第二章 解析函数
1. 复变函数：
w =f (z )
w =f (z ) 又常写成w =u (x , y )+iv (x , y ) ，从而对复变函数f (z ) 的讨论可相应地 转化为对两个实函数u (x , y ) 和v (x , y ) 的讨论.
2. 复变函数的极限与连续：
定义2.2 设函数w =f (z ) 定义在z 0的去心邻域00, 都存在一正数δ(0
f (z ) -A
则称函数f (z ) 当z →z 0时的极限存在，常数A 为其极限值. 记作
z →z 0lim f (z ) =A
或 f (z ) →A (z →z 0) .
定理2.1 设f (z )=u (x , y )+iv (x , y ), z 0=x 0+iy 0, A =a +ib ，则
z →z 0lim f (z ) =A ⇔
lim (x , y ) →(x 0, y 0) lim u (x , y ) =a , (2.1) (x , y ) →(x 0, y 0) v (x , y ) =b . (2.2)
定义2.3 若lim f (z ) =f (z 0) ，则我们就说函数 f (z ) 在点 z 0 处连续. 如果函数f (z ) z →z 0
在区域D 内每一点都连续，那么称函数f (z ) 在区域D 内连续.
定理2.5 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ), z 0=x 0+iy 0, 则f (z ) 在点z 0连续的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 均在点(x 0, y 0) 连续.
3. 复变函数的导数
定义2.4 （导数的定义）设函数w =f (z ) 定义在z 平面上区域D 内，点z 0、z 0+Δz ∈D , Δw ∈=f (z 0+Δz ) -f (z 0) , 若极限
f (z 0+Δz ) -f (z 0) Δw lim Δz →0Δz Δz →0Δz lim
存在, 则称函数f (z ) 在 z 0可导, 这个极限值称为f (z ) 在z 0的导数, 记作
f '(z 0) =d f (z )
d z z =z 0=d w d z z =z 0=lim Δz →0f (z 0+Δz ) -f (z 0) . (2.3) Δz
由于复变函数导数的定义在形式上和一元实函数的导数定义一致，并且复变函数中的极限运
算法则与实函数中一样，所以微积分中几乎所有的关于函数导数的计算规则都可以不加更改地推广到复变函数中来.
4. 解析函数的概念
定义2.6 若函数f (z ) 在点z 0及z 0的邻域内处处可导，则称函数f (z ) 在点z 0解析. 若函数f (z ) 在区域D 内每一点都解析，则称函数f (z ) 在区域D 内解析，或称f (z ) 是D 内的解析函数.
0若f (z ) 在点z 不解析，但在z 0的任一邻域内总有f (z ) 的解析点，则称z 0为f (z ) 的奇
点.
5. 函数可导与解析的充要条件
定义2.6 对于二元实函数u (x , y ) 和v (x , y ) ，方程
∂u ∂v ∂u ∂v =, =-. (2.5) ∂x ∂y ∂y ∂x
称为柯西-黎曼方程（简记为C-R 方程）.
定理2.7 设函数f (z )=u (x , y )+iv (x , y ) 在区域D 内有定义，则f (z ) 在区域D 内一点z =x +iy 可导的充要条件是
(1) 二元实函数u (x , y ) 和v (x , y ) 在点(x , y ) 可微；
(2) u (x , y ), v (x , y ) 在点(x , y ) 满足柯西-黎曼方程.
6. 初等函数
（1）指数函数
定义2.7 对于复变数z =x +iy ，定义指数函数为:
e z =e x +iy =e x (cosy +i sin y ).
e z 又用记号exp(z ) 表示.
（2）对数函数
定义2.8 规定对数函数是指数函数的反函数，即若
e w =z (z ≠0)
则称函数w =f (z ) 为z 的对数函数，记作w =Lnz .
令w =u +iv , 则
w =u +iv =ln|z |+i Arg z Ln z .
注意到Arg z 是多值函数，所以对数函数w =f (z ) 也是多值函数. 上式中Arg z 取主值arg z (-π
w =lnz =lnz +2k πi =ln|z |+i arg z +2k πi , k =0,±1, ±2, ….
