1. 某正数的平方根为 a3和 2a-93，则这个数是 ．
2. 一次函数y=kx+b，当-3≤x ≤1时，对应的y 的值为1≤y ≤9，则kb 的值为 ．
3. 满足x2-4y2=2011的整数对（x ，y ）的组数是（ ）
A 、0 B、1 C、2 D、3
4. 四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=80°，AD=AB= 12BC，CH ⊥AB 于H ．连接DH ，则∠CHD 的度数为（ ）
A 、30° B 、35° C 、40° D 、45°
5. 已知AD 是△ABC 的中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°，则∠ACB= 度．
6. 关于m 和n 的方程5m2-6mn+7n2=2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由．
7. 设p 是质数，则满足|a+b|+（a-b ）2=p的整数对（a ，b ）共有（ ）对．
A 、3 B、4 C、5 D、6
8. 能否2010写成k 个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k 的最大值；如果不能，请简述理由．
9. 某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．
10. 请你将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数码排出一个能被11整除，且最大的九位数，并且简述排数的过程．
解析
1. 首先根据平方根的定义可以列出方程 a3+ 2a-93=0，然后解出a 的值，最后代入为 a3或 2a-93中即可解决问题．解答：解：依题意得： a3+ 2a-93=0
即a+2a-9=0
∴a=3
∴ a3=- 2a-93=1
∴这个数为1．
故填1．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2. 一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．解答：解：由一次函数的性质知，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以得 {-3k+b=1k+b=9，
解得k=2，b=7．即kb=14；
当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，所以得 {-3k+b=9k+b=1，
解得k=-2，b=3．即kb=-6．
所以kb 的值为14或-6．点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数，再解答，需同学们熟练掌握．
3. 由平方差公式可知x2-4y2=（x+2y）（x-2y ），（x+2y）与 （x-2y ）同为奇数或者偶数，将2011分为两个奇数的积，分别解方程组即可．解答：解：∵2011=1×2011=（-1）×（-2011）， ∴（x+2y），（x-2y ）分别可取下列数对
（1，2011），（2011，1），（-1，-2011），（-2011，-1），
∴ {x+2y=1x-2y=2011，
解得： {x=1006y=-502.5不合题意舍去，
∴ {x+2y=2011x-2y=1，
解得： {x=1006y=-502.5不合题意舍去，
∴ {x+2y=-2011x-2y=-1，
解得： {x=-1006y=502.5不合题意舍去，
∴ {x+2y=-1x-2y=-2011，
解得： {x=-1006y=502.5不合题意舍去，
由此可得方程有0组整数解．
故选：A ．点评：此题考查了平方差公式的实际运用，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同．
5. 设AE=x，
过A 作AE ⊥BC 于E ，
∵AE ⊥BC ，
∴∠AED=∠AEC=90°，
∵∠ADC=45°，
∴∠DAE=180°-90°-45°=45°=∠ADE ，
∴AE=DE=x，
∵∠B=30°，
∴AB=2x，
由勾股定理得：BE= 3x，
∴BD=DC= 3x-x，
∴CE= 3x-x+x= 3x，
∵tan ∠ACB= AECE= x3x= 33，
∴∠ACB=30°，
故答案为：30．
6. 首先假设此方程有整数解，然后化5m2-6mn+7n2=2011为：4m2+（m-3n ）2-2n2=2011，由奇数的平方除以4余1，偶数的平方除以4余0，可得只有m-3n 是奇数，然后分别从n 是偶数，m 是奇数与m 是偶数，n 是奇数去分析，推出矛盾，则可证得关于m 和n 的方程5m2-6mn+7n2=2011不存在整数解．解答：证明：假设此方程有整数解．
化5m2-6mn+7n2=2011为：4m2+（m-3n ）2-2n2=2011，
又∵2011是奇数，
∴只有m-3n 是奇数，
