第五节 度量空间的完备化 ；第六节 压缩映射原理及其应用 （2学时）
一．教学要求
1． 了解完备化定理，能够证明度量空间的完备性；
2． 掌握压缩映射原理，并了解它在分析和方程研究中的应用。
二．教学重点
掌握压缩映射原理及其应用。
三．教学过程
1． 度量空间的完备化
我们知道直线上有理数集Q 作为R 的子空间不是完备的，当在Q 中加上“无理数”，它就
成为完备的度量空间R ，并且Q 在R 中稠密。
下面我们要考虑：是否每一个不完备的度量空间都可以“扩大”，使其成为一个完备的度量
空间的稠密子空间呢？
首先介绍几个概念：
定义：设(X , d ), (X , d ) 是两个度量空间，如果存在X 到X 上的保距映射映射。
在泛函分析中，往往把两个等距同构的度量空间视为同一的。
定理（度量空间的完备化定理） ~~~~~~~T :d (Tx , Ty ) =d (x , y ) ，则称(X , d ) 和(X , d ) 等距同构，此时T 成为X 到X 上的等距同构
设X =(X , d ) 是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X =(X , d ) ，使X 与X 的某~~~~
ˆ) 也是一完备的ˆ, d 个稠密子空间W 等距同构，并且X 在等距同构意义下是唯一的，即：若(X
ˆ) 等距同构。 ˆ的某个稠密子空间等距同构，则(X , d ) 与(X ˆ, d 度量空间，且X 与X
如果把两个等距同构的度量空间视为同一，的上述定理可以阐述为： ~~~
~~~~定理：设(X , d ) 是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X =(X , d ) ，使得X 为X 的稠密子空间。
（事实上，做X 到自身的恒等映射，d =d 即为一等距同构）
例：证明l 与C (0, 1]的一个子空间等距同构。
证明：l 是有界数列的全体，令(ξ1,..., ξn ,...) ∈l ∞，C (0, 1]是定义在(0, 1]上连续函数全体
对于ξ=(ξ1,....), η=(η1,....) ∈l ，有：d (ξ, η) =sup i -ηi
对于x (t ), y (t ) ∈C (0, 1]，有：d (x , y ) =sup x (t ) -y (t )
t ∈(0, 1]∞∞∞~~i
取子空间：x (t ) 如下：
1
n
则x (t ) ∈C (0, 1]。 x () =ξn ；其余为折线（线性函数）。
做映射：ξ=(ξ1,....) −−→x (t )
则有：d (x , y ) =sup x (t ) -y (t ) =sup ξi -ηi =d (ξ, η)
t ∈(0, 1]i f ~
则得证。
第六节 压缩映射原理及其应用
定义：设X =(X , d ), T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数α, 0
d (Tx , Ty ) ≤αd (x , y ) （1）
则称T 是压缩映射。
压缩映射的几何意义是：原象两点经过映射后，他们象的距离缩短了。
定理（压缩映射定理）
设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（即：方程
Tx =x 有且只有一个解）。
f 例如：定义在[0, 1]−−→(0, 1) 之间的连续压缩映射，如图：
证明：设x 0是X 中任意一点。令x 1=Tx 0, x 2=Tx 1=T 2我们证明点列{x n }是X 中的柯西点列。
事实上，d (x m +1, x m ) =d (Tx m , Tx m -1) ≤αd (x m , x m -1) =αd (Tx m -1, Tx m -2)
m ≤...... ≤αd (x 1, x 0)
由三点不等式，当n >m 时，
d (x m , x n ) ≤d (x m , x m +1) +d (x m +1, x m +2) +... +d (x n -1, x n )
（2） ≤(α+αm m +1+... +αn -1 1-αn -m
) d (x 0, x 1) =αd (x 0, x 1) 1-αm
n -m
αm
d (x 0, x 1) （3） d (x m , x n ) ≤1-α
所以当m , n →∞时，d (x m , x n ) →0。即{x n }为柯西点列。
由X 的完备性，则存在x ∈X ，使x m →x ，又由三点式和条件（1），有：
