一初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。注意点

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

（一）、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地

图1-1

去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD。

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段

图

1-2

的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。

例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD ，DA=DB，求证DC ⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。

例3．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD

分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？

练习 1．

已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=

图1-4

2∠C ，求证：AB+BD=AC

2．

已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC，

求证：AE=2CE

3．

已知：在△ABC 中，AB>AC,AD为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。

求证：BM-CM>AB-AC

4．已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、

DC 。求证：BD+CD>AB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180

分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。

图2-1

例2．如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD 。求证：BC=AB+AD

分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3．已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD ⊥OA ，

如果PC=4，则PD=（）

A 4 B 3 C 2 D 1

C A

图

2-2

图2-3

图

2-4

2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。 3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE ⊥AB ，

AE=2（AB+AD）. 求证：∠D+∠B=180 。

4. 已知：如图2-6, 在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，

F 为BC

上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF。 5．

已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD⊥AB ，垂足为D ，AE

平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB交BC 于H 。求证CF=BH。

图

2-6

图2-7

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH=

（AB-AC ） 2

分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。

例2．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长

交AE 于M 。

求证：AM=ME。

分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。

例3. 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。求证：AM=

（AB+AC） 2

分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△AB

D 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=EC ，另外

由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可

尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=CF 即可。

练习： 1．

已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分

线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。

2．

已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF

于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=BC

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

C I

图4-1

图4-2

例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD－CD 。

例5 如图，BC>BA，BD 平分∠ABC ，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。

例6 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD。练习：

1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC。求证：△ABC 是直角三角形。

2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC ⊥AC

A C

B A

B E

C C

3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD

4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD

D 三由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）

将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM 中，MB+MD>BD；（2）在△CEN 中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）

延长BD 交AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）

GF+FC>GE+CE（同上）（2） DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内

N C

图1-1

图1-2

图2-1

角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。

因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；

证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC>∠DEC ，同理∠DEC>∠BAC ，∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接AD ，并廷长交BC 于F ，这时∠BDF 是△ABD 的外角，∴∠BDF>∠BAD ，同理，∠CDF>∠CAD ，∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD ，即：∠BDC>∠BAC 。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2, ∠3=∠4, 求证：BE+CF>EF

。

BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE ，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，

B E

D 图3 1

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF 移到同个三角形中。

证明：在DN 上截取DN=DB，连接NE ，NF ，则DN=DC，在△DBE 和△NDE 中： DN=DB（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） ED=ED（公共边） ∴△DBE ≌△NDE （SAS ）

∴BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF

在△EFN 中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC 中，AB>AC，∠1=∠2，P 为AD 上任一点

求证：AB-AC>PB-PC。

要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为

欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC ，故可在AB 上截取AN 等于AC ，得AB-AC=BN，再连接PN ，则PC=PN，又在△PNB 中，PB-PN

即：AB-AC>PB-PC。

证明：（截长法）

在AB 上截取AN=AC连接PN, 在△APN 和△APC 中（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边）

∴△APN ≌△APC （SAS ）, ∴PC=PN（全等三角形对应边相等） ∵在△BPN 中，有PB-PN延长AC 至M ，使AM=AB，连接PM ，

P D

在△ABP 和△AMP 中

图6 1

（辅助线作法） ∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边） ∴△ABP ≌△AMP （SAS ）

∴PB=PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM 中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。

例1．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

E C

例2如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º

E B

例3已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。求证：BC=AB+DC。

例4如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB

于M ，且AM=MB。求证：CD=2DB 。

1．如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD。

B 2. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧，

BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E 。求证：BD=DE+CE

四由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD 是ΔABC 的中线，则S ΔABD =SΔACD =S ΔABC （因为ΔABD 与ΔACD 是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC 中，AD 是中线，延长AD 到E ，使DE=AD，DF 是ΔDCE 的中线。已知ΔABC 的面积为2，求：ΔCDF 的面积。