若n 是偶数，则m 就是奇数．
又∵奇数的平方除以8余1，偶数的平方除以8余0或4，
∴4m2+（m-3n ）2-2n2除以8的余数为4+1-0=5；
∵2011除以8余3．
∴这是一个矛盾；
∴m 可能为是偶数，n 就是奇数，
∵解原方程：m= 6n±36n2-20(7n2-2011)10= 3n±10055-26n25①，
∵m 是偶数，n 是奇数，
∴10055-26n2＞0，且是个平方数，
∴n2＜387，
即n ≤19，
然后将n=1，3，5，…，19代入①求解，
但无符合条件的值．
∴这也是一个矛盾．
∴原方程无整数解．点评：此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识．解题的关键只注意掌握反证法的应用与分类讨论思想的应用．
7. 因为a 、b 都是整数，所以|a+b|与（a-b ）2的奇偶性相同，所以P 为偶数，偶数中只有2是质数，所以P=2，因为|a+b|与（a-b ）2都是非负数，（a-b ）2是完全平方数所以（a-b ）2只能为0或者1．解答：解：由于a+b+a-b=2a，而2a 为偶数，推出|a+b|+（a-b ）2=P必为偶． 在质数中，唯一的偶质数只有2一个，故P=2．
则|a+b|+（a-b ）2=2，
可知：任何整数的平方最小是0，然后是1，4，9…所以此处的（a-b ）2只有0和1两个选择：
①当（a-b ）2=0，则|a+b|=2，
解得：a=b，
所以|2b|=2，|b|=1，则a=b=±1；
②（a-b ）2=1，则|a+b|=1，
解得：a-b=±1，a+b=±1，
组成4个方程组：
a-b=1
a+b=1，解之得：a=1，b=0；
a-b=1
a+b=-1，解之得：a=0，b=-1；
a-b=-1
a+b=1，解之得：a=0，b=1；
a-b=-1
a+b=-1，解之得：a=-1，b=0．
综上，符合条件的整数对（a ，b ）共有6对：（1，1）（-1，-1）（1，0）（0，-1）（0，1）（-1，0）．
故选D ．点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，解答本题的关键是判断出P 的值，再依次推导出|a+b|和（a-b ）2的值即可．
8. 先把2010分解成分解为几个质数的平方和的形式，再求出k 的值即可．解答：解：∵22+32+72+132+172+232+312=2010；
22+32+72+112+132+172+372=2010．
∴k=7．点评：本题考查的是质数与合数，能把2010分解为几个互不相等的质数的平方和的形式是解答此题的关键．
9. 根据题意通过假设的方法依次进行论证．解答：解：（1）如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半，那就无需证明成立了，
（2）如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半，那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过全部男选手总数的一半，
因此，这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数，其总数也必超过男选手总数的一半，
同样道理，可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．点评：本题主要考查了推理与论证的方法，需要考虑周全，比较简单．
10. 由于能被11整除的整数，其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数，根据这9个数字之和为45，那么奇位与偶位上的数字个数必定是：要么为4个，要么为5个，然后分情况讨论即可得出答案．解答：解：由于能被11整除的整数，其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数，但这9个数字之和为45，那么奇位与偶位上的数字个数必定是：要么为4个，要么为5个．假设奇位与偶位上的数字之和分别为a 、b ，则有：a+b=45，
可知a 、b 必定为一奇一偶，a 、b 二者中最小为1+2+3+4=10，那么a 、b 只有一种可能解：28、17，
要使组成的九位数最大，9、8、7、6、5应尽量排在前面，4、3、2、1尽量排在后面，换言之，也就是使前3个奇数位上数字尽量为9、7、5，偶位上的前两个数字尽量为8、6，再看下二者各自能否相加组合得到28和17，
（1）奇数位上的：28-（9+7+5）=7，7要拆成两个数之和，只能拆成3+4；
（2）偶数位上的：17-（8+6）=3，只能拆成1+2；
所以该九位数前五个是：98765****，后四个要最大，只能是2413．
综上得：最大的九位数为987652413．点评：本题主要考查数的整除性问题，难度较大，需要很强的逻辑思维能力，解答本题时要充分利用讨论试探的方法，对于此类题目往往不能一步到位，而需要慢慢试探着进行．
