双前车转向机构转向梯形设计
姜虎波
（交通学院 交通运输专业 2006级 交本0601班 062813929）
摘 要：随着运输业的发展，双前桥重型汽车在实际应用中越来越广泛，而双前桥重型汽车的转向系是实现汽车灵活转向以及减小轮胎磨损的重要机构。本文着重介绍了双前桥转向机构的转向梯形，推导了双前桥转向梯形的空间运动关系式，优化了转向梯形的设计模型。
关键词：双前桥; 转向梯形; 运动学分析; 优化
The design of Double-front-axle Steering System in Heavy
Truck
Jiang Hubo
(School of Transportation, Communications and Transportation,
Jiaoben0601 Grade2006, 062813929)
Abstract: with the developing of the transportation, the Heavy Truck of Double-front-axle is more and more widely in practice, and Double-front-axle Steering System in Heavy Truck is the important mechanism which can achieve automotive steering and reduce tire wear. I introduce the Ackerman steering Double-front-axle Steering System in the treatise, deduce the space motion formula of the Ackerman steering Double-front-axle Steering System and make the Ackerman steering model design optimization.
Key words: Double-front-axle; the Ackerman steering; The Kinematics Analysis; optimization 1 引言
1.1 转向梯形的提出
在1817年，一个叫林肯斯潘杰的德国人提出了类似现代汽车的转向方式，将前轮用转向节与前梁连接。他申请了专利并卖给了另一个德国人阿克曼。阿克曼改进了他的方案并又申请了专利。转向梯形机构是由转向横拉杆，转向梯形臂和汽车前轴3部分组成。由于三部分组成的图形是一个梯形，且都属于转向机构，因此形象的叫做“转向梯形”。转向梯形公式的别名“阿克曼转向梯形公式”。
1.2 转向梯形的发展现状及未来趋势
100多年前，汽车刚刚诞生初期，其转向操纵是仿造马车和自行车的转向方式，即
用一个操纵杆或手柄来使前轮偏转，以实现转向。由于操纵费力且不可靠，以致时常发生车毁人亡的事故。
在20世纪初，汽车已经是一个沉重而又高速疾驰的车辆，充气轮胎代替了实心轮胎。由于转向柱直接与转向节连接，所以转动车轮是很费劲的。即使是一个健壮的驾驶员，要控制转向仍然是很劳累的事情，因此，汽车常常冲出路边。于是要降低转向力的问题就变得比较迫切了[1]。
由于汽车各零、部件的不断革新和发展, 从而逐步形成了今日较为完备的转向系统。其中的很大一部分突破就是转向梯形的使用。实现的转向的轻便性与准确性。以后随着重型车辆的生产与载重量的提高出现了双前桥机构，使得转向机构更为复杂，而这其中转向梯形充当着举足轻重的作用。
1.3 转向梯形的作用
梯形机构是汽车转向系的主要结构之一, 它使汽车转向时左、右前轮得到合理的偏转角匹配, 从而使车轮绕同一瞬时转向中心, 在不同的圆周上作纯滚动, 以避免或减少轮胎侧滑, 这对延长轮胎的使用寿命, 提高车辆转弯时的稳定性非常重要。为此, 人对梯形机构转角分析和结构优化进行较多研究, 但是由于机构原理误差的存在, 现在实际设计成的梯形机构都无法实现转弯时保证各车轮总能同一瞬时转向中心滚动, 即所谓的阿克曼理论转向性, 而都只能使各轮偏转角的关系大体上符合理想系[2]。
2 转向梯形
2.1 转向梯形的分类
转向梯形有整体式和断开式两种，选择整体式或断开式转向梯形方案与悬架采用何种方案有联系。无论采用哪一种方案，必须正确选择转向梯形参数，做到汽车转弯时，保证全部车轮绕一个瞬时转向中心行驶，使在不同圆周上运动的车轮，作无滑动的纯滚动运动。同时，为达到总体布置要求的最小转弯直径值，转向轮应有足够大的转角。
2.2 转向梯形的结构
(1)整体式转向梯形
整体式转向梯形是由转向横拉杆l ，转向梯形臂2和汽车前轴3组成，如图2-1所示。其中梯形臂呈收缩状向后延伸。这种方案的优点是结构简单，调整前束容易，制造成本低；主要缺点是一侧转向轮上、下跳动时，会影响。
图2-1 整体式转向梯形
1—转向横拉杆 2—转向梯形臂 3—前轴另一侧转向轮
当汽车前悬架采用非独立悬架时，应当采用整体式转向梯形。整体式转向梯形的横拉杆可位于前轴后或前轴前(称为前置梯形) 。对于发动机位置低或前轮驱动汽车，常采用前置梯形。前置梯形的梯形臂必须向前外侧方向延伸，因而会与车轮或制动底板发生干涉，所以在布置上有困难。为了保护横拉杆免遭路面不平物的损伤，横拉杆的位置应尽可能布置得高些，至少不低于前轴高度。
（2）断开式转向梯形
转向梯形的横拉杆做成断开的，称之为断开式转向梯形。断开式转向梯形方案之一如图2-2所示。断开式转向梯形的主要优点是它与前轮采用独立悬架相配合，能够保证一侧车轮上、下跳动时，不会影响另一侧车轮；与整体式转向梯形比较，由于杆系、球头增多，所以结构复杂，制造成本高，并且调整前束比较困难。
图2-2 断开式转向梯形
横拉杆上断开点的位置与独立悬架形式有关。采用双横臂独立悬架，常用图解法(基于三心定理) 确定断开点的位置。其求法如下(图2-2b) ：
1) 延长K B B 与K A A ，交于立柱AB 的瞬心P 点，由P 点作直线PS 。S 点为转向节臂球销中心在悬架杆件(双横臂) 所在平面上的投影。当悬架摇臂的轴线斜置时，应以垂直于摇臂轴的平面作为当量平面进行投影和运动分析。
2) 延长直线AB 与K A K B ，交于Q AB 点，连PQ AB 直线。
3) 连接S 和B 点，延长直线SB 。
4) 作直线PQ BS ，使直线PQ AB 与PQ BS 间夹角等于直线PK A 与PS 间的夹角。当S 点低于A 点时，PQ BS 线应低于PQ AB 线。
5) 延长PS 与Q BS K B ，相交于D 点，此D 点便是横拉杆铰接点(断开点) 的理想的位 置。
图2-2b 断开点的确定
以上是在前轮没有转向的情况下，确定断开点D 位置的方法。此外，还要对车轮向左转和向右转的几种不同的工况进行校核。图解方法同上，但S 点的位置变了；当车轮转向时，可认为S 点沿垂直于主销中心线AB 的平面上画弧(不计主销后倾角) 。如果用这种方法所得到的横拉杆长度在不同转角下都相同或十分接近，则不仅在汽车直线行驶时，而且在转向时，车轮的跳动都不会对转向产生影响。双横臂互相平行的悬架能满足此要求。
2.3 转向梯形机构遵循的转向原理
阿克曼原理
阿克曼原理[3]的基本观点是:汽车在行驶(直线行驶和转弯行驶) 过程中, 每个车轮的运动轨迹都必须完全符合它的自然运动轨迹, 即要求各车轮轴线都能汇交于一点, 此交点O(见图2-3) 叫做转向中心
, 从而保证轮胎与地面间处于纯滚动而无滑移现象。
图2-3 两转向轮理想的转角关系
以图2-3所示的汽车为例, 阿克曼理论转向特性是以汽车前轮定位角都等于零、行走系统为刚性、汽车行驶过程中无侧向力为假设条件的, 其特点为:
1) 汽车直线行驶时,4个车轮的轴线都互相平行, 而且垂直于汽车纵向中心面。
2) 汽车在转向行驶过程中, 全部车轮都必须绕一个瞬时中心点做圆周滚动, 而且前内轮与前外轮的转角应满足下面关系式:
cot α-cot β=K /L [4]
式中:α表示汽车前外轮转角;
β表示汽车前内轮转角;
K 表示两主销中心距;
L 表示汽车轴距。
这样才能保证各车轮在转向时均作纯滚动, 以避免在汽车转向时轮胎与地面滑动而增大阻力和加快轮胎磨损。
3 双前桥转向梯形的具体结构与应用
随着我国汽车起重机向大型化、重型化发展的趋势，大吨位及超大吨位汽车起重机发展很快。为此，在汽车底盘设计上需要通过增加汽车的车轴来适应大吨位车辆的需求，于是出现了双桥或更多桥转向的车辆，使得对多桥转向系统运动学的分析与研究变得日益重要。
双前桥转向载货车转向时2个前桥同时转向, 其结构远远复杂于单前桥转向。双前桥机构除须符合一般的转向机构的需求, 由于其自身结构的特殊性还有一些特殊的要求。为保证良好的转向性能, 减小轮胎的磨损、转弯半径和转向阻力矩, 必须使各转向轮尽量处于纯滚动状态, 因此转向机构的设计是关键。
转向传动机构是转向系的重要子系统，需要将转向器输出的力和运动传到转向桥两侧的转向节，使两侧转向轮偏转，并使两转向轮偏转角按一定的关系变化，以保证汽车转向时车轮与地面的相对滑动尽量小。转向传动机构的组成和布置，因转向器位置和转向轮悬架类型不同而异。而重型卡车主要是非独立悬架系统，所以横向转向传动机构为非断开式梯形机构。
3.1 双前桥转向机构的作用与基本原理
汽车的转向性能直接影响整车的机动灵活性、操纵稳定性、经济性和轮胎的使用寿命. 双轴转向汽车转向系统的设计需要优化转向系结构来实现最佳的转向过程(转向时所有转向轮都处于纯滚动状态或只有极小的滑移), 达到减小轮胎磨损、转弯半径和转向阻力矩的目的. 为避免车轮在转向过程中横向滑移，而保持纯滚动，所有车轮轴线应交于同一点，车轮都应绕同一瞬时中心点转动，即阿克曼理论转向特性，这时的内、外车轮转角关系就是理论转角关系.
