1. 证明:若函数f (x , y ) 在有界闭区域D 上可积, 则f (x , y ) 在D 上有界. 证 设f (x , y ) 在D 上可积, 故存在D 的分割T ={σ1, σ2, , σn },使得
n
|∑f (p i ) ∆σi -I |
i =1
其中I =
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy .
若f (x , y ) 在D 上无界, 则对上述D 的分割T ={σ1, σ2, , σn },f (x , y ) 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时, 取定p i ∈σi , 令G =|∑f (p i ) ∆σi |,因f (x , y ) 在σk 无界, 存在p k ∈σk , 使得
i ≠k
|I |+G +1
进而|f (p k ) >,
∆σk
n
|∑f (p i ) ∆σi -I |=|∑f (p i ) ∆σi +f (p k ) ∆σk -I |
i =1
i ≠k
≥|f (p k ) ∆σk |-|∑f (p i ) ∆σi |-|I |>
i ≠k
|I |+G +1∆σk
⋅∆σk -G -|I |=1,
与(1)式矛盾, 故f (x , y ) 在D 上有界.
2. 若f (x , y ) 为有界闭区域D 上的非负连续函数, 且在D 上不恒为零, 则⎰⎰f (x , y ) dxdy >0.
D
证 由题设, 存在P 0(x 0, y 0) ∈D , 使f (x 0, y 0) >0, 而f (x , y ) 在D 上连续, 由连续函数的保号性, 存在
D 1⊂D , 使得f (x , y ) >
12
f (x 0, y 0), 进而有
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰⎰
D 1
f (x , y ) dxdy +
⎰⎰
D -D 1
f (x , y ) dxdy ≥
⎰⎰
D 1
f (x , y ) dxdy >
12
f (x 0, y 0) ∆D 1>0,
其中∆D 1为区域D 1的面积.
3. 若f (x , y ) 在有界闭区域D 上连续, 且在D 内任一子区域D '⊂D 上有
f (x , y ) ≡0, (x , y ) ∈D .
⎰⎰
D '
f (x , y ) d x d =y 0, 则
证 直接用題2的结论即得.
4. 设f (x , y ) 在区域D 上连续, 试将积分⎰⎰f (x , y ) dxdy 化为(直角坐标下) 不同顺序的累次积分:
D
(1) D 由不等式y ≤x , y ≥0, x +y ≤1所确定的区域;
22
解
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰
0dx ⎰f (x , y ) dy +
x
1⎰
f (x , y ) dy =
⎰
0dy y
f (x , ydx .
第一题图 第二题图 (2) D是由抛物线y =x 2与直线x +2y -3=0及x 轴所围成的区域.
10
x 0
2
解
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰dx ⎰
f (x , y ) dy +
⎰
3
3-x
1
dx ⎰
20
f (x , y ) dy =
⎰
10
dy 3-2y f (x , ydx .
5. 计算下列二重积分:
(1)⎰⎰xy d σ, 其中D 由抛物线y 2=2px 与直线x =
D
2
p 2
(p >0) 所围成的区域;
解
⎰⎰xy
D
2
dxdy =
⎰
p -p
p
y dy ⎰y 22xdx =
2p
2
12
⎰
p -p
5⎡⎛p ⎫2⎛y ⎫2⎤p 2
y ⎢ ⎪- .
⎪⎥dy =
22p 21⎢⎝⎭⎥⎣⎝⎭⎦
(2)
⎰⎰
D
σ(a >0), 其中D 为如图影部分
;
⎰⎰
D
=
⎰
dx ⎰
a 0
2
2
=
⎰
10
8⎫⎛
dx = ⎪a 2.
3⎭⎝
3
(3)
⎰⎰
D
σ, 其中D ={(x , y ) |x +y ≤x }.
解
⎰⎰
D
=
⎰
10
dx =2⎰=
1
815
.
6. 求由坐标平面及x =2, y =3, x +y +z =4所围成的立体的体积.
解 V =
⎰⎰
D
zdxdy =
⎰
10
dx ⎰(4-x -y ) dy +
3
⎰
1
dx ⎰
2-4x 0
(4-x -y ) dy =
556
.