d (x , Tx ) ≤d (x , x m ) +d (x m , Tx ) ≤d (x , x m ) +αd (x m -1, x )
则当m →∞时，上式趋于0，所以d (x , Tx ) =0，即x =Tx 。
下证唯一性。
x ∈X ，使T ~x =~x ，则由条件（1）如果有~，有：
x ) =d (Tx , T ~x ) ≤αd (x , ~x ) d (x , ~
x ) =0。 因为α
下面介绍定理的应用：
定理：设函数f (x , y ) 在带状域：
a ≤x ≤b , -∞
中处处连续，且处处有关于y 的偏导数f y '(x , y ) 。如果还存在常数m 和M ，满足
0
则方程f (x , y ) =0在区间[a , b ]上必有唯一的连续函数y =ϕ(x ) 作为解：
f (x , ϕ(x )) ≡0, x ∈[a , b ]
证明：见书，略。
定理：设f (t , x ) 是矩形：
D ={(t , x ) t -t 0≤a , x -x 0≤b }
上的二元连续函数，设f (t , x ) ≤M , (t , x ) ∈D ，又f (t , x ) 在D 上关于x 满足Lipschitz
条件，即存在常数K ，使对任意的(t , x ), (t , v ) ∈D ，有
f (t , x ) -f (t , v ) ≤K x -v ，
那么方程dx =f (t , x ) 在区间J =[t 0-β, t 0+β]上有唯一的满足初始条件x (t 0) =x 0的dt
b 1, 。 连续函数解，其中 β
证明：略。
例：设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中映射，记
d (A n x , A n x ') αn=sup d (x , x ') x ≠x '
若∑α
n =1∞n
证明：因为∑αn
所以d (A n x , A n y ) ≤αn d (x , y )
由压缩映射原理，存在x 0∈X ，使A n x 0=x 0，且x 0是唯一的。 又 A (A n x 0) =Ax 0=A n (Ax 0)
由唯一性知，Ax 0=x 0，且是唯一的。
第五节 度量空间的完备化 ；第六节 压缩映射原理及其应用 （2学时）
一．教学要求
1． 了解完备化定理，能够证明度量空间的完备性；
2． 掌握压缩映射原理，并了解它在分析和方程研究中的应用。
二．教学重点
掌握压缩映射原理及其应用。
三．教学过程
1． 度量空间的完备化
我们知道直线上有理数集Q 作为R 的子空间不是完备的，当在Q 中加上“无理数”，它就
成为完备的度量空间R ，并且Q 在R 中稠密。
下面我们要考虑：是否每一个不完备的度量空间都可以“扩大”，使其成为一个完备的度量
空间的稠密子空间呢？
首先介绍几个概念：
定义：设(X , d ), (X , d ) 是两个度量空间，如果存在X 到X 上的保距映射映射。
在泛函分析中，往往把两个等距同构的度量空间视为同一的。
定理（度量空间的完备化定理） ~~~~~~~T :d (Tx , Ty ) =d (x , y ) ，则称(X , d ) 和(X , d ) 等距同构，此时T 成为X 到X 上的等距同构
设X =(X , d ) 是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X =(X , d ) ，使X 与X 的某~~~~
ˆ) 也是一完备的ˆ, d 个稠密子空间W 等距同构，并且X 在等距同构意义下是唯一的，即：若(X
ˆ) 等距同构。 ˆ的某个稠密子空间等距同构，则(X , d ) 与(X ˆ, d 度量空间，且X 与X
如果把两个等距同构的度量空间视为同一，的上述定理可以阐述为： ~~~
~~~~定理：设(X , d ) 是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X =(X , d ) ，使得X 为X 的稠密子空间。
（事实上，做X 到自身的恒等映射，d =d 即为一等距同构）
例：证明l 与C (0, 1]的一个子空间等距同构。
证明：l 是有界数列的全体，令(ξ1,..., ξn ,...) ∈l ∞，C (0, 1]是定义在(0, 1]上连续函数全体
对于ξ=(ξ1,....), η=(η1,....) ∈l ，有：d (ξ, η) =sup i -ηi