采用双前桥转动的汽车为满足这一要求，必须设计合理的转向梯形和合适的转向摇臂机构来实现同一转向桥内、外车轮转角关系. 由转向梯形机构实现的内、外轮转角关系
就是实际转角关系. 如果转向梯形机构不够合理，则理想转角关系与实际转角关系之间会存在着较大的误差[5]。
3.2 双前桥转向机构的布置
3.2.1 型式的选择
目前, 国内外双前桥汽车转向机构的型式主要有图3-1所示的3种结构。
图3-1 双前桥转向传动机构的型式
[6]
其中, 图1a 适用于长前悬汽车, 为基本型; 图1b 适用于短前悬汽车。图1c 适用于更短前悬汽车。目前,3种型式的机构国内厂家均有使用, 并以型式1和型式2使用较多。
3.2.2 悬架干涉
载货车过渡摆臂及拉杆系的布置转向机构的布置受到整车总体布置的限制, 过渡摆臂、各拉杆不得与轮胎等运动件发生干涉, 因此须考虑以下几点：
(1)转向轮的最大内转角。根据国家法规要求, 转向过程中最小转弯半径R 必须小于12 m, 同时转弯半径也影响汽车的机动性, 这就对转向轮的最大内转角提出了要求。根据转弯半径计算公式以及总布置给定的相关参数, 可计算出载货车一桥必需的最大内转角,
但转角过大会给杆系布置带来困难。本文所讨论的载货车的最大内转角α=40°。
(2)拉杆与悬架的运动干涉。为检查转向拉杆与悬架导向机构的运动是否协调, 设计中应进行干涉校核, 干涉应尽量小。根据实践经验, 干涉量一般在5 mm 左右基本可满足要求, 最好在3 mm以下。
(3)垂臂的初始位置。其初始位置关系到跳动干涉、转向盘左右转动圈数以及在规定的转向轮最大转角下转向器的输出行程是否足够。
(4)过渡摆臂、拉杆与其他部件的干涉校核。过渡摆臂、拉杆布置时, 应尽量使拉杆易于布置, 弯折小, 受力状态好, 不易与其他部件产生动态干涉; 静态情况下与其他部件的最小间隙可由作图法求出。各拉杆与车轮的静态最小间隙控制在30 mm以上。
(5)拉杆与转向节臂的初始夹角。为提高转向时传动机构的传动效率, 以及在常用位置附近左右转动时转向轻便性无明显变化, 拉杆与转向节臂的初始夹角最好为90°或接近90°。
3.3 双前桥转向运动学分析
双前桥机构除了需要符合一般转向机构的要求，由于其自身结构的特殊性还会有一些特殊的规定：
（1）转向轮的理想运动关系
为了保证各转向轮转向时都作纯滚动，同一轴上的转向轮左转向角应满足阿克曼定律式（1）、（2）；同时第一、二前桥已有的转向轮转向运动应满足运动协调关系（3）式；其转角关系如图3-2所示： Ctg β1B （1） L 1
B Ctg β2=Ctg α2+ （2） L 2
L tg α1tg β1 1= （3） =L 2tg α2tg β2=Ctg α1+
式中：α1、α2—第一、二桥左轮转角；
β1、β2—第一、二桥右轮转角；
L 1—第一桥轴线至第三、四桥轴线的距离；
L 2—第二桥轴线至第三、四桥轴线的距离；
图3-2 双前桥的转角关系
（2） 转向系统与悬架干涉
双前桥转向系统中各桥的转向纵拉杆与桥的悬架运动干涉如图3-3所示。图3-3中A 1是转向节与纵拉杆连接点，B 1是纵拉杆与转向摆臂连接点，O 1为悬架的前吊悬点，B 1A 1为纵拉杆，f d 为悬架动扰度。A 1一方面围绕悬架中的O 2点沿JJ ' 轨迹运动；另一方面绕B 1点沿KK ' 运动，特别是悬架变形到极限位置动扰度f d 时，轨迹运动干涉最大，只有两轨迹完全重合时才无干涉运动[7]。
图3-3 转向传动机构运动校核图
（3）转向系与悬架的运动干涉在虚拟样机中的处理
图3-3b 是转向系与悬架的运动干涉在虚拟样机中的处理：总坐标是指模型坐标。
图3-3b 转向系与悬架的运动干涉 （4）物理样机的传动关系
这里考虑的转向是在原地给方向盘一个转角输入，通过转向传动机构，使转向轮按照要求转向。具体情况和简化流程图如下[8]：
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图3-4双前桥转向传动关系
3.4 双前桥转向梯形的空间处理
以往，转向梯形模型都是采用平面进行分析。但由于主销内倾角和主销后倾角的存在，转向梯形实际上是空间转向梯形[9]。图3-5为空间梯形模型， o 1、o 2分别为左右主销中心，A 、B 分别为左右车轮中心，C 、D 分别为左右转向梯形臂的旋转中心(过梯形臂的球头销中心，作垂直于主销轴线的直线所得的垂足) ，E 、F 为左右梯形臂的球头销中心。以o 1、o 2连线的中点为坐标原点o ，o 1、o 2连线作为y 轴，向右为正; 以垂直于地面方向为z 轴，向上为正; 平行车辆纵向中心线的直线为x 轴，向后为正，建立满足右手法则的坐标系o-xyz 。图中，取o 1C=o 2D=L 2，转向横拉杆EF=L 1，转向梯形臂CE=DF=k，转向梯形底角= ，主销中心距o 1o 2=B。
图3-5空间梯形模型简图
为了分析方便，在o 1点建立辅助坐标系o 1-x i 1y i 1z i 1，其中o 1x i 1∥OX ，o 1y i 1∥OY, o 1z i 1∥OZ 见图3-5。同理，建立辅助坐标系o 1-x i 2y i 2z i 2，则有下列关系式成立:
x i 1= x i 2 (3-1)
y =﹣B ／2+y i 1= B／2+y i 2 (3-2)
z=z i 1 =z i 2 (3-3)
x=
(b)
图3-6左右主销空间模型
图3-6(a)、(b)分别为左右主销的空间模型。图中坐标是这样得到的在o 1-x t 1y t 1z t 1坐标系，先绕o 1y i 1逆时针旋转角度β(β为主销后倾角) 得o 1-x j 1y i 1z k 1，再绕o 1x j 1顺时针旋转角度α (α为主销内倾角) 得o 1-x j 1y j 1z j 1。同理，由o 1-x i 2y i 2z i 2得到o 1-x j 2y j 2z j 2。从o 1-x i 1y i 1z i 1到o 1-x j 1y i 1z k 1的变换矩阵为T 11，从o 1-x j 1y t 1z k 1到o 1-x j 1y j 1z j 1变换矩阵为T 12，则从o 1-x i 1y i 1z i 1到o 1-x j 1y j 1z j 1的变换矩阵T 1为:
T 1=T 11*T 12
⎡cos β-sin β⋅sin αsin β⋅cos α⎤⎢0⎥ (3-4)
cos αsin α=
⎢⎥⎢⎣-sin β-cos β⋅sin αcos β⋅cos α⎥⎦
⎡cos β0sin β⎤
⎥ (3-5)
T 11=⎢010⎢⎥
⎢⎣-sin β0cos β⎥⎦
00⎤⎡1
⎥ (3-6)
T 12=⎢0cos αsin α⎢⎥
⎢⎣0-sin αcos α⎥⎦
T T
（x i 1 y i 1 z i 1）=T (x j 1 y j 1 z j 1) (3-7)
同理得，
（x i 2 y i 2 z i 2）=T (x j 2 y j 2
T
z j 2) T (3-8)
⎡cos βsin β⋅sin αsin β⋅cos α⎤⎢0⎥cos α-sin αT 2=⎢⎥ (3-9) ⎢⎣-sin βcos β⋅sin αcos β⋅cos α⎥⎦
转向过程中，车轮和转向节绕主销转动，而转向节和转向梯形臂是刚性联接的，因
此，转向梯形臂绕主销的旋转角度就等于车轮绕主销的转角。设转向内外轮绕主销的旋
,
转角度分别为θ1, 、θ2，在o 1-x j 1y j 1z j 1中，E 点的运动轨迹方程为:
x j 1E =k* sin(φ-θ1, ) (3-10) y j 1E =k* cos(φ-θ1, ) (3-11)
z j 1E = ﹣L 2 (3-12)
把上述坐标值代入式(3-7)中，得E 点在o 1-x j 1y j 1z j 1中坐标值:
（x i 1E
y i 1E z i 1E ）T =T1 (x j 1E y j 1E z j 1E ) T (3-13)
,
,
再代入(3-1)、(3-2)、(3-3)式中，得E 点在o 一xyz 中坐标:
x E =k* sin(φ-θ1)cos β－k * cos(φ-θ1)sin βsin α－L 2sin βcos α (3-14)