7. 应用格林公式计算曲线积分:⎰
2
2
AB
(e sin y -my ) dx +(e cos y -m ) dy , 其中m 为常数,AB 为由(a , 0) 到
x x
(0,0) 过圆x +y =ax 上半部的线路.
解 连接点O (0, 0) 与点A (a , 0) , 构成封闭线段O A 上, y =0, dy =0, 于是
⎰
而
OA
(e sin y -my ) dx +(e cos y -m ) dy =0,
x x
⎰
===
AO A
(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy
x
x
x x
⎰⎰⎰
A O
(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy +(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy (e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy ,
x
x
x
x
⎰
O A
(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy
x x
A O
AB
由格林公式,
⎰
故
AOA
(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy =
2
x x
⎰⎰
m dxdy =
2
m πa 8
2
,
D :x +y ≤ax
⎰
AB
(e sin y -my ) dx +(e cos y -m ) dy =
x x
m πa 8
2
.
8. 求由曲线(双纽线) (x 2+y 2) 2=a 2(x 2-y 2) 围成的面积. 解 令x =r (θ) cos θ, y =r (θ) sin θ, 代入
(x +y ) =a (x -y )
2
2
2
2
2
2
求得r (θ) =故曲线(x 2+y 2) 2=a 2(x 2-y 2) 的参数方程为
x =a cos θ
y =a sin θ
利用图形的对称性, 所求的面积为
S =4⋅
1
π
L
⎰2
xdy -ydx =
⎰
40
a cos 2θ=a .
22
9. 验证下列积分与路线无关, 并求其值: (1)
⎰
(x , y ) (0,0)
(2x cos y -y sin x ) dx +(2y cos x -x sin y ) dy ;
2
2
22
解 P =2x cos y -y sin x , Q =2y cos x -x sin y ,
∂P ∂y
∂P ∂y
∂Q ∂x
∂Q ∂x
=-2y sin x -2x sin y ,
=-2x sin y -2y sin x ,
=, 故积分与路线无关, 取(0,0) 到(x , y ) 的折线,
⎰
=
(x , y ) (0,0) x
(2x cos y -y sin x ) dx +(2y cos x -x sin y ) dy
22
⎰
2xdx +
⎰
y 0
(2y cos x -x sin y ) dy =y cos +x cos y .
2
2
2
(2)⎰
(1,2) (2,1)
ydx -xdy
x y x
2
2
, 沿在右半两面的路线; 1x
解 P =, Q =-, 则
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
=
y ⎛y ⎫ydx -xdy
积分与路线无关. 又即为u (x , y ) =-, d -=, ⎪22
x x x x ⎝⎭
1
ydx -xdy
x
2
的原函数, 故⎰
(1,2) (2,1)
ydx -xdy
x
2
3⎛y ⎫
= -⎪=-.
2⎝x ⎭(2,1)
(1,2)
10. 求下列全微分的原函数:
(1)(x 2+2xy -y 2) dx +(x 2-2xy -y 2) dy ; 解 P =x 2+2xy -y 2, Q =x 2-2xy -y
(x , y ) (0,0
2
2
2
∂P ∂Q
==∂y ∂x
2
, 其原函数为 2x -(y 故积分与路线无关) ,
2
2
u (x , y ) =
=
⎰
(x +2xy -y ) dx +(x -2xy -y ) dy
⎰
x
x dx +
⎰
y 0
(x -2xy -y dy =
22
x
3
3
+x y -xy -
22
y
3
.
3
(2) e x [e y (x -y +2) +y ]dx +e x [e y (x -y ) +1]dy . 解 P =e x [e y (x -无关, 其原函数为 u (x , y ) =
=
y +2) +
y ], Q =
x
e [e (-x
y
+) y
∂P ∂Q x y
=d =e [e (x -y +1+) ∂y ∂x
故积分与路线1],
⎰⎰
(x , y ) (0,0) y
e [e (x -y +2) +y ]dx +e [e (x -y ) +1]dy
y
x y x y
(1-ye ) dy +
x +y
⎰
x 0
e [e (x -y +2) +y ]dy
x
x y
=(x -y +1) e +ye +1.