解：因为AD 是ΔABC 的中线，所以S ΔACD =S ΔABC =×2=1，又因CD 是ΔACE 的中线，故S ΔCDE =SΔACD =1，

因DF 是ΔCDE 的中线，所以S ΔCDF =S ΔCDE =×1=。 ∴ΔCDF 的面积为。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD 中，AB=CD，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别交EF 的延长线G 、H 。求证：∠BGE=∠CHE 。

证明：连结BD ，并取BD 的中点为M ，连结ME 、MF ， ∵ME 是ΔBCD 的中位线， ∴

CD ，∴∠MEF=∠CHE ，

∵MF 是ΔABD 的中位线， ∴

AB ，∴∠MFE=∠BGE ，

∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE ，从而∠BGE=∠CHE 。

（三）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，连BC 上的中线AD=2，求BC 的长。解：延长AD 到E ，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。

在ΔACD 和ΔEBD 中， ∵AD=ED，∠ADC=∠EDB ，CD=BD，

∴ΔACD ≌ΔEBD ，∴AC=BE，从而BE=AC=3。

在ΔABE 中，因AE 2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°， ∴BD=

，故BC=2BD=2

。

例4．如图5，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是BC 边上的中线。求证：ΔABC 是等腰三角形。

证明：延长AD 到E ，使DE=AD。仿例3可证： ΔBED ≌ΔCAD ，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2， ∴∠1=∠E ，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC 是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

例5．如图6，已知梯形ABCD 中，AB//DC，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，求证：AC=BD。证明：取AB 的中点E ，连结DE 、CE ，则DE 、CE 分别为Rt ΔABD ，Rt ΔABC 斜边AB 上的中线，故DE=CE=AB ，因此∠CDE=∠DCE 。

∵AB//DC，

∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2， ∴∠1=∠2，在ΔADE 和ΔBCE 中， ∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，

∴ΔADE ≌ΔBCE ，∴AD=BC，从而梯形ABCD 是等腰梯形，因此AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。求证：BD=2CE。

证明：延长BA ，CE 交于点F ，在ΔBEF 和ΔBEC 中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF ≌ΔBEC ，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD 和ΔACF 中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD ≌ΔACF ，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE 是等腰ΔBCF 的底边CF 的中线。

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

例一：如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF 。

证明：廷长ED 至M ，使DM=DE，连接CM ，MF 。在△BDE 和△CDM 中，

BD=CD（中点定义） ∠1=∠5（对顶角相等） ED=MD（辅助线作法） ∴△BDE ≌△CDM （SAS ）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知） ∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义） ∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90°

E F

图4 1

∴∠FDM=∠EDF=90° 在△EDF 和△MDF 中

ED=MD

（辅助线作法） ∠EDF=∠FDM （已证） DF=DF（公共边） ∴△EDF ≌△MDF （SAS ）

∴EF=MF（全等三角形对应边相等）

∵在△CMF 中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF

上题也可加倍FD ，证法同上。

当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

例二：如图5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD。

分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

证明：延长AD 至E ，使DE=AD，连接BE ，CE ∵AD 为△ABC 的中线（已知） ∴BD=CD（中线定义）在△ACD 和△EBD 中 BD=CD（已证）

∠1=∠2（对顶角相等） AD=ED（辅助线作法） ∴△ACD ≌△EBD （SAS ）

∴BE=CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE 中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB+AC>2AD。练习：

1 如图，AB=6，AC=8，D 为BC 的中点，求AD 的取值范围。

图5 1B

D A

2 如图，AB=CD，E 为BC 的中点，∠BAC=∠BCA ，求证：AD=2AE。

3 如图，AB=AC，AD=AE，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM ⊥DC 。

D A 4，已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。

5．已知：如图AD 为△ABC 的中线，AE=EF

，求证：BF=AC

D C

E 图5 2

五全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种： 1)

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，

思维模式是全等变换中的“对折”．

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全

等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用

的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式

是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段

相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

（一）、倍长中线（线段）造全等

1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.