上式中对于每一个确定的k , 对应的w 为一单值函数，称为Ln z 的一个分支.
（3）幂函数
定义2.9 函数w =z a =ea Ln z （z≠0, a 为复常数）称为z 的一般幂函数.
当一般的幂函数w =z 的底数z 为一确定复常数b (b≠0) 时，则b a =ea Ln b 称为乘幂. 由于Ln b =ln|b |+i arg b +2k πi ，所以乘幂b a 也是多值的.
（4）三角函数与反三角函数
定义2.10 规定 a
e iz -e -iz e iz +e -iz
sin z =, cosz =. 2i 2
其它三角函数定义如下:
tan z =sin z cos z 11, cotz =, secz =, cscz =. cos z sin z cos z sin z
（5）双曲函数与反双曲函数
我们用指数函数来定义双曲函数.
定义2.11 规定
e z -e -z e z +e -z
sh z =, chz = 22
小 结
复变函数及其极限、连续、导数等概念是微积分学中相应概念的推广. 复变函数的定义在形式上只是将一元实函数的定义域与值域由“实数集”扩大为“复数集”，但要注意实函数是单值函数，而复变函数有单值函数与多值函数之分. 一个复变函数f (z )=u (x , y )+iv (x , y ) 对应着两个二元实函数u (x , y ) 和v (x , y ) ，所以对复变函数的研究可以转化为对它的实部和虚部两个二元实函数的研究. 另外将复变函数看成复平面上两个点集之间的映射，有时可以将问题直观化、几何化.
复变函数极限的定义在形式上与一元实函数极限的定义相似，因此复变函数具有与实函数类似的极限运算法则. 但实质上复变函数的极限与二元实函数的极限是等价的. 一元实函数的极限lim f (x ), x →x 0是指x 在x 轴上从x 0的左右两侧以任何方式趋向于x 0，而在复变函x →x 0
数的极限lim f (z ) 中，z →z 0是指z 在z 0的邻域内以任何方式趋于z 0. 如果z 沿两条不同路z →z 0
径趋于z 0, f(z ) 不趋于同一复数，那么f (z ) 在z 0处的极限不存在. 复变函数的连续定义是依赖于极限定义的，若lim f (z ) =f (z 0) , 则我们说f (z ) 在z 0处连续. 复变函数w =f (z )=u (x , y )+iv (x , y ) z →z 0
极限存在与连续的充要条件是其实部u (x , y ) 和虚部v (x , y ) 极限存在与连续.
复变函数的导数定义在形式上与一元实函数导数的定义相似，因此复变函数具有与实函数类似的求导法则. 复变函数导数为函数的改变量Δw 与自变量Δz 的比Δw f (z 0+Δz ) -f (z ) =当Δz →0的极限，该极限值与Δz →0的方式无关，也就是说如Δz Δz
Δw Δw 果当Δz 沿某一路径趋于0时，的极限不存在, 或沿两条不同路径趋于0时，趋于不Δz Δz
同的数，则f (z ) 在z 0处不可导. 由此可见复变函数在一点可导要比一元实函数可导条件更强.
解析函数是复变函数的主要研究对象，它有着一元实函数所没有的好性质，如解析函数的导数仍是解析函数，解析函数的虚部为实部的共轭调和函数以及解析函数可以展开为幂级数等，这些性质在后面就会学到. 应当注意的是解析与可导的区别与联系. 对于一个区域而言， 函数解析与可导是一回事；但对于一个点，解析就比可导要求高得多. 函数在某点解析不仅要求在该点可导而且要求在该点的某邻域内可导.
判断函数可导与解析的方法主要有以下三种：
(1)利用可导与解析的定义.
(2)利用可导(解析) 函数的和、差、积、商及其复合仍为可导(解析) 函数这一性质.
(3)利用可导与解析的充要条件(即定理2.7和定理2.8). 定理2.7给出了函数f (z ) 在一点z ∈D 处可导的充要条件，由于z 的任意性，从而可以得到函数在区域D 内可导与解析的充要条件，即定理2.8.
