k
＋＋
＝kλk 1＋2k 1
＋＋
＝[(k ＋1) －1]λk 1＋2k 1.
＋＋
由此可知，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝[(k ＋1) －1]λk 1＋2k 1也成立． 由(ⅰ)(ⅱ) 可知，a n ＝(n －1) λn ＋2n 对任意n ∈N *都成立．
用数学归纳法证明1＋4＋7＋„＋(3n －2) ＝n (3n －1)(n ∈N *) ．
2
[证明] (1)当n ＝1时，左边＝右边＝1， ∴当n ＝1时，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，等式成立，
1
即1＋4＋7＋„＋(3k －2) ＝(3k －1) ．
2
则当n ＝k ＋1时，
1＋4＋7＋„＋(3k －2) ＋[3(k ＋1) －2] 1
＝k (3k －1) ＋(3k ＋1) 21
＝(3k 2＋5k ＋2) 21
＝(k ＋1)(3k ＋2) 21
＝(k ＋1)[3(k ＋1) －1]， 2
即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立． [错因与防范]
本例易犯以下两方面错误．
①省略第一步：归纳奠基，使要证明的数学命题没有成立的基础． ②不用归纳假设而直接推出要证结论．
1
如假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时成立，即1＋4＋7＋„＋(3k －2) k (3k －1) ，
21
则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋„＋(3k －2) ＋[3(k ＋1) －2](k ＋1)(3k ＋2) 成立．没
2
有用归纳假设，而是直接按等差数列{a n }，首项为1
，公差为3的前k ＋1项和公式求得等式
1
右端为(k ＋1)(3k ＋2) ，这种证明不符合数学归纳法的证题要求．
2
n （n ＋1）
4．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋„＋n 2
1×（1＋1）
证明：(1)当n ＝1时，左边＝11.
2
∴等式成立．
(2) 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，等式成立．
k （k ＋1）
即1＋2＋3＋„＋k ＝
2
那么当n ＝k ＋1时，
k （k ＋1）（k ＋1）（k ＋2）
1＋2＋3＋„＋k ＋(k ＋1) ＝(k ＋1) ＝
22
（k ＋1）[（k ＋1）＋1]＝
2
∴当n ＝k ＋1时，等式成立， 由(1)(2)知原等式成立．
1－x
1．用数学归纳法证明1＋x ＋x 2＋„＋x n ＝x ≠1) ，则当n ＝1时，等式的左端为
1－x
( )
A ．1 B ．1＋x C ．2 D ．1＋x ＋x 2 解析：选B. 当n ＝1时，左端＝1＋x 1＝1＋x .
n 1111
2．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋„＋n (n ∈N *) ．
22322
证明：(1)当n ＝1时，
11
左式＝1＋，右式＝1，
22313
1＋
222
(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，
k 1111
即1＋1„＋＋k ，
22322则当n ＝k ＋1时，
k ＋1111111k 1k
1＋„＋＋„＋. ＋＋2＋＝1＋2322＋12＋2222＋22
111111111k
又1＋＋„＋＋＋＋„＋
命题对所有的n ∈N *都成立．
n ＋1
[A.基础达标]
1．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )
A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 的取值无关 D ．以上答案都不对
解析：选B. ∵n ＝2时成立，若n ＝k 取2时，n ＝k ＋2为偶数也成立，即该命题对所有正偶数都成立．
2．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当为( )
A ．1
B ．大于1且小于10的某个自然数 C ．10 D ．11
解析：选C. 当n ≥n 0时，2n >n 3，即n 0＝10. 3．某同学回答用数学归纳法证明n ＋n
A ．当n ＝1时，验证过程不具体 B ．归纳假设的写法不正确 C ．从k 到k ＋1的推理不严密
D ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设
解析：选D. 当n ＝1时证明正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩直接证明，不符合数学归纳法证题的要求．应选D.
4．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *) 时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立
解析：选C. 由题意知当n ＝k ＋1时命题不成立可推知当n ＝k (k ∈N *) 时命题不成立．因此若当n ＝5时该命题不成立，可推知当n ＝4时该命题也不成立．故选C.
