初中几何证明题
经典题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得证。
E
EO GO CO
==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
A
D
O
F
B
第 1 页 共 23 页
A
D
B C
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）
. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得证。
EO GO CO
==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得证。
第 2 页 共 23 页
EO GO CO
==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、
D
D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
A D A 1
1
C B 2
2
C
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝
、
CD 的中点，AD 、BC 的延长线交求证：∠DEN ＝∠F ．
第 3 页 共 23 页
B
经典题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．
（1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于
条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二）
第 4 页 共 23 页
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A
CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB
第 5 页 共 23 页
F
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
求证：CE ＝CF ．（初二）
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．
第 6 页 共 23 页
求证：PA ＝PF ．（初二）
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC
AF 与直线PO 相交于B 、D
经典题（四）
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PC ＝5．
求：∠APB 的度数．（初二）
第 7 页 共 23 页
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且
AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
第 8 页 共 23 页
经典难题（五）
1、
设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L
≤L ＜2．
求证：
2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD
的最小值．
3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝正方形的边长．
第 9 页 共 23 页
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E
上的点，∠DCA ＝30，∠EBA ＝20，求∠BED
经典题（一）
1. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得
EO GO CO
==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
第 10 页 共 23 页
证。
2. . 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得
证。
EO GO CO ==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
3. 如下图连接BC 1和AB 1分别找其中点F,E. 连接C 2F 与A 2E 并延长相交
于Q 点，
连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点，连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点，
0由A 2E=A B =B C = FB ，EB =AB=BC=FC ，又∠GFQ+∠Q=9011112 21 2222
和
∠GE B 2+∠Q=900, 所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 ，
可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ，所以A 2B 2=B2C 2 ，
又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 ,
从而可得∠A 2B 2 C2=900 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。
4. 如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。
经典题（二）
1.(1)延长AD 到F 连BF ，做OG ⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD ，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB ，OC, 既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3. 作OF ⊥CD ，OG ⊥BE ，连接OP ，OA ，OF ，AF ，OG ，AG ， 由于AD
AB =AC
AE =CD
BE =2FD FD
2BG =BG ，
由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
OQ 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ，
∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ。
4. 过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。可得PQ=EG +FH 。 2
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI。 从而可得PQ= AI +BI AB = ，从而得证。
22
经典题（三）
1. 顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG .
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC 为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：CE=CF。
2. 连接BD 作CH ⊥DE ，可得四边形CGDH 是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
3. 作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan ∠BAP=tan∠EPF=X Z =，可得YZ=XY-X2+XZ， Y Y -X +Z
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ， 得到PA ＝PF ，得证 。
经典难题（四）
1. 顺时针旋转△ABP 60 ，连接PQ ，则△PBQ 是正三角形。 0
可得△PQC 是直角三角形。
所以∠APB=1500 。
2. 作过P 点平行于AD 的直线，并选一点E ，使AE ∥DC ，BE ∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP ，可得：
AEBP 共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP ，得证。
3. 在BD 取一点E ，使∠BCE=∠ACD ，既得△BEC ∽△ADC ，可得： BE AD =，即AD •BC=BE•AC ， ① BC AC
又∠ACB=∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，既得
AB DE =，即AB •CD=DE•AC ， ② AC DC
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
4. 过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由S S ABCD
ADE =2=S DFC ，可得：
A E P Q
2=AE PQ
2，由AE=FC。
可得DQ=DG，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。
经典题（五）
1. （1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP ，PE ，在一条直线上，
即如下图：可得最小L= ；
EF
（2）过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D ，F 。
由于∠APD>∠ATP=∠ADP ，
推出AD>AP
又BP+DP>BP ②
和PF+FC>PC ③
又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L
由（1）和（2）既得：≤L ＜2 。
2. 顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
①
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得
=
=
=
= 1) 。 2
初中几何证明题
经典题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得证。
E
EO GO CO
==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
A
D
O
F
B
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A
D
B C
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）
. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得证。
EO GO CO
==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得证。
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EO GO CO
==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、
D
D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
A D A 1
1
C B 2
2
C
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝
、
CD 的中点，AD 、BC 的延长线交求证：∠DEN ＝∠F ．
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B
经典题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．
（1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于
条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二）
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3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A
CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB
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F
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
求证：CE ＝CF ．（初二）
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．
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求证：PA ＝PF ．（初二）
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC
AF 与直线PO 相交于B 、D
经典题（四）
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PC ＝5．
求：∠APB 的度数．（初二）
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2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且
AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
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经典难题（五）
1、
设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L
≤L ＜2．
求证：
2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD
的最小值．
3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝正方形的边长．
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4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E
上的点，∠DCA ＝30，∠EBA ＝20，求∠BED
经典题（一）
1. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得
EO GO CO
==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
第 10 页 共 23 页
证。
2. . 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,
即△GHF ∽△OGE, 可得
证。
EO GO CO ==, 又CO=EO，所以CD=GF得GF GH CD
3. 如下图连接BC 1和AB 1分别找其中点F,E. 连接C 2F 与A 2E 并延长相交
于Q 点，
连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点，连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点，
0由A 2E=A B =B C = FB ，EB =AB=BC=FC ，又∠GFQ+∠Q=9011112 21 2222
和
∠GE B 2+∠Q=900, 所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 ，
可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ，所以A 2B 2=B2C 2 ，
又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 ,
从而可得∠A 2B 2 C2=900 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。
4. 如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。
经典题（二）
1.(1)延长AD 到F 连BF ，做OG ⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD ，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB ，OC, 既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3. 作OF ⊥CD ，OG ⊥BE ，连接OP ，OA ，OF ，AF ，OG ，AG ， 由于AD
AB =AC
AE =CD
BE =2FD FD
2BG =BG ，
由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
OQ 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ，
∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ。
4. 过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。可得PQ=EG +FH 。 2
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI。 从而可得PQ= AI +BI AB = ，从而得证。
22
经典题（三）
1. 顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG .
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC 为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：CE=CF。
2. 连接BD 作CH ⊥DE ，可得四边形CGDH 是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
3. 作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan ∠BAP=tan∠EPF=X Z =，可得YZ=XY-X2+XZ， Y Y -X +Z
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ， 得到PA ＝PF ，得证 。
经典难题（四）
1. 顺时针旋转△ABP 60 ，连接PQ ，则△PBQ 是正三角形。 0
可得△PQC 是直角三角形。
所以∠APB=1500 。
2. 作过P 点平行于AD 的直线，并选一点E ，使AE ∥DC ，BE ∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP ，可得：
AEBP 共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP ，得证。
3. 在BD 取一点E ，使∠BCE=∠ACD ，既得△BEC ∽△ADC ，可得： BE AD =，即AD •BC=BE•AC ， ① BC AC
又∠ACB=∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，既得
AB DE =，即AB •CD=DE•AC ， ② AC DC
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
4. 过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由S S ABCD
ADE =2=S DFC ，可得：
A E P Q
2=AE PQ
2，由AE=FC。
可得DQ=DG，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。
经典题（五）
1. （1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP ，PE ，在一条直线上，
即如下图：可得最小L= ；
EF
（2）过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D ，F 。
由于∠APD>∠ATP=∠ADP ，
推出AD>AP
又BP+DP>BP ②
和PF+FC>PC ③
又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L
由（1）和（2）既得：≤L ＜2 。
2. 顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
①
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得
=
=
=
= 1) 。 2