y E =－B ／2+k* cos(φ-θ1)cos α－L 2 sin α (3-15)
,
z E =－k * sin(φ-θ1, )sin α－k * sin(φ-θ1, )cos βsin α－L 2cos βcos α (3-16)
同理得到F 点在o 一xyz 中坐标：
x F =k* sin(φ+θ1, )cos β－k * cos(φ+θ1, )sin βsin α－L 2sin βcos α (3-17)
y F =B／2－k * cos(φ+θ1, )cos α+L 2 sin α (3-18)
z F =－k * sin(φ+θ1, )sin β－k * sin(φ+θ1, )cos βsin α－L 2cos βcos α (3-19)
L 1=
EF =(x E -x F ) 2+(y E -y F ) 2+(z E -z F ) 2 (3-20)
又由图3-6中的几何关系得:
L=
EF =B+2L 2sin α－2kcos θ (3-21)
由式(3-20)、(3-21)整理得到转向梯形所确定的转向内外轮绕主销旋转时所对应的转角关系:
θ2, =f 2(θ1, ) (3-22)
,
上述讨论中，转向轮绕主销的转角θ1, 、θ2与理论转向特性中车轮绕垂直于地面的轴线转动的角度θ1、θ2是不同的，而我们平时测量转角用的是绕垂直于地面轴线转动的角
,
度θ1、θ2，因此，有必要讨论一下θ1和θ1, 、θ2和θ2之间的关系。本文采用矢量方法进行分析. 如图3-7所示，绕主销的转角θ1, ，沿o 1x i 1、o 1y i 1、o 1z i 1存在三个分量，其中沿o 1z i 1的分量即为θ1。
由图中几何关系得
θ1=θ1, /+tan 2α+tan 2β
同理得，
(3-23)
θ2=θ2, /+tan 2α+tan 2β
(3-24)
至此，我们可以由式(3-22)、(3-23)、(3-24)得到转向梯形所确定的实际内外轮转角关系:
θ2=f 2(θ1) (3-25)
3.5 双前桥转向系转向梯形优化模型
双前桥转向，所以要分别对各个转向轴的梯形机构进行优化。转向梯形机构又分为整体式转向梯形机构和断开式转向梯形机构，它们的数学模型不同，但优化目标是一致的。
3.5.1 数学模型的建立 （1）基本假设
①转向时车速较低，匀速行驶，侧向惯性力很小; ②刚性车轮，即忽略车轮弹性侧偏对转向运动的影响; ③瞬时转向中心位于双后桥中心线上;
④双前桥汽车转向梯形可独立分成两个转向梯形机构进行分析，故本文仅就单桥转向梯形进行分析。
（2）目标函数的推导
①转向梯形的期望函数
为使汽车转向时转向轮只有纯滚动而无滑移，四转向轮应绕后轴延长线上的交点转动，如图3-8所示，为外转向轮的转角应满足下列关系，于是转向梯形机构的期望函数可表示为:
θ1i =cot-1（cot θ1o －
K
） （3-26） L 1K
θ2i =cot-1（cot θ2o －） （3-27）
L 2
图3-8理想的内外角转角关系图
θ1o 、θ2o 一一第一、二转向桥的外轮转角;
θ1i 、θ2i 一一第一二转向桥的内轮理论转角;
K 一一转向主销中心延长线与地面交点之间的距离;
L 1、L 2一一第一、二桥转向桥中心线到双后桥中心线的距离。
②设计方法的选择 目前转向梯形设计、计算和校核的主要方法是平面转向梯形设计法和空间转向梯形设计法. 平面转向梯形设计法, 即平面作图法和平面解析法, 也就是把实际空间运动的转向梯形机构投影到平面上进行分析计算, 误差是明显的, 特别是独立悬架上采用断开式转向梯形, 由于杆件数量多, 机构复杂, 更会产生较大的计算误差. 空间转向梯形设计法是运用空间机构学理论对实际断开式转向梯形机构进行空间分析和计算, 在此基础上对转向梯形机构进行综合设计使其实现较理想的内、外轮转角关系. 由于空间转向梯形比较复杂，涉及的变量比较多，鉴于本人水平有限，所以本文采取平面转向梯形设计法。
③平面转向梯形的实现函数
目前常用的转向梯形模型多为平面机构。双前桥转向梯形为后置式，其结构简图如图3-9所示，利用余弦定理可推得平面转向梯形的实现函数为:
3-9后置式平面转向梯形
GP =m ⋅sin(γ+α) -m ⋅sin(γ-β) （3-28）
EG =CD =M -2m ⋅cos γ （3-29）
EP =FN =M -m ⋅cos(γ-β) -m ⋅cos(γ+α) （3-30）
GP 2=EG 2-EP 2 （3-31）
M
(2cos γ-cos(γ+α)) -cos 2γ
sin(γ+α)
β=γ--（3-32）
() 2+1-2cos(γ+α) () 2+1-2cos(γ+α) m m m m
式中： m ：梯形臂长；
γ：中间位置时梯形臂与前轴的夹角； β：对应于所实现的内转向轮转角。
平面梯形机构模型是不考虑前轮定位参数的影响，因此转向梯形机构的模型是不精确的，不可能绝对保证内外转向轮在任何转角时都满足（3-26）、（3-27) 式的要求。
3-10 内、外车轮转角关系简图
设α为外侧车轮转角，β为内侧车轮转角，L 为汽车轴距，M 为两主销中心线延长线到地面交点之间的距离。若要保证全部车轮绕一个瞬时转向中心行驶，梯形机构应保证内、外转向车轮的转角关系为：
cot β-cot α=
DO -CO M
= (3-33) BD L
若自变角为α，则应变角β的期望函数可以表示为：
1
c o αt + (3-34) β=c o -t
()
3.5.2 优化模型的建立
(1)优化设计变量
影响转向轮转角关系的因素主销内倾角β，车轮外倾角α，梯形机构的上底之长M
由汽车的总体设计，还需要知道梯形臂长m ，梯形底角θ才能确定梯形机构，因此选取m ，θ作为优化设计变量[10]，即
X=
[x 1x 2]T =[m θ]T
(2)优化设计的目标函数
由于转向梯形机构本身的原因，目前常用的转向梯形，不可能绝对保证在任何转角时都满足理论转向特性的要求，因此，目标函数为实际梯形特性和理想梯形特性的差值最小。在经常使用的中间位置附近小转角范围内，希望偏差尽可能小。在不经常使用且车速较慢的较大转角时，可适当放宽要求，因此引入加权函数ω(θ0) ， 考虑到多数使用工况下转角θ0小于20°，且10°以内的小转角使用得更加频繁，因此我取
⎧1. 500≤θ0≤100⎪
ω(θ0) =⎨1. 0100
⎪0. 5200
0⎩
当θ10在00→300范围内变化时，来确定目标函数：
F (x ) =∑ω(θ0) ⋅(β-β, ) →min （3-36）
θ=0
max
式中，x =[x 1x 2]T =[m θ]T
(3)优化设计的约束条件
建立约束条件时应考虑:设计变量m 及θ过小会使横拉杆上的轴向力过大; 当m 过大
时会引起布置困难，因此对m 的上下限及θ的下限设置约束条件，由于θ愈大，梯形愈
m
=0. 10-0. 25，θ=640－900为约束。接近矩形，故可不必对其上限加以限制。通常以M
m
=0. 11-0. 22，θ=640－800： 计算中我选用的约束条件是M
g 1(x ) =0. 11⋅M -m ≤0 （3-37） g 2(x ) =m -0. 22M ≤0 （3-38）
g 3(x ) =-θ+64≤0 （3-39）
另外，还应保证转向梯形具有足够大的传动角。传动角，是指梯形臂与横拉杆所夹的锐角，它随着车轮转角增大而逐渐减小，且最小传动角一般总是发生在内轮一侧。传动角过小会造成有效分力过小和拉杆径向力的增加，导致转向沉重、回正不良。由机械原理可知，在平面连杆机构设计中，为了保证机构传动良好，四杆机构的传动角δ不宜过小，一般取δ≥δmin =400，目前设计的汽车上后置式转向梯形机构的传动角δ都偏小，这一方面是结构所限，另一方面因为汽车在正常行驶中多采用中小转角转向，约有80%以上的转角在200以内，即使是大转角转向，也是从小转角开始，而且速度较低，工况并不严重。考虑到汽车转向梯形机构不是周期高速地运动，而是间歇、低速传递，
[11]