复初等函数是实初等函数在复数域的推广，它既保持了实初等函数的一些性质，又有一些不同的性质.
指数函数e z =ex (cosy +i sin y ) 在z 平面上处处解析，并且(ez )'=ez , 它具有实指数函数相同的某些性质如加法定理. 但周期为2πi 这与实指数函数不同，实指数函数e x 可以看成数e 的x 次幂，但在复变函数中e z 仅仅是一个记号，而不再有幂的含义.
对数函数Ln z =lnz +i Arg z 是一多值函数，它在除去原点与负实轴的复平面上处处解析, 且有(lnz )' =1. 它保持了实对数函数的如下性质： z
⎛z 1⎫ln(z 1z 2) =ln z 1+ln z 2,ln ⎪=ln z 1-ln z 2. ⎝z 2⎭
应当注意的是，等式
ln z n =n ln z =1ln z n
不再成立，其中n ≥2, 为正整数.
幂函数w =z a =ea L n z , 除了整幂函数z n (z 为正整数) 外都是多值函数，在除去原点与负实轴的复平面上处处解析, 且有(z a )'=az a -1. 而整幂函数z n (z 为正整数) 是单值函数，在复平面上处处解析，且(z n )'=nz n -1. 当底数z 为一确定的常数b (b ≠0) 时，b a =ea L nb 为乘幂.
三角正弦函数与三角余弦函数
e iz -e -iz e iz +e -iz
sin z =, cosz = 2i 2
在复平面上处处解析，并且(sinz )'=cosz ,(cosz )'=-sinz . 它保持了对应的实函数的奇偶性、周期性，类似的三角恒等式成立，但是不再具有有界性，即|sinz |≤1,|cosz |≤1不成立. 其它三角函数与反三角函数、双曲函数与反双曲函数读者可以自己小结它们的性质.
1. 讨论函数(1) f (z )= Im(z ) ;
(2) f (z )=|z |2z .
的可导性，并在可导点处求其导数.
第二章 解析函数
1. 复变函数：
w =f (z )
w =f (z ) 又常写成w =u (x , y )+iv (x , y ) ，从而对复变函数f (z ) 的讨论可相应地 转化为对两个实函数u (x , y ) 和v (x , y ) 的讨论.
2. 复变函数的极限与连续：
定义2.2 设函数w =f (z ) 定义在z 0的去心邻域00, 都存在一正数δ(0
f (z ) -A
则称函数f (z ) 当z →z 0时的极限存在，常数A 为其极限值. 记作
z →z 0lim f (z ) =A
或 f (z ) →A (z →z 0) .
定理2.1 设f (z )=u (x , y )+iv (x , y ), z 0=x 0+iy 0, A =a +ib ，则
z →z 0lim f (z ) =A ⇔
lim (x , y ) →(x 0, y 0) lim u (x , y ) =a , (2.1) (x , y ) →(x 0, y 0) v (x , y ) =b . (2.2)
定义2.3 若lim f (z ) =f (z 0) ，则我们就说函数 f (z ) 在点 z 0 处连续. 如果函数f (z ) z →z 0
在区域D 内每一点都连续，那么称函数f (z ) 在区域D 内连续.
定理2.5 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ), z 0=x 0+iy 0, 则f (z ) 在点z 0连续的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 均在点(x 0, y 0) 连续.
3. 复变函数的导数
定义2.4 （导数的定义）设函数w =f (z ) 定义在z 平面上区域D 内，点z 0、z 0+Δz ∈D , Δw ∈=f (z 0+Δz ) -f (z 0) , 若极限
f (z 0+Δz ) -f (z 0) Δw lim Δz →0Δz Δz →0Δz lim
存在, 则称函数f (z ) 在 z 0可导, 这个极限值称为f (z ) 在z 0的导数, 记作
f '(z 0) =d f (z )
d z z =z 0=d w d z z =z 0=lim Δz →0f (z 0+Δz ) -f (z 0) . (2.3) Δz
由于复变函数导数的定义在形式上和一元实函数的导数定义一致，并且复变函数中的极限运
算法则与实函数中一样，所以微积分中几乎所有的关于函数导数的计算规则都可以不加更改地推广到复变函数中来.