对于x (t ), y (t ) ∈C (0, 1]，有：d (x , y ) =sup x (t ) -y (t )
t ∈(0, 1]∞∞∞~~i
取子空间：x (t ) 如下：
1
n
则x (t ) ∈C (0, 1]。 x () =ξn ；其余为折线（线性函数）。
做映射：ξ=(ξ1,....) −−→x (t )
则有：d (x , y ) =sup x (t ) -y (t ) =sup ξi -ηi =d (ξ, η)
t ∈(0, 1]i f ~
则得证。
第六节 压缩映射原理及其应用
定义：设X =(X , d ), T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数α, 0
d (Tx , Ty ) ≤αd (x , y ) （1）
则称T 是压缩映射。
压缩映射的几何意义是：原象两点经过映射后，他们象的距离缩短了。
定理（压缩映射定理）
设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（即：方程
Tx =x 有且只有一个解）。
f 例如：定义在[0, 1]−−→(0, 1) 之间的连续压缩映射，如图：
证明：设x 0是X 中任意一点。令x 1=Tx 0, x 2=Tx 1=T 2我们证明点列{x n }是X 中的柯西点列。
事实上，d (x m +1, x m ) =d (Tx m , Tx m -1) ≤αd (x m , x m -1) =αd (Tx m -1, Tx m -2)
m ≤...... ≤αd (x 1, x 0)
由三点不等式，当n >m 时，
d (x m , x n ) ≤d (x m , x m +1) +d (x m +1, x m +2) +... +d (x n -1, x n )
（2） ≤(α+αm m +1+... +αn -1 1-αn -m
) d (x 0, x 1) =αd (x 0, x 1) 1-αm
n -m
αm
d (x 0, x 1) （3） d (x m , x n ) ≤1-α
所以当m , n →∞时，d (x m , x n ) →0。即{x n }为柯西点列。
由X 的完备性，则存在x ∈X ，使x m →x ，又由三点式和条件（1），有：
d (x , Tx ) ≤d (x , x m ) +d (x m , Tx ) ≤d (x , x m ) +αd (x m -1, x )
则当m →∞时，上式趋于0，所以d (x , Tx ) =0，即x =Tx 。
下证唯一性。
x ∈X ，使T ~x =~x ，则由条件（1）如果有~，有：
x ) =d (Tx , T ~x ) ≤αd (x , ~x ) d (x , ~
x ) =0。 因为α
下面介绍定理的应用：
定理：设函数f (x , y ) 在带状域：
a ≤x ≤b , -∞
中处处连续，且处处有关于y 的偏导数f y '(x , y ) 。如果还存在常数m 和M ，满足
0
则方程f (x , y ) =0在区间[a , b ]上必有唯一的连续函数y =ϕ(x ) 作为解：
f (x , ϕ(x )) ≡0, x ∈[a , b ]
证明：见书，略。
定理：设f (t , x ) 是矩形：
D ={(t , x ) t -t 0≤a , x -x 0≤b }
上的二元连续函数，设f (t , x ) ≤M , (t , x ) ∈D ，又f (t , x ) 在D 上关于x 满足Lipschitz
条件，即存在常数K ，使对任意的(t , x ), (t , v ) ∈D ，有
f (t , x ) -f (t , v ) ≤K x -v ，
那么方程dx =f (t , x ) 在区间J =[t 0-β, t 0+β]上有唯一的满足初始条件x (t 0) =x 0的dt
b 1, 。 连续函数解，其中 β
证明：略。
例：设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中映射，记
d (A n x , A n x ') αn=sup d (x , x ') x ≠x '
若∑α
n =1∞n
证明：因为∑αn
所以d (A n x , A n y ) ≤αn d (x , y )
由压缩映射原理，存在x 0∈X ，使A n x 0=x 0，且x 0是唯一的。 又 A (A n x 0) =Ax 0=A n (Ax 0)
由唯一性知，Ax 0=x 0，且是唯一的。