工程力学答案[1]

工程力学答案

2-2解：(1) 取节点C为研究对象，画受力图，注意AC、BC都为二力杆，

F

(2) 列平衡方程：

Fy0 F415Fo

ACsin60F20

Fx0 F31

5

FBCFo

ACcos600

FAC207 N FBC164 N

AC与BC两杆均受拉。

2-3解：(1) 取整体ABCD为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形： F

F FD

FA

D

(2)

FFDFAFDBC

ABA

C

F21

F1D2

F FA

2

F1.12F

2-4解：(1) 研究AB，受力分析并画受力图：

(2) 画封闭的力三角形： FA d

e

FF

B

相似关系：

CDEcde 

FFBFACD

CE

ED

几何尺寸：

CE

12

BD

12

CD ED

2

CD

求出约束反力：

FCEBCDF12

2010 kNFEDA

CD

F

2

2010.4 kN 45o

arctan

CECD

18.4

o

2-6解：(1) 取DE为研究对象，DE为二力杆；FD = FE

(2) 取ABC为研究对象，受力分析并画受力图；画封闭的力三角形： F

F

FAF'

1DFE

2

F

53

166.7 N

2-7解：（1）取铰链B为研究对象，AB、BC均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；

FBC

FAB

FF1 FBC

1

(2) 取铰链C为研究对象，BC、CD均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；

C

FFCD

FCD

F2

FFo

CB2cos30

2

F2

由前二式可得：

FBCFCB12

2

F1

4

F20.61F2 or F21.63F1

2-9 解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，AB、AB、AD均为二力杆，画受力图，得到一个空间汇交力系；

(2) 列平衡方程：

Foo

x

0 FACcos45 FABcos450F0 FFo

y

ADcos600

F

z

0 Fo

ADsin60FACsin45o

Fo

ABsin450

解得：

FAD2F1.2 kN FACFAB

4

AD0.735 kN

AB、AC杆受拉，AD杆受压。

3-1 解：(a) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

列平衡方程：



M0 FBlM0 FMB

l

M

FAFB

l

(b) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

列平衡方程：



M0 FBlM0 FB

Ml

FM

FAB

l

(c) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

F

列平衡方程：

B



M0 FBlcosM0 FB

Mlcos

Mlcos

FAFB

3-2 解：(1) 取BC为研究对象，受力分析，BC为二力杆，画受力图；

FC

FBFC

(2) 取AB为研究对象，受力分析，A、B的约束力组成一个力偶，画受力图；

2

Ma



M0

FB

3aaM0 FB

'

'

0.354

FAFC0.354

Ma

3-3 齿轮箱的两个轴上作用的力偶如题图所示，它们的力偶矩的大小分别为M1=500 Nm，M2 =125 Nm。求两螺栓处的铅垂约

束力。图中长度单位为cm。

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，A、B的约束力组成一个力偶，画受力图；

(2) 列平衡方程：



M0 FBlM1M20 FB

M1M2

l



500125

50

750 N

FAFB750 N

3-5 四连杆机构在图示位置平衡。已知OA=60cm，BC=40cm，作用BC上的力偶的力偶矩大小为M2=1N.m，试求作用在OA

上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力FAB所受的力。各杆重量不计。

B

解：(1) 研究BC杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

FB

M

FB

0 FBBCsin30M20M2

BCsin30

o

o



10.4sin30

o

5 N

(2) 研究AB（二力杆），受力如图：

可知：

FAFBFB5 N

'

'

(3) 研究OA杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

FFA

M

0 FAOAM10

 M1FAOA50.63 Nm

3-7 O1和O 2圆盘与水平轴AB固连，O1盘垂直z轴，O2盘垂直x轴，盘面上分别作用力偶（F1，F’1），（F2，F’2）如题图所

示。如两半径为r=20 cm, F1 =3 N, F2 =5 N,AB=80 cm,不计构件自重，试计算轴承A和B的约束力。 y

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，A、B处x方向和y方向的约束力分别组成力偶，画受力图。

(2) 列平衡方程：

M

x

0 FBzABF22r0F2rF2

205Bz

AB



280

2.5 N FAzFBz2.5 N



M

z

0 FBxABF12r0F2rF12203Bx

AB



80

1.5 N FAxFBx1.5 N

AB的约束力：

FA



8.5 N

FBFA8.5 N

3-8 在图示结构中，各构件的自重都不计，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶，各尺寸如图。求支座A的约束力。

解：(1) 取BC为研究对象，受力分析，画受力图；



M0 F0 FMClMC

l

(2) 取DAC为研究对象，受力分析，画受力图；

FF’C

D

画封闭的力三角形； FF DA

’C

解得

FA

FCcos45

o

'



4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力的单位为kN，力偶矩的单位为kNm，长度单位为m，分布载荷集度为kN/m。

(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 (b)

(e)

解：

(b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意力系)； Fx

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

x

0: FAx0.40

FAx0.4 kN

M

A

(F)0: 20.80.51.60.40.7FB20

F

B0.26 kN

F

y

0: FAy20.5FB0

FAy1.24 kN

约束力的方向如图所示。

(c)：(1) 研究AB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；



MB(F)0: FAy33



20

2dxx0

FAy0.33 kN



Fy0: FAy



20

2dx

FBcos300

o

FB4.24 kN

F

约束力的方向如图所示。

x

0: FAxFBsin300

o

FAx2.12 kN

(e)：(1) 研究CABD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

q

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

M

A

x

0: FAx0

(F)0: 

0.80

20dxx8FB1.6202.40

FB21 kN

F

约束力的方向如图所示。

y

0: 



0.80

20dxFAyFB200

FAy15 kN

4-5 AB梁一端砌在墙内，在自由端装有滑轮用以匀速吊起重物D，设重物的重量为G，又AB长为b，斜绳与铅垂线成角，

求固定端的约束力。

解：(1) 研究AB杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

F(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

x

FF

x

0: -FAxGsin0

FAxGsin

y

0: FAyGGcos0

FAyG(1cos)

M

约束力的方向如图所示。

B

(F)0: MAFAybGRGR0

MAG(1cos)b

4-7 练钢炉的送料机由跑车A和可移动的桥B组成。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2 m，跑车与操作架、平臂OC

以及料斗C相连，料斗每次装载物料重W=15 kN，平臂长OC=5 m。设跑车A，操作架D和所有附件总重为P。作用于

操作架的轴线，问P至少应多大才能使料斗在满载时跑车不致翻倒？

解：(1) 研究跑车与操作架、平臂OC以及料斗C，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

C

(2) 选F点为矩心，列出平衡方程；

M

F

(F)0: -FE2P1W40

P2

2W

FE

(3) 不翻倒的条件；

FE0

P4W60 kN

4-13 活动梯子置于光滑水平面上，并在铅垂面内，梯子两部分AC和AB各重为Q，重心在A点，彼此用铰链A和绳子DE

连接。一人重为P立于F处，试求绳子DE的拉力和B、C两点的约束力。

解：(1)：研究整体，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

x



MB(F)0: -Q

l2

cosQ

3l2

cosP2lacosFC2lcos0

a

FCQ1P

2l

F

y

0: FBFC2QP0

a2l

P

FBQ

(3) 研究AB，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选A点为矩心，列出平衡方程；



MA(F)0: -FBlcosQ

a

l2

cosFDh0

lcos

FDQP

l2h

4-15 在齿条送料机构中杠杆AB=500 mm，AC=100 mm，齿条受到水平阻力FQ的作用。已知Q=5000 N，各零件自重不计，

试求移动齿条时在点B的作用力F是多少？

解：(1) 研究齿条和插瓜(二力杆)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； F x

(2) 选x轴为投影轴，列出平衡方程；

F

o

x

0: -FAcos30FQ0

FA5773.5 N

(3) 研究杠杆AB，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选C点为矩心，列出平衡方程；

M

C

(F)0: FAsin15ACFBC0

'o

F373.6 N

4-16 由AC和CD构成的复合梁通过铰链C连接，它的支承和受力如题4-16图所示。已知均布载荷集度q=10 kN/m，力偶

M=40 kNm，a=2 m，不计梁重，试求支座A、B、D的约束力和铰链C所受的力。

解：(1) 研究CD

q F

(2) 选坐标系Cxy，列出平衡方程；



Ma

C(F)0: -0

qdx

xMFD2a0

FD5 kN



Fy0: FC



a0

qdxFD0

FC25 kN

(3) 研究ABC杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

x

(4) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；



Ma'

B(F)0: FAa



qdxxFCa0

FA35 kN

F

a

y

0: FA



q

dxF'

BFC0

FB80 kN

约束力的方向如图所示。

4-17 刚架ABC和刚架CD通过铰链C连接，并与地面通过铰链A、B、D连接，如题4-17图所示，载荷如图，试求刚架的

支座约束力(尺寸单位为m，力的单位为 kN，载荷集度单位为 kN/m)。 =50

解：

(a)