4. 解析函数的概念
定义2.6 若函数f (z ) 在点z 0及z 0的邻域内处处可导，则称函数f (z ) 在点z 0解析. 若函数f (z ) 在区域D 内每一点都解析，则称函数f (z ) 在区域D 内解析，或称f (z ) 是D 内的解析函数.
0若f (z ) 在点z 不解析，但在z 0的任一邻域内总有f (z ) 的解析点，则称z 0为f (z ) 的奇
点.
5. 函数可导与解析的充要条件
定义2.6 对于二元实函数u (x , y ) 和v (x , y ) ，方程
∂u ∂v ∂u ∂v =, =-. (2.5) ∂x ∂y ∂y ∂x
称为柯西-黎曼方程（简记为C-R 方程）.
定理2.7 设函数f (z )=u (x , y )+iv (x , y ) 在区域D 内有定义，则f (z ) 在区域D 内一点z =x +iy 可导的充要条件是
(1) 二元实函数u (x , y ) 和v (x , y ) 在点(x , y ) 可微；
(2) u (x , y ), v (x , y ) 在点(x , y ) 满足柯西-黎曼方程.
6. 初等函数
（1）指数函数
定义2.7 对于复变数z =x +iy ，定义指数函数为:
e z =e x +iy =e x (cosy +i sin y ).
e z 又用记号exp(z ) 表示.
（2）对数函数
定义2.8 规定对数函数是指数函数的反函数，即若
e w =z (z ≠0)
则称函数w =f (z ) 为z 的对数函数，记作w =Lnz .
令w =u +iv , 则
w =u +iv =ln|z |+i Arg z Ln z .
注意到Arg z 是多值函数，所以对数函数w =f (z ) 也是多值函数. 上式中Arg z 取主值arg z (-π
w =lnz =lnz +2k πi =ln|z |+i arg z +2k πi , k =0,±1, ±2, ….
上式中对于每一个确定的k , 对应的w 为一单值函数，称为Ln z 的一个分支.
（3）幂函数
定义2.9 函数w =z a =ea Ln z （z≠0, a 为复常数）称为z 的一般幂函数.
当一般的幂函数w =z 的底数z 为一确定复常数b (b≠0) 时，则b a =ea Ln b 称为乘幂. 由于Ln b =ln|b |+i arg b +2k πi ，所以乘幂b a 也是多值的.
（4）三角函数与反三角函数
定义2.10 规定 a
e iz -e -iz e iz +e -iz
sin z =, cosz =. 2i 2
其它三角函数定义如下:
tan z =sin z cos z 11, cotz =, secz =, cscz =. cos z sin z cos z sin z
（5）双曲函数与反双曲函数
我们用指数函数来定义双曲函数.
定义2.11 规定
e z -e -z e z +e -z
sh z =, chz = 22
小 结
复变函数及其极限、连续、导数等概念是微积分学中相应概念的推广. 复变函数的定义在形式上只是将一元实函数的定义域与值域由“实数集”扩大为“复数集”，但要注意实函数是单值函数，而复变函数有单值函数与多值函数之分. 一个复变函数f (z )=u (x , y )+iv (x , y ) 对应着两个二元实函数u (x , y ) 和v (x , y ) ，所以对复变函数的研究可以转化为对它的实部和虚部两个二元实函数的研究. 另外将复变函数看成复平面上两个点集之间的映射，有时可以将问题直观化、几何化.
