§3.3.2函数的极值与导数
复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内y '
复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x ) 的导数f '(x ) . ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：
问题1：如下图，函数y =f (x ) 在a , b , c , d , e , f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y =f (x ) 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y =f (x ) 的导数的符号有什么规律？
看出，函数y =f (x ) 在点x =a 的函数值f (a ) 比它在点x =a 附近其它点的函数值都 ，f '(a ) = ；且在点
右侧f '(x ) 类似地，函数y =f (x ) 在点x =b 的函数值f (b ) 比x =a 附近的左侧f '(x ) ，
它在点x =b 附近其它点的函数值都 ，f '(b ) = ；而且在点x =b 附近的左侧f '(x ) 0，右侧f '(x ) 0. 新知：
我们把点a 叫做函数y =f (x ) 的极小值点，f (a ) 叫做函数y =f (x ) 的极小值；点b 叫做函数y =f (x ) 的极大值点，f (b ) 叫做函数y =f (x ) 的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 . 试试：
（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.
(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外) 部，区间的端点 （能，不能）成为极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系：
导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数f (x ) =x 3在x=0处的导数为 （是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件. ※ 典型例题
1
例1 求函数y =x 3-4x +4的极值.
3
(2,0)，变式1：已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y =f '(x ) 的图象经过点(1,0)，如图所示，求 (1) x 0的值(2)a
小结：求可导函数f (x ) (1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x ) ；(3)求方程f ′(x )=0（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程
根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x ) 在这个根处无极值. 变式2：已知函数f (x ) =x 3-3x 2-9x +11. （1）写出函数的递减区间；
（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；
练1. 求下列函数的极值： （1）f (x ) =6x 2-x -2；（2）f (x ) =x 3-27x ；（3）f (x ) =6+12x -x 3；（4）f (x ) =3x -x 3.
练2. 下图是导函数y =f '(x ) 的图象，试找出函数y =f (x ) 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点
.
⏹ 函数y =2-x -x 的极值情况是（ ）
A ．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也极小值
2. 三次函数当x =1时，有极大值4；当x =3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）
A ．y =x 3+6x 2+9x B．y =x 3-6x 2+9x C ．y =x 3-6x 2-9x D．y =x 3+6x 2-9x 3. 函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +a 2在x =1时有极值10，则a 、b 的值为（ ）
A ．a =3, b =-3或a =-4, b =11 B．a =-4, b =1或a =-4, b =11 C．a =-1, b =5 D．以上都不正确
4. 函数f (x ) =x 3+ax 2+3x -9在x =-3时有极值10，则a 的值为5. 函数f (x ) =x 3-3ax 2+a (a >0) 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为 课后作业
1. 如图是导函数y =f '(x ) 的图象, 在标记的点中，在哪一点处（1）导函数y =f '(x ) 有极大值？
（2）导函数y =f '(x ) 有极小值？（3）函数y =f (x ) 有极大值？（4）导函数y =f (x ) 有极小值？
2
3
2. 求下列函数的极值：
⏹ f (x ) =6x 2+x +2；（2）f (x ) =48x -x 3.
§3.3.3函数的最大（小）值与导数
⒈理解函数的最大值和最小值的概念； ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
复习1：若x 0满足f '(x 0) =0，且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，f (x 0) 是极值，并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x ) 的 点，f (x 0) 是极 值；如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x ) 的 点，f (x 0) 是极 复习2：已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx (a ≠0) 在x =±1时取得极值，且f (1)=-1，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断x =±1时函数有极大值还是极小值，并说明理由.
探究任务一：函数的最大（小）值
问题：观察在闭区间[a , b ]上的函数f (x ) 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？
图在图1图中，在闭区间[a , b ]上的最大值是 ，最小值是 ；
在图2中，在闭区间[a , b ]上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 . 新知：一般地，在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值.
试试：
上图的极大值点 ，为极小值点为 ； 最大值为 ，最小值为 .
反思：
1. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
2. 函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与最小值的 条件
3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.
※ 典型例题
1
例1 求函数f (x ) =x 3-4x +4在[0,3]上的最大值与最小值.
