上海中学数学・２０１５年第ｌ一２期
５
数学教学应注意严谨性问题
３２４０００
浙江省衢州第一中学孙亦器
众所周知，严谨性是数学的三大特征之一．所谓数学的严谨性，是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格和周密．数学内容具有很强的逻辑性和较高的精通性，严谨的数学证明可以训练思维，使学生细心周密，使他们养成周密稳重的思考习惯，使学生更加聪慧，更具灵性，具有更强的洞察力．运算的目的往往就是精确，运算上的疏忽等于从根本上否定运算的意义．但数学严谨性的形成并非一朝一夕的事．因此，在数学教学中要特别注意培养学生思维的严谨性．
１
数学语言使用应准确规范
数学有着自己独特的语言体系，数学语言分为
三大类：文字语言、符号语言、图形语言．数学思维必须以数学语言为载体来表达，所以准确规范使用数学语言是学习数学的基本功．对数学语言的准确把握，简洁描述，用词规范体现了数学素养．同时，数学语言又是引导学生开启知识千门万户的钥匙，所以教师在课堂中说的每一句话都要仔细斟酌，力求用词准确、简明扼要、条理清楚、前后连贯．但在实际教学中，这方面存在的问题很多．
例１
在教学“直线与平面垂直”时，有的教师
要学生“举一些生活中能看见的直线与平面垂直的例子”．这种说法并不严谨．直线与平面都是无限的，在现实生活中并不存在．即使存在，人的视力是有限的，怎能看得见无限的“直线与平面”．严谨的说法应是：举一些生活中能看见的，给人们直线与平面垂直印象的实例．
例２“函数ｙ—ｓｉｎ２．ｒ的周期是７ｒ”的说法容易引发混淆，因为２丌，３丌，４丌等也是ｙ—ｓｉｎ２ｚ的周期，原因是一些教材中将“周期”与“最小正周期”混同，引起不必要的麻烦．最好改为：函数ｙ＝ｓｉｎ２Ｔ以７ｒ为周期或函数ｙ＝ｓｉｎ２．ｒ的最小正周期是丌，这样就无懈可击了．２审题应仔细完整
例３
（２０１３浙江文一１６）设口，６∈Ｒ，当ｚ≥ｏ
时，恒有０≤Ｔ４一ｚ３＋口丁＋６≤（Ｔ２—１）２，则口６一
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。＿＿。●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿●。＿。＿＿＿＿一●
学生解法：令Ｔ一１和Ｔ一一１，分别得到ｎ＋６—
万方数据
０，口一６—２，所以ｎ＝１，６一一１，故口６一一１．
剖析：学生解法虽然答案正确，但过程错误．因为题目中条件限制．ｒ≥ｏ，可见解法中取ｚ一一１不合理，原因是审题不仔细．
正解ｌ：赋值令ｚ一１，得到口＋６一ｏ，这是容易
的．
有了这个条件，就可以站在一个新的起点．当ｚ＞１时，所给不等式化为０≤Ｔ３＋ｎ≤（ｚ＋１）２（ｚ一
１）。
再令．ｒ一１，得ｏ≤１＋ｎ≤ｏ，故ｎ一一１，６—１，幻
一一１．
正解２：令ｚ＝１，得到口＋６＝ｏ．构造两个函数ｙ一（ｚ２—１）２和ｙ—ｚ４一Ｔ３＋口ｚ＋６，在ｚ＝１处ｙ＝（ｚ一１）２取得极小值ｏ，而ｙ—ｚ４一ｚ３＋口ｚ＋６恒在ｚ３＋口ｚ＋６也在ｚ一１处取得极小值ｏ．据此可得幻
＝一１．
注：正解１体现了极限思想，正解２体现了不等式与函数的互化．３推理过程应严密
例４在推导等比数列前规项和时，有学生用等比定理进行推导：
因为生一生一．＝生旦一ｑ，所以由比例的性
“ｌ
“２
“∞
质，可得筹筹眚鲁＿ｑ＇即芏等盟＿ｑ．
一一１＋１—１＋１一ｏ．此时式子宅｛邕壬嵩２
剖析：当口。＝（一１）”，行一４时，口ｌ＋口２＋…＋口。口没有意义．
