课题：探究两角和与差的正切
一、教学目标
知识与方法
①会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用其解决简单的化简问题。
过程目标：
①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力；
②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法.
情感、态度、价值观目标
①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想；
②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度.
二、教学重点、难点
两角和与差的正切公式推导及其运用，公式的逆用。
三、课时安排
1课时
四、教学流程
1、复习回顾：
C α+β
C α-β
S α+β
S α-β
可用多种形式让学生回顾(提问, 默写, 填空等形式)
2、讲解新课：
1 在两角和与差的正弦, 余弦公式的基础上, 你能用tan α ，tan β表示出tan(α+β) 和tan(α-β) 吗？
如tan 15 =tan(45 -30 ) ，它的值能否用tan 45 ，tan 30 去计算？ （让学生带着问题展开后面的讨论）
2 利用所学的两角和与差的正弦, 余弦公式，对比分析公式
α+β) 和tan(α-β) ？其中α, β应该满C α+β, C α-β, S α+β, S α-β, 能否推导出t an(
足什么条件？
师生讨论：
当cos(α+β) ≠0时，tan(α+β) =sin(α+β) sin αcos β+cos αsin β =cos(α+β) cos αcos β-sin αsin β若cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β 得tan(α+β) =tan α+tan β 1-tan αtan β
根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用-β代替β，则有 tan(α-β) =tan α+tan(-β) tan α-tan β= 1-tan αtan(-β) 1+tan αtan β
由此推得两角和与差的正切公式。简记为“T α+β，T α-β”
tan(α+β) =tan α+tan βtan α-tan βα-β) = tan( 1-tan αtan β1+tan αtan β
其中α, β应该满足什么条件？还依然是任意角吗？给学生时间思考。 α≠k π+
由推导过程可以知道：β≠k π+π2(k ∈Z ) (k ∈Z ) π
2
α±β≠k π+π
2(k ∈Z )
α±β) 都有意义。 这样才能保证tan α ，tan β及tan(
3 师生共同分析观察公式T α+β，T α-β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
3、 例题讲解
1ππ例1 已知tan α=2，tan β=-，其中0
α-β) （2）求α+β的值 （1）求tan(
1解（1）因为tan α=2，tan β=-， 3
1
tan α-tan β3=7 所以tan(α-β) ==21+tan αtan β1-32+
1
tan α+tan β3=1 （2）因为tan(α+β) ==21-tan αtan β1+3
πππ3π又因为0
π3π5π在与之间，只有的正切值等于1. 所以 242
5πα+β= 4
2、 计算 tan 23︒+tan 22︒1-tan 75︒① ② 1-tan 23︒tan 22︒1+tan 75︒
分析：①解决本题的关键在于将算式与正切联系起来，逆向应用公式T α+β
②应能把分子1-tan75°看作为tan45°-tan75°, 而把分母1+tan75°看
tan 45︒-tan 75︒作为1+tan45°·tan75°, 于是原式便可化作，逆向1+tan 45︒tan 75︒
应用公式，问题便迎刃而解。
解： ①原式=tan(23°+ tan22°) =tan45°=1
tan 45︒-tan 75︒②原式= 1+tan 45︒tan 75︒
=tan(45°-75°)
=tan(-30°) 2-
=-
（备用例题）
1、若tan(α+β) =2π1π，tan(β-) =，求tan(α+) 54443 3
π解 因为(α+β) -(β-) ，所以 4
tan(α+π
4) =tan[(α+β) -(β-π
4)]
tan(α+β) -tan(β-) =π1+tan(α+β) tan(β+) 4
21-
=211+⨯54
3=22π
2、设α, β∈(-ππ, ), tan α, tan β是一元二次方程x 2+33x +4=0的两个根, 求22
α+β
4、课堂小结
（1）两角和与差的正切公式推导及其运用。
（2）六个三角和差公式的逻辑关系。
5、作业
课本习题3-1 A组6、7
五、教学反思（略）
课题：探究两角和与差的正切
一、教学目标
知识与方法
①会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用其解决简单的化简问题。
过程目标：
①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力；
②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法.