11. 用极坐标计算二重积分:
(1)
⎰⎰sin
D
, 其中D ={(x , y ) |π
2
≤x +y ≤4π}.
222
解: 在极坐标系下,D 可以表示为
D '={(r , θ) |π≤r ≤2π, 0≤θ≤2π}.
所以
⎰⎰sin
D
=
⎰
2π0
d θ⎰
2π
π
r sin rdr =-6π.
2
(2)
⎰⎰(x +y ) dxdy , 其中D ={(x , y ) |x +y ≤x +y }.
D
22
解: 由x 2+y 2≤x +
y 得(x -
12
) +(y -
2
12
) ≤2
2
. 作广义极坐标变换:
2
1⎧x =+r cos θ⎪2, ⎨1
⎪y =+r sin θ⎩2
则
∂(x , y ) ∂(r , θ)
=r , D 变换为
D '={(r , θ) |0≤r ≤
2
, 0≤θ≤2π},
所以
⎰⎰(x +y ) dxdy =
D
⎰
θ
d θ0
+r cos θ+r sin θ) rdr =
π
2
.
12. 作适当的变换, 计算积分:
(1)⎰⎰(x +y ) sin(x -y ) dxdy , D ={(x , y ) |0≤x +y ≤π, 0≤x -y ≤π};
D
解: 作变换
1⎧
x =(u +v ) ⎪⎧u =x +y ⎪2, 或⎨, ⎨
v =x -y 1⎩⎪y =(u -v )
⎪⎩2
则
∂(x , y ) ∂(u , v )
=
12
, D 变换为:D '={(u , v ) |0≤u ≤π, 0≤v ≤π},进而
⎰⎰(x +y ) sin(x -y ) dxdy =⎰⎰u sin v ⋅2dudv =2⎰
D
D '
11
π
sin vdv ⎰udu =
π
π
2
2
.
y
(2)⎰⎰e
D
x +y
dxdy , D ={(x , y ) |x +y ≤1, x ≥0, y ≥0}.
解: 作变换
⎧u =y ⎧x =v -u , 或⎨, ⎨
v =x +y y =u ⎩⎩
则
∂(x , y ) ∂(u , v )
=1, D 变换为:D '={(u , v ) |0≤u ≤v , 0≤v ≤1},于是
y
u
⎰⎰e
D
x +y
dxdy =
v
⎰⎰e dudv =D '
⎰
10
dv ⎰e v du =
v
u
12
(e -1).
13. 求由曲面所围成的立体V 的体积: (1) V由z =x 2+y 2, z =x +y 围成的立体.
解: 立体V 在xo y 平面上的投影区域为D ={(x , y ) |x 2+y 2≤x +y },作广义极坐标变换:
1⎧x =+r cos θ⎪2, ⎨1
⎪y =+r sin θ⎩2
则
∂(x , y ) ∂(r , θ)
=r , D 变换为
D '={(r , θ) |0≤r ≤
2
, 0≤θ≤2π},
所以
⎛12⎫
V =⎰⎰[(x +y ) -(x +y )]dxdy =⎰⎰ -r ⎪rdrd θ=
2⎭D D '⎝
2
2
⎰
2π0
d θ⎰
π12⎫
-r rdr =. ⎪
8⎝2⎭
(2) V 由曲面z =
2
x
2
4
+
y
2
9
, 2z =
x
2
4
+
y
2
9
围成
2
2
⎧x =2r cos θ∂(x , y )
, =6r , 区域D '变换为 解: 立体V 在xo y 平面上的投影区域为D :+≤4. 令⎨
∂(r , θ) 49⎩y =3r sin θ
x y
D '={(r , θ) |0≤r ≤2, 0≤θ≤2π},所求的立体体积为
V =⎰⎰D 22
1⎛x y ⎫⎤
+⎪⎥dxdy =2⎝49⎭⎥
⎦2π2⎛12⎫13⎫⎛2
r -r 6rdrd θ=6d θr -r ⎪dr =8π. ⎪ ⎰⎰ ⎰⎰0022⎭⎝⎭D '⎝
1. 证明:若函数f (x , y ) 在有界闭区域D 上可积, 则f (x , y ) 在D 上有界. 证 设f (x , y ) 在D 上可积, 故存在D 的分割T ={σ1, σ2, , σn },使得
n
|∑f (p i ) ∆σi -I |
i =1
其中I =
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy .
