２０１１年第３期总第３１３期
文章编号：１００４－７１８２（２０１１）０３－００５５－０３
导弹与航天运载技术
ＭＩＳＳＩＬＥＳＡＮＤＳＰＡＣＥＶＥＨＩＣＬＥＳ
Ｎｏ．３２０１１ＳｕｍＮｏ．３１３
基于ＡＮＳＹＳ有限元分析的模态质量计算方法
商霖
（中国运载火箭技术研究院，北京，１０００７６）
摘要：基于动能公式的演化推导，提出一种计算模态质量的新方法．该方法操作方便，快速有效，适用于任何有限元模型模态质量的计算。通过与模态质量经典公式计算结果的比较，二者数值完全一致。
关键词：模态质量・９经典公式：动能定理；质量矩阵；弹簧一质量模型中图分类号：Ｖ４１１．８
文献标识码：Ａ
ＭｏｄａｌＭａｓｓ
ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎＢａｓｅｄ
ｏｎ
ＡＮＳＹＳＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ
ＳｈａｎｇＬｉｎ
（ＣｈｉｎａＡｃａｄｅｍｙｏｆＬａｕｎｃｈＶｅｈｉｃｌｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，１０００７６）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ
ｔｈｅｅｖｏｌｖｅｍｅｎｔｏｆｋｉｎｅｔｉｃｅｎｅｒｇｙｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｏｖｅｌｍｅｔｈｏｄｔｏｃｏｍｐｕｔｅｔｈｅｍｏｄａｌｍａｓｓｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｉｓ
ｍｅｔｈｏｄ
ｉｓｓｉｍｐｌｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅ，ｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒａｎｙｍｏｄａｌｍａｓｓｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ（ＦＥＡ）ｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｆｒｏｍｔｈｉｓ
ｍｅｔｈｏｄ
Ｋｅｙ
ａｒｅ
ｔｈｅ
ｓａｌＴｌｅ
ｗｉｔｈｔｈｏｓｅｆｒｏｍｃｌａｓｓｉｃａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｅｓｔｈａｔｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｖａｌｉｄ．
ｍａｔｒｉｘ；Ｓｐｒｉｎｇｍａｓｓｍｏｄｅｌ
Ｗｏｒｄｓ：Ｍｏｄａｌｍａｓｓ；Ｃｌａｓｓｉｃａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｅｎｅｒｇｙｔｈｅｏｒｅｍ；Ｍａｓｓ
０
引言质量和模态振型计算振动系统在特定工况下的运动方程式系数和动载荷，为控制设计和载荷设计提供重要依据。由此看来，振动系统的动特性参数，如模态质量和模态刚度等在其总体设计中占据着重要的地位。
当前，振动系统动特性参数的求解主要是借助于有限元分析软件。本文即利用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件对振动系统模态质量的计算方法进行研究。模态刚度的计算方法与此类同，本文不再另作说明。