(b)

(a)：(1) 研究CD杆，它是二力杆，又根据D点的约束性质，可知：FC=FD=0；

(2) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(3) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

x

0: FAx1000

FAx100 kN

M

A

(F)0: 1006



5

1

qdxxFB60

FB120 kN



Fy0: FAy



5

1

qdxFB0

FAy80 kN

约束力的方向如图所示。

(b)：(1) 研究CD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； =50

(2) 选C点为矩心，列出平衡方程；



MC(F)0: 



30

qdxxFD30

FD15 kN

(3) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

x

(4) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

F



x

0: FAx500

FAx50 kN

MB(F)0: FAy6



30

qdxxFD35030

FAy25 kN



约束力的方向如图所示。

Fy0: FAy



30

qdxFBFD0

FB10 kN

4-18 由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持着物体。物体重12 kN。D处亦为铰链连接，尺寸如题4-18图所示。试求

固定铰链支座A和滚动铰链支座B的约束力以及杆BC所受的力。

A

解：(1) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； x

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

M

x

0: FAxW

0

FAx12 kN

A

(F)0: FB4W1.5rW2r0

FB10.5 kN

F

y

0: FAyFBW0

FAy1.5 kN

(3) 研究CE杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选D点为矩心，列出平衡方程；

FCB

M

约束力的方向如图所示。

D

(F)0: FCBsin1.5W1.5rWr0

FCB15 kN

4-19 起重构架如题4-19图所示，尺寸单位为mm。滑轮直径d=200 mm，钢丝绳的倾斜部分平行于杆BE。吊起的载荷W=10

kN，其它重量不计，求固定铰链支座A、B的约束力。

解：(1) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

W (2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

M

B

(F)0: FAx600W12000

FAx20 kN

F

x

0: FAxFBx0

FBx20 kN

F

(4) 选D点为矩心，列出平衡方程；

y

0: FAyFByW0

(3) 研究ACD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

Dx

M

(5) 将FAy代入到前面的平衡方程；

D

(F)0: FAy800FC1000

FAy1.25 kN

FByFAyW11.25 kN

约束力的方向如图所示。

4-20 AB、AC、DE三杆连接如题4-20图所示。DE杆上有一插销F套在AC杆的导槽内。求在水平杆DE的E端有一铅垂力

F作用时，AB杆上所受的力。设AD=DB，DF=FE，BC=DE，所有杆重均不计。

解：(1)

BC方向；

(2) 研究DFE杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(3) 分别选F点和B点为矩心，列出平衡方程；

MF

(F)0: FEFFDyDE0

FDyF

M

B

(F)0: FEDFDxDB0

FDx2F

(4) 研究ADB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； x

F(5) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

M

'

A

(F)0: FDxADFBAB0

FBF

F

x

0: FAxFBF'

Dx0

FAxF

F

'

y

0: FAyFDy0

FAyF

约束力的方向如图所示。

5-4 一重量W=1000 N的匀质薄板用止推轴承A、径向轴承B和绳索CE支持在水平面上，可以绕水平轴AB转动，今在板上

作用一力偶，其力偶矩为M，并设薄板平衡。已知a=3 m，b=4 m，h=5 m，M=2000 Nm，试求绳子的拉力和轴承A、B

约束力。

解：(1) 研究匀质薄板，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

F

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；



M

z

(F)0: MFBy40

FBy500 N



Mx(F)0: W

a2

FC

2

0

FC707 N



My(F)0: FBzbW

b2

FC

2

b0

FBz0



Fz0: FBzFAzWFC

2

0

FAz500 N



Fx0: FAxFC

2



45

0

FAx400 N



约束力的方向如图所示。

Fy0: FByFAyFC

2



35

0

FAy800 N

5-5 作用于半径为120 mm的齿轮上的啮合力F推动皮带绕水平轴AB作匀速转动。已知皮带紧边拉力为200 N，松边拉力为

100 N，尺寸如题5-5图所示。试求力F的大小以及轴承A、B的约束力。(尺寸单位mm)。

解: (1) 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；

M

(F)0: o

z

Fcos20120200100800

F70.9 N

M

x

(F)0: Fsin20o

100200100250FBy3500

FBy207 N

M

o

y

(F)0: Fcos20100FBx3500

FBx19 N

Fx0: Fo

AxFcos20FBx0

FAx47.6 N

F

0: Fo

y

AyFsin20FBy1002000

FAy68.8 N

约束力的方向如图所示。

5-6 某传动轴以A、B两轴承支承，圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3 cm，压力角=20o。在法兰盘上作用一力偶矩M=1030 Nm

的力偶，如轮轴自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时的啮合力F及A、B轴承的约束力(图中尺寸单位为cm)。

解: (1) 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；



My(F)0: Fcos20o



d2

M0

F12.67 kN

Mo

x

(F)0: Fsin2022FBz33.20

F

Bz2.87 kN

M

z

(F)0: Fcos20o

22FBx33.20

FBx7.89 kN

Fx

0: Fo

AxFcos20FBx0

FAx4.02 kN

F

: F20o

z

0AzFsinFBz0

FAz1.46 kN

约束力的方向如图所示。

6-9 已知物体重W=100 N，斜面倾角为30o(题6-9图a，tan30o=0.577)，物块与斜面间摩擦因数为fs=0.38，f’s=0.37，求物块与

斜面间的摩擦力？并问物体在斜面上是静止、下滑还是上滑？如果使物块沿斜面向上运动，求施加于物块并与斜面平行

的力F至少应为多大？

(a) (b)

解：(1) 确定摩擦角，并和主动力合力作用线与接触面法向夹角相比较；

tg

f

fs0.38tgtg300.577



f

o

20.8

o

(2) 判断物体的状态，求摩擦力：物体下滑，物体与斜面的动滑动摩擦力为

F'fsWcos32 N

'

(3) 物体有向上滑动趋势，且静滑动摩擦力达到最大时，全约束力与接触面法向夹角等于摩擦角；

(4) 画封闭的力三角形，求力F；

Wsin90

o

f





Fsin

f



F

sin

o

f



f

sin90

W82.9 N

6-10 重500 N的物体A置于重400 N的物体B上，B又置于水平面C上如题图所示。已知fAB=0.3，fBC=0.2，今在A上作用

一与水平面成30o的力F。问当F力逐渐加大时，是A先动呢？还是A、B一起滑动？如果B物体重为200 N，情况又

如何？

解：(1) 确定A、B和B、C间的摩擦角：

C

f1arctgfAB16.7

o

f2arctgfBC11.3

o

(2)

当A、B间的静滑动摩擦力达到最大时，画物体A的受力图和封闭力三角形；

W

fF1sin



WA

o

f1

sin180

o

f1

90o30



Ff1

1

sin

sin60o

f1



WA209 N

(3) 当B、C间的静滑动摩擦力达到最大时，画物体A与B的受力图和封闭力三角形；

F2B

sin



WAf2

sin180o



f2

90o30

o



F2

sin

f2

sin60o

B234 N

f2



WA(4) 比较F1和F2；

F1F2

物体A先滑动；

(4) 如果WB=200 N，则WA+B=700 N，再求F2；

Fsinf2

2

sin60o

WAB183 N

f2

F1F2

物体A和B一起滑动；

6-11 均质梯长为l，重为P，B端靠在光滑铅直墙上，如图所示，已知梯与地面的静摩擦因数fsA，求平衡时=？

解：(1) 研究AB杆，当A点静滑动摩擦力达到最大时，画受力图(A点约束力用全约束力表示)；

由三力平衡汇交定理可知，P、FB、FR三力汇交在D点； (2) 找出min和 f的几何关系；

lsinmintantanmin

f



l2

cosmin

12fsA

12tan

f

minarctan

12fsA

(3) 得出角的范围；

90arctan

o

12fsA

6-13 如图所示，欲转动一置于V槽型中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M=1500 Ncm，已知棒料重G=400 N，直径D=25 cm。

试求棒料与V型槽之间的摩擦因数fs。

解：(1) 研究棒料，当静滑动摩擦力达到最大时，画受力图(用全约束力表示)；

(/4)-f

(2) 画封闭的力三角形，求全约束力；



FR1Gcosf FR2Gsinf

44

(3) 取O为矩心，列平衡方程；



MO(F)0: FR1sinf

D2

FR2sinf

D2

M0

sin2f

0.4243

o

f12.55

(4) 求摩擦因数；

fstan

f

0.223

6-15 砖夹的宽度为25 cm，曲杆AGB与GCED在G点铰接。砖的重量为W，提砖的合力F作用在砖对称中心线上，尺寸如

图所示。如砖夹与砖之间的摩擦因数fs=0.5，试问b应为多大才能把砖夹起(b是G点到砖块上所受正压力作用线的垂直距离)。 D

解：(1) 砖夹与砖之间的摩擦角：

farctanfsarctan0.525.6o

(2) 由整体受力分析得：F=W

(2) 研究砖，受力分析，画受力图；

(3) 列y方向投影的平衡方程；

F

y

0: 2FRsinfW0

FR1.157W

(4) 研究AGB杆，受力分析，画受力图；

(5) 取G为矩心，列平衡方程；

M

''

