四、重点关注题目
1. 证明：方程
⎰
x
t 4dt =4x -2在区间（1,2）只有唯一实根。
2. 设f (x ) 在[0,1]上连续，且f (x )
3. 设f (x ) 在⎢0, ⎥上连续，且f (x ) >
1，证明：方程
2
⎰
x
f (t ) dt =1在（0,1）内只有一
⎡π⎤⎣⎦
⎰
(t ) dt +⎰
cos x
e -t dt =0在
2
⎛π⎫
0, ⎪内有唯一实根。 ⎝2⎭
4. 试证:当0
π
2
时,
tan x 2x 2
> tan x 1x 1
5. 当x >0时, arctan x +
1π> x 2
6. 当x >0时，(1+x ) e -2x >1-x
7. 证明：当1>x >0时，2ln(1+x ) +ln 2(1+x ) 0时，(1+x )ln(1+x ) >arctan x
9. 证明：当0
π
2
时，
1tan y -tan x 1
cos 2x y -x cos 2y
10. 当x >1时，试证：
1
n +1
x -1x +1x -1
1n
1n +1
1n
a a -a a
1, n ≥1)
(n +1) 2ln a n 2
x
0时，
x +1
11. 证明：
13. 试证：当a >b >0, n >1时，nb
n -1
(a -b )
ξ
14. 设f (x ), g (x ) 在[a , b ]上连续，证明存在ξ∈(a , b ) 使得
f (ξ) ⎰g (t ) dt =g (ξ) ⎰f (t ) dt .
ξ
a
b
15. 设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且f (a ) =f (b ) =0，试证：∃ξ∈(a , b ) ，使得f '(ξ) +kf (ξ) =0成立（k 为实常数）.
16. 设函数f (x ) 在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1) 内可导，且f (1)=1．证明：在
(0, 1) 内至少存在一点ξ，使得f (ξ) +ξf '(ξ) -2ξ=0成立．
18. 证明：19. 求证：
π
n -1
I n -2，并计算I 6=⎰2sin 6xdx . 20. 设I n =⎰2sin xdx ，试证I n =
00n
n
⎰
π20
sin xdx =⎰cos n xdx .
πx sin x ππ
xf (sinx ) dx =⎰f (sinx ) dx ，并计算⎰dx 。
01+cos 2x 20
n
π
20
⎰
π
π
21. 设函数f (x ) 在区间[0,1]上连续，且（1）
⎰
1
f (x ) dx =0，证明：
⎰[f (1-x ) +f (x )]dx =0；
1
（2）∃ξ∈(0,1)，使得f (1-ξ) +f (ξ) =0.
23. 设f (x ), g (x ) 在[-a , a ]上连续，g (x ) 为偶函数，f (-x ) +f (x ) =2， 证明：
⎰
a
-a
f (x ) g (x )d x =2⎰g (x )d x .
a
24. 设f (x ) 在x =x 0处导数存在，试证：f (x ) 在x =x 0处连续。
25. 设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内处处导数存在，且f '(x ) >0，试证：f (x ) 在区间(a , b ) 内是增函数。
26. 设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内可导，且f '(x ) ≡0，试证：f (x ) 在区间(a , b ) 内是常值函数。
27. 已知函数f (x ) 在[a , b ]上连续，设F (x ) =
⎰
x
a
f (t ) dt , x ∈[a , b ]，试证：F '(x ) =f (x ) 。
28. 数f (x ) 在[a , b ]上连续，且F '(x ) =f (x ) ，证明：
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a ) 。
四、重点关注题目
1. 证明：方程
⎰
x
t 4dt =4x -2在区间（1,2）只有唯一实根。
2. 设f (x ) 在[0,1]上连续，且f (x )
3. 设f (x ) 在⎢0, ⎥上连续，且f (x ) >
1，证明：方程
2
⎰
x
f (t ) dt =1在（0,1）内只有一
⎡π⎤⎣⎦
⎰
(t ) dt +⎰
cos x
e -t dt =0在
2
⎛π⎫
0, ⎪内有唯一实根。 ⎝2⎭
4. 试证:当0
π
2
时,
tan x 2x 2
> tan x 1x 1
5. 当x >0时, arctan x +
1π> x 2
6. 当x >0时，(1+x ) e -2x >1-x
7. 证明：当1>x >0时，2ln(1+x ) +ln 2(1+x ) 0时，(1+x )ln(1+x ) >arctan x
9. 证明：当0
π
2
时，
1tan y -tan x 1
cos 2x y -x cos 2y
10. 当x >1时，试证：
1
n +1
x -1x +1x -1
1n
1n +1
1n
a a -a a
1, n ≥1)
(n +1) 2ln a n 2
x
0时，
x +1
11. 证明：
13. 试证：当a >b >0, n >1时，nb
n -1
(a -b )
ξ
14. 设f (x ), g (x ) 在[a , b ]上连续，证明存在ξ∈(a , b ) 使得
f (ξ) ⎰g (t ) dt =g (ξ) ⎰f (t ) dt .
ξ
a
b
15. 设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且f (a ) =f (b ) =0，试证：∃ξ∈(a , b ) ，使得f '(ξ) +kf (ξ) =0成立（k 为实常数）.
16. 设函数f (x ) 在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1) 内可导，且f (1)=1．证明：在
(0, 1) 内至少存在一点ξ，使得f (ξ) +ξf '(ξ) -2ξ=0成立．
18. 证明：19. 求证：
π
n -1
I n -2，并计算I 6=⎰2sin 6xdx . 20. 设I n =⎰2sin xdx ，试证I n =
00n
n
⎰
π20
sin xdx =⎰cos n xdx .
πx sin x ππ
xf (sinx ) dx =⎰f (sinx ) dx ，并计算⎰dx 。
01+cos 2x 20
n
π
20
⎰
π
π
21. 设函数f (x ) 在区间[0,1]上连续，且（1）
⎰
1
f (x ) dx =0，证明：
⎰[f (1-x ) +f (x )]dx =0；
1
（2）∃ξ∈(0,1)，使得f (1-ξ) +f (ξ) =0.
23. 设f (x ), g (x ) 在[-a , a ]上连续，g (x ) 为偶函数，f (-x ) +f (x ) =2， 证明：
⎰
a
-a
f (x ) g (x )d x =2⎰g (x )d x .
a
24. 设f (x ) 在x =x 0处导数存在，试证：f (x ) 在x =x 0处连续。
25. 设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内处处导数存在，且f '(x ) >0，试证：f (x ) 在区间(a , b ) 内是增函数。
26. 设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内可导，且f '(x ) ≡0，试证：f (x ) 在区间(a , b ) 内是常值函数。
27. 已知函数f (x ) 在[a , b ]上连续，设F (x ) =
⎰
x
a
f (t ) dt , x ∈[a , b ]，试证：F '(x ) =f (x ) 。
28. 数f (x ) 在[a , b ]上连续，且F '(x ) =f (x ) ，证明：
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a ) 。