一个完整的振动系统必须包含质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵，其中质量矩阵储存着系统的动能，刚
度矩阵存储着系统的势能，阻尼矩阵则代表能量在不同系统之间的转移（如由机械能转换为热能），通过三
者的有机结合使能量不断地相互转换，由此构成系统
的运动（振动）。系统振动后的形态，称之为模态。模态是一个物理意义上的定义，对应在数学上其反应为非齐次微分方程的特征值问题。在物理坐标系下，质量矩阵和刚度矩阵不可避免地会出现耦合，这
就给方程求解带来了较大的困难。通常的做法是，在
ｌ模态质量计算方法
计算模态质量之前，首先需要对振动系统进行模态分析。在ＡＮＳＹＳ软件中，模态分析的基本流程为：
ａ）根据物理系统构建有限单元模型，包括定义单
模态坐标系下借助模态基的正交特性使得质量矩阵和刚度矩阵转换为对角矩阵，将多自由度系统解耦成为Ⅳ个单自由度系统，由此方程求解大为简化。这样得到
的对角矩阵（质量矩阵和刚度矩阵）称为模态质量阵、
元类型、单元实常数和材料模型等；
ｂ）根据实际工况设置模态分析选项，如模态提取
模态刚度阵，简称为模态质量、模态刚度。
模态质量和模态刚度等都是在模态坐标系下的定义，其只具有数学计算功能，没有实际的物理意义和
方法、提取数目、扩展数目等，为计算模态质量，分
析过程中必须打开振型正则化开关，软件自动将每阶
模态的最大位移单位化：
ｃ）模态求解并扩展，得到初始解后模态扩展将振
型写入结果文件。随后，在模态分析结果文件中提取
量纲。不过，在模态系下得到的数学参量可以通过广义反变换转化为物理系下的力学参量。比如利用模态
收稿Ｈ期：２０１０－０９．０５；修四口期：２０１ｌ坼１５
作者简介：商霖（１９７７一），男，工程师，土要研究方向为发射动力学
万方数据
５６
导弹与航天运载技术２０１１年
用于模态质量计算的基本参数，如模态频率、模态振型和质量矩阵等。
本文中，模态质量的计算方法主要有两种：基于经典模态质量公式；基于动能公式的演化。
１．１经典公式
根据定义，模态质量等于系统真实质量左乘模态
振型矩阵的转置，右乘模态振型矩阵，可表示为如下经典公式：
肘＝西７．ｍ．痧
（１）
式中
Ｍ为模态质量；掰为物理质量；痧为模态振型；
西７为模态振型的转置。
对于下述的算例１（弹簧一质量单元模型）来说，
采用经典公式（１）计算系统模态质量相当方便。因为物理质量ｍ可以根据工程经验方便给出，模态振型中可以通过模态分析直接得到，其模态质量公式相应扩
展为
Ｎ
Ｎ
Ｍ；－－Ｅｍｊ・（“另＋“，；＋嵋）＋∑ｔＪ－ｒＤ瑶＋
妒１
州
．ｖ
（２）
∑７∥ｒｏｔｙ；＋∑ｔ』・加ｆｚ；
Ｊ＝ｌ
ｊ＝ｌ
式中彪ｊ为第ｉ阶模态质量；Ⅳ为集中质量分站总数；
ｍ，为第－『分站的集中质量；Ｌ，，，，，和，：，为第，分站
集中质量绕ｘ，Ｙ和ｚ轴的转动惯量；ｕｘ。，甜，。和ｕ：。为第ｉ阶模态时第＿『分站在工，Ｙ和ｚ方向上的归一化线位移振型；，Ｄ‘。，ｒＤｆ州和ｒＤｆｚ．，为第ｉ阶模态时第－『分站
绕Ｘ，Ｙ和ｚ轴的归一化角位移振型。
对于下述的算例２（三维实体单元模型）来说，采用经典公式（１）计算其模态质量就很不方便。这是因为：ａ．工程上，复杂系统整体的质量矩阵还不能用简单公式人为地给出；ｂ．有限元分析软件中，系统整体质量矩阵的提取方法较为复杂，且要求掌握相关专业知识（质量矩阵提取方法）：ｃ。系统整体质量矩阵一般都是相当庞大的，其数据容量大到经常可以撑爆电脑