复变函数极限的定义在形式上与一元实函数极限的定义相似，因此复变函数具有与实函数类似的极限运算法则. 但实质上复变函数的极限与二元实函数的极限是等价的. 一元实函数的极限lim f (x ), x →x 0是指x 在x 轴上从x 0的左右两侧以任何方式趋向于x 0，而在复变函x →x 0
数的极限lim f (z ) 中，z →z 0是指z 在z 0的邻域内以任何方式趋于z 0. 如果z 沿两条不同路z →z 0
径趋于z 0, f(z ) 不趋于同一复数，那么f (z ) 在z 0处的极限不存在. 复变函数的连续定义是依赖于极限定义的，若lim f (z ) =f (z 0) , 则我们说f (z ) 在z 0处连续. 复变函数w =f (z )=u (x , y )+iv (x , y ) z →z 0
极限存在与连续的充要条件是其实部u (x , y ) 和虚部v (x , y ) 极限存在与连续.
复变函数的导数定义在形式上与一元实函数导数的定义相似，因此复变函数具有与实函数类似的求导法则. 复变函数导数为函数的改变量Δw 与自变量Δz 的比Δw f (z 0+Δz ) -f (z ) =当Δz →0的极限，该极限值与Δz →0的方式无关，也就是说如Δz Δz
Δw Δw 果当Δz 沿某一路径趋于0时，的极限不存在, 或沿两条不同路径趋于0时，趋于不Δz Δz
同的数，则f (z ) 在z 0处不可导. 由此可见复变函数在一点可导要比一元实函数可导条件更强.
解析函数是复变函数的主要研究对象，它有着一元实函数所没有的好性质，如解析函数的导数仍是解析函数，解析函数的虚部为实部的共轭调和函数以及解析函数可以展开为幂级数等，这些性质在后面就会学到. 应当注意的是解析与可导的区别与联系. 对于一个区域而言， 函数解析与可导是一回事；但对于一个点，解析就比可导要求高得多. 函数在某点解析不仅要求在该点可导而且要求在该点的某邻域内可导.
判断函数可导与解析的方法主要有以下三种：
(1)利用可导与解析的定义.
(2)利用可导(解析) 函数的和、差、积、商及其复合仍为可导(解析) 函数这一性质.
(3)利用可导与解析的充要条件(即定理2.7和定理2.8). 定理2.7给出了函数f (z ) 在一点z ∈D 处可导的充要条件，由于z 的任意性，从而可以得到函数在区域D 内可导与解析的充要条件，即定理2.8.
复初等函数是实初等函数在复数域的推广，它既保持了实初等函数的一些性质，又有一些不同的性质.
指数函数e z =ex (cosy +i sin y ) 在z 平面上处处解析，并且(ez )'=ez , 它具有实指数函数相同的某些性质如加法定理. 但周期为2πi 这与实指数函数不同，实指数函数e x 可以看成数e 的x 次幂，但在复变函数中e z 仅仅是一个记号，而不再有幂的含义.
对数函数Ln z =lnz +i Arg z 是一多值函数，它在除去原点与负实轴的复平面上处处解析, 且有(lnz )' =1. 它保持了实对数函数的如下性质： z
⎛z 1⎫ln(z 1z 2) =ln z 1+ln z 2,ln ⎪=ln z 1-ln z 2. ⎝z 2⎭
应当注意的是，等式
ln z n =n ln z =1ln z n
不再成立，其中n ≥2, 为正整数.
幂函数w =z a =ea L n z , 除了整幂函数z n (z 为正整数) 外都是多值函数，在除去原点与负实轴的复平面上处处解析, 且有(z a )'=az a -1. 而整幂函数z n (z 为正整数) 是单值函数，在复平面上处处解析，且(z n )'=nz n -1. 当底数z 为一确定的常数b (b ≠0) 时，b a =ea L nb 为乘幂.
三角正弦函数与三角余弦函数
e iz -e -iz e iz +e -iz
sin z =, cosz = 2i 2
在复平面上处处解析，并且(sinz )'=cosz ,(cosz )'=-sinz . 它保持了对应的实函数的奇偶性、周期性，类似的三角恒等式成立，但是不再具有有界性，即|sinz |≤1,|cosz |≤1不成立. 其它三角函数与反三角函数、双曲函数与反双曲函数读者可以自己小结它们的性质.
1. 讨论函数(1) f (z )= Im(z ) ;
(2) f (z )=|z |2z .
的可导性，并在可导点处求其导数.