G

(F)0: FRsinf3FRcosfbF9.50

b10.5 cm

6-18 试求图示两平面图形形心C的位置。图中尺寸单位为mm。

(a)

(b)

解:(a) (1) 将T形分成上、下二个矩形S1、S2，形心为C1、C2；

(2) 在图示坐标系中，y轴是图形对称轴，则有：xC=0 (3) 二个矩形的面积和形心；

S2

1501507500 mm yC1225 mmS2

25020010000 mm yC2100 mm

(4) T形的形心；

xC0yii

22510000100

C

SyS



7500i

750010000

153.6 mm

(b) (1) 将L形分成左、右二个矩形S1、S2，形心为C1、C2；

(3) 二个矩形的面积和形心；

S2

1101201200 mm xC15 mm yC160 mmS2

27010700 mm xC245 mm yC25 mm

(4) L形的形心；

xi

C

SixS

1200570045

i120070019.74 mm

ySiyi

C

S



1200607005

i

1200700

39.74 mm

6-19试求图示平面图形形心位置。尺寸单位为mm。

(a)

(b)

解：(a) (1) 将图形看成大圆S1减去小圆S2，形心为C1和C2；

(2) 在图示坐标系中，x轴是图形对称轴，则有：yC=0 (3) 二个图形的面积和形心；

S2

2

120040000 mm xC10S2

2

2806400 mm xC2100 mm

(4) 图形的形心；

xSixi

C

S



6400100i

400006400

19.05 mm

yC0

(b) (1) 将图形看成大矩形S1减去小矩形S2，形心为C1和C2；

(2) 在图示坐标系中，y轴是图形对称轴，则有：xC=0 (3) 二个图形的面积和形心；

(4) 图形的形心；

S2

116012019200 mm yC160

S2

2100606000 mm yC250 mm

xC0yi

C

SiyS



1920060600050

i

192006000

64.55 mm

8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。 (a)

(c)

(d)

解：(a)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的左段；

N1

F

x

0 FFN10 FN1F

(3) 取2-2截面的右段；

F

x

0 FN20 FN20

(4) 轴力最大值：

FNmaxF

(b)

(1) 求固定端的约束反力；

FR



Fx0 F2FF

R

0 FRF

(2) 取1-1截面的左段； FN1

F

x

0 FFN10 FN1F

(3) 取2-2截面的右段；

F

x

0 FN2FR0 FN2FRF

(4) 轴力最大值：

FNmaxF

(c)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段； 1

FN1

1

F

x

0 2FN10 FN12 kN

(3) 取2-2截面的左段； N2

F

x

0 23FN20 FN21 kN

(4) 取3-3截面的右段； FN3

F

x

0 3FN30 FN33 kN

(5) 轴力最大值：

FNmax3 kN

(d)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的右段； FN1

F

(2) 取2-2截面的右段；

x

0 21FN10 FN11 kN

F

N2

Fx0 1FN20 FN21 kN

(5) 轴力最大值：

FNmax1 kN

8-2 试画出8-1所示各杆的轴力图。 解：(a)

(b) (c) (d)

F

F

FF

F

1kN

8-5 图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷F1=50 kN与F2作用，AB与BC段的直径分别为d1=20 mm和d2=30 mm ，如欲使

AB与BC段横截面上的正应力相同，试求载荷F2之值。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1F1 FN2F1F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

1

FN1A1



501014

FN2A2

3

159.2MPa

2

0.02

2



5010F214

0.03

2

3

1159.2MPa

F262.5kN

8-6 题8-5图所示圆截面杆，已知载荷F1=200 kN，F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求BC段的直径。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1F1 FN2F1F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

1

FN1A1



2001014

FN2A2

3

159.2MPa

2

0.04

2



(200100)10

14d

22

3

1159.2MPa

d249.0 mm

8-7 图示木杆，承受轴向载荷F=10 kN作用，杆的横截面面积A=1000 mm2，粘接面的方位角θ= 450，试计算该截面上的正应

力与切应力，并画出应力的方向。

解：(1) 斜截面的应力：

粘接面

FA

cos

2

cos5 MPaF2A

2

sin25 MPa

sincos

(2) 画出斜截面上的应力

σθ

8-14 图示桁架，杆1与杆2的横截面均为圆形，直径分别为d1=30 mm与d2=20 mm，两杆材料相同，许用应力[ζ]=160 MPa。

该桁架在节点A处承受铅直方向的载荷F=80 kN作用，试校核桁架的强度。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力；

(2) 列平衡方程

解得：

FAC

41.4kN FAB

258.6kN

F

AB

x

FF

x

0 FABsin30FACsin4500 FABcos30FACcos45F0

00

y

(2) 分别对两杆进行强度计算；



AB



FABA1FACA2

82.9MPa

AC

131.8MPa

所以桁架的强度足够。

8-15 图示桁架，杆1为圆截面钢杆，杆2为方截面木杆，在节点A处承受铅直方向的载荷F作用，试确定钢杆的直径d与

木杆截面的边宽b。已知载荷F=50 kN，钢的许用应力[ζS] =160 MPa，木的许用应力[ζW] =10 MPa。

F

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力； FFAB

F

AC

FAC70.7kN FABF50kN

(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

B103

AB

FAA

50160MPa d20.0mm

11S4

d

2

F10

3

ACAC

A

70.72

b

2

W10MPa b84.1mm

所以可以确定钢杆的直径为20 mm，木杆的边宽为84 mm。 8-16 题8-14所述桁架，试定载荷F的许用值[F]。

解：(1) 由8-14得到AB、AC两杆所受的力与载荷F的关系；

FAC

F F

AB

(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

FABAB

A

160MPa F154.5kN

1

4

d21



AC



FACA

2

160MPa F97.1kN

4

d22取[F]=97.1 kN。

8-18 图示阶梯形杆AC，F=10 kN，l1= l2=400 mm，A1=2A2=100 mm2，E=200GPa，试计算杆AC的轴向变形△l。

F

解：(1)

(2)

ll1l

2



FN1l1EA1



FN2l2EA2



101040020010100

3

3



1010400

3

2001050

3

0.2 mm

AC杆缩短。

8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正

应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4，试确定载荷F及其方位角θ之值。已知：A1=A2=200 mm2，E1=E2=200 GPa。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力与θ的关系；

FAB

FF

x

0 FABsin30FACsin30Fsin00 FABcos30FACcos30Fcos0F FAC

00

y

FAB

(2) 由胡克定律：

FAB1A1E1A116 kN FAC2A2E2A28 kN

代入前式得：

F21.2kN 10.9

o

8-23 题8-15所述桁架，若杆AB与AC的横截面面积分别为A1=400 mm与A2=8000 mm，杆AB的长度l=1.5 m，钢与木的

弹性模量分别为ES=200 GPa、EW=10 GPa。试计算节点A的水平与铅直位移。 解：(1) 计算两杆的变形；

l1

FABlESA1FAC

5010150020010400

70.710

3333

22

0.938 mm1500

1.875 mm

l2

EWA2

10108000

1杆伸长，2杆缩短。

(2) 画出节点A的协调位置并计算其位移；

水平位移：

Al10.938 mm

△1

A’

铅直位移：

fAA1A'l2sin45(l2cos45l1)tg453.58 mm

8-26 图示两端固定等截面直杆，横截面的面积为A，承受轴向载荷F作用，试计算杆内横截面上的最大拉应力与最大压应力。

(b)

解：(1)

列平衡方程：

F

x

0 FAFFFB0

(2) 用截面法求出AB、BC、CD段的轴力；

FN1FA FN2FAF

FN3FB

(3) 用变形协调条件，列出补充方程；

lABlBC

lCD0

代入胡克定律；

lAB



FN1lABEAEA

lBC

FN2lBC

EA

lCD 

FBl/3EA

FN3lCDEA

FAl/3



(FAF)l/3

EA

0

求出约束反力：

FAFBF/3

(4) 最大拉应力和最大压应力；

l,max

FN2A



2F3A



y,max



FN1A



F3A

2

8-27 图示结构，梁BD为刚体，杆1与杆2用同一种材料制成，横截面面积均为A=300 mm，许用应力[ζ]=160 MPa，载荷

F=50 kN，试校核杆的强度。

解：(1) 对BD

FN1

Fm

(2) 由变形协调关系，列补充方程；

B

0 FN1aFN22aF

2a0

l22l1

代之胡克定理，可得；

FN2lEA

2

FN1lEA

FN22FN1

解联立方程得：

FN1

25

F FN2

45F

(3) 强度计算；

12

所以杆的强度足够。

FN1AFN2A



250105300

3

66.7 MPa160 MPa

3

450105300

133.3 MPa160 MPa

8-30 图示桁架，杆1、杆2与个杆3分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别为[ζ1] =80 MPa，[ζ2] =60 MPa，[ζ3] =120 MPa，