情感、态度、价值观目标
①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想；
②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度.
二、教学重点、难点
两角和与差的正切公式推导及其运用，公式的逆用。
三、课时安排
1课时
四、教学流程
1、复习回顾：
C α+β
C α-β
S α+β
S α-β
可用多种形式让学生回顾(提问, 默写, 填空等形式)
2、讲解新课：
1 在两角和与差的正弦, 余弦公式的基础上, 你能用tan α ，tan β表示出tan(α+β) 和tan(α-β) 吗？
如tan 15 =tan(45 -30 ) ，它的值能否用tan 45 ，tan 30 去计算？ （让学生带着问题展开后面的讨论）
2 利用所学的两角和与差的正弦, 余弦公式，对比分析公式
α+β) 和tan(α-β) ？其中α, β应该满C α+β, C α-β, S α+β, S α-β, 能否推导出t an(
足什么条件？
师生讨论：
当cos(α+β) ≠0时，tan(α+β) =sin(α+β) sin αcos β+cos αsin β =cos(α+β) cos αcos β-sin αsin β若cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β 得tan(α+β) =tan α+tan β 1-tan αtan β
根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用-β代替β，则有 tan(α-β) =tan α+tan(-β) tan α-tan β= 1-tan αtan(-β) 1+tan αtan β
由此推得两角和与差的正切公式。简记为“T α+β，T α-β”
tan(α+β) =tan α+tan βtan α-tan βα-β) = tan( 1-tan αtan β1+tan αtan β
其中α, β应该满足什么条件？还依然是任意角吗？给学生时间思考。 α≠k π+
由推导过程可以知道：β≠k π+π2(k ∈Z ) (k ∈Z ) π
2
α±β≠k π+π
2(k ∈Z )
α±β) 都有意义。 这样才能保证tan α ，tan β及tan(
3 师生共同分析观察公式T α+β，T α-β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
3、 例题讲解
1ππ例1 已知tan α=2，tan β=-，其中0
α-β) （2）求α+β的值 （1）求tan(
1解（1）因为tan α=2，tan β=-， 3
1
tan α-tan β3=7 所以tan(α-β) ==21+tan αtan β1-32+
1
tan α+tan β3=1 （2）因为tan(α+β) ==21-tan αtan β1+3
πππ3π又因为0
π3π5π在与之间，只有的正切值等于1. 所以 242
5πα+β= 4
2、 计算 tan 23︒+tan 22︒1-tan 75︒① ② 1-tan 23︒tan 22︒1+tan 75︒
分析：①解决本题的关键在于将算式与正切联系起来，逆向应用公式T α+β
②应能把分子1-tan75°看作为tan45°-tan75°, 而把分母1+tan75°看
tan 45︒-tan 75︒作为1+tan45°·tan75°, 于是原式便可化作，逆向1+tan 45︒tan 75︒
应用公式，问题便迎刃而解。
解： ①原式=tan(23°+ tan22°) =tan45°=1
tan 45︒-tan 75︒②原式= 1+tan 45︒tan 75︒
=tan(45°-75°)
=tan(-30°) 2-
=-
（备用例题）
1、若tan(α+β) =2π1π，tan(β-) =，求tan(α+) 54443 3
π解 因为(α+β) -(β-) ，所以 4
tan(α+π
4) =tan[(α+β) -(β-π
4)]
tan(α+β) -tan(β-) =π1+tan(α+β) tan(β+) 4
21-
=211+⨯54
3=22π
2、设α, β∈(-ππ, ), tan α, tan β是一元二次方程x 2+33x +4=0的两个根, 求22
α+β
4、课堂小结
（1）两角和与差的正切公式推导及其运用。
（2）六个三角和差公式的逻辑关系。
5、作业
课本习题3-1 A组6、7
五、教学反思（略）