硬盘。
为简化相关工作，下面介绍一种计算模态质量的
新方法。
１．２动能演化公式
引言中提到，质量矩阵储存着系统的动能。基于此，通过对动能公式进行演化，推导得到用于计算系统模态质量的简便公式。其推导过程如下：
根据动能定理，书写系统动能公式：
Ｅ：０．５Ｖ１．ｍ．Ｖ
（３）
式中Ｅ为系统动能矩阵；Ｖ为系统速度矩阵；ｙ７为
万方数据
系统速度矩阵的转置。
引入单位矩阵，＝∞７，式（３）变化为
Ｅ＝０．５Ｖ１．咖廖７．ｍ．西痧７．Ｖ
（４）
将模态质量公式（１）代入式（４），可得：
Ｅ＝０．５Ｖ’．中．Ｍ．中’．Ｖ
（５）
将速度公式ｙ＝西．ｃｏ代入式（５），得：
Ｅ＝Ｏ．５（ｔＯ・劫１．西．Ｍ．函’．（西．ＣＯ）
（６）
式中ｔＯ为系统模态频率矩阵。
将单位矩阵∞’＝Ｊ代入式（６），得：
Ｅ＝０．５ｃｏＴ．Ｍ．∞
（７）
式中
矿为系统模态频率矩阵的转置；ｍ和矿均为对
角矩阵。由此，借助系统动能公式演化得到新的模态
质量公式为
Ｍ＝２．ＯＥＩ矿
（８）
在ＡＮＳＹＳ软件中，可以利用ＳＳＵＭ命令对
ＥＴＡＢＬＥ命令提取的单元动能数据求和以获取系统在第ｉ阶模态时的总动能巨，将系统总动能Ｅ除以ｌ，２《
即可得到模态质量Ｍ，，其中啦是振动系统的角频率。
该方法简单、高效，适用于计算包括算例１和算例２在内的任何有限单元模型的模态质量。
２质量矩阵提取方法
在ＡＮＳＹＳ有限元软件中，质量矩阵的提取主要有３种方法：ＨＢＭＡＴ命令法、用户子程序法和超单元法。其中ＨＢＭＡＴ命令方法是ＡＮＳＹＳ软件提供的提取质量矩阵的直接方法，其将质量矩阵存储为Ｈａｒｗｅｌｌ—Ｂｏｅｉｎｇ格式（大型稀疏矩阵的标准交换格式，采用索引存储方法仅记录矩阵的非零元素），需要掌握数据文件的这
种存储格式才可获取完整的质量矩阵；用户子程序法，
通过编制外部用户程序直接从木．ＦＵＬＬ文件中读取质
量矩阵，需要掌握ＡＮＳＹＳ软件的二次开发知识才可以
得到完整的质量矩阵；超单元法，利用ＡＮＳＹＳ软件提供的子结构分析功能，定义超单元，计算后列出超单元的质量矩阵即可，需要借助专业的数据读取软件（如
ＭＡＴＬＡＢ、ＯＲＧＩＮ）编程处理后方可得到质量矩阵。
基于对Ｈａｒｗｅｌｌ．Ｂｏｅｉｎｇ存储格式的研究，在ＡＮＳＹＳ软件平台上编制命令流程序获取了算例ｌ（弹
簧一质量单元模型）和算例２（三维实体单元模型）的质量矩阵，进而计算得到它们的模态质量。
３算例１——弹簧一质量单元模型
图１为某振动系统的弹簧．质量单元模型。图１中，
振动系统外部壳体采用空间梁单元ＢＥＡＭｌ８８进行离
散（图示实线），质量分布采用质量单元ＭＡＳＳ２１进行
第３期
商霖綦了ＡＮＳＹＳ有限，Ｃ分析的模态质母计算方法
表２三维实体单元模型模态参数
阶数
ｌ２３
５７
分站模拟（图示星点）。模型中，单元属性参数如几何
尺寸、材料参数和质量数据等均采用振动系统的实际数据。
Ｈｚ
模态频率
经典公式
５．７１６１４３。１５５９４１２．１２３６５
模态质量
演化公式
５．７１６１２３．１５５９３１２．１２３６０
误差
３．４９８８８×１０＿６３．１６８
８４９．５８５８７９６５．８７６１５ｌ１２０．９８８９３
６４×１０。６
４．１２４１９×１０’６
图１弹簧．质量单元模型
表１为根据图ｌ弹簧．质量单元模型经模态分析后得到的前６阶模态参数。从表１数据可见，采用经典公式（１）和演化公式（８）得到的模态质量基本一致。