弹性模量分别为E1=160 GPa，E2=100 GPa，E3=200 GPa。若载荷F=160 kN，A1=A2 =2A3，试确定各杆的横截面面积。

解：(1) 对节点C进行受力分析，假设三杆均受拉； 画受力图； N3

FN1

F

列平衡方程；

F0

x

0 FN1FN2cos300F

0 F0

y

N3FN2sin30F0

(2) 根据胡克定律，列出各杆的绝对变形；

lFN1l1F0

Nl1cos301

E1A 

11602A

l2

FNl2E

2FNl

2

2A2

1002A

F0

lN3l33

E

FN3lsin303A3

200A

(3) 由变形协调关系，列补充方程； △lC2

3

C’

l3l2sin30(

lcos0

30l0

N3 21

ctg) 30

简化后得：

FN3

15FN132FN28

FFN3联立平衡方程可得：

F FF

N122.63kN F

N226.13kN FN3146.941杆实际受压，2杆和3杆受拉。 (4) 强度计算；

A1

FN1

283 mm

AFN2

2

1

 mm A3

FN3

2

4363

1225 mm综合以上条件，可得

A1A22A32450 mm

8-31 图示木榫接头，F=50 kN，试求接头的剪切与挤压应力。

解：(1) 剪切实用计算公式：



FQAs



5010

3

100100

5 MPa

(2) 挤压实用计算公式：

bs

FbAb

5010

3

40100

12.5 MPa

8-32 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用，试确定轴销B的直径d。已知载荷F1=50 kN，F2=35.4 kN，许用切应力[η] =100 MPa，

许用挤压应力[ζbs] =240 MPa。

D-D

2

解：(1) 对摇臂ABC进行受力分析，由三力平衡汇交定理可求固定铰支座B的约束反力；

FB

35.4 kN

(2) 考虑轴销B的剪切强度；

FQAS

FB



14

 d15.0 mm

2



d

考虑轴销B的挤压强度；

bs

(3) 综合轴销的剪切和挤压强度，取

FbAb



FBd10

bs d14.8 mm

d15 mm

8-33 图示接头，承受轴向载荷F作用，试校核接头的强度。已知：载荷F=80 kN，板宽b=80 mm，板厚δ=10 mm，铆钉直

径d=16 mm，许用应力[ζ]=160 MPa，许用切应力[η] =120 MPa，许用挤压应力[ζbs] =340 MPa。板件与铆钉的材料相等。

解：(1) 校核铆钉的剪切强度；

1

F



F

Q

A

MPa120 MPa

S

199.5 4

d

2

(2) 校核铆钉的挤压强度；

1FF

b

bs

A125 MPabs340 MPa bd

(3) 考虑板件的拉伸强度；

对板件受力分析，画板件的轴力图；

F

x

校核1-1截面的拉伸强度

3F

1

FN1A

(b2d)

125 MPa 160 MPa 1

校核2-2截面的拉伸强度

FN11

A

F1

(bd)

125 MPa 160 MPa

所以，接头的强度足够。

9-1 试求图示各轴的扭矩，并指出最大扭矩值。

M

(a)

(b)

2kNm

(c)

(d)

解：(a) (1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的左段；

x

M

x

0 T1M0 T1M

(3) 取2-2截面的右段； T x

M

x

0 T20 T20

(4) 最大扭矩值：

MTmaxM

(b)

(1) 求固定端的约束反力； M

M

x

0 M

A

2MM0 M

A

M

(2) 取1-1截面的左段；

Mx

M

x

0 M

A

T10 T1M

A

M

(3) 取2-2截面的右段； T2

M

x

0 MT20 T2M

(4) 最大扭矩值：

TmaxM

注：本题如果取1-1、2-2截面的右段，则可以不求约束力。 (c)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段；

x

M

x

0 2T10 T12 kNm

(3) 取2-2截面的左段；

x

M

x

0 21T20 T21 kNm

(4) 取3-3截面的右段； T3

x

M

x

0 2T30 T32 kNm

(5) 最大扭矩值：

T2 kNm

max(d)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段；

x

M

x

0 1T10 T11 kNm

(3) 取2-2截面的左段；

x

M

x

0 12T20 T23 kNm(4) 取3-3截面的左段；

x

M

x

0 123T30 T30

(5) 最大扭矩值：

T

max

3 kNm

9-2 试画题9-1所示各轴的扭矩图。 解：(a) T

(b) T

x

(c) M

T

(d)

T

x

9-4 某传动轴，转速n=300 r/min(转/分），轮1为主动轮，输入的功率P1=50 kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别

为P2=10 kW，P3=P4=20 kW。

(1) 试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩。

(2) 若将轮1与论3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。

P

4

解：(1) 计算各传动轮传递的外力偶矩；

M19550

P1n

1591.7Nm M2318.3Nm M3M4636.7Nm

(2) 画出轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；

Tmax1273.4 kNm

T(Nm)

(3) 对调论1与轮3，扭矩图为；

955

Tmax955 kNm

T(Nm) 所以对轴的受力有利。

9-8 图示空心圆截面轴，外径D=40 mm，内径d=20 mm，扭矩T=1 kNm，试计算A点处(ρA=15 mm)的扭转切应力ηA，以及

横截面上的最大与最小扭转切应力。

解：(1) 计算横截面的极惯性矩；

Ip



32

(Dd)2.35610 mm

4454

(2) 计算扭转切应力；

A

TAI



110152.35610

65

6

63.7 MPa

maxmin

Tmax

ITmin

I



110202.35610110102.35610

5

6

5

84.9 MPa

42.4 MPa

9-16 图示圆截面轴，AB与BC段的直径分别为d1与d2，且d1=4d2/3，试求轴内的最大切应力与截面C的转角，并画出轴表

面母线的位移情况，材料的切变模量为G。

解：(1) 画轴的扭矩图；

T

x

(2) 求最大切应力；

ABmax

TABWpAB



2M116



3

2M116

d1

TBC

(

M

4d3

)

3

13.5M

d

32

BCmax

比较得

WpBC



116



3

16M

d2

d

32

max

16M

d2

3

(3) 求C截面的转角；

CABBC

TABlABGIpAB



TBClBCGIpBC

G132

2Ml



4d2

3

4

G

Ml132



42

16.6MlGd2

4

d

9-18 题9-16所述轴，若扭力偶矩M=1 kNm，许用切应力[η] =80 MPa，单位长度的许用扭转角[θ]=0.5 0/m，切变模量G=80 GPa，

试确定轴径。 解：(1) 考虑轴的强度条件；

6

2MABmax

1

211016

d150.3mm

16

d3d3

801

1

M

6

BCmax

1

11016

3

m

16

d3

d80 d239.9m2

2

(2) 考虑轴的刚度条件；

6

B3

AB

MTAGI

180

3

pAB

210328010d4

180

1

100.5 d173.5 mm

MTBC180

110632180

3

BC

GI

pBC





80103

d

4

2



100.5 d261.8 mm

(3) 综合轴的强度和刚度条件，确定轴的直径；

d173.5mm d261.8mm

9-19 图示两端固定的圆截面轴，直径为d，材料的切变模量为G，截面B的转角为θB，试求所加扭力偶矩M之值。

解：(1) 受力分析，列平衡方程；

M

B

M

x

0 M

A

MMB0

(2) 求AB、BC段的扭矩；

TABMA TBCMAM

(3) 列补充方程，求固定端的约束反力偶；

32MAM2a

ABBC0

32MAaGd

4



Gd

4

0

与平衡方程一起联合解得

M

A



23

M MB

13

M

(4) 用转角公式求外力偶矩M；

32Ma3Gd4

AB

AGd

4

B M

B

64a

10-1 试计算图示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。

(a)

(b)

q

B

(d)

解：(a) (1) 取A+截面左段研究，其受力如图；

MA+

SA+

由平衡关系求内力

FSAF MA0

(2) 求C截面内力；

取C截面左段研究，其受力如图； MC

SC

由平衡关系求内力

FFlSCF MC

2

(3) 求B-截面内力

截开B-截面，研究左段，其受力如图； A

MB

SB

由平衡关系求内力

FSBF MBFl

(b)