2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE +CF与EF 的大小.

C A

3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.

B D E C

中考应用

（09崇文二模）以∆ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ∆ABD 和等腰Rt ∆ACE ，∠BAD =∠CAE =90︒, 连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：

AM 与DE 的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当∆ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，

线段AM 与DE 的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt ∆

ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ(0

︒

（二）、截长补短

1. 如图，∆ABC 中，AB=2AC，AD 平分∠BAC ，且AD=BD，求证：CD ⊥AC

2：如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB, ∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD

3：如图，已知在 ABC 内，∠BAC =60，∠C =40，P ，Q 分别在BC ，CA

上，并且AP ，BQ 分别是∠BAC ，∠ABC =AB+BP

4：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ，求证：

∠A +∠C =1800

5:如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2

，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC

中考应用（08海淀一模）

（三）、平移变换

1.AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为BC 周长记为

P A ，△E

P B . 求证P B ＞P A .

2：如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

B D E

（四）、借助角平分线造全等

1：如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE =OD

2：（06郑州市中考题）如图，△ABC 中，A

D 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE

的长.

中考应用

（06北京中考）如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以O

P 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，

请问，你在(1)M

图①

理由。

D C

图② (第23题图)

P N

图③

（五）、旋转

1：正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数.

D F

2：D 为等腰Rt ∆ABC 斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。（1）（2）

当∠MDN 绕点D 转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF 的面积。

3. 如图，∆ABC 是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且

∠BDC =1200，以D 为顶点做一个600角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于

点N ，连接MN ，则∆AMN 的周长为；

中考应用

（07佳木斯）已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB =BC ，

∠MBN 绕B 点旋转，∠ABC =120 ，∠MBN =60 ，它的两边分别交AD ，DC （或

它们的延长线）于E ，F ．

当∠MBN 绕B 点旋转到AE =CF 时（如图1），易证AE +CF =EF ．当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

D C C F （西城

使P 、D N N E

M 两点落在直线AB 的两侧.

（图1）

（图2）

（图3）

(1)如图, 当∠APB=45°时, 求AB 及PD 的长;

(2)当∠APB 变化, 且其它条件不变时, 求PD 的最大值, 及相应∠APB 的大小.

（09崇文一模）在等边∆ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为 ABC 外一点，且∠MDN =60, ∠BDC =120,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及∆AMN 的周长Q 与等边

∆ABC 的周长L 的关系．

︒

图1 图2 图3

（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时

= ； L

（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．

一初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形

二由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

与角有关的辅助线

（一）、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地

图1-1

去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD。

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段

图

1-2

例3．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD

练习 1．

已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=

图1-4

2∠C ，求证：AB+BD=AC

2．

已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC，

求证：AE=2CE

3．

已知：在△ABC 中，AB>AC,AD为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。

求证：BM-CM>AB-AC

4．已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、

DC 。求证：BD+CD>AB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180

分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。

图2-1

例2．如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD 。求证：BC=AB+AD

分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3．已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD ⊥OA ，

如果PC=4，则PD=（）

A 4 B 3 C 2 D 1

C A

图

2-2

图2-3

图

2-4

2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。 3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE ⊥AB ，

AE=2（AB+AD）. 求证：∠D+∠B=180 。

4. 已知：如图2-6, 在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，

F 为BC

上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF。 5．

已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD⊥AB ，垂足为D ，AE

平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB交BC 于H 。求证CF=BH。

图

2-6

图2-7

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH=

（AB-AC ） 2

分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。

例2．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长

交AE 于M 。

求证：AM=ME。

分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。

例3. 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。求证：AM=

（AB+AC） 2

分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△AB

D 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=EC ，另外

由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可

尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=CF 即可。

练习： 1．

已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分

线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。

2．

已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF

于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=BC

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

C I

图4-1

图4-2

例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD－CD 。

例5 如图，BC>BA，BD 平分∠ABC ，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。

例6 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD。练习：

1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC。求证：△ABC 是直角三角形。

2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC ⊥AC

A C

B A

B E

C C

3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD

4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD

D 三由线段和差想到的辅助线

口诀：

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

例1、已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）

将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM 中，MB+MD>BD；（2）在△CEN 中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）