梯形各工作位置使用率不相等. 中间位置使用率最高，极限工作位置很少使用，而最小传动角恰是发生在极限工作位置附近，在中间位置时一般都能保证传动角δ≥400。综上，汽车转向梯形机构的最小传动角可比一般机械四杆机构的允许最小传动角小些，这里取δmin =300。转向梯形机构在汽车向左右转弯至极限位置时达到最小值，故只考虑转弯时 δ≥δmin δ≥δmin 即可。利用该图所作的辅助用虚线及余弦定理，可推出最小传动角约束条件为对于每个转向梯形的传动角约束:
g 4(x ) =
θ0+αmax ) 2m cos δmin -2cos θ0⋅cos β+cos(
-≤0 （3-40） M (cosδmin -cos θ0⋅cos β) ⋅cos θ0⋅cos β
(4)设计优化过程
设计计算的原理就是用EXCEL 软件编辑出公式，得出目标函数的值，然后比较得
出最优值，取得最优值时的梯形底角和梯形臂长即为所设计的最终优化结果[12]。在所做的EXCEL 中M =2540，L =4335, 280≤m ≤560, θ0在变化范围内变化，外轮转角α从1o 变化到30 ，然后根据式(3-32)和式(3-34)分别求出内轮转角的实际值和理论值，进而求出目标函数(3-36)的值。最后对目标函数的值求和，从而列出表1。
表1是当梯形底角为68，梯形臂长为560 mm时，该EXCEL 表格所显示数据
o
根据以上的EXCEL 表格更换不同的梯形底角和梯形臂长，就可以得到一些目标函数数值，因为梯形底角θ0和臂长m 都在约束范围内变化，现将底角以2o 为公差，而臂长以40mm 为公差，先确定最优解的大致范围，然后缩小范围，继续进行优化计算。由于α从25 到300期间的目标函数值对总体函数值影响太大，所以我在计算时只计算α从 1o 到25 之间的目标函数总值，以使优化更为精确。
根据以上分析各个底角θ0，臂长m 取值下的目标函数值为（如表2）：
表2 初始约束条件下的目标函数值
以上数据在（3-37）、（3-38）、（3-39）、（3-40）约束中进行筛选，可知，当梯形底角θ0大于720时不符合约束（3-40）的要求，所以可知优化的结果是在θ0=70 的范围内进行最后筛选。
理论上讲m=280mm时目标函数具有最小值，但是实际上设计变量m 过小会使横拉杆上的轴向力过大，当m 过大时会引起布置困难，所以说这个最小值并不是实际中的最优值。
对表2进行分析，可以得知：当梯形底角为70 ，梯形臂长在280~560 mm之间时，目标函数的值在70.39075和74.81563之间，目标函数值之间的变化都不大，而我们利
用不同梯形臂长之间的目标函数变化率以及实际运用当中的因素可以得出其最优解。
表3 不同梯形臂长之间的目标函数变化率
由表3我们可以确定这个区间在360mm ≤m ≤480mm
现在利用理论转向角和实际转向角的比较图来确定一系列参数值下转向系统的优劣。也就是比较在这一系列值下理论内转角与实际内转角的差值，通过比较这两个角的差值来确定最优解。
根据最后选出的数据用EXCEL 绘出各组数据下的实际内转角和理论内转角的关系图。根据最后的关系图确定最后的最优解。 各组数据的图如下：
图3-11 底角为70
梯形臂长为360 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-12 底角为70
梯形臂长为400 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-13 底角为70梯形臂长为440 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-14 底角为70
梯形臂长为480 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
由上面的一系列数据绘制的曲线可以看出，当梯形底角为70 ，臂长为480 mm 时，尽管在20o 以上理论内转角和实际内转角的差值较大，但是在0o 到20o 之间的时，两个内转角的差值却不是很大。由于在输入角度在小于20o 的范围内是本次设计的重型汽车常用的转角角度，而大于20o 则相对来说对重型汽车利用较少，从使用频率这个理论的角度来看，选择梯形底角为70 ，臂长为480 mm会比选择其他各组数据要好。 第二桥可分离为独立的转向梯形进行分析，其中L =3835, M =2450. 因此根据第一桥的优化方法同理可对第二桥进行优化，优化结果如下：
图3-15 底角为66
梯形臂长为500 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-16 底角为66
梯形臂长为460mm 时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-17 底角为66
梯形臂长为420 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-18 底角为66
梯形臂长为380 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
当梯形底角为66 ，梯形臂长为500mm 时理论内转角与实际内转角的差值最小，为最优解。
3.5.3 小结
在优化设计的过程中，发现两个优化设计变量(梯形臂长度m 和梯形底角θ) 对转向梯形性能影响程度不同。改变m 对转向梯形的性能影响并不显著；θ的变化对转向梯形性能的影响很显著，并且在一定转角范围内(在200以内) ，增大梯形臂长度m 和减小梯形底角θ都可以提高转向梯形的性能[13]。但在大转角时，有相反的趋势。这就要求在设计转向梯形机构时，应综合考虑各方面因素，根据实际工况需要来加以选择。
在优化设计过程中在常用的约束范围内，减小梯形底角θ通常是受最小传动角δmin
约束限制，因此δmin 的选择成为转向梯形设计的关键。对于优化约束中最小传动角δmin 的选择，应在满足实际要求的前提下尽可能减小，以保证实际转向特性能更好地符合阿可曼转向特性。
通过优化计算，实车的两前桥转向梯形机构设计都是基本合理的，在对转向梯形机构设计过程中，实际工况的需求的因素显得至关重要。汽车的转向系是用来保持或者改变汽车的行驶方向的，在汽车转向行驶时，保证各轮之间有协调的转角关系。对转向系的基本要求就是要在汽车转弯时，车轮应绕同一瞬时转向中心旋转，任何车轮不应发生侧滑[14]。若不满足这项要求会加剧轮胎磨损和动力消耗，降低汽车的行驶稳定性。
4 总结
转向梯形是整车转向系统中不可或缺的核心部分，由于她的存在才使转向灵活方便准确，而且使轮胎磨损减小，而转向梯形的优化设计是结合整车的用途以及车型和车身的负载量而合理匹配的。其应用的广泛性与重要性可见一斑。
随着科技的发展，转向梯形又出现了新的形势，像演化出来的五边形，六边形等等[15]
，而传统意义上的四边梯形是它们演化的基础，因此，认真的研究四边梯形的结构与
工作原理和匹配车型还是很有必要的。
科技在进步，同样转向梯形的结构及设计思路也不断在进步，鉴于它在转向系统中的重要性，以及整车中的安全性，它的设计优化永远不会停滞，这就要求我们掌握它的基本结构和原理，从而更好的了解汽车的转向系统。
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感谢我的导师牟春燕副教授，她的悉心指导和热情关怀给了我学习的动力和勇气;
他深厚的专业知识、严谨的治学态度学术作风和虚怀若谷的态度激励我刻苦钻研，不断努力。
感谢我的父母和姐姐，他们以浓浓的亲情理解我、支持我。不仅给予我物质上的支持，而且在精神上也不断给我鼓励，使得我能够顺利完成学业。
感谢一起奋斗的同学。大家在一起研究课题问题，互相交流。互相进步，希望在以后得人生路上能够继续互相帮助。
感谢舍友们在学习和生活中的帮助。感谢在参考文献中涉及的各位作者，他们的研究成果对课题的工作很有借鉴意义，使我深受启发。
感谢教研室其他老师的帮助和同学的帮助。感谢在参考文献中涉及的各位作者，他们的研究成果对课题的工作很有借鉴意义，使我深受启发。 最后，向所有关心爱护我的人们表示衷心谢意!