表１
阶
弹簧一质量单元模型模态参数
图２三维实体单元模型
模态质量
经典公式
１．００ｌ４８００１．００ｌ４８００
模态频率
Ｈｚ
数
ｌ
演化公式
１．００ｌ４８００ｌ，００ｌ４８００
误差
Ｏ
５结语
振动系统的动特性参数是其控制设计和载荷设计的基本参数之一，在总体设计中具有重要的地位。本文基于动能公式的演化，推导得到了一种计算模态质量的新方法。利用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件对弹簧．质量单元模犁和三维实体单元模型进行模态分析，获取了模态频率、模态振型和质量矩阵等。采用经典公式和演化公式计算得到了两种模型的模态质量。通过比较这两种方法所得的模态质量数值，表明本文所提方
法合理、可信。
４３．８２９５４
２４３．８２９５４７０．４２２８７７０．４２２８７
Ｏ
３４
１５９．７３６３２１５９．７３６３２
１５９．７３５５７４．６９５２６×１０。６４．６９５２６×１０＿６
１５９．７３５５７１２６．９ｌｌ５２
５６
１２６．４３９２８１２６．９１２１１１２６．９１２ｌＩ
４．６４８９１×１０－６
１２６．４３９２８１２６．９ｌｌ５２４．６４８９１×１０‘６
４算例２——三维实体单元模型
图２为某振动系统的三维实体单元模型。根据振动系统的几何尺寸，在三维绘图软件ＰｒｏＥ中构建几何实体模型，采用１０节点实体结构单元ＳＯＬＩＤｌ８５进行自由离散分网，材料参数从材料手册中查得。
表２为根据图２三维实体单元模型经模态分析后得到的前３阶模态参数。对比表２数据可见，采用经典公式（１）和演化公式（８）所得到的模态质量基本
一致。
参考文献
１
傅志方．模态分析理论与应用【Ｍ】．上海：上海交通大学出版社，２０００．
２液体弹道导弹与运载火箭系列丛书编辑委员会．液体弹道导弹与运载火
箭系列丛书・总体设计【ＭＪ．北京：宇航出版社，１９８７．
３尹云玉．固体火箭载荷设计基础［ＭＩ．北京：中国宇航ｊ｛ｊ版社，２００７．
４
Ｗａｄａ
Ｂ
Ｋ．Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｓｐｒｉｎｇ—ｍａｓｓ
ｓｙｓｔｅｍ：ａｐｈｙｓｉｃａｌｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｌＪ］．
ＳｈｏｃｋａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎＢｕｌｌｅｔｉｎ。１９７２（４２）：２１５—２２５．
印度将在２０１１年１０月前进行３次ＰＳＬＶ火箭发射
印度空间研究组织（ＩＳＲＯ）主席拉达克里希南称，ＩＳＲＯ
ＩＳＲＯ官员称，目前由ＩＳＲＯ前主席奈尔领导的地球同步轨道卫星运载火箭（ＧＳＬＶ）故障分析委员会（针对２０１０年１２月发射ＧＳＡＴ－５Ｐ卫星失败）以及由前主席卡斯图里兰甘领导的ＧＳＬＶ项目评估和战略委员会（针对ＧＳＬＶ的未来）都已提交了各自的研究报告。拉达克里希南拒绝给出印度载人航天飞行计划的时间表，称日前首要的任务是解决ＧＳＬＶ的问题。
（葛姗姗供稿）
将在２０１１年１０月前进行３次极地轨道卫星运载火箭（ＰＳＬＶ）
的发射。
这３次发射分别为：７月，ＰＳＬＶ－Ｃ１７发射携带１２个扩展Ｃ波段转发器的ＧＳＡＴ－１２卫星；９～１０月，ＰＳＬＶ－Ｃ１８和ＰＳＬＶ－Ｃ１９分别发射Ｍｅｇｈａ—ｔｒｏｐｉｑｕｅｓ卫星（印法合作任务）和携带合成孔径雷达的ＲＩＳＡＴ－１微波遥感卫星。