若f (x , y ) 在D 上无界, 则对上述D 的分割T ={σ1, σ2, , σn },f (x , y ) 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时, 取定p i ∈σi , 令G =|∑f (p i ) ∆σi |,因f (x , y ) 在σk 无界, 存在p k ∈σk , 使得
i ≠k
|I |+G +1
进而|f (p k ) >,
∆σk
n
|∑f (p i ) ∆σi -I |=|∑f (p i ) ∆σi +f (p k ) ∆σk -I |
i =1
i ≠k
≥|f (p k ) ∆σk |-|∑f (p i ) ∆σi |-|I |>
i ≠k
|I |+G +1∆σk
⋅∆σk -G -|I |=1,
与(1)式矛盾, 故f (x , y ) 在D 上有界.
2. 若f (x , y ) 为有界闭区域D 上的非负连续函数, 且在D 上不恒为零, 则⎰⎰f (x , y ) dxdy >0.
D
证 由题设, 存在P 0(x 0, y 0) ∈D , 使f (x 0, y 0) >0, 而f (x , y ) 在D 上连续, 由连续函数的保号性, 存在
D 1⊂D , 使得f (x , y ) >
12
f (x 0, y 0), 进而有
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰⎰
D 1
f (x , y ) dxdy +
⎰⎰
D -D 1
f (x , y ) dxdy ≥
⎰⎰
D 1
f (x , y ) dxdy >
12
f (x 0, y 0) ∆D 1>0,
其中∆D 1为区域D 1的面积.
3. 若f (x , y ) 在有界闭区域D 上连续, 且在D 内任一子区域D '⊂D 上有
f (x , y ) ≡0, (x , y ) ∈D .
⎰⎰
D '
f (x , y ) d x d =y 0, 则
证 直接用題2的结论即得.
4. 设f (x , y ) 在区域D 上连续, 试将积分⎰⎰f (x , y ) dxdy 化为(直角坐标下) 不同顺序的累次积分:
D
(1) D 由不等式y ≤x , y ≥0, x +y ≤1所确定的区域;
22
解
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰
0dx ⎰f (x , y ) dy +
x
1⎰
f (x , y ) dy =
⎰
0dy y
f (x , ydx .
第一题图 第二题图 (2) D是由抛物线y =x 2与直线x +2y -3=0及x 轴所围成的区域.
10
x 0
2
解
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰dx ⎰
f (x , y ) dy +
⎰
3
3-x
1
dx ⎰
20
f (x , y ) dy =
⎰
10
dy 3-2y f (x , ydx .
5. 计算下列二重积分:
(1)⎰⎰xy d σ, 其中D 由抛物线y 2=2px 与直线x =
D
2
p 2
(p >0) 所围成的区域;
解
⎰⎰xy
D
2
dxdy =
⎰
p -p
p
y dy ⎰y 22xdx =
2p
2
12
⎰
p -p
5⎡⎛p ⎫2⎛y ⎫2⎤p 2
y ⎢ ⎪- .
⎪⎥dy =
22p 21⎢⎝⎭⎥⎣⎝⎭⎦
(2)
⎰⎰
D
σ(a >0), 其中D 为如图影部分
;
⎰⎰
D
=
⎰
dx ⎰
a 0
2
2
=
⎰
10
8⎫⎛
dx = ⎪a 2.
3⎭⎝
3
(3)
⎰⎰
D
σ, 其中D ={(x , y ) |x +y ≤x }.
解
⎰⎰
D
=
⎰
10
dx =2⎰=
1
815
.
6. 求由坐标平面及x =2, y =3, x +y +z =4所围成的立体的体积.
解 V =
⎰⎰
D
zdxdy =
⎰
10
dx ⎰(4-x -y ) dy +
3
⎰
1
dx ⎰
2-4x 0
(4-x -y ) dy =
556
.