工程力学答案

2-2解：(1) 取节点C为研究对象，画受力图，注意AC、BC都为二力杆，

F

(2) 列平衡方程：

Fy0 F415Fo

ACsin60F20

Fx0 F31

5

FBCFo

ACcos600

FAC207 N FBC164 N

AC与BC两杆均受拉。

2-3解：(1) 取整体ABCD为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形： F

F FD

FA

D

(2)

FFDFAFDBC

ABA

C

F21

F1D2

F FA

2

F1.12F

2-4解：(1) 研究AB，受力分析并画受力图：

(2) 画封闭的力三角形： FA d

e

FF

B

相似关系：

CDEcde 

FFBFACD

CE

ED

几何尺寸：

CE

12

BD

12

CD ED

2

CD

求出约束反力：

FCEBCDF12

2010 kNFEDA

CD

F

2

2010.4 kN 45o

arctan

CECD

18.4

o

2-6解：(1) 取DE为研究对象，DE为二力杆；FD = FE

(2) 取ABC为研究对象，受力分析并画受力图；画封闭的力三角形： F

F

FAF'

1DFE

2

F

53

166.7 N

2-7解：（1）取铰链B为研究对象，AB、BC均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；

FBC

FAB

FF1 FBC

1

(2) 取铰链C为研究对象，BC、CD均为二力杆，画受力图和封闭力三角形；

C

FFCD

FCD

F2

FFo

CB2cos30

2

F2

由前二式可得：

FBCFCB12

2

F1

4

F20.61F2 or F21.63F1

2-9 解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，AB、AB、AD均为二力杆，画受力图，得到一个空间汇交力系；

(2) 列平衡方程：

Foo

x

0 FACcos45 FABcos450F0 FFo

y

ADcos600

F

z

0 Fo

ADsin60FACsin45o

Fo

ABsin450

解得：

FAD2F1.2 kN FACFAB

4

AD0.735 kN

AB、AC杆受拉，AD杆受压。

3-1 解：(a) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

列平衡方程：



M0 FBlM0 FMB

l

M

FAFB

l

(b) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

列平衡方程：



M0 FBlM0 FB

Ml

FM

FAB

l

(c) 受力分析，画受力图；A、B处的约束力组成一个力偶；

F

列平衡方程：

B



M0 FBlcosM0 FB

Mlcos

Mlcos

FAFB

3-2 解：(1) 取BC为研究对象，受力分析，BC为二力杆，画受力图；

FC

FBFC

(2) 取AB为研究对象，受力分析，A、B的约束力组成一个力偶，画受力图；

2

Ma



M0

FB

3aaM0 FB

'

'

0.354

FAFC0.354

Ma

3-3 齿轮箱的两个轴上作用的力偶如题图所示，它们的力偶矩的大小分别为M1=500 Nm，M2 =125 Nm。求两螺栓处的铅垂约

束力。图中长度单位为cm。

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，A、B的约束力组成一个力偶，画受力图；

(2) 列平衡方程：



M0 FBlM1M20 FB

M1M2

l



500125

50

750 N

FAFB750 N

3-5 四连杆机构在图示位置平衡。已知OA=60cm，BC=40cm，作用BC上的力偶的力偶矩大小为M2=1N.m，试求作用在OA

上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力FAB所受的力。各杆重量不计。

B

解：(1) 研究BC杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

FB

M

FB

0 FBBCsin30M20M2

BCsin30

o

o



10.4sin30

o

5 N

(2) 研究AB（二力杆），受力如图：

可知：

FAFBFB5 N

'

'

(3) 研究OA杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

FFA

M

0 FAOAM10

 M1FAOA50.63 Nm

3-7 O1和O 2圆盘与水平轴AB固连，O1盘垂直z轴，O2盘垂直x轴，盘面上分别作用力偶（F1，F’1），（F2，F’2）如题图所

示。如两半径为r=20 cm, F1 =3 N, F2 =5 N,AB=80 cm,不计构件自重，试计算轴承A和B的约束力。 y

解：(1) 取整体为研究对象，受力分析，A、B处x方向和y方向的约束力分别组成力偶，画受力图。

(2) 列平衡方程：

M

x

0 FBzABF22r0F2rF2

205Bz

AB



280

2.5 N FAzFBz2.5 N



M

z

0 FBxABF12r0F2rF12203Bx

AB



80

1.5 N FAxFBx1.5 N

AB的约束力：

FA



8.5 N

FBFA8.5 N

3-8 在图示结构中，各构件的自重都不计，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶，各尺寸如图。求支座A的约束力。

解：(1) 取BC为研究对象，受力分析，画受力图；



M0 F0 FMClMC

l

(2) 取DAC为研究对象，受力分析，画受力图；

FF’C

D

画封闭的力三角形； FF DA

’C

解得

FA

FCcos45

o

'



4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力的单位为kN，力偶矩的单位为kNm，长度单位为m，分布载荷集度为kN/m。

(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 (b)

(e)

解：

(b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意力系)； Fx

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

x

0: FAx0.40

FAx0.4 kN

M

A

(F)0: 20.80.51.60.40.7FB20

F

B0.26 kN

F

y

0: FAy20.5FB0

FAy1.24 kN

约束力的方向如图所示。

(c)：(1) 研究AB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；



MB(F)0: FAy33



20

2dxx0

FAy0.33 kN



Fy0: FAy



20

2dx

FBcos300

o

FB4.24 kN

F

约束力的方向如图所示。

x

0: FAxFBsin300

o

FAx2.12 kN

(e)：(1) 研究CABD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

q

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

M

A

x

0: FAx0

(F)0: 

0.80

20dxx8FB1.6202.40

FB21 kN

F

约束力的方向如图所示。

y

0: 



0.80

20dxFAyFB200

FAy15 kN

4-5 AB梁一端砌在墙内，在自由端装有滑轮用以匀速吊起重物D，设重物的重量为G，又AB长为b，斜绳与铅垂线成角，

求固定端的约束力。

解：(1) 研究AB杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

F(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

x

FF

x

0: -FAxGsin0

FAxGsin

y

0: FAyGGcos0

FAyG(1cos)

M

约束力的方向如图所示。

B

(F)0: MAFAybGRGR0

MAG(1cos)b

4-7 练钢炉的送料机由跑车A和可移动的桥B组成。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2 m，跑车与操作架、平臂OC

以及料斗C相连，料斗每次装载物料重W=15 kN，平臂长OC=5 m。设跑车A，操作架D和所有附件总重为P。作用于

操作架的轴线，问P至少应多大才能使料斗在满载时跑车不致翻倒？

解：(1) 研究跑车与操作架、平臂OC以及料斗C，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

C

(2) 选F点为矩心，列出平衡方程；

M

F

(F)0: -FE2P1W40

P2

2W

FE

(3) 不翻倒的条件；

FE0

P4W60 kN

4-13 活动梯子置于光滑水平面上，并在铅垂面内，梯子两部分AC和AB各重为Q，重心在A点，彼此用铰链A和绳子DE

连接。一人重为P立于F处，试求绳子DE的拉力和B、C两点的约束力。

解：(1)：研究整体，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

x



MB(F)0: -Q

l2

cosQ

3l2

cosP2lacosFC2lcos0

a

FCQ1P

2l

F

y

0: FBFC2QP0

a2l

P

FBQ

(3) 研究AB，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选A点为矩心，列出平衡方程；



MA(F)0: -FBlcosQ

a

l2

cosFDh0

lcos

FDQP

l2h

4-15 在齿条送料机构中杠杆AB=500 mm，AC=100 mm，齿条受到水平阻力FQ的作用。已知Q=5000 N，各零件自重不计，

试求移动齿条时在点B的作用力F是多少？

解：(1) 研究齿条和插瓜(二力杆)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； F x

(2) 选x轴为投影轴，列出平衡方程；

F

o

x

0: -FAcos30FQ0

FA5773.5 N

(3) 研究杠杆AB，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选C点为矩心，列出平衡方程；

M

C

(F)0: FAsin15ACFBC0

'o

F373.6 N

4-16 由AC和CD构成的复合梁通过铰链C连接，它的支承和受力如题4-16图所示。已知均布载荷集度q=10 kN/m，力偶

M=40 kNm，a=2 m，不计梁重，试求支座A、B、D的约束力和铰链C所受的力。

解：(1) 研究CD

q F

(2) 选坐标系Cxy，列出平衡方程；



Ma

C(F)0: -0

qdx

xMFD2a0

FD5 kN



Fy0: FC



a0

qdxFD0

FC25 kN

(3) 研究ABC杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；

x

(4) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；



Ma'

B(F)0: FAa



qdxxFCa0

FA35 kN

F

a

y

0: FA



q

dxF'

BFC0

FB80 kN

约束力的方向如图所示。

4-17 刚架ABC和刚架CD通过铰链C连接，并与地面通过铰链A、B、D连接，如题4-17图所示，载荷如图，试求刚架的

支座约束力(尺寸单位为m，力的单位为 kN，载荷集度单位为 kN/m)。 =50

解：

(a)