双前车转向机构转向梯形设计
姜虎波
（交通学院 交通运输专业 2006级 交本0601班 062813929）
摘 要：随着运输业的发展，双前桥重型汽车在实际应用中越来越广泛，而双前桥重型汽车的转向系是实现汽车灵活转向以及减小轮胎磨损的重要机构。本文着重介绍了双前桥转向机构的转向梯形，推导了双前桥转向梯形的空间运动关系式，优化了转向梯形的设计模型。
关键词：双前桥; 转向梯形; 运动学分析; 优化
The design of Double-front-axle Steering System in Heavy
Truck
Jiang Hubo
(School of Transportation, Communications and Transportation,
Jiaoben0601 Grade2006, 062813929)
Abstract: with the developing of the transportation, the Heavy Truck of Double-front-axle is more and more widely in practice, and Double-front-axle Steering System in Heavy Truck is the important mechanism which can achieve automotive steering and reduce tire wear. I introduce the Ackerman steering Double-front-axle Steering System in the treatise, deduce the space motion formula of the Ackerman steering Double-front-axle Steering System and make the Ackerman steering model design optimization.
Key words: Double-front-axle; the Ackerman steering; The Kinematics Analysis; optimization 1 引言
1.1 转向梯形的提出
在1817年，一个叫林肯斯潘杰的德国人提出了类似现代汽车的转向方式，将前轮用转向节与前梁连接。他申请了专利并卖给了另一个德国人阿克曼。阿克曼改进了他的方案并又申请了专利。转向梯形机构是由转向横拉杆，转向梯形臂和汽车前轴3部分组成。由于三部分组成的图形是一个梯形，且都属于转向机构，因此形象的叫做“转向梯形”。转向梯形公式的别名“阿克曼转向梯形公式”。
1.2 转向梯形的发展现状及未来趋势
100多年前，汽车刚刚诞生初期，其转向操纵是仿造马车和自行车的转向方式，即
用一个操纵杆或手柄来使前轮偏转，以实现转向。由于操纵费力且不可靠，以致时常发生车毁人亡的事故。
在20世纪初，汽车已经是一个沉重而又高速疾驰的车辆，充气轮胎代替了实心轮胎。由于转向柱直接与转向节连接，所以转动车轮是很费劲的。即使是一个健壮的驾驶员，要控制转向仍然是很劳累的事情，因此，汽车常常冲出路边。于是要降低转向力的问题就变得比较迫切了[1]。
由于汽车各零、部件的不断革新和发展, 从而逐步形成了今日较为完备的转向系统。其中的很大一部分突破就是转向梯形的使用。实现的转向的轻便性与准确性。以后随着重型车辆的生产与载重量的提高出现了双前桥机构，使得转向机构更为复杂，而这其中转向梯形充当着举足轻重的作用。
1.3 转向梯形的作用
梯形机构是汽车转向系的主要结构之一, 它使汽车转向时左、右前轮得到合理的偏转角匹配, 从而使车轮绕同一瞬时转向中心, 在不同的圆周上作纯滚动, 以避免或减少轮胎侧滑, 这对延长轮胎的使用寿命, 提高车辆转弯时的稳定性非常重要。为此, 人对梯形机构转角分析和结构优化进行较多研究, 但是由于机构原理误差的存在, 现在实际设计成的梯形机构都无法实现转弯时保证各车轮总能同一瞬时转向中心滚动, 即所谓的阿克曼理论转向性, 而都只能使各轮偏转角的关系大体上符合理想系[2]。
2 转向梯形
2.1 转向梯形的分类
转向梯形有整体式和断开式两种，选择整体式或断开式转向梯形方案与悬架采用何种方案有联系。无论采用哪一种方案，必须正确选择转向梯形参数，做到汽车转弯时，保证全部车轮绕一个瞬时转向中心行驶，使在不同圆周上运动的车轮，作无滑动的纯滚动运动。同时，为达到总体布置要求的最小转弯直径值，转向轮应有足够大的转角。
2.2 转向梯形的结构
(1)整体式转向梯形
整体式转向梯形是由转向横拉杆l ，转向梯形臂2和汽车前轴3组成，如图2-1所示。其中梯形臂呈收缩状向后延伸。这种方案的优点是结构简单，调整前束容易，制造成本低；主要缺点是一侧转向轮上、下跳动时，会影响。
图2-1 整体式转向梯形
1—转向横拉杆 2—转向梯形臂 3—前轴另一侧转向轮
当汽车前悬架采用非独立悬架时，应当采用整体式转向梯形。整体式转向梯形的横拉杆可位于前轴后或前轴前(称为前置梯形) 。对于发动机位置低或前轮驱动汽车，常采用前置梯形。前置梯形的梯形臂必须向前外侧方向延伸，因而会与车轮或制动底板发生干涉，所以在布置上有困难。为了保护横拉杆免遭路面不平物的损伤，横拉杆的位置应尽可能布置得高些，至少不低于前轴高度。
（2）断开式转向梯形
转向梯形的横拉杆做成断开的，称之为断开式转向梯形。断开式转向梯形方案之一如图2-2所示。断开式转向梯形的主要优点是它与前轮采用独立悬架相配合，能够保证一侧车轮上、下跳动时，不会影响另一侧车轮；与整体式转向梯形比较，由于杆系、球头增多，所以结构复杂，制造成本高，并且调整前束比较困难。
图2-2 断开式转向梯形
横拉杆上断开点的位置与独立悬架形式有关。采用双横臂独立悬架，常用图解法(基于三心定理) 确定断开点的位置。其求法如下(图2-2b) ：
1) 延长K B B 与K A A ，交于立柱AB 的瞬心P 点，由P 点作直线PS 。S 点为转向节臂球销中心在悬架杆件(双横臂) 所在平面上的投影。当悬架摇臂的轴线斜置时，应以垂直于摇臂轴的平面作为当量平面进行投影和运动分析。
2) 延长直线AB 与K A K B ，交于Q AB 点，连PQ AB 直线。
3) 连接S 和B 点，延长直线SB 。
4) 作直线PQ BS ，使直线PQ AB 与PQ BS 间夹角等于直线PK A 与PS 间的夹角。当S 点低于A 点时，PQ BS 线应低于PQ AB 线。
5) 延长PS 与Q BS K B ，相交于D 点，此D 点便是横拉杆铰接点(断开点) 的理想的位 置。
图2-2b 断开点的确定
以上是在前轮没有转向的情况下，确定断开点D 位置的方法。此外，还要对车轮向左转和向右转的几种不同的工况进行校核。图解方法同上，但S 点的位置变了；当车轮转向时，可认为S 点沿垂直于主销中心线AB 的平面上画弧(不计主销后倾角) 。如果用这种方法所得到的横拉杆长度在不同转角下都相同或十分接近，则不仅在汽车直线行驶时，而且在转向时，车轮的跳动都不会对转向产生影响。双横臂互相平行的悬架能满足此要求。
2.3 转向梯形机构遵循的转向原理
阿克曼原理
阿克曼原理[3]的基本观点是:汽车在行驶(直线行驶和转弯行驶) 过程中, 每个车轮的运动轨迹都必须完全符合它的自然运动轨迹, 即要求各车轮轴线都能汇交于一点, 此交点O(见图2-3) 叫做转向中心
, 从而保证轮胎与地面间处于纯滚动而无滑移现象。
图2-3 两转向轮理想的转角关系
以图2-3所示的汽车为例, 阿克曼理论转向特性是以汽车前轮定位角都等于零、行走系统为刚性、汽车行驶过程中无侧向力为假设条件的, 其特点为:
1) 汽车直线行驶时,4个车轮的轴线都互相平行, 而且垂直于汽车纵向中心面。
2) 汽车在转向行驶过程中, 全部车轮都必须绕一个瞬时中心点做圆周滚动, 而且前内轮与前外轮的转角应满足下面关系式:
cot α-cot β=K /L [4]
式中:α表示汽车前外轮转角;
β表示汽车前内轮转角;
K 表示两主销中心距;
L 表示汽车轴距。
这样才能保证各车轮在转向时均作纯滚动, 以避免在汽车转向时轮胎与地面滑动而增大阻力和加快轮胎磨损。
3 双前桥转向梯形的具体结构与应用
随着我国汽车起重机向大型化、重型化发展的趋势，大吨位及超大吨位汽车起重机发展很快。为此，在汽车底盘设计上需要通过增加汽车的车轴来适应大吨位车辆的需求，于是出现了双桥或更多桥转向的车辆，使得对多桥转向系统运动学的分析与研究变得日益重要。
双前桥转向载货车转向时2个前桥同时转向, 其结构远远复杂于单前桥转向。双前桥机构除须符合一般的转向机构的需求, 由于其自身结构的特殊性还有一些特殊的要求。为保证良好的转向性能, 减小轮胎的磨损、转弯半径和转向阻力矩, 必须使各转向轮尽量处于纯滚动状态, 因此转向机构的设计是关键。
转向传动机构是转向系的重要子系统，需要将转向器输出的力和运动传到转向桥两侧的转向节，使两侧转向轮偏转，并使两转向轮偏转角按一定的关系变化，以保证汽车转向时车轮与地面的相对滑动尽量小。转向传动机构的组成和布置，因转向器位置和转向轮悬架类型不同而异。而重型卡车主要是非独立悬架系统，所以横向转向传动机构为非断开式梯形机构。
3.1 双前桥转向机构的作用与基本原理
汽车的转向性能直接影响整车的机动灵活性、操纵稳定性、经济性和轮胎的使用寿命. 双轴转向汽车转向系统的设计需要优化转向系结构来实现最佳的转向过程(转向时所有转向轮都处于纯滚动状态或只有极小的滑移), 达到减小轮胎磨损、转弯半径和转向阻力矩的目的. 为避免车轮在转向过程中横向滑移，而保持纯滚动，所有车轮轴线应交于同一点，车轮都应绕同一瞬时中心点转动，即阿克曼理论转向特性，这时的内、外车轮转角关系就是理论转角关系.