7. 应用格林公式计算曲线积分:⎰
2
2
AB
(e sin y -my ) dx +(e cos y -m ) dy , 其中m 为常数,AB 为由(a , 0) 到
x x
(0,0) 过圆x +y =ax 上半部的线路.
解 连接点O (0, 0) 与点A (a , 0) , 构成封闭线段O A 上, y =0, dy =0, 于是
⎰
而
OA
(e sin y -my ) dx +(e cos y -m ) dy =0,
x x
⎰
===
AO A
(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy
x
x
x x
⎰⎰⎰
A O
(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy +(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy (e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy ,
x
x
x
x
⎰
O A
(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy
x x
A O
AB
由格林公式,
⎰
故
AOA
(e sin y -m y ) dx +(e cos y -m ) dy =
2
x x
⎰⎰
m dxdy =
2
m πa 8
2
,
D :x +y ≤ax
⎰
AB
(e sin y -my ) dx +(e cos y -m ) dy =
x x
m πa 8
2
.
8. 求由曲线(双纽线) (x 2+y 2) 2=a 2(x 2-y 2) 围成的面积. 解 令x =r (θ) cos θ, y =r (θ) sin θ, 代入
(x +y ) =a (x -y )
2
2
2
2
2
2
求得r (θ) =故曲线(x 2+y 2) 2=a 2(x 2-y 2) 的参数方程为
x =a cos θ
y =a sin θ
利用图形的对称性, 所求的面积为
S =4⋅
1
π
L
⎰2
xdy -ydx =
⎰
40
a cos 2θ=a .
22
9. 验证下列积分与路线无关, 并求其值: (1)
⎰
(x , y ) (0,0)
(2x cos y -y sin x ) dx +(2y cos x -x sin y ) dy ;
2
2
22
解 P =2x cos y -y sin x , Q =2y cos x -x sin y ,
∂P ∂y
∂P ∂y
∂Q ∂x
∂Q ∂x
=-2y sin x -2x sin y ,
=-2x sin y -2y sin x ,
=, 故积分与路线无关, 取(0,0) 到(x , y ) 的折线,
⎰
=
(x , y ) (0,0) x
(2x cos y -y sin x ) dx +(2y cos x -x sin y ) dy
22
⎰
2xdx +
⎰
y 0
(2y cos x -x sin y ) dy =y cos +x cos y .
2
2
2
(2)⎰
(1,2) (2,1)
ydx -xdy
x y x
2
2
, 沿在右半两面的路线; 1x
解 P =, Q =-, 则
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
=
y ⎛y ⎫ydx -xdy
积分与路线无关. 又即为u (x , y ) =-, d -=, ⎪22
x x x x ⎝⎭
1
ydx -xdy
x
2
的原函数, 故⎰
(1,2) (2,1)
ydx -xdy
x
2
3⎛y ⎫
= -⎪=-.
2⎝x ⎭(2,1)
(1,2)
10. 求下列全微分的原函数:
(1)(x 2+2xy -y 2) dx +(x 2-2xy -y 2) dy ; 解 P =x 2+2xy -y 2, Q =x 2-2xy -y
(x , y ) (0,0
2
2
2
∂P ∂Q
==∂y ∂x
2
, 其原函数为 2x -(y 故积分与路线无关) ,
2
2
u (x , y ) =
=
⎰
(x +2xy -y ) dx +(x -2xy -y ) dy
⎰
x
x dx +
⎰
y 0
(x -2xy -y dy =
22
x
3
3
+x y -xy -
22
y
3
.
3
(2) e x [e y (x -y +2) +y ]dx +e x [e y (x -y ) +1]dy . 解 P =e x [e y (x -无关, 其原函数为 u (x , y ) =
=
y +2) +
y ], Q =
x
e [e (-x
y
+) y
∂P ∂Q x y
=d =e [e (x -y +1+) ∂y ∂x
故积分与路线1],
⎰⎰
(x , y ) (0,0) y
e [e (x -y +2) +y ]dx +e [e (x -y ) +1]dy
y
x y x y
(1-ye ) dy +
x +y
⎰
x 0
e [e (x -y +2) +y ]dy
x
x y
=(x -y +1) e +ye +1.