万方数据
２０１１年第３期总第３１３期
文章编号：１００４－７１８２（２０１１）０３－００５５－０３
导弹与航天运载技术
ＭＩＳＳＩＬＥＳＡＮＤＳＰＡＣＥＶＥＨＩＣＬＥＳ
Ｎｏ．３２０１１ＳｕｍＮｏ．３１３
基于ＡＮＳＹＳ有限元分析的模态质量计算方法
商霖
（中国运载火箭技术研究院，北京，１０００７６）
摘要：基于动能公式的演化推导，提出一种计算模态质量的新方法．该方法操作方便，快速有效，适用于任何有限元模型模态质量的计算。通过与模态质量经典公式计算结果的比较，二者数值完全一致。
关键词：模态质量・９经典公式：动能定理；质量矩阵；弹簧一质量模型中图分类号：Ｖ４１１．８
文献标识码：Ａ
ＭｏｄａｌＭａｓｓ
ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎＢａｓｅｄ
ｏｎ
ＡＮＳＹＳＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ
ＳｈａｎｇＬｉｎ
（ＣｈｉｎａＡｃａｄｅｍｙｏｆＬａｕｎｃｈＶｅｈｉｃｌｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，１０００７６）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ
ｔｈｅｅｖｏｌｖｅｍｅｎｔｏｆｋｉｎｅｔｉｃｅｎｅｒｇｙｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｏｖｅｌｍｅｔｈｏｄｔｏｃｏｍｐｕｔｅｔｈｅｍｏｄａｌｍａｓｓｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｉｓ
ｍｅｔｈｏｄ
ｉｓｓｉｍｐｌｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅ，ｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒａｎｙｍｏｄａｌｍａｓｓｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ（ＦＥＡ）ｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｆｒｏｍｔｈｉｓ
ｍｅｔｈｏｄ
Ｋｅｙ
ａｒｅ
ｔｈｅ
ｓａｌＴｌｅ
ｗｉｔｈｔｈｏｓｅｆｒｏｍｃｌａｓｓｉｃａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｅｓｔｈａｔｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｖａｌｉｄ．
ｍａｔｒｉｘ；Ｓｐｒｉｎｇｍａｓｓｍｏｄｅｌ
Ｗｏｒｄｓ：Ｍｏｄａｌｍａｓｓ；Ｃｌａｓｓｉｃａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｅｎｅｒｇｙｔｈｅｏｒｅｍ；Ｍａｓｓ
０
引言质量和模态振型计算振动系统在特定工况下的运动方程式系数和动载荷，为控制设计和载荷设计提供重要依据。由此看来，振动系统的动特性参数，如模态质量和模态刚度等在其总体设计中占据着重要的地位。