(b)

(a)：(1) 研究CD杆，它是二力杆，又根据D点的约束性质，可知：FC=FD=0；

(2) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(3) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

x

0: FAx1000

FAx100 kN

M

A

(F)0: 1006



5

1

qdxxFB60

FB120 kN



Fy0: FAy



5

1

qdxFB0

FAy80 kN

约束力的方向如图所示。

(b)：(1) 研究CD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； =50

(2) 选C点为矩心，列出平衡方程；



MC(F)0: 



30

qdxxFD30

FD15 kN

(3) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

x

(4) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

F



x

0: FAx500

FAx50 kN

MB(F)0: FAy6



30

qdxxFD35030

FAy25 kN



约束力的方向如图所示。

Fy0: FAy



30

qdxFBFD0

FB10 kN

4-18 由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持着物体。物体重12 kN。D处亦为铰链连接，尺寸如题4-18图所示。试求

固定铰链支座A和滚动铰链支座B的约束力以及杆BC所受的力。

A

解：(1) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； x

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

F

M

x

0: FAxW

0

FAx12 kN

A

(F)0: FB4W1.5rW2r0

FB10.5 kN

F

y

0: FAyFBW0

FAy1.5 kN

(3) 研究CE杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(4) 选D点为矩心，列出平衡方程；

FCB

M

约束力的方向如图所示。

D

(F)0: FCBsin1.5W1.5rWr0

FCB15 kN

4-19 起重构架如题4-19图所示，尺寸单位为mm。滑轮直径d=200 mm，钢丝绳的倾斜部分平行于杆BE。吊起的载荷W=10

kN，其它重量不计，求固定铰链支座A、B的约束力。

解：(1) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

W (2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

M

B

(F)0: FAx600W12000

FAx20 kN

F

x

0: FAxFBx0

FBx20 kN

F

(4) 选D点为矩心，列出平衡方程；

y

0: FAyFByW0

(3) 研究ACD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

Dx

M

(5) 将FAy代入到前面的平衡方程；

D

(F)0: FAy800FC1000

FAy1.25 kN

FByFAyW11.25 kN

约束力的方向如图所示。

4-20 AB、AC、DE三杆连接如题4-20图所示。DE杆上有一插销F套在AC杆的导槽内。求在水平杆DE的E端有一铅垂力

F作用时，AB杆上所受的力。设AD=DB，DF=FE，BC=DE，所有杆重均不计。

解：(1)

BC方向；

(2) 研究DFE杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(3) 分别选F点和B点为矩心，列出平衡方程；

MF

(F)0: FEFFDyDE0

FDyF

M

B

(F)0: FEDFDxDB0

FDx2F

(4) 研究ADB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； x

F(5) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

M

'

A

(F)0: FDxADFBAB0

FBF

F

x

0: FAxFBF'

Dx0

FAxF

F

'

y

0: FAyFDy0

FAyF

约束力的方向如图所示。

5-4 一重量W=1000 N的匀质薄板用止推轴承A、径向轴承B和绳索CE支持在水平面上，可以绕水平轴AB转动，今在板上

作用一力偶，其力偶矩为M，并设薄板平衡。已知a=3 m，b=4 m，h=5 m，M=2000 Nm，试求绳子的拉力和轴承A、B

约束力。

解：(1) 研究匀质薄板，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

F

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；



M

z

(F)0: MFBy40

FBy500 N



Mx(F)0: W

a2

FC

2

0

FC707 N



My(F)0: FBzbW

b2

FC

2

b0

FBz0



Fz0: FBzFAzWFC

2

0

FAz500 N



Fx0: FAxFC

2



45

0

FAx400 N



约束力的方向如图所示。

Fy0: FByFAyFC

2



35

0

FAy800 N

5-5 作用于半径为120 mm的齿轮上的啮合力F推动皮带绕水平轴AB作匀速转动。已知皮带紧边拉力为200 N，松边拉力为

100 N，尺寸如题5-5图所示。试求力F的大小以及轴承A、B的约束力。(尺寸单位mm)。

解: (1) 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；

M

(F)0: o

z

Fcos20120200100800

F70.9 N

M

x

(F)0: Fsin20o

100200100250FBy3500

FBy207 N

M

o

y

(F)0: Fcos20100FBx3500

FBx19 N

Fx0: Fo

AxFcos20FBx0

FAx47.6 N

F

0: Fo

y

AyFsin20FBy1002000

FAy68.8 N

约束力的方向如图所示。

5-6 某传动轴以A、B两轴承支承，圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3 cm，压力角=20o。在法兰盘上作用一力偶矩M=1030 Nm

的力偶，如轮轴自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时的啮合力F及A、B轴承的约束力(图中尺寸单位为cm)。

解: (1) 研究整体，受力分析，画出受力图(空间任意力系)；

(2) 选坐标系Axyz，列出平衡方程；



My(F)0: Fcos20o



d2

M0

F12.67 kN

Mo

x

(F)0: Fsin2022FBz33.20

F

Bz2.87 kN

M

z

(F)0: Fcos20o

22FBx33.20

FBx7.89 kN

Fx

0: Fo

AxFcos20FBx0

FAx4.02 kN

F

: F20o

z

0AzFsinFBz0

FAz1.46 kN

约束力的方向如图所示。

6-9 已知物体重W=100 N，斜面倾角为30o(题6-9图a，tan30o=0.577)，物块与斜面间摩擦因数为fs=0.38，f’s=0.37，求物块与

斜面间的摩擦力？并问物体在斜面上是静止、下滑还是上滑？如果使物块沿斜面向上运动，求施加于物块并与斜面平行

的力F至少应为多大？

(a) (b)

解：(1) 确定摩擦角，并和主动力合力作用线与接触面法向夹角相比较；

tg

f

fs0.38tgtg300.577



f

o

20.8

o

(2) 判断物体的状态，求摩擦力：物体下滑，物体与斜面的动滑动摩擦力为

F'fsWcos32 N

'

(3) 物体有向上滑动趋势，且静滑动摩擦力达到最大时，全约束力与接触面法向夹角等于摩擦角；

(4) 画封闭的力三角形，求力F；

Wsin90

o

f





Fsin

f



F

sin

o

f



f

sin90

W82.9 N

6-10 重500 N的物体A置于重400 N的物体B上，B又置于水平面C上如题图所示。已知fAB=0.3，fBC=0.2，今在A上作用

一与水平面成30o的力F。问当F力逐渐加大时，是A先动呢？还是A、B一起滑动？如果B物体重为200 N，情况又

如何？

解：(1) 确定A、B和B、C间的摩擦角：

C

f1arctgfAB16.7

o

f2arctgfBC11.3

o

(2)

当A、B间的静滑动摩擦力达到最大时，画物体A的受力图和封闭力三角形；

W

fF1sin



WA

o

f1

sin180

o

f1

90o30



Ff1

1

sin

sin60o

f1



WA209 N

(3) 当B、C间的静滑动摩擦力达到最大时，画物体A与B的受力图和封闭力三角形；

F2B

sin



WAf2

sin180o



f2

90o30

o



F2

sin

f2

sin60o

B234 N

f2



WA(4) 比较F1和F2；

F1F2

物体A先滑动；

(4) 如果WB=200 N，则WA+B=700 N，再求F2；

Fsinf2

2

sin60o

WAB183 N

f2

F1F2

物体A和B一起滑动；

6-11 均质梯长为l，重为P，B端靠在光滑铅直墙上，如图所示，已知梯与地面的静摩擦因数fsA，求平衡时=？

解：(1) 研究AB杆，当A点静滑动摩擦力达到最大时，画受力图(A点约束力用全约束力表示)；

由三力平衡汇交定理可知，P、FB、FR三力汇交在D点； (2) 找出min和 f的几何关系；

lsinmintantanmin

f



l2

cosmin

12fsA

12tan

f

minarctan

12fsA

(3) 得出角的范围；

90arctan

o

12fsA

6-13 如图所示，欲转动一置于V槽型中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M=1500 Ncm，已知棒料重G=400 N，直径D=25 cm。

试求棒料与V型槽之间的摩擦因数fs。

解：(1) 研究棒料，当静滑动摩擦力达到最大时，画受力图(用全约束力表示)；

(/4)-f

(2) 画封闭的力三角形，求全约束力；



FR1Gcosf FR2Gsinf

44

(3) 取O为矩心，列平衡方程；



MO(F)0: FR1sinf

D2

FR2sinf

D2

M0

sin2f

0.4243

o

f12.55

(4) 求摩擦因数；

fstan

f

0.223

6-15 砖夹的宽度为25 cm，曲杆AGB与GCED在G点铰接。砖的重量为W，提砖的合力F作用在砖对称中心线上，尺寸如

图所示。如砖夹与砖之间的摩擦因数fs=0.5，试问b应为多大才能把砖夹起(b是G点到砖块上所受正压力作用线的垂直距离)。 D

解：(1) 砖夹与砖之间的摩擦角：

farctanfsarctan0.525.6o

(2) 由整体受力分析得：F=W

(2) 研究砖，受力分析，画受力图；

(3) 列y方向投影的平衡方程；

F

y

0: 2FRsinfW0

FR1.157W

(4) 研究AGB杆，受力分析，画受力图；

(5) 取G为矩心，列平衡方程；

M

''