3
小结：求最值的步骤 （1）求f (x ) 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.
x 2+ax +b
例2 已知f (x ) =log 3, x ∈(0,+∞). 是否存在实数a 、b , 使f (x ) 同时满足下列两个条件：（1）
x
（2）f (x ) 的最小值是1； f (x ) 在(0,1)上是减函数，在[1,+∞) 上是增函数；
若存在，求出a 、b ，若不存在，说明理由.
变式：设
23
，求函数的解析
，最小值为32
式.
小结：本题属于逆向探究题型. 解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．
练1. 求函数f (x ) =3x -x 3, x ∈[1,2]的最值．
练2. 已知函数f (x ) =2x 3-6x 2+a 在[-2,2]上有最小值-37. （1）求实数a 的值；（2）求f (x ) 在[-2,2]上的最大值．
三、总结提升 ※ 学习小结
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，则求f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求f (x ) 在(a , b ) 内的极值；
⑵将f (x ) 的各极值与f (a ) 、f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值.
※ 知识拓展
利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通. 令f '(x ) =0得到方程的根x 1，x 2， ，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程. 当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.
1. 若函数f (x ) =x 3-3x -a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M -N 的值为（ ）
A ．2 B．4 C．18 D．20 2. 函数f (x ) =x 3-3x (x 2
3. 已知函数y =-x 2-2x +3在区间[a ,2]上的最大值为15，则a 等于（ ）
4
A ．-3 B．1 C．-1 D．1或-3
2
2
2
2
2
4.
函数y =x -[0,4]上的最大值为
5. 已知f (x ) =2x 3-6x 2+m （m 为常数）在[-2,2]上有最大值，那么此函数在[-2,2]上的最小值是
新青蓝课后作业
1. a 为常数，求函数f (x ) =-x 3+3ax (0≤x ≤1) 的最大值.
2. 已知函数f (x ) =-x 3+3x 2+9x +a ，（1）求f (x ) 的单调区间；（2）若f (x ) 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
§3.3.2函数的极值与导数
复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内y '
复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x ) 的导数f '(x ) . ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：
问题1：如下图，函数y =f (x ) 在a , b , c , d , e , f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y =f (x ) 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y =f (x ) 的导数的符号有什么规律？
看出，函数y =f (x ) 在点x =a 的函数值f (a ) 比它在点x =a 附近其它点的函数值都 ，f '(a ) = ；且在点
右侧f '(x ) 类似地，函数y =f (x ) 在点x =b 的函数值f (b ) 比x =a 附近的左侧f '(x ) ，
它在点x =b 附近其它点的函数值都 ，f '(b ) = ；而且在点x =b 附近的左侧f '(x ) 0，右侧f '(x ) 0. 新知：
我们把点a 叫做函数y =f (x ) 的极小值点，f (a ) 叫做函数y =f (x ) 的极小值；点b 叫做函数y =f (x ) 的极大值点，f (b ) 叫做函数y =f (x ) 的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 . 试试：
（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.
(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外) 部，区间的端点 （能，不能）成为极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系：
导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数f (x ) =x 3在x=0处的导数为 （是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件. ※ 典型例题
1
例1 求函数y =x 3-4x +4的极值.
3
(2,0)，变式1：已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y =f '(x ) 的图象经过点(1,0)，如图所示，求 (1) x 0的值(2)a
小结：求可导函数f (x ) (1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x ) ；(3)求方程f ′(x )=0（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程
根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x ) 在这个根处无极值. 变式2：已知函数f (x ) =x 3-3x 2-9x +11. （1）写出函数的递减区间；
（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；
练1. 求下列函数的极值： （1）f (x ) =6x 2-x -2；（2）f (x ) =x 3-27x ；（3）f (x ) =6+12x -x 3；（4）f (x ) =3x -x 3.
练2. 下图是导函数y =f '(x ) 的图象，试找出函数y =f (x ) 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点
.