采用双前桥转动的汽车为满足这一要求，必须设计合理的转向梯形和合适的转向摇臂机构来实现同一转向桥内、外车轮转角关系. 由转向梯形机构实现的内、外轮转角关系
就是实际转角关系. 如果转向梯形机构不够合理，则理想转角关系与实际转角关系之间会存在着较大的误差[5]。
3.2 双前桥转向机构的布置
3.2.1 型式的选择
目前, 国内外双前桥汽车转向机构的型式主要有图3-1所示的3种结构。
图3-1 双前桥转向传动机构的型式
[6]
其中, 图1a 适用于长前悬汽车, 为基本型; 图1b 适用于短前悬汽车。图1c 适用于更短前悬汽车。目前,3种型式的机构国内厂家均有使用, 并以型式1和型式2使用较多。
3.2.2 悬架干涉
载货车过渡摆臂及拉杆系的布置转向机构的布置受到整车总体布置的限制, 过渡摆臂、各拉杆不得与轮胎等运动件发生干涉, 因此须考虑以下几点：
(1)转向轮的最大内转角。根据国家法规要求, 转向过程中最小转弯半径R 必须小于12 m, 同时转弯半径也影响汽车的机动性, 这就对转向轮的最大内转角提出了要求。根据转弯半径计算公式以及总布置给定的相关参数, 可计算出载货车一桥必需的最大内转角,
但转角过大会给杆系布置带来困难。本文所讨论的载货车的最大内转角α=40°。
(2)拉杆与悬架的运动干涉。为检查转向拉杆与悬架导向机构的运动是否协调, 设计中应进行干涉校核, 干涉应尽量小。根据实践经验, 干涉量一般在5 mm 左右基本可满足要求, 最好在3 mm以下。
(3)垂臂的初始位置。其初始位置关系到跳动干涉、转向盘左右转动圈数以及在规定的转向轮最大转角下转向器的输出行程是否足够。
(4)过渡摆臂、拉杆与其他部件的干涉校核。过渡摆臂、拉杆布置时, 应尽量使拉杆易于布置, 弯折小, 受力状态好, 不易与其他部件产生动态干涉; 静态情况下与其他部件的最小间隙可由作图法求出。各拉杆与车轮的静态最小间隙控制在30 mm以上。
(5)拉杆与转向节臂的初始夹角。为提高转向时传动机构的传动效率, 以及在常用位置附近左右转动时转向轻便性无明显变化, 拉杆与转向节臂的初始夹角最好为90°或接近90°。
3.3 双前桥转向运动学分析
双前桥机构除了需要符合一般转向机构的要求，由于其自身结构的特殊性还会有一些特殊的规定：
（1）转向轮的理想运动关系
为了保证各转向轮转向时都作纯滚动，同一轴上的转向轮左转向角应满足阿克曼定律式（1）、（2）；同时第一、二前桥已有的转向轮转向运动应满足运动协调关系（3）式；其转角关系如图3-2所示： Ctg β1B （1） L 1
B Ctg β2=Ctg α2+ （2） L 2
L tg α1tg β1 1= （3） =L 2tg α2tg β2=Ctg α1+
式中：α1、α2—第一、二桥左轮转角；
β1、β2—第一、二桥右轮转角；
L 1—第一桥轴线至第三、四桥轴线的距离；
L 2—第二桥轴线至第三、四桥轴线的距离；
图3-2 双前桥的转角关系
（2） 转向系统与悬架干涉
双前桥转向系统中各桥的转向纵拉杆与桥的悬架运动干涉如图3-3所示。图3-3中A 1是转向节与纵拉杆连接点，B 1是纵拉杆与转向摆臂连接点，O 1为悬架的前吊悬点，B 1A 1为纵拉杆，f d 为悬架动扰度。A 1一方面围绕悬架中的O 2点沿JJ ' 轨迹运动；另一方面绕B 1点沿KK ' 运动，特别是悬架变形到极限位置动扰度f d 时，轨迹运动干涉最大，只有两轨迹完全重合时才无干涉运动[7]。
图3-3 转向传动机构运动校核图
（3）转向系与悬架的运动干涉在虚拟样机中的处理
图3-3b 是转向系与悬架的运动干涉在虚拟样机中的处理：总坐标是指模型坐标。
图3-3b 转向系与悬架的运动干涉 （4）物理样机的传动关系
这里考虑的转向是在原地给方向盘一个转角输入，通过转向传动机构，使转向轮按照要求转向。具体情况和简化流程图如下[8]：
鲁东大学本科毕业设计
图3-4双前桥转向传动关系
3.4 双前桥转向梯形的空间处理
以往，转向梯形模型都是采用平面进行分析。但由于主销内倾角和主销后倾角的存在，转向梯形实际上是空间转向梯形[9]。图3-5为空间梯形模型， o 1、o 2分别为左右主销中心，A 、B 分别为左右车轮中心，C 、D 分别为左右转向梯形臂的旋转中心(过梯形臂的球头销中心，作垂直于主销轴线的直线所得的垂足) ，E 、F 为左右梯形臂的球头销中心。以o 1、o 2连线的中点为坐标原点o ，o 1、o 2连线作为y 轴，向右为正; 以垂直于地面方向为z 轴，向上为正; 平行车辆纵向中心线的直线为x 轴，向后为正，建立满足右手法则的坐标系o-xyz 。图中，取o 1C=o 2D=L 2，转向横拉杆EF=L 1，转向梯形臂CE=DF=k，转向梯形底角= ，主销中心距o 1o 2=B。
图3-5空间梯形模型简图
为了分析方便，在o 1点建立辅助坐标系o 1-x i 1y i 1z i 1，其中o 1x i 1∥OX ，o 1y i 1∥OY, o 1z i 1∥OZ 见图3-5。同理，建立辅助坐标系o 1-x i 2y i 2z i 2，则有下列关系式成立:
x i 1= x i 2 (3-1)
y =﹣B ／2+y i 1= B／2+y i 2 (3-2)
z=z i 1 =z i 2 (3-3)
x=
(b)
图3-6左右主销空间模型
图3-6(a)、(b)分别为左右主销的空间模型。图中坐标是这样得到的在o 1-x t 1y t 1z t 1坐标系，先绕o 1y i 1逆时针旋转角度β(β为主销后倾角) 得o 1-x j 1y i 1z k 1，再绕o 1x j 1顺时针旋转角度α (α为主销内倾角) 得o 1-x j 1y j 1z j 1。同理，由o 1-x i 2y i 2z i 2得到o 1-x j 2y j 2z j 2。从o 1-x i 1y i 1z i 1到o 1-x j 1y i 1z k 1的变换矩阵为T 11，从o 1-x j 1y t 1z k 1到o 1-x j 1y j 1z j 1变换矩阵为T 12，则从o 1-x i 1y i 1z i 1到o 1-x j 1y j 1z j 1的变换矩阵T 1为:
T 1=T 11*T 12
⎡cos β-sin β⋅sin αsin β⋅cos α⎤⎢0⎥ (3-4)
cos αsin α=
⎢⎥⎢⎣-sin β-cos β⋅sin αcos β⋅cos α⎥⎦
⎡cos β0sin β⎤
⎥ (3-5)
T 11=⎢010⎢⎥
⎢⎣-sin β0cos β⎥⎦
00⎤⎡1
⎥ (3-6)
T 12=⎢0cos αsin α⎢⎥
⎢⎣0-sin αcos α⎥⎦
T T
（x i 1 y i 1 z i 1）=T (x j 1 y j 1 z j 1) (3-7)
同理得，
（x i 2 y i 2 z i 2）=T (x j 2 y j 2
T
z j 2) T (3-8)
⎡cos βsin β⋅sin αsin β⋅cos α⎤⎢0⎥cos α-sin αT 2=⎢⎥ (3-9) ⎢⎣-sin βcos β⋅sin αcos β⋅cos α⎥⎦
转向过程中，车轮和转向节绕主销转动，而转向节和转向梯形臂是刚性联接的，因
此，转向梯形臂绕主销的旋转角度就等于车轮绕主销的转角。设转向内外轮绕主销的旋
,
转角度分别为θ1, 、θ2，在o 1-x j 1y j 1z j 1中，E 点的运动轨迹方程为:
x j 1E =k* sin(φ-θ1, ) (3-10) y j 1E =k* cos(φ-θ1, ) (3-11)
z j 1E = ﹣L 2 (3-12)
把上述坐标值代入式(3-7)中，得E 点在o 1-x j 1y j 1z j 1中坐标值:
（x i 1E
y i 1E z i 1E ）T =T1 (x j 1E y j 1E z j 1E ) T (3-13)
,
,
再代入(3-1)、(3-2)、(3-3)式中，得E 点在o 一xyz 中坐标:
x E =k* sin(φ-θ1)cos β－k * cos(φ-θ1)sin βsin α－L 2sin βcos α (3-14)