当前，振动系统动特性参数的求解主要是借助于有限元分析软件。本文即利用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件对振动系统模态质量的计算方法进行研究。模态刚度的计算方法与此类同，本文不再另作说明。
一个完整的振动系统必须包含质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵，其中质量矩阵储存着系统的动能，刚
度矩阵存储着系统的势能，阻尼矩阵则代表能量在不同系统之间的转移（如由机械能转换为热能），通过三
者的有机结合使能量不断地相互转换，由此构成系统
的运动（振动）。系统振动后的形态，称之为模态。模态是一个物理意义上的定义，对应在数学上其反应为非齐次微分方程的特征值问题。在物理坐标系下，质量矩阵和刚度矩阵不可避免地会出现耦合，这
就给方程求解带来了较大的困难。通常的做法是，在
ｌ模态质量计算方法
计算模态质量之前，首先需要对振动系统进行模态分析。在ＡＮＳＹＳ软件中，模态分析的基本流程为：
ａ）根据物理系统构建有限单元模型，包括定义单
模态坐标系下借助模态基的正交特性使得质量矩阵和刚度矩阵转换为对角矩阵，将多自由度系统解耦成为Ⅳ个单自由度系统，由此方程求解大为简化。这样得到
的对角矩阵（质量矩阵和刚度矩阵）称为模态质量阵、
元类型、单元实常数和材料模型等；
ｂ）根据实际工况设置模态分析选项，如模态提取
模态刚度阵，简称为模态质量、模态刚度。
模态质量和模态刚度等都是在模态坐标系下的定义，其只具有数学计算功能，没有实际的物理意义和
方法、提取数目、扩展数目等，为计算模态质量，分
析过程中必须打开振型正则化开关，软件自动将每阶
模态的最大位移单位化：
ｃ）模态求解并扩展，得到初始解后模态扩展将振
型写入结果文件。随后，在模态分析结果文件中提取
量纲。不过，在模态系下得到的数学参量可以通过广义反变换转化为物理系下的力学参量。比如利用模态
收稿Ｈ期：２０１０－０９．０５；修四口期：２０１ｌ坼１５
作者简介：商霖（１９７７一），男，工程师，土要研究方向为发射动力学
万方数据
５６
导弹与航天运载技术２０１１年
用于模态质量计算的基本参数，如模态频率、模态振型和质量矩阵等。
本文中，模态质量的计算方法主要有两种：基于经典模态质量公式；基于动能公式的演化。
１．１经典公式
根据定义，模态质量等于系统真实质量左乘模态
振型矩阵的转置，右乘模态振型矩阵，可表示为如下经典公式：
肘＝西７．ｍ．痧
（１）
式中
Ｍ为模态质量；掰为物理质量；痧为模态振型；
西７为模态振型的转置。
对于下述的算例１（弹簧一质量单元模型）来说，
采用经典公式（１）计算系统模态质量相当方便。因为物理质量ｍ可以根据工程经验方便给出，模态振型中可以通过模态分析直接得到，其模态质量公式相应扩
展为
Ｎ
Ｎ
Ｍ；－－Ｅｍｊ・（“另＋“，；＋嵋）＋∑ｔＪ－ｒＤ瑶＋
妒１
州
．ｖ
（２）
∑７∥ｒｏｔｙ；＋∑ｔ』・加ｆｚ；
Ｊ＝ｌ
ｊ＝ｌ
式中彪ｊ为第ｉ阶模态质量；Ⅳ为集中质量分站总数；
ｍ，为第－『分站的集中质量；Ｌ，，，，，和，：，为第，分站
集中质量绕ｘ，Ｙ和ｚ轴的转动惯量；ｕｘ。，甜，。和ｕ：。为第ｉ阶模态时第＿『分站在工，Ｙ和ｚ方向上的归一化线位移振型；，Ｄ‘。，ｒＤｆ州和ｒＤｆｚ．，为第ｉ阶模态时第－『分站
绕Ｘ，Ｙ和ｚ轴的归一化角位移振型。
对于下述的算例２（三维实体单元模型）来说，采用经典公式（１）计算其模态质量就很不方便。这是因为：ａ．工程上，复杂系统整体的质量矩阵还不能用简单公式人为地给出；ｂ．有限元分析软件中，系统整体质量矩阵的提取方法较为复杂，且要求掌握相关专业知识（质量矩阵提取方法）：ｃ。系统整体质量矩阵一般都是相当庞大的，其数据容量大到经常可以撑爆电脑