1. 某正数的平方根为 a3和 2a-93，则这个数是 ．
2. 一次函数y=kx+b，当-3≤x ≤1时，对应的y 的值为1≤y ≤9，则kb 的值为 ．
3. 满足x2-4y2=2011的整数对（x ，y ）的组数是（ ）
A 、0 B、1 C、2 D、3
4. 四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=80°，AD=AB= 12BC，CH ⊥AB 于H ．连接DH ，则∠CHD 的度数为（ ）
A 、30° B 、35° C 、40° D 、45°
5. 已知AD 是△ABC 的中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°，则∠ACB= 度．
6. 关于m 和n 的方程5m2-6mn+7n2=2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由．
7. 设p 是质数，则满足|a+b|+（a-b ）2=p的整数对（a ，b ）共有（ ）对．
A 、3 B、4 C、5 D、6
8. 能否2010写成k 个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k 的最大值；如果不能，请简述理由．
9. 某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．
10. 请你将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数码排出一个能被11整除，且最大的九位数，并且简述排数的过程．
解析
1. 首先根据平方根的定义可以列出方程 a3+ 2a-93=0，然后解出a 的值，最后代入为 a3或 2a-93中即可解决问题．解答：解：依题意得： a3+ 2a-93=0
即a+2a-9=0
∴a=3
∴ a3=- 2a-93=1
∴这个数为1．
故填1．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2. 一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．解答：解：由一次函数的性质知，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以得 {-3k+b=1k+b=9，
解得k=2，b=7．即kb=14；
当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，所以得 {-3k+b=9k+b=1，
解得k=-2，b=3．即kb=-6．
所以kb 的值为14或-6．点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数，再解答，需同学们熟练掌握．
3. 由平方差公式可知x2-4y2=（x+2y）（x-2y ），（x+2y）与 （x-2y ）同为奇数或者偶数，将2011分为两个奇数的积，分别解方程组即可．解答：解：∵2011=1×2011=（-1）×（-2011）， ∴（x+2y），（x-2y ）分别可取下列数对
（1，2011），（2011，1），（-1，-2011），（-2011，-1），
∴ {x+2y=1x-2y=2011，
解得： {x=1006y=-502.5不合题意舍去，
∴ {x+2y=2011x-2y=1，
解得： {x=1006y=-502.5不合题意舍去，
∴ {x+2y=-2011x-2y=-1，
解得： {x=-1006y=502.5不合题意舍去，
∴ {x+2y=-1x-2y=-2011，
解得： {x=-1006y=502.5不合题意舍去，
由此可得方程有0组整数解．
故选：A ．点评：此题考查了平方差公式的实际运用，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同．
5. 设AE=x，
过A 作AE ⊥BC 于E ，
∵AE ⊥BC ，
∴∠AED=∠AEC=90°，
∵∠ADC=45°，
∴∠DAE=180°-90°-45°=45°=∠ADE ，
∴AE=DE=x，
∵∠B=30°，
∴AB=2x，
由勾股定理得：BE= 3x，
∴BD=DC= 3x-x，
∴CE= 3x-x+x= 3x，
∵tan ∠ACB= AECE= x3x= 33，
∴∠ACB=30°，
故答案为：30．
6. 首先假设此方程有整数解，然后化5m2-6mn+7n2=2011为：4m2+（m-3n ）2-2n2=2011，由奇数的平方除以4余1，偶数的平方除以4余0，可得只有m-3n 是奇数，然后分别从n 是偶数，m 是奇数与m 是偶数，n 是奇数去分析，推出矛盾，则可证得关于m 和n 的方程5m2-6mn+7n2=2011不存在整数解．解答：证明：假设此方程有整数解．
化5m2-6mn+7n2=2011为：4m2+（m-3n ）2-2n2=2011，
又∵2011是奇数，
∴只有m-3n 是奇数，