5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2) „(n ＋n ) ＝2n ·1·3·„·(2n －1) ，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )
A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) 2k ＋12k ＋3 D. k ＋1k ＋1
解析：选B. 当n ＝k 时，等式左边为(k ＋1)(k ＋2) „(k ＋k ) ，而当n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·„·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3) „(k ＋k ＋2) ，前边少了一项(k ＋1) ，后
（k ＋k ＋1）（k ＋k ＋2）
边多了两项(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ，故增乘的代数式为＝2(2k ＋1) ．
k ＋1
6．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的初始值n 0应取________．
答案：5
7．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k ) ，则f (k ＋1) 与f (k ) 的关系是________．
解析：由k 条直线相交交点数为f (k ) ，再增加一条后，交点个数则增加k 个，即f (k ＋1) ＝f (k ) ＋k .
答案：f (k ＋1) ＝f (k ) ＋k
－
8．用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋„＋25n 1是31的倍数时，当n ＝1时，原式为________________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是________________．
×－
解析：当n ＝1时，原式应加到2511＝24， 所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
＋＋－
从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k ＋25k 1＋„＋25(k 1) 1.
＋＋＋＋
答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k 1＋25k 2＋25k 3＋25k 4
＋＋
9．用数学归纳法证明f (n ) ＝3×52n 1＋23n 1(n ∈N *) 能被17整除．
证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23，所以f (1)能被17整除． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，
＋＋
即f (k ) ＝3×52k 1＋23k 1能被17整除，
＋＋
则n ＝k ＋1时，f (k ＋1) ＝3×52k 3＋23k 4
＋＋＋＋
＝52×3×52k 1＋52×23k 1－52×23k 1＋23×23k 1
＋
＝25f (k ) －17×23k 1，
＋
由假设知，f (k ) 能被17整除，且17×23k 1显然可被17整除，故f (k ＋1) 能被17整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n ) 能被17整除．
1
10．证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n ) (n －3)(n ≥4，n ∈N *) ．
2
1
证明：(1)当n ＝4时，四边形有两条对角线，f (4)＝4×(4－3) ＝2，命题成立．
21
(2)假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *) 时命题成立，即f (k ) ＝k (k －3) ，那么，当n ＝k ＋1时，增
2111
加一个顶点，凸多边形的对角线增加k －1条，则f (k ＋1) k (k －3) ＋k －1＝(k 2－k －2) ＝(k
222
1
＋1)(k －2) ＝(k ＋1)[(k ＋1) －3]，
2
即当n ＝k ＋1时命题也成立．
根据(1)(2)，可知命题对任意的n ≥4，n ∈N *都成立．
[B.能力提升]
1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N *)
D ．假设n ≤k (k ≥1) 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N *)
解析：选B. n ∈N *且为奇数，由假设n ＝2k －1成立推证出n ＝2k ＋1成立，就完成了归纳递推．
11111
2．用数学归纳法证明不等式＋„＋>n ＝k 到n ＝k ＋1
n ＋1n ＋2n ＋n 24
时，不等式左边的变化情况为( )
1
A ．增加
2（k ＋1）11
B ．增加2k ＋12（k ＋1）111
C ．增加2k ＋12（k ＋1）k ＋1
11
D ．增加，减少
2（k ＋1）k ＋1
111
解析：选C. 当n ＝k 时，不等式的左边＝＋„＋，当n ＝k ＋1时，不等
k ＋1k ＋2k ＋k
11111
式的左边＝＋＋„＋，所以＋＋„＋
k ＋2k ＋3（k ＋1）＋（k ＋1）k ＋2k ＋3
1111111－⎛k ＋1k ＋2„k ＋k ＝所以由n ＝k 到
⎭2k ＋12（k ＋1）k ＋1，（k ＋1）＋（k ＋1）⎝
111
n ＝k ＋1时，不等式的左边增加＋，减少
2k ＋12（k ＋1）k ＋1
3．证明凸n 边形内角和为f (n ) ＝(n －2) ×180°(n ≥3) ．假设n ＝k (k ∈N *且k ≥3) 时，等式成立，而f (k ) ＝(k －2) ×180°，那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1) ＝f (k ) ＋________．
解析：从凸n 边形到n ＋1边形多了一个内角，所以由n 边形内角和f (k ) 到n ＋1边形内角和f (k ＋1) 之间的关系为f (k ＋1) ＝f (k ) ＋180°.