y E =－B ／2+k* cos(φ-θ1)cos α－L 2 sin α (3-15)
,
z E =－k * sin(φ-θ1, )sin α－k * sin(φ-θ1, )cos βsin α－L 2cos βcos α (3-16)
同理得到F 点在o 一xyz 中坐标：
x F =k* sin(φ+θ1, )cos β－k * cos(φ+θ1, )sin βsin α－L 2sin βcos α (3-17)
y F =B／2－k * cos(φ+θ1, )cos α+L 2 sin α (3-18)
z F =－k * sin(φ+θ1, )sin β－k * sin(φ+θ1, )cos βsin α－L 2cos βcos α (3-19)
L 1=
EF =(x E -x F ) 2+(y E -y F ) 2+(z E -z F ) 2 (3-20)
又由图3-6中的几何关系得:
L=
EF =B+2L 2sin α－2kcos θ (3-21)
由式(3-20)、(3-21)整理得到转向梯形所确定的转向内外轮绕主销旋转时所对应的转角关系:
θ2, =f 2(θ1, ) (3-22)
,
上述讨论中，转向轮绕主销的转角θ1, 、θ2与理论转向特性中车轮绕垂直于地面的轴线转动的角度θ1、θ2是不同的，而我们平时测量转角用的是绕垂直于地面轴线转动的角
,
度θ1、θ2，因此，有必要讨论一下θ1和θ1, 、θ2和θ2之间的关系。本文采用矢量方法进行分析. 如图3-7所示，绕主销的转角θ1, ，沿o 1x i 1、o 1y i 1、o 1z i 1存在三个分量，其中沿o 1z i 1的分量即为θ1。
由图中几何关系得
θ1=θ1, /+tan 2α+tan 2β
同理得，
(3-23)
θ2=θ2, /+tan 2α+tan 2β
(3-24)
至此，我们可以由式(3-22)、(3-23)、(3-24)得到转向梯形所确定的实际内外轮转角关系:
θ2=f 2(θ1) (3-25)
3.5 双前桥转向系转向梯形优化模型
双前桥转向，所以要分别对各个转向轴的梯形机构进行优化。转向梯形机构又分为整体式转向梯形机构和断开式转向梯形机构，它们的数学模型不同，但优化目标是一致的。
3.5.1 数学模型的建立 （1）基本假设
①转向时车速较低，匀速行驶，侧向惯性力很小; ②刚性车轮，即忽略车轮弹性侧偏对转向运动的影响; ③瞬时转向中心位于双后桥中心线上;
④双前桥汽车转向梯形可独立分成两个转向梯形机构进行分析，故本文仅就单桥转向梯形进行分析。
（2）目标函数的推导
①转向梯形的期望函数
为使汽车转向时转向轮只有纯滚动而无滑移，四转向轮应绕后轴延长线上的交点转动，如图3-8所示，为外转向轮的转角应满足下列关系，于是转向梯形机构的期望函数可表示为:
θ1i =cot-1（cot θ1o －
K
） （3-26） L 1K
θ2i =cot-1（cot θ2o －） （3-27）
L 2
图3-8理想的内外角转角关系图
θ1o 、θ2o 一一第一、二转向桥的外轮转角;
θ1i 、θ2i 一一第一二转向桥的内轮理论转角;
K 一一转向主销中心延长线与地面交点之间的距离;
L 1、L 2一一第一、二桥转向桥中心线到双后桥中心线的距离。
②设计方法的选择 目前转向梯形设计、计算和校核的主要方法是平面转向梯形设计法和空间转向梯形设计法. 平面转向梯形设计法, 即平面作图法和平面解析法, 也就是把实际空间运动的转向梯形机构投影到平面上进行分析计算, 误差是明显的, 特别是独立悬架上采用断开式转向梯形, 由于杆件数量多, 机构复杂, 更会产生较大的计算误差. 空间转向梯形设计法是运用空间机构学理论对实际断开式转向梯形机构进行空间分析和计算, 在此基础上对转向梯形机构进行综合设计使其实现较理想的内、外轮转角关系. 由于空间转向梯形比较复杂，涉及的变量比较多，鉴于本人水平有限，所以本文采取平面转向梯形设计法。
③平面转向梯形的实现函数
目前常用的转向梯形模型多为平面机构。双前桥转向梯形为后置式，其结构简图如图3-9所示，利用余弦定理可推得平面转向梯形的实现函数为:
3-9后置式平面转向梯形
GP =m ⋅sin(γ+α) -m ⋅sin(γ-β) （3-28）
EG =CD =M -2m ⋅cos γ （3-29）
EP =FN =M -m ⋅cos(γ-β) -m ⋅cos(γ+α) （3-30）
GP 2=EG 2-EP 2 （3-31）
M
(2cos γ-cos(γ+α)) -cos 2γ
sin(γ+α)
β=γ--（3-32）
() 2+1-2cos(γ+α) () 2+1-2cos(γ+α) m m m m
式中： m ：梯形臂长；
γ：中间位置时梯形臂与前轴的夹角； β：对应于所实现的内转向轮转角。
平面梯形机构模型是不考虑前轮定位参数的影响，因此转向梯形机构的模型是不精确的，不可能绝对保证内外转向轮在任何转角时都满足（3-26）、（3-27) 式的要求。
3-10 内、外车轮转角关系简图
设α为外侧车轮转角，β为内侧车轮转角，L 为汽车轴距，M 为两主销中心线延长线到地面交点之间的距离。若要保证全部车轮绕一个瞬时转向中心行驶，梯形机构应保证内、外转向车轮的转角关系为：
cot β-cot α=
DO -CO M
= (3-33) BD L
若自变角为α，则应变角β的期望函数可以表示为：
1
c o αt + (3-34) β=c o -t
()
3.5.2 优化模型的建立
(1)优化设计变量
影响转向轮转角关系的因素主销内倾角β，车轮外倾角α，梯形机构的上底之长M
由汽车的总体设计，还需要知道梯形臂长m ，梯形底角θ才能确定梯形机构，因此选取m ，θ作为优化设计变量[10]，即
X=
[x 1x 2]T =[m θ]T
(2)优化设计的目标函数
由于转向梯形机构本身的原因，目前常用的转向梯形，不可能绝对保证在任何转角时都满足理论转向特性的要求，因此，目标函数为实际梯形特性和理想梯形特性的差值最小。在经常使用的中间位置附近小转角范围内，希望偏差尽可能小。在不经常使用且车速较慢的较大转角时，可适当放宽要求，因此引入加权函数ω(θ0) ， 考虑到多数使用工况下转角θ0小于20°，且10°以内的小转角使用得更加频繁，因此我取
⎧1. 500≤θ0≤100⎪
ω(θ0) =⎨1. 0100
⎪0. 5200
0⎩
当θ10在00→300范围内变化时，来确定目标函数：
F (x ) =∑ω(θ0) ⋅(β-β, ) →min （3-36）
θ=0
max
式中，x =[x 1x 2]T =[m θ]T
(3)优化设计的约束条件
建立约束条件时应考虑:设计变量m 及θ过小会使横拉杆上的轴向力过大; 当m 过大
时会引起布置困难，因此对m 的上下限及θ的下限设置约束条件，由于θ愈大，梯形愈
m
=0. 10-0. 25，θ=640－900为约束。接近矩形，故可不必对其上限加以限制。通常以M
m
=0. 11-0. 22，θ=640－800： 计算中我选用的约束条件是M
g 1(x ) =0. 11⋅M -m ≤0 （3-37） g 2(x ) =m -0. 22M ≤0 （3-38）
g 3(x ) =-θ+64≤0 （3-39）
另外，还应保证转向梯形具有足够大的传动角。传动角，是指梯形臂与横拉杆所夹的锐角，它随着车轮转角增大而逐渐减小，且最小传动角一般总是发生在内轮一侧。传动角过小会造成有效分力过小和拉杆径向力的增加，导致转向沉重、回正不良。由机械原理可知，在平面连杆机构设计中，为了保证机构传动良好，四杆机构的传动角δ不宜过小，一般取δ≥δmin =400，目前设计的汽车上后置式转向梯形机构的传动角δ都偏小，这一方面是结构所限，另一方面因为汽车在正常行驶中多采用中小转角转向，约有80%以上的转角在200以内，即使是大转角转向，也是从小转角开始，而且速度较低，工况并不严重。考虑到汽车转向梯形机构不是周期高速地运动，而是间歇、低速传递，
[11]