若n 是偶数，则m 就是奇数．
又∵奇数的平方除以8余1，偶数的平方除以8余0或4，
∴4m2+（m-3n ）2-2n2除以8的余数为4+1-0=5；
∵2011除以8余3．
∴这是一个矛盾；
∴m 可能为是偶数，n 就是奇数，
∵解原方程：m= 6n±36n2-20(7n2-2011)10= 3n±10055-26n25①，
∵m 是偶数，n 是奇数，
∴10055-26n2＞0，且是个平方数，
∴n2＜387，
即n ≤19，
然后将n=1，3，5，…，19代入①求解，
但无符合条件的值．
∴这也是一个矛盾．
∴原方程无整数解．点评：此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识．解题的关键只注意掌握反证法的应用与分类讨论思想的应用．
7. 因为a 、b 都是整数，所以|a+b|与（a-b ）2的奇偶性相同，所以P 为偶数，偶数中只有2是质数，所以P=2，因为|a+b|与（a-b ）2都是非负数，（a-b ）2是完全平方数所以（a-b ）2只能为0或者1．解答：解：由于a+b+a-b=2a，而2a 为偶数，推出|a+b|+（a-b ）2=P必为偶． 在质数中，唯一的偶质数只有2一个，故P=2．
则|a+b|+（a-b ）2=2，
可知：任何整数的平方最小是0，然后是1，4，9…所以此处的（a-b ）2只有0和1两个选择：
①当（a-b ）2=0，则|a+b|=2，
解得：a=b，
所以|2b|=2，|b|=1，则a=b=±1；
②（a-b ）2=1，则|a+b|=1，
解得：a-b=±1，a+b=±1，
组成4个方程组：
a-b=1
a+b=1，解之得：a=1，b=0；
a-b=1
a+b=-1，解之得：a=0，b=-1；
a-b=-1
a+b=1，解之得：a=0，b=1；
a-b=-1
a+b=-1，解之得：a=-1，b=0．
综上，符合条件的整数对（a ，b ）共有6对：（1，1）（-1，-1）（1，0）（0，-1）（0，1）（-1，0）．
故选D ．点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，解答本题的关键是判断出P 的值，再依次推导出|a+b|和（a-b ）2的值即可．
8. 先把2010分解成分解为几个质数的平方和的形式，再求出k 的值即可．解答：解：∵22+32+72+132+172+232+312=2010；
22+32+72+112+132+172+372=2010．
∴k=7．点评：本题考查的是质数与合数，能把2010分解为几个互不相等的质数的平方和的形式是解答此题的关键．
9. 根据题意通过假设的方法依次进行论证．解答：解：（1）如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半，那就无需证明成立了，
（2）如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半，那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过全部男选手总数的一半，
因此，这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数，其总数也必超过男选手总数的一半，
同样道理，可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．点评：本题主要考查了推理与论证的方法，需要考虑周全，比较简单．
10. 由于能被11整除的整数，其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数，根据这9个数字之和为45，那么奇位与偶位上的数字个数必定是：要么为4个，要么为5个，然后分情况讨论即可得出答案．解答：解：由于能被11整除的整数，其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数，但这9个数字之和为45，那么奇位与偶位上的数字个数必定是：要么为4个，要么为5个．假设奇位与偶位上的数字之和分别为a 、b ，则有：a+b=45，
可知a 、b 必定为一奇一偶，a 、b 二者中最小为1+2+3+4=10，那么a 、b 只有一种可能解：28、17，
要使组成的九位数最大，9、8、7、6、5应尽量排在前面，4、3、2、1尽量排在后面，换言之，也就是使前3个奇数位上数字尽量为9、7、5，偶位上的前两个数字尽量为8、6，再看下二者各自能否相加组合得到28和17，
（1）奇数位上的：28-（9+7+5）=7，7要拆成两个数之和，只能拆成3+4；
（2）偶数位上的：17-（8+6）=3，只能拆成1+2；
所以该九位数前五个是：98765****，后四个要最大，只能是2413．
综上得：最大的九位数为987652413．点评：本题主要考查数的整除性问题，难度较大，需要很强的逻辑思维能力，解答本题时要充分利用讨论试探的方法，对于此类题目往往不能一步到位，而需要慢慢试探着进行．