延长BD 交AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）

GF+FC>GE+CE（同上）（2） DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内

N C

图1-1

图1-2

图2-1

例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。

因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2, ∠3=∠4, 求证：BE+CF>EF

。

BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE ，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，

B E

D 图3 1

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF 移到同个三角形中。

证明：在DN 上截取DN=DB，连接NE ，NF ，则DN=DC，在△DBE 和△NDE 中： DN=DB（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） ED=ED（公共边） ∴△DBE ≌△NDE （SAS ）

∴BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF

在△EFN 中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC 中，AB>AC，∠1=∠2，P 为AD 上任一点

求证：AB-AC>PB-PC。

要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为

欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC ，故可在AB 上截取AN 等于AC ，得AB-AC=BN，再连接PN ，则PC=PN，又在△PNB 中，PB-PN

即：AB-AC>PB-PC。

证明：（截长法）

在AB 上截取AN=AC连接PN, 在△APN 和△APC 中（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边）

∴△APN ≌△APC （SAS ）, ∴PC=PN（全等三角形对应边相等） ∵在△BPN 中，有PB-PN延长AC 至M ，使AM=AB，连接PM ，

P D

在△ABP 和△AMP 中

图6 1

（辅助线作法） ∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边） ∴△ABP ≌△AMP （SAS ）

∴PB=PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM 中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。

例1．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

E C

例2如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º

E B

例3已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。求证：BC=AB+DC。

例4如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB

于M ，且AM=MB。求证：CD=2DB 。

1．如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD。

B 2. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧，

BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E 。求证：BD=DE+CE

四由中点想到的辅助线

口诀：

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD 是ΔABC 的中线，则S ΔABD =SΔACD =S ΔABC （因为ΔABD 与ΔACD 是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC 中，AD 是中线，延长AD 到E ，使DE=AD，DF 是ΔDCE 的中线。已知ΔABC 的面积为2，求：ΔCDF 的面积。

解：因为AD 是ΔABC 的中线，所以S ΔACD =S ΔABC =×2=1，又因CD 是ΔACE 的中线，故S ΔCDE =SΔACD =1，

因DF 是ΔCDE 的中线，所以S ΔCDF =S ΔCDE =×1=。 ∴ΔCDF 的面积为。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD 中，AB=CD，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别交EF 的延长线G 、H 。求证：∠BGE=∠CHE 。

证明：连结BD ，并取BD 的中点为M ，连结ME 、MF ， ∵ME 是ΔBCD 的中位线， ∴

CD ，∴∠MEF=∠CHE ，

∵MF 是ΔABD 的中位线， ∴

AB ，∴∠MFE=∠BGE ，

∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE ，从而∠BGE=∠CHE 。

（三）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，连BC 上的中线AD=2，求BC 的长。解：延长AD 到E ，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。

在ΔACD 和ΔEBD 中， ∵AD=ED，∠ADC=∠EDB ，CD=BD，

∴ΔACD ≌ΔEBD ，∴AC=BE，从而BE=AC=3。

在ΔABE 中，因AE 2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°， ∴BD=

，故BC=2BD=2

。

例4．如图5，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是BC 边上的中线。求证：ΔABC 是等腰三角形。

证明：延长AD 到E ，使DE=AD。仿例3可证： ΔBED ≌ΔCAD ，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2， ∴∠1=∠E ，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC 是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

∵AB//DC，

∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2， ∴∠1=∠2，在ΔADE 和ΔBCE 中， ∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，

∴ΔADE ≌ΔBCE ，∴AD=BC，从而梯形ABCD 是等腰梯形，因此AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。求证：BD=2CE。