梯形各工作位置使用率不相等. 中间位置使用率最高，极限工作位置很少使用，而最小传动角恰是发生在极限工作位置附近，在中间位置时一般都能保证传动角δ≥400。综上，汽车转向梯形机构的最小传动角可比一般机械四杆机构的允许最小传动角小些，这里取δmin =300。转向梯形机构在汽车向左右转弯至极限位置时达到最小值，故只考虑转弯时 δ≥δmin δ≥δmin 即可。利用该图所作的辅助用虚线及余弦定理，可推出最小传动角约束条件为对于每个转向梯形的传动角约束:
g 4(x ) =
θ0+αmax ) 2m cos δmin -2cos θ0⋅cos β+cos(
-≤0 （3-40） M (cosδmin -cos θ0⋅cos β) ⋅cos θ0⋅cos β
(4)设计优化过程
设计计算的原理就是用EXCEL 软件编辑出公式，得出目标函数的值，然后比较得
出最优值，取得最优值时的梯形底角和梯形臂长即为所设计的最终优化结果[12]。在所做的EXCEL 中M =2540，L =4335, 280≤m ≤560, θ0在变化范围内变化，外轮转角α从1o 变化到30 ，然后根据式(3-32)和式(3-34)分别求出内轮转角的实际值和理论值，进而求出目标函数(3-36)的值。最后对目标函数的值求和，从而列出表1。
表1是当梯形底角为68，梯形臂长为560 mm时，该EXCEL 表格所显示数据
o
根据以上的EXCEL 表格更换不同的梯形底角和梯形臂长，就可以得到一些目标函数数值，因为梯形底角θ0和臂长m 都在约束范围内变化，现将底角以2o 为公差，而臂长以40mm 为公差，先确定最优解的大致范围，然后缩小范围，继续进行优化计算。由于α从25 到300期间的目标函数值对总体函数值影响太大，所以我在计算时只计算α从 1o 到25 之间的目标函数总值，以使优化更为精确。
根据以上分析各个底角θ0，臂长m 取值下的目标函数值为（如表2）：
表2 初始约束条件下的目标函数值
以上数据在（3-37）、（3-38）、（3-39）、（3-40）约束中进行筛选，可知，当梯形底角θ0大于720时不符合约束（3-40）的要求，所以可知优化的结果是在θ0=70 的范围内进行最后筛选。
理论上讲m=280mm时目标函数具有最小值，但是实际上设计变量m 过小会使横拉杆上的轴向力过大，当m 过大时会引起布置困难，所以说这个最小值并不是实际中的最优值。
对表2进行分析，可以得知：当梯形底角为70 ，梯形臂长在280~560 mm之间时，目标函数的值在70.39075和74.81563之间，目标函数值之间的变化都不大，而我们利
用不同梯形臂长之间的目标函数变化率以及实际运用当中的因素可以得出其最优解。
表3 不同梯形臂长之间的目标函数变化率
由表3我们可以确定这个区间在360mm ≤m ≤480mm
现在利用理论转向角和实际转向角的比较图来确定一系列参数值下转向系统的优劣。也就是比较在这一系列值下理论内转角与实际内转角的差值，通过比较这两个角的差值来确定最优解。
根据最后选出的数据用EXCEL 绘出各组数据下的实际内转角和理论内转角的关系图。根据最后的关系图确定最后的最优解。 各组数据的图如下：
图3-11 底角为70
梯形臂长为360 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-12 底角为70
梯形臂长为400 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-13 底角为70梯形臂长为440 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-14 底角为70
梯形臂长为480 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
由上面的一系列数据绘制的曲线可以看出，当梯形底角为70 ，臂长为480 mm 时，尽管在20o 以上理论内转角和实际内转角的差值较大，但是在0o 到20o 之间的时，两个内转角的差值却不是很大。由于在输入角度在小于20o 的范围内是本次设计的重型汽车常用的转角角度，而大于20o 则相对来说对重型汽车利用较少，从使用频率这个理论的角度来看，选择梯形底角为70 ，臂长为480 mm会比选择其他各组数据要好。 第二桥可分离为独立的转向梯形进行分析，其中L =3835, M =2450. 因此根据第一桥的优化方法同理可对第二桥进行优化，优化结果如下：
图3-15 底角为66
梯形臂长为500 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-16 底角为66
梯形臂长为460mm 时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-17 底角为66
梯形臂长为420 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
图3-18 底角为66
梯形臂长为380 mm时实际内转角和理论内转角以及外轮转角的关系
当梯形底角为66 ，梯形臂长为500mm 时理论内转角与实际内转角的差值最小，为最优解。
3.5.3 小结
在优化设计的过程中，发现两个优化设计变量(梯形臂长度m 和梯形底角θ) 对转向梯形性能影响程度不同。改变m 对转向梯形的性能影响并不显著；θ的变化对转向梯形性能的影响很显著，并且在一定转角范围内(在200以内) ，增大梯形臂长度m 和减小梯形底角θ都可以提高转向梯形的性能[13]。但在大转角时，有相反的趋势。这就要求在设计转向梯形机构时，应综合考虑各方面因素，根据实际工况需要来加以选择。
在优化设计过程中在常用的约束范围内，减小梯形底角θ通常是受最小传动角δmin
约束限制，因此δmin 的选择成为转向梯形设计的关键。对于优化约束中最小传动角δmin 的选择，应在满足实际要求的前提下尽可能减小，以保证实际转向特性能更好地符合阿可曼转向特性。
通过优化计算，实车的两前桥转向梯形机构设计都是基本合理的，在对转向梯形机构设计过程中，实际工况的需求的因素显得至关重要。汽车的转向系是用来保持或者改变汽车的行驶方向的，在汽车转向行驶时，保证各轮之间有协调的转角关系。对转向系的基本要求就是要在汽车转弯时，车轮应绕同一瞬时转向中心旋转，任何车轮不应发生侧滑[14]。若不满足这项要求会加剧轮胎磨损和动力消耗，降低汽车的行驶稳定性。
4 总结
转向梯形是整车转向系统中不可或缺的核心部分，由于她的存在才使转向灵活方便准确，而且使轮胎磨损减小，而转向梯形的优化设计是结合整车的用途以及车型和车身的负载量而合理匹配的。其应用的广泛性与重要性可见一斑。
随着科技的发展，转向梯形又出现了新的形势，像演化出来的五边形，六边形等等[15]
，而传统意义上的四边梯形是它们演化的基础，因此，认真的研究四边梯形的结构与
工作原理和匹配车型还是很有必要的。
科技在进步，同样转向梯形的结构及设计思路也不断在进步，鉴于它在转向系统中的重要性，以及整车中的安全性，它的设计优化永远不会停滞，这就要求我们掌握它的基本结构和原理，从而更好的了解汽车的转向系统。
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感谢我的导师牟春燕副教授，她的悉心指导和热情关怀给了我学习的动力和勇气;
他深厚的专业知识、严谨的治学态度学术作风和虚怀若谷的态度激励我刻苦钻研，不断努力。
感谢我的父母和姐姐，他们以浓浓的亲情理解我、支持我。不仅给予我物质上的支持，而且在精神上也不断给我鼓励，使得我能够顺利完成学业。
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感谢舍友们在学习和生活中的帮助。感谢在参考文献中涉及的各位作者，他们的研究成果对课题的工作很有借鉴意义，使我深受启发。
感谢教研室其他老师的帮助和同学的帮助。感谢在参考文献中涉及的各位作者，他们的研究成果对课题的工作很有借鉴意义，使我深受启发。 最后，向所有关心爱护我的人们表示衷心谢意!