G

(F)0: FRsinf3FRcosfbF9.50

b10.5 cm

6-18 试求图示两平面图形形心C的位置。图中尺寸单位为mm。

(a)

(b)

解:(a) (1) 将T形分成上、下二个矩形S1、S2，形心为C1、C2；

(2) 在图示坐标系中，y轴是图形对称轴，则有：xC=0 (3) 二个矩形的面积和形心；

S2

1501507500 mm yC1225 mmS2

25020010000 mm yC2100 mm

(4) T形的形心；

xC0yii

22510000100

C

SyS



7500i

750010000

153.6 mm

(b) (1) 将L形分成左、右二个矩形S1、S2，形心为C1、C2；

(3) 二个矩形的面积和形心；

S2

1101201200 mm xC15 mm yC160 mmS2

27010700 mm xC245 mm yC25 mm

(4) L形的形心；

xi

C

SixS

1200570045

i120070019.74 mm

ySiyi

C

S



1200607005

i

1200700

39.74 mm

6-19试求图示平面图形形心位置。尺寸单位为mm。

(a)

(b)

解：(a) (1) 将图形看成大圆S1减去小圆S2，形心为C1和C2；

(2) 在图示坐标系中，x轴是图形对称轴，则有：yC=0 (3) 二个图形的面积和形心；

S2

2

120040000 mm xC10S2

2

2806400 mm xC2100 mm

(4) 图形的形心；

xSixi

C

S



6400100i

400006400

19.05 mm

yC0

(b) (1) 将图形看成大矩形S1减去小矩形S2，形心为C1和C2；

(2) 在图示坐标系中，y轴是图形对称轴，则有：xC=0 (3) 二个图形的面积和形心；

(4) 图形的形心；

S2

116012019200 mm yC160

S2

2100606000 mm yC250 mm

xC0yi

C

SiyS



1920060600050

i

192006000

64.55 mm

8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。 (a)

(c)

(d)

解：(a)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的左段；

N1

F

x

0 FFN10 FN1F

(3) 取2-2截面的右段；

F

x

0 FN20 FN20

(4) 轴力最大值：

FNmaxF

(b)

(1) 求固定端的约束反力；

FR



Fx0 F2FF

R

0 FRF

(2) 取1-1截面的左段； FN1

F

x

0 FFN10 FN1F

(3) 取2-2截面的右段；

F

x

0 FN2FR0 FN2FRF

(4) 轴力最大值：

FNmaxF

(c)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段； 1

FN1

1

F

x

0 2FN10 FN12 kN

(3) 取2-2截面的左段； N2

F

x

0 23FN20 FN21 kN

(4) 取3-3截面的右段； FN3

F

x

0 3FN30 FN33 kN

(5) 轴力最大值：

FNmax3 kN

(d)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的右段； FN1

F

(2) 取2-2截面的右段；

x

0 21FN10 FN11 kN

F

N2

Fx0 1FN20 FN21 kN

(5) 轴力最大值：

FNmax1 kN

8-2 试画出8-1所示各杆的轴力图。 解：(a)

(b) (c) (d)

F

F

FF

F

1kN

8-5 图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷F1=50 kN与F2作用，AB与BC段的直径分别为d1=20 mm和d2=30 mm ，如欲使

AB与BC段横截面上的正应力相同，试求载荷F2之值。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1F1 FN2F1F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

1

FN1A1



501014

FN2A2

3

159.2MPa

2

0.02

2



5010F214

0.03

2

3

1159.2MPa

F262.5kN

8-6 题8-5图所示圆截面杆，已知载荷F1=200 kN，F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求BC段的直径。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1F1 FN2F1F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

1

FN1A1



2001014

FN2A2

3

159.2MPa

2

0.04

2



(200100)10

14d

22

3

1159.2MPa

d249.0 mm

8-7 图示木杆，承受轴向载荷F=10 kN作用，杆的横截面面积A=1000 mm2，粘接面的方位角θ= 450，试计算该截面上的正应

力与切应力，并画出应力的方向。

解：(1) 斜截面的应力：

粘接面

FA

cos

2

cos5 MPaF2A

2

sin25 MPa

sincos

(2) 画出斜截面上的应力

σθ

8-14 图示桁架，杆1与杆2的横截面均为圆形，直径分别为d1=30 mm与d2=20 mm，两杆材料相同，许用应力[ζ]=160 MPa。

该桁架在节点A处承受铅直方向的载荷F=80 kN作用，试校核桁架的强度。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力；

(2) 列平衡方程

解得：

FAC

41.4kN FAB

258.6kN

F

AB

x

FF

x

0 FABsin30FACsin4500 FABcos30FACcos45F0

00

y

(2) 分别对两杆进行强度计算；



AB



FABA1FACA2

82.9MPa

AC

131.8MPa

所以桁架的强度足够。

8-15 图示桁架，杆1为圆截面钢杆，杆2为方截面木杆，在节点A处承受铅直方向的载荷F作用，试确定钢杆的直径d与

木杆截面的边宽b。已知载荷F=50 kN，钢的许用应力[ζS] =160 MPa，木的许用应力[ζW] =10 MPa。

F

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力； FFAB

F

AC

FAC70.7kN FABF50kN

(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

B103

AB

FAA

50160MPa d20.0mm

11S4

d

2

F10

3

ACAC

A

70.72

b

2

W10MPa b84.1mm

所以可以确定钢杆的直径为20 mm，木杆的边宽为84 mm。 8-16 题8-14所述桁架，试定载荷F的许用值[F]。

解：(1) 由8-14得到AB、AC两杆所受的力与载荷F的关系；

FAC

F F

AB

(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

FABAB

A

160MPa F154.5kN

1

4

d21



AC



FACA

2

160MPa F97.1kN

4

d22取[F]=97.1 kN。

8-18 图示阶梯形杆AC，F=10 kN，l1= l2=400 mm，A1=2A2=100 mm2，E=200GPa，试计算杆AC的轴向变形△l。

F

解：(1)

(2)

ll1l

2



FN1l1EA1



FN2l2EA2



101040020010100

3

3



1010400

3

2001050

3

0.2 mm

AC杆缩短。

8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正

应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4，试确定载荷F及其方位角θ之值。已知：A1=A2=200 mm2，E1=E2=200 GPa。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力与θ的关系；

FAB

FF

x

0 FABsin30FACsin30Fsin00 FABcos30FACcos30Fcos0F FAC

00

y

FAB

(2) 由胡克定律：

FAB1A1E1A116 kN FAC2A2E2A28 kN

代入前式得：

F21.2kN 10.9

o

8-23 题8-15所述桁架，若杆AB与AC的横截面面积分别为A1=400 mm与A2=8000 mm，杆AB的长度l=1.5 m，钢与木的

弹性模量分别为ES=200 GPa、EW=10 GPa。试计算节点A的水平与铅直位移。 解：(1) 计算两杆的变形；

l1

FABlESA1FAC

5010150020010400

70.710

3333

22

0.938 mm1500

1.875 mm

l2

EWA2

10108000

1杆伸长，2杆缩短。

(2) 画出节点A的协调位置并计算其位移；

水平位移：

Al10.938 mm

△1

A’

铅直位移：

fAA1A'l2sin45(l2cos45l1)tg453.58 mm

8-26 图示两端固定等截面直杆，横截面的面积为A，承受轴向载荷F作用，试计算杆内横截面上的最大拉应力与最大压应力。

(b)

解：(1)

列平衡方程：

F

x

0 FAFFFB0

(2) 用截面法求出AB、BC、CD段的轴力；

FN1FA FN2FAF

FN3FB

(3) 用变形协调条件，列出补充方程；

lABlBC

lCD0

代入胡克定律；

lAB



FN1lABEAEA

lBC

FN2lBC

EA

lCD 

FBl/3EA

FN3lCDEA

FAl/3



(FAF)l/3

EA

0

求出约束反力：

FAFBF/3

(4) 最大拉应力和最大压应力；

l,max

FN2A



2F3A



y,max



FN1A



F3A

2

8-27 图示结构，梁BD为刚体，杆1与杆2用同一种材料制成，横截面面积均为A=300 mm，许用应力[ζ]=160 MPa，载荷

F=50 kN，试校核杆的强度。

解：(1) 对BD

FN1

Fm

(2) 由变形协调关系，列补充方程；

B

0 FN1aFN22aF

2a0

l22l1

代之胡克定理，可得；

FN2lEA

2

FN1lEA

FN22FN1

解联立方程得：

FN1

25

F FN2

45F

(3) 强度计算；

12

所以杆的强度足够。

FN1AFN2A



250105300

3

66.7 MPa160 MPa

3

450105300

133.3 MPa160 MPa

8-30 图示桁架，杆1、杆2与个杆3分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别为[ζ1] =80 MPa，[ζ2] =60 MPa，[ζ3] =120 MPa，