硬盘。
为简化相关工作，下面介绍一种计算模态质量的
新方法。
１．２动能演化公式
引言中提到，质量矩阵储存着系统的动能。基于此，通过对动能公式进行演化，推导得到用于计算系统模态质量的简便公式。其推导过程如下：
根据动能定理，书写系统动能公式：
Ｅ：０．５Ｖ１．ｍ．Ｖ
（３）
式中Ｅ为系统动能矩阵；Ｖ为系统速度矩阵；ｙ７为
万方数据
系统速度矩阵的转置。
引入单位矩阵，＝∞７，式（３）变化为
Ｅ＝０．５Ｖ１．咖廖７．ｍ．西痧７．Ｖ
（４）
将模态质量公式（１）代入式（４），可得：
Ｅ＝０．５Ｖ’．中．Ｍ．中’．Ｖ
（５）
将速度公式ｙ＝西．ｃｏ代入式（５），得：
Ｅ＝Ｏ．５（ｔＯ・劫１．西．Ｍ．函’．（西．ＣＯ）
（６）
式中ｔＯ为系统模态频率矩阵。
将单位矩阵∞’＝Ｊ代入式（６），得：
Ｅ＝０．５ｃｏＴ．Ｍ．∞
（７）
式中
矿为系统模态频率矩阵的转置；ｍ和矿均为对
角矩阵。由此，借助系统动能公式演化得到新的模态
质量公式为
Ｍ＝２．ＯＥＩ矿
（８）
在ＡＮＳＹＳ软件中，可以利用ＳＳＵＭ命令对
ＥＴＡＢＬＥ命令提取的单元动能数据求和以获取系统在第ｉ阶模态时的总动能巨，将系统总动能Ｅ除以ｌ，２《
即可得到模态质量Ｍ，，其中啦是振动系统的角频率。
该方法简单、高效，适用于计算包括算例１和算例２在内的任何有限单元模型的模态质量。
２质量矩阵提取方法
在ＡＮＳＹＳ有限元软件中，质量矩阵的提取主要有３种方法：ＨＢＭＡＴ命令法、用户子程序法和超单元法。其中ＨＢＭＡＴ命令方法是ＡＮＳＹＳ软件提供的提取质量矩阵的直接方法，其将质量矩阵存储为Ｈａｒｗｅｌｌ—Ｂｏｅｉｎｇ格式（大型稀疏矩阵的标准交换格式，采用索引存储方法仅记录矩阵的非零元素），需要掌握数据文件的这
种存储格式才可获取完整的质量矩阵；用户子程序法，
通过编制外部用户程序直接从木．ＦＵＬＬ文件中读取质
量矩阵，需要掌握ＡＮＳＹＳ软件的二次开发知识才可以
得到完整的质量矩阵；超单元法，利用ＡＮＳＹＳ软件提供的子结构分析功能，定义超单元，计算后列出超单元的质量矩阵即可，需要借助专业的数据读取软件（如
ＭＡＴＬＡＢ、ＯＲＧＩＮ）编程处理后方可得到质量矩阵。
基于对Ｈａｒｗｅｌｌ．Ｂｏｅｉｎｇ存储格式的研究，在ＡＮＳＹＳ软件平台上编制命令流程序获取了算例ｌ（弹
簧一质量单元模型）和算例２（三维实体单元模型）的质量矩阵，进而计算得到它们的模态质量。
３算例１——弹簧一质量单元模型
图１为某振动系统的弹簧．质量单元模型。图１中，
振动系统外部壳体采用空间梁单元ＢＥＡＭｌ８８进行离
散（图示实线），质量分布采用质量单元ＭＡＳＳ２１进行
第３期
商霖綦了ＡＮＳＹＳ有限，Ｃ分析的模态质母计算方法
表２三维实体单元模型模态参数
阶数
ｌ２３
５７
分站模拟（图示星点）。模型中，单元属性参数如几何
尺寸、材料参数和质量数据等均采用振动系统的实际数据。
Ｈｚ
模态频率
经典公式
５．７１６１４３。１５５９４１２．１２３６５
模态质量
演化公式
５．７１６１２３．１５５９３１２．１２３６０
误差
３．４９８８８×１０＿６３．１６８
８４９．５８５８７９６５．８７６１５ｌ１２０．９８８９３
６４×１０。６
４．１２４１９×１０’６
图１弹簧．质量单元模型
表１为根据图ｌ弹簧．质量单元模型经模态分析后得到的前６阶模态参数。从表１数据可见，采用经典公式（１）和演化公式（８）得到的模态质量基本一致。