在ΔABD 和ΔACF 中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD ≌ΔACF ，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE 是等腰ΔBCF 的底边CF 的中线。

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

例一：如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF 。

证明：廷长ED 至M ，使DM=DE，连接CM ，MF 。在△BDE 和△CDM 中，

E F

图4 1

∴∠FDM=∠EDF=90° 在△EDF 和△MDF 中

ED=MD

（辅助线作法） ∠EDF=∠FDM （已证） DF=DF（公共边） ∴△EDF ≌△MDF （SAS ）

∴EF=MF（全等三角形对应边相等）

∵在△CMF 中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF

上题也可加倍FD ，证法同上。

当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

例二：如图5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD，连接BE ，CE ∵AD 为△ABC 的中线（已知） ∴BD=CD（中线定义）在△ACD 和△EBD 中 BD=CD（已证）

∠1=∠2（对顶角相等） AD=ED（辅助线作法） ∴△ACD ≌△EBD （SAS ）

∴BE=CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE 中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB+AC>2AD。练习：

1 如图，AB=6，AC=8，D 为BC 的中点，求AD 的取值范围。

图5 1B

D A

2 如图，AB=CD，E 为BC 的中点，∠BAC=∠BCA ，求证：AD=2AE。

3 如图，AB=AC，AD=AE，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM ⊥DC 。

D A 4，已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。

5．已知：如图AD 为△ABC 的中线，AE=EF

，求证：BF=AC

D C

E 图5 2

五全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

三角形中常见辅助线的作法：

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，

思维模式是全等变换中的“对折”．

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全

等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用

的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式

是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

（一）、倍长中线（线段）造全等

1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.

2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE +CF与EF 的大小.

C A

3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.

B D E C

中考应用

（09崇文二模）以∆ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ∆ABD 和等腰Rt ∆ACE ，∠BAD =∠CAE =90︒, 连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：

AM 与DE 的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当∆ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，

线段AM 与DE 的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt ∆

ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ(0

︒

（二）、截长补短

1. 如图，∆ABC 中，AB=2AC，AD 平分∠BAC ，且AD=BD，求证：CD ⊥AC

2：如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB, ∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD

3：如图，已知在 ABC 内，∠BAC =60，∠C =40，P ，Q 分别在BC ，CA

上，并且AP ，BQ 分别是∠BAC ，∠ABC =AB+BP

4：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ，求证：

∠A +∠C =1800

5:如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2

，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC

中考应用（08海淀一模）

（三）、平移变换

1.AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为BC 周长记为

P A ，△E

P B . 求证P B ＞P A .

2：如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

B D E

（四）、借助角平分线造全等

1：如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE =OD

2：（06郑州市中考题）如图，△ABC 中，A

D 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE

的长.

中考应用

（06北京中考）如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以O

P 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，

请问，你在(1)M

图①

理由。

D C

图② (第23题图)

P N

图③

（五）、旋转

1：正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数.

D F

2：D 为等腰Rt ∆ABC 斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。（1）（2）

当∠MDN 绕点D 转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF 的面积。

3. 如图，∆ABC 是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且

∠BDC =1200，以D 为顶点做一个600角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于

点N ，连接MN ，则∆AMN 的周长为；

中考应用

（07佳木斯）已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB =BC ，

∠MBN 绕B 点旋转，∠ABC =120 ，∠MBN =60 ，它的两边分别交AD ，DC （或

它们的延长线）于E ，F ．

D C C F （西城

使P 、D N N E

M 两点落在直线AB 的两侧.

（图1）

（图2）

（图3）

(1)如图, 当∠APB=45°时, 求AB 及PD 的长;

(2)当∠APB 变化, 且其它条件不变时, 求PD 的最大值, 及相应∠APB 的大小.

∆ABC 的周长L 的关系．

︒

图1 图2 图3

（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时

= ； L

（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．

一 初中几何常见辅助线口诀

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