答案：180°
＋＋
4．用数学归纳法证明等式1＋2＋22＋„＋2n 1＝2n 2－1(n ∈N *) 的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________．
答案：1＋2＋22
5．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项的和S 10＝185， (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若从数列{a n }中依次取出第2，4，8，„，2n ，„项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和A n ；
(3)设B n ＝n (5＋3a n ) ，试比较A n 和B n 的大小，并说明理由．
⎧⎪a 1＝8－d ，
解：(1)设公差为d ，由题意得⎨
⎪185＝10a 1＋45d ，⎩
⎧⎪d ＝3，解得⎨
⎪a 1＝5. ⎩
∴a n ＝5＋3×(n －1) ＝3n ＋2.
(2)设新数列为{b n }，∴b n ＝a 2n ＝3×2n ＋2.
＋
∴A n ＝3×(2＋22＋23＋„＋2n ) ＋2n ＝3×2n 1＋2n －6. (3)∵B n ＝n (9n ＋11) ＝9n 2＋11n ，
∴A 1＝3×4－4＝8，A 2＝3×8－2＝22，A 3＝3×16＝48， A 4＝3×32＋2＝98，A 5＝3×64＋4＝196，A 6＝3×128＋6＝390，A 7＝3×256＋8＝776，„ 而B 1＝20，B 2＝58，B 3＝114，B 4＝188，B 5＝280，B 6＝390，B 7＝518，„ ①当n ＝1，2，3，4，5时，B n >A n ； ②当n ＝6时，B 6＝A 6； ③当n ≥7，且n ∈N *时，
猜想A n >B n ，用数学归纳法证明：
当n ＝7时，A 7＝776>518＝B 7，结论正确； 假设当n ＝k (k ≥7，k ∈N *) 时，A k >B k ，
＋＋
即3×2k 1＋2k －6>9k 2＋11k ⇒2k 1>3k 2＋3k ＋2， ∴n ＝k ＋1时，
＋＋
A k ＋1－B k ＋1＝[3×2k 2＋2(k ＋1) －6]－[9(k ＋1) 2＋11(k ＋1)]＝6×2k 1－9k 2－27k －24＝＋＋
6×[2k 1－(3k 2＋3k ＋2)]＋6×(3k 2＋3k ＋2) －9k 2－27k －24＝6×[2k 1－(3k 2＋3k ＋2)]＋9k 2－9k －12>9k 2－9k －12＝9k (k －1) －12≥9×7×(7－1) －12>0，
∴A k ＋1>B k ＋1，即n ＝k ＋1时，结论也正确． 综上知，当n ≥7，且n ∈N *时，有A n >B n .
ax
6．设函数f (x ) ＝ln(x ＋1) －a >1)．
x ＋a
(1)讨论f (x ) 的单调性；
23
(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1) ，证明a n ≤n ∈N *)
n ＋2n ＋2
解：(1)f (x ) 的定义域为(－1，＋∞) ，
x [x －（a 2－2a ）]f ′(x ) ＝. （x ＋1）（x ＋a ）①当10，f (x ) 在(－1，a 2－2a ) 上是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0) ，则f ′(x )
若x ∈(0，＋∞) ，则f ′(x )>0，f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数．
②当a ＝2时，f ′(x ) ≥0，f ′(x ) ＝0成立当且仅当x ＝0，f (x ) 在(－1，＋∞) 上是增函数． ③当a >2时，若x ∈(－1，0) ，则f ′(x )>0，f (x ) 在(－1，0) 上是增函数；
若x ∈(0，a 2－2a ) ，则f ′(x )
若x ∈(a 2－2a ，＋∞) ，则f ′(x )>0，f (x ) 在(a 2－2a ，＋∞) 上是增函数．
(2)证明：由(1)知，当a ＝2时，f (x ) 在(－1，＋∞) 上是增函数．
当x ∈(0，＋∞) 时，f (x )>f (0)＝0，
2x 即ln(x ＋1)>(x >0)． x ＋2
又由(1)知，当a ＝3时，f (x ) 在[0，3) 上是减函数，当x ∈(0，3) 时，f (x )
3x 即ln(x ＋1)
23下面用数学归纳法证明a n ≤ n ＋2n ＋2
2①当n ＝1
23②设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时结论成立，即a k ≤. k ＋2k ＋2
当n ＝k ＋1时，
22k ＋222a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln⎛k ＋2＋1⎫＝ ⎝⎭2k ＋32k ＋2
33×k ＋233a k ＋1＝ln(a k ＋1) ≤ln ⎛k ＋21⎫＝ ⎝⎭3k ＋33k ＋2
23即当n ＝k ＋1时，有
根据①，②知对任何n ∈N *结论都成立．