表１
阶
弹簧一质量单元模型模态参数
图２三维实体单元模型
模态质量
经典公式
１．００ｌ４８００１．００ｌ４８００
模态频率
Ｈｚ
数
ｌ
演化公式
１．００ｌ４８００ｌ，００ｌ４８００
误差
Ｏ
５结语
振动系统的动特性参数是其控制设计和载荷设计的基本参数之一，在总体设计中具有重要的地位。本文基于动能公式的演化，推导得到了一种计算模态质量的新方法。利用ＡＮＳＹＳ有限元分析软件对弹簧．质量单元模犁和三维实体单元模型进行模态分析，获取了模态频率、模态振型和质量矩阵等。采用经典公式和演化公式计算得到了两种模型的模态质量。通过比较这两种方法所得的模态质量数值，表明本文所提方
法合理、可信。
４３．８２９５４
２４３．８２９５４７０．４２２８７７０．４２２８７
Ｏ
３４
１５９．７３６３２１５９．７３６３２
１５９．７３５５７４．６９５２６×１０。６４．６９５２６×１０＿６
１５９．７３５５７１２６．９ｌｌ５２
５６
１２６．４３９２８１２６．９１２１１１２６．９１２ｌＩ
４．６４８９１×１０－６
１２６．４３９２８１２６．９ｌｌ５２４．６４８９１×１０‘６
４算例２——三维实体单元模型
图２为某振动系统的三维实体单元模型。根据振动系统的几何尺寸，在三维绘图软件ＰｒｏＥ中构建几何实体模型，采用１０节点实体结构单元ＳＯＬＩＤｌ８５进行自由离散分网，材料参数从材料手册中查得。
表２为根据图２三维实体单元模型经模态分析后得到的前３阶模态参数。对比表２数据可见，采用经典公式（１）和演化公式（８）所得到的模态质量基本
一致。
参考文献
１
傅志方．模态分析理论与应用【Ｍ】．上海：上海交通大学出版社，２０００．
２液体弹道导弹与运载火箭系列丛书编辑委员会．液体弹道导弹与运载火
箭系列丛书・总体设计【ＭＪ．北京：宇航出版社，１９８７．
３尹云玉．固体火箭载荷设计基础［ＭＩ．北京：中国宇航ｊ｛ｊ版社，２００７．
４
Ｗａｄａ
Ｂ
Ｋ．Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｓｐｒｉｎｇ—ｍａｓｓ
ｓｙｓｔｅｍ：ａｐｈｙｓｉｃａｌｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｌＪ］．
ＳｈｏｃｋａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎＢｕｌｌｅｔｉｎ。１９７２（４２）：２１５—２２５．
印度将在２０１１年１０月前进行３次ＰＳＬＶ火箭发射
印度空间研究组织（ＩＳＲＯ）主席拉达克里希南称，ＩＳＲＯ
ＩＳＲＯ官员称，目前由ＩＳＲＯ前主席奈尔领导的地球同步轨道卫星运载火箭（ＧＳＬＶ）故障分析委员会（针对２０１０年１２月发射ＧＳＡＴ－５Ｐ卫星失败）以及由前主席卡斯图里兰甘领导的ＧＳＬＶ项目评估和战略委员会（针对ＧＳＬＶ的未来）都已提交了各自的研究报告。拉达克里希南拒绝给出印度载人航天飞行计划的时间表，称日前首要的任务是解决ＧＳＬＶ的问题。
（葛姗姗供稿）
将在２０１１年１０月前进行３次极地轨道卫星运载火箭（ＰＳＬＶ）
的发射。
这３次发射分别为：７月，ＰＳＬＶ－Ｃ１７发射携带１２个扩展Ｃ波段转发器的ＧＳＡＴ－１２卫星；９～１０月，ＰＳＬＶ－Ｃ１８和ＰＳＬＶ－Ｃ１９分别发射Ｍｅｇｈａ—ｔｒｏｐｉｑｕｅｓ卫星（印法合作任务）和携带合成孔径雷达的ＲＩＳＡＴ－１微波遥感卫星。
万方数据