⏹ 函数y =2-x -x 的极值情况是（ ）
A ．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也极小值
2. 三次函数当x =1时，有极大值4；当x =3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）
A ．y =x 3+6x 2+9x B．y =x 3-6x 2+9x C ．y =x 3-6x 2-9x D．y =x 3+6x 2-9x 3. 函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +a 2在x =1时有极值10，则a 、b 的值为（ ）
A ．a =3, b =-3或a =-4, b =11 B．a =-4, b =1或a =-4, b =11 C．a =-1, b =5 D．以上都不正确
4. 函数f (x ) =x 3+ax 2+3x -9在x =-3时有极值10，则a 的值为5. 函数f (x ) =x 3-3ax 2+a (a >0) 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为 课后作业
1. 如图是导函数y =f '(x ) 的图象, 在标记的点中，在哪一点处（1）导函数y =f '(x ) 有极大值？
（2）导函数y =f '(x ) 有极小值？（3）函数y =f (x ) 有极大值？（4）导函数y =f (x ) 有极小值？
2
3
2. 求下列函数的极值：
⏹ f (x ) =6x 2+x +2；（2）f (x ) =48x -x 3.
§3.3.3函数的最大（小）值与导数
⒈理解函数的最大值和最小值的概念； ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
复习1：若x 0满足f '(x 0) =0，且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，f (x 0) 是极值，并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x ) 的 点，f (x 0) 是极 值；如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x ) 的 点，f (x 0) 是极 复习2：已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx (a ≠0) 在x =±1时取得极值，且f (1)=-1，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断x =±1时函数有极大值还是极小值，并说明理由.
探究任务一：函数的最大（小）值
问题：观察在闭区间[a , b ]上的函数f (x ) 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？
图在图1图中，在闭区间[a , b ]上的最大值是 ，最小值是 ；
在图2中，在闭区间[a , b ]上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 . 新知：一般地，在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值.
试试：
上图的极大值点 ，为极小值点为 ； 最大值为 ，最小值为 .
反思：
1. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
2. 函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与最小值的 条件
3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.
※ 典型例题
1
例1 求函数f (x ) =x 3-4x +4在[0,3]上的最大值与最小值.
3
小结：求最值的步骤 （1）求f (x ) 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.
x 2+ax +b
例2 已知f (x ) =log 3, x ∈(0,+∞). 是否存在实数a 、b , 使f (x ) 同时满足下列两个条件：（1）
x
（2）f (x ) 的最小值是1； f (x ) 在(0,1)上是减函数，在[1,+∞) 上是增函数；
若存在，求出a 、b ，若不存在，说明理由.
变式：设
23
，求函数的解析
，最小值为32
式.
小结：本题属于逆向探究题型. 解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．
练1. 求函数f (x ) =3x -x 3, x ∈[1,2]的最值．
练2. 已知函数f (x ) =2x 3-6x 2+a 在[-2,2]上有最小值-37. （1）求实数a 的值；（2）求f (x ) 在[-2,2]上的最大值．
三、总结提升 ※ 学习小结
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，则求f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求f (x ) 在(a , b ) 内的极值；
⑵将f (x ) 的各极值与f (a ) 、f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值.
※ 知识拓展
利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通. 令f '(x ) =0得到方程的根x 1，x 2， ，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程. 当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.
1. 若函数f (x ) =x 3-3x -a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M -N 的值为（ ）
A ．2 B．4 C．18 D．20 2. 函数f (x ) =x 3-3x (x 2
3. 已知函数y =-x 2-2x +3在区间[a ,2]上的最大值为15，则a 等于（ ）
4
A ．-3 B．1 C．-1 D．1或-3
2
2
2
2
2
4.
函数y =x -[0,4]上的最大值为
5. 已知f (x ) =2x 3-6x 2+m （m 为常数）在[-2,2]上有最大值，那么此函数在[-2,2]上的最小值是
新青蓝课后作业
1. a 为常数，求函数f (x ) =-x 3+3ax (0≤x ≤1) 的最大值.
2. 已知函数f (x ) =-x 3+3x 2+9x +a ，（1）求f (x ) 的单调区间；（2）若f (x ) 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.