可见学生在应用比例的性质时，忽略了比例性质成立的前提条件：分母不为零．
修正：既然错误是由“分母不为零”引起的，那么消去分母，可得新解法：
由譬一譬一．一掣一ｑ，得口２一ｑ乜。，ｎ３一ｑ口：，
ｎ１
ｎ２
乜”
…，ｎ。＋。一ｑ口。，将这靠个式子相加，得口ｚ＋ｎ３＋…＋
口。＋１一ｑｎｌ＋ｑ口２＋…＋ｑ口。，即Ｓ。一口ｌ＋ｎ。＋１一ｑＳ。，
由此即推出等比数列前行项和公式．
（下转第１３页）
ｙ＝（Ｔ２—１）２下方又要恒大于等于零，所以ｙ＝ｚ４一
上海中学数学・２０１５年第１—２期
导入案例的选择应遵循以下６个原则．
会乐趣．所以案例要有探究、思考性．
１．科学性原则
５．趣味性原则
案例的科学性是指案例的材料来源于客观存在案例内容趣味性强，且人人皆知，能为教学目标的现实世界，源于自然和社会的存在性．客观真实并服务，案例应是教材知识的延伸和拓展，它能使教材不是毫无取舍，无所选择，而是精心取舍编制，抽取更贴近实际生活，便于理解，便于完成大纲规定的教事物的本质特征，即科学性，这是案例选编的第一学目的．
原则．
６．时代性原则
２．教学性原则
时代性原则要求教学跟上日益变化的社会发作为教学案例，教学性是无可置疑的．不仅案例
本身应具有教学意义——能为教学目标服务，而且
展．一方面，教学必须快速反映客观现实，与时俱进；案例的表达方式也要符合教学的需要．
另一方面，通过富有时代气息的案例教学，引导学生３．典型性原则
更好地关注现实社会，培养奉献社会的责任感．富有所谓典型性是指案例必须具有最能反映数学概时代感的数学案例教学，具有鲜活生动的教学特色，念、规律的教学价值．它是案例的基本特征，不是任能充分显示数学教学的强大生命力．
何一个事例都可信手拈来作为案例使用，通过分析，另外，不是所有真实、生动、典型的案例都可以该事例必须最能揭示数学概念或规律．
进入课堂，由于课堂时间限制，教师必须严格筛选，４．思考性原则
或作文字修改和删节，或做图像截取和补充，使其符案例本身不是简单的事例，需要包含一定需要合教材知识结构和学生认知规律，以便短时间内完思考的内容和问题，案例是为说明一定的问题而设成案例分析．立的，它隐含着数学概念和哲学原理．学生通过思参考文献
考、讨论获取信息，整理信息，形成数学结论，锻炼综合分析能力．同时，学生在思索中实现知识迁移，体
［１］何豪明．例谈案例选编的原则［Ｊ］．数学通讯，２００４，１３．
（上接第５页）４注意动态变化
此时数列｛口。｝既不是等差数歹Ｕ，也不是等比数列．例５
已知Ｓ。是数列｛乜。）的前竹项和，且４Ｓ。
５变形过程应等价
一（口。＋１）２，问数列｛口。｝是等差数列或等比数列吗？
例６求满足下述条件的最小正整数竹，对于这
学生解法：当咒一１时，４Ｓ１一（口ｌ＋１）２—４口ｌ，得
ｎｌ＝１．
个卵，有唯一正整数志，满足熹＜ｌ乏＜丧．
当行≥２时，４口。一４Ｓ。一４Ｓ。一１一（ｎ。＋１）２一
学生解法：由条件可得
（ｎ。一１＋１）２，
等价于（乜。一日。一１—２）（ｎ。＋ｎ。一１）＝ｏ，雩＜，＋鲁＜萼，即号＜鲁＜吾．
即ｎ。一ｎ。一ｌ一２或ｎ。＋口。一ｌ—Ｏ．
若行一５６，嚣＜叁＜饕，志不是整数；
当ｎ。一口。一。一２时，数列｛口。）是等差数列，所以
口。＝２咒一１；
若咒一１１２，盖＜彘＜箍，则是一９７，所以满
当ｎ。＋ｎ。一，一０时，数列｛口。）是等比数列，所以
足条件的咒一１１２．
口。一（一１）”．
剖析：学生解法似乎非常巧妙，但仔细推敲，发
剖析：学生的解答过程把ｎ看成是固定的，实际上，在数列｛口。）中，由（口。一ｎ。一。一２）（口。＋ｎ。一。）一现由号＜鲁＜舌，得茜＜鲁＜嚣，显然当行＝，５时