弹性模量分别为E1=160 GPa，E2=100 GPa，E3=200 GPa。若载荷F=160 kN，A1=A2 =2A3，试确定各杆的横截面面积。

解：(1) 对节点C进行受力分析，假设三杆均受拉； 画受力图； N3

FN1

F

列平衡方程；

F0

x

0 FN1FN2cos300F

0 F0

y

N3FN2sin30F0

(2) 根据胡克定律，列出各杆的绝对变形；

lFN1l1F0

Nl1cos301

E1A 

11602A

l2

FNl2E

2FNl

2

2A2

1002A

F0

lN3l33

E

FN3lsin303A3

200A

(3) 由变形协调关系，列补充方程； △lC2

3

C’

l3l2sin30(

lcos0

30l0

N3 21

ctg) 30

简化后得：

FN3

15FN132FN28

FFN3联立平衡方程可得：

F FF

N122.63kN F

N226.13kN FN3146.941杆实际受压，2杆和3杆受拉。 (4) 强度计算；

A1

FN1

283 mm

AFN2

2

1

 mm A3

FN3

2

4363

1225 mm综合以上条件，可得

A1A22A32450 mm

8-31 图示木榫接头，F=50 kN，试求接头的剪切与挤压应力。

解：(1) 剪切实用计算公式：



FQAs



5010

3

100100

5 MPa

(2) 挤压实用计算公式：

bs

FbAb

5010

3

40100

12.5 MPa

8-32 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用，试确定轴销B的直径d。已知载荷F1=50 kN，F2=35.4 kN，许用切应力[η] =100 MPa，

许用挤压应力[ζbs] =240 MPa。

D-D

2

解：(1) 对摇臂ABC进行受力分析，由三力平衡汇交定理可求固定铰支座B的约束反力；

FB

35.4 kN

(2) 考虑轴销B的剪切强度；

FQAS

FB



14

 d15.0 mm

2



d

考虑轴销B的挤压强度；

bs

(3) 综合轴销的剪切和挤压强度，取

FbAb



FBd10

bs d14.8 mm

d15 mm

8-33 图示接头，承受轴向载荷F作用，试校核接头的强度。已知：载荷F=80 kN，板宽b=80 mm，板厚δ=10 mm，铆钉直

径d=16 mm，许用应力[ζ]=160 MPa，许用切应力[η] =120 MPa，许用挤压应力[ζbs] =340 MPa。板件与铆钉的材料相等。

解：(1) 校核铆钉的剪切强度；

1

F



F

Q

A

MPa120 MPa

S

199.5 4

d

2

(2) 校核铆钉的挤压强度；

1FF

b

bs

A125 MPabs340 MPa bd

(3) 考虑板件的拉伸强度；

对板件受力分析，画板件的轴力图；

F

x

校核1-1截面的拉伸强度

3F

1

FN1A

(b2d)

125 MPa 160 MPa 1

校核2-2截面的拉伸强度

FN11

A

F1

(bd)

125 MPa 160 MPa

所以，接头的强度足够。

9-1 试求图示各轴的扭矩，并指出最大扭矩值。

M

(a)

(b)

2kNm

(c)

(d)

解：(a) (1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的左段；

x

M

x

0 T1M0 T1M

(3) 取2-2截面的右段； T x

M

x

0 T20 T20

(4) 最大扭矩值：

MTmaxM

(b)

(1) 求固定端的约束反力； M

M

x

0 M

A

2MM0 M

A

M

(2) 取1-1截面的左段；

Mx

M

x

0 M

A

T10 T1M

A

M

(3) 取2-2截面的右段； T2

M

x

0 MT20 T2M

(4) 最大扭矩值：

TmaxM

注：本题如果取1-1、2-2截面的右段，则可以不求约束力。 (c)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段；

x

M

x

0 2T10 T12 kNm

(3) 取2-2截面的左段；

x

M

x

0 21T20 T21 kNm

(4) 取3-3截面的右段； T3

x

M

x

0 2T30 T32 kNm

(5) 最大扭矩值：

T2 kNm

max(d)

(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段；

x

M

x

0 1T10 T11 kNm

(3) 取2-2截面的左段；

x

M

x

0 12T20 T23 kNm(4) 取3-3截面的左段；

x

M

x

0 123T30 T30

(5) 最大扭矩值：

T

max

3 kNm

9-2 试画题9-1所示各轴的扭矩图。 解：(a) T

(b) T

x

(c) M

T

(d)

T

x

9-4 某传动轴，转速n=300 r/min(转/分），轮1为主动轮，输入的功率P1=50 kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别

为P2=10 kW，P3=P4=20 kW。

(1) 试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩。

(2) 若将轮1与论3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。

P

4

解：(1) 计算各传动轮传递的外力偶矩；

M19550

P1n

1591.7Nm M2318.3Nm M3M4636.7Nm

(2) 画出轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；

Tmax1273.4 kNm

T(Nm)

(3) 对调论1与轮3，扭矩图为；

955

Tmax955 kNm

T(Nm) 所以对轴的受力有利。

9-8 图示空心圆截面轴，外径D=40 mm，内径d=20 mm，扭矩T=1 kNm，试计算A点处(ρA=15 mm)的扭转切应力ηA，以及

横截面上的最大与最小扭转切应力。

解：(1) 计算横截面的极惯性矩；

Ip



32

(Dd)2.35610 mm

4454

(2) 计算扭转切应力；

A

TAI



110152.35610

65

6

63.7 MPa

maxmin

Tmax

ITmin

I



110202.35610110102.35610

5

6

5

84.9 MPa

42.4 MPa

9-16 图示圆截面轴，AB与BC段的直径分别为d1与d2，且d1=4d2/3，试求轴内的最大切应力与截面C的转角，并画出轴表

面母线的位移情况，材料的切变模量为G。

解：(1) 画轴的扭矩图；

T

x

(2) 求最大切应力；

ABmax

TABWpAB



2M116



3

2M116

d1

TBC

(

M

4d3

)

3

13.5M

d

32

BCmax

比较得

WpBC



116



3

16M

d2

d

32

max

16M

d2

3

(3) 求C截面的转角；

CABBC

TABlABGIpAB



TBClBCGIpBC

G132

2Ml



4d2

3

4

G

Ml132



42

16.6MlGd2

4

d

9-18 题9-16所述轴，若扭力偶矩M=1 kNm，许用切应力[η] =80 MPa，单位长度的许用扭转角[θ]=0.5 0/m，切变模量G=80 GPa，

试确定轴径。 解：(1) 考虑轴的强度条件；

6

2MABmax

1

211016

d150.3mm

16

d3d3

801

1

M

6

BCmax

1

11016

3

m

16

d3

d80 d239.9m2

2

(2) 考虑轴的刚度条件；

6

B3

AB

MTAGI

180

3

pAB

210328010d4

180

1

100.5 d173.5 mm

MTBC180

110632180

3

BC

GI

pBC





80103

d

4

2



100.5 d261.8 mm

(3) 综合轴的强度和刚度条件，确定轴的直径；

d173.5mm d261.8mm

9-19 图示两端固定的圆截面轴，直径为d，材料的切变模量为G，截面B的转角为θB，试求所加扭力偶矩M之值。

解：(1) 受力分析，列平衡方程；

M

B

M

x

0 M

A

MMB0

(2) 求AB、BC段的扭矩；

TABMA TBCMAM

(3) 列补充方程，求固定端的约束反力偶；

32MAM2a

ABBC0

32MAaGd

4



Gd

4

0

与平衡方程一起联合解得

M

A



23

M MB

13

M

(4) 用转角公式求外力偶矩M；

32Ma3Gd4

AB

AGd

4

B M

B

64a

10-1 试计算图示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。

(a)

(b)

q

B

(d)

解：(a) (1) 取A+截面左段研究，其受力如图；

MA+

SA+

由平衡关系求内力

FSAF MA0

(2) 求C截面内力；

取C截面左段研究，其受力如图； MC

SC

由平衡关系求内力

FFlSCF MC

2

(3) 求B-截面内力

截开B-截面，研究左段，其受力如图； A

MB

SB

由平衡关系求内力

FSBF MBFl

(b)