11. 用极坐标计算二重积分:
(1)
⎰⎰sin
D
, 其中D ={(x , y ) |π
2
≤x +y ≤4π}.
222
解: 在极坐标系下,D 可以表示为
D '={(r , θ) |π≤r ≤2π, 0≤θ≤2π}.
所以
⎰⎰sin
D
=
⎰
2π0
d θ⎰
2π
π
r sin rdr =-6π.
2
(2)
⎰⎰(x +y ) dxdy , 其中D ={(x , y ) |x +y ≤x +y }.
D
22
解: 由x 2+y 2≤x +
y 得(x -
12
) +(y -
2
12
) ≤2
2
. 作广义极坐标变换:
2
1⎧x =+r cos θ⎪2, ⎨1
⎪y =+r sin θ⎩2
则
∂(x , y ) ∂(r , θ)
=r , D 变换为
D '={(r , θ) |0≤r ≤
2
, 0≤θ≤2π},
所以
⎰⎰(x +y ) dxdy =
D
⎰
θ
d θ0
+r cos θ+r sin θ) rdr =
π
2
.
12. 作适当的变换, 计算积分:
(1)⎰⎰(x +y ) sin(x -y ) dxdy , D ={(x , y ) |0≤x +y ≤π, 0≤x -y ≤π};
D
解: 作变换
1⎧
x =(u +v ) ⎪⎧u =x +y ⎪2, 或⎨, ⎨
v =x -y 1⎩⎪y =(u -v )
⎪⎩2
则
∂(x , y ) ∂(u , v )
=
12
, D 变换为:D '={(u , v ) |0≤u ≤π, 0≤v ≤π},进而
⎰⎰(x +y ) sin(x -y ) dxdy =⎰⎰u sin v ⋅2dudv =2⎰
D
D '
11
π
sin vdv ⎰udu =
π
π
2
2
.
y
(2)⎰⎰e
D
x +y
dxdy , D ={(x , y ) |x +y ≤1, x ≥0, y ≥0}.
解: 作变换
⎧u =y ⎧x =v -u , 或⎨, ⎨
v =x +y y =u ⎩⎩
则
∂(x , y ) ∂(u , v )
=1, D 变换为:D '={(u , v ) |0≤u ≤v , 0≤v ≤1},于是
y
u
⎰⎰e
D
x +y
dxdy =
v
⎰⎰e dudv =D '
⎰
10
dv ⎰e v du =
v
u
12
(e -1).
13. 求由曲面所围成的立体V 的体积: (1) V由z =x 2+y 2, z =x +y 围成的立体.
解: 立体V 在xo y 平面上的投影区域为D ={(x , y ) |x 2+y 2≤x +y },作广义极坐标变换:
1⎧x =+r cos θ⎪2, ⎨1
⎪y =+r sin θ⎩2
则
∂(x , y ) ∂(r , θ)
=r , D 变换为
D '={(r , θ) |0≤r ≤
2
, 0≤θ≤2π},
所以
⎛12⎫
V =⎰⎰[(x +y ) -(x +y )]dxdy =⎰⎰ -r ⎪rdrd θ=
2⎭D D '⎝
2
2
⎰
2π0
d θ⎰
π12⎫
-r rdr =. ⎪
8⎝2⎭
(2) V 由曲面z =
2
x
2
4
+
y
2
9
, 2z =
x
2
4
+
y
2
9
围成
2
2
⎧x =2r cos θ∂(x , y )
, =6r , 区域D '变换为 解: 立体V 在xo y 平面上的投影区域为D :+≤4. 令⎨
∂(r , θ) 49⎩y =3r sin θ
x y
D '={(r , θ) |0≤r ≤2, 0≤θ≤2π},所求的立体体积为
V =⎰⎰D 22
1⎛x y ⎫⎤
+⎪⎥dxdy =2⎝49⎭⎥
⎦2π2⎛12⎫13⎫⎛2
r -r 6rdrd θ=6d θr -r ⎪dr =8π. ⎪ ⎰⎰ ⎰⎰0022⎭⎝⎭D '⎝