ｏ，只能得ｎ。一口。一１＝２或口。＋ｎ。一ｌ一０，卵＝１，２，３，有唯一正整数志一１３满足题给不等式，所以咒一１５…，但胛是动态变化的，数列｛ｎ。）的项可以交替满满足条件．
足ｎ。一口。一１—２，ｎ。＋口。一ｌ一０，如：１，一１，１，３，５，７，究其原因，是不等式的变形方法不当，通分造成一７．显然满足关系式（口。一ｎ。一。一２）（口。＋ｎ。一，）一Ｏ，
卵取值范围扩大．
万方数据
上海中学数学・２０１５年第ｌ一２期
５
数学教学应注意严谨性问题
３２４０００
浙江省衢州第一中学孙亦器
众所周知，严谨性是数学的三大特征之一．所谓数学的严谨性，是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格和周密．数学内容具有很强的逻辑性和较高的精通性，严谨的数学证明可以训练思维，使学生细心周密，使他们养成周密稳重的思考习惯，使学生更加聪慧，更具灵性，具有更强的洞察力．运算的目的往往就是精确，运算上的疏忽等于从根本上否定运算的意义．但数学严谨性的形成并非一朝一夕的事．因此，在数学教学中要特别注意培养学生思维的严谨性．
１
数学语言使用应准确规范
数学有着自己独特的语言体系，数学语言分为
三大类：文字语言、符号语言、图形语言．数学思维必须以数学语言为载体来表达，所以准确规范使用数学语言是学习数学的基本功．对数学语言的准确把握，简洁描述，用词规范体现了数学素养．同时，数学语言又是引导学生开启知识千门万户的钥匙，所以教师在课堂中说的每一句话都要仔细斟酌，力求用词准确、简明扼要、条理清楚、前后连贯．但在实际教学中，这方面存在的问题很多．
例１
在教学“直线与平面垂直”时，有的教师
要学生“举一些生活中能看见的直线与平面垂直的例子”．这种说法并不严谨．直线与平面都是无限的，在现实生活中并不存在．即使存在，人的视力是有限的，怎能看得见无限的“直线与平面”．严谨的说法应是：举一些生活中能看见的，给人们直线与平面垂直印象的实例．
例２“函数ｙ—ｓｉｎ２．ｒ的周期是７ｒ”的说法容易引发混淆，因为２丌，３丌，４丌等也是ｙ—ｓｉｎ２ｚ的周期，原因是一些教材中将“周期”与“最小正周期”混同，引起不必要的麻烦．最好改为：函数ｙ＝ｓｉｎ２Ｔ以７ｒ为周期或函数ｙ＝ｓｉｎ２．ｒ的最小正周期是丌，这样就无懈可击了．２审题应仔细完整
例３
（２０１３浙江文一１６）设口，６∈Ｒ，当ｚ≥ｏ
时，恒有０≤Ｔ４一ｚ３＋口丁＋６≤（Ｔ２—１）２，则口６一
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。＿＿。●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿●。＿。＿＿＿＿一●
学生解法：令Ｔ一１和Ｔ一一１，分别得到ｎ＋６—
万方数据
０，口一６—２，所以ｎ＝１，６一一１，故口６一一１．
剖析：学生解法虽然答案正确，但过程错误．因为题目中条件限制．ｒ≥ｏ，可见解法中取ｚ一一１不合理，原因是审题不仔细．
正解ｌ：赋值令ｚ一１，得到口＋６一ｏ，这是容易
的．
有了这个条件，就可以站在一个新的起点．当ｚ＞１时，所给不等式化为０≤Ｔ３＋ｎ≤（ｚ＋１）２（ｚ一
１）。
再令．ｒ一１，得ｏ≤１＋ｎ≤ｏ，故ｎ一一１，６—１，幻
一一１．
正解２：令ｚ＝１，得到口＋６＝ｏ．构造两个函数ｙ一（ｚ２—１）２和ｙ—ｚ４一Ｔ３＋口ｚ＋６，在ｚ＝１处ｙ＝（ｚ一１）２取得极小值ｏ，而ｙ—ｚ４一ｚ３＋口ｚ