基于有限差分法的微分方程离散化求解
【摘要】 目前偏微分方程数值求解的方法主要有两种，即有限差分法和有限元方法。本文论述了基于有限差分法的微分方程求解，离散化过程，并对结果进行了分析。
【关键词】 有限差分法 离散化 数值模拟
1. 前言
有限差分法是计算机数值模拟最早采用比较成熟的方法，该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表述简单。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内必改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
用有限差分法求解偏微分方程必须把连续问题进行离散化，为此首先要对求解区域进行离散化。构造离散网格系统的目的在于将表现为非均系统的大尺度用若干可以近似为均匀系统的尺度（如网格）表征。构造差分形式就是对参数在一定的离散点中心网格或块中心网格上离散。其中，离散网格可以是空间离散网格，也可以是时间离散网格（即离散时间步长）。平面网格的形式是多种多样的，如矩形网格、柱形网格、多边形网格等。空间离散网格是和边界条件相关联的，一般来说，对于第一类边界条件采用点中心网格较方便，第二、三类边界条件采用块中心网格比较合适。
2. 微分方程的离散化
2.1一阶偏导数的差商逼近
设有函数u(x,y,t)，对其自变量x 的偏导数可以表示成函数的差商的极限形式
（1）
在⑴式中，当自变量增量充分小时，如果能用比较简单的函数差商来代替偏导数，即
基于有限差分法的微分方程离散化求解
【摘要】 目前偏微分方程数值求解的方法主要有两种，即有限差分法和有限元方法。本文论述了基于有限差分法的微分方程求解，离散化过程，并对结果进行了分析。
【关键词】 有限差分法 离散化 数值模拟
1. 前言
有限差分法是计算机数值模拟最早采用比较成熟的方法，该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表述简单。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内必改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
用有限差分法求解偏微分方程必须把连续问题进行离散化，为此首先要对求解区域进行离散化。构造离散网格系统的目的在于将表现为非均系统的大尺度用若干可以近似为均匀系统的尺度（如网格）表征。构造差分形式就是对参数在一定的离散点中心网格或块中心网格上离散。其中，离散网格可以是空间离散网格，也可以是时间离散网格（即离散时间步长）。平面网格的形式是多种多样的，如矩形网格、柱形网格、多边形网格等。空间离散网格是和边界条件相关联的，一般来说，对于第一类边界条件采用点中心网格较方便，第二、三类边界条件采用块中心网格比较合适。
2. 微分方程的离散化
2.1一阶偏导数的差商逼近
设有函数u(x,y,t)，对其自变量x 的偏导数可以表示成函数的差商的极限形式
（1）
在⑴式中，当自变量增量充分小时，如果能用比较简单的函数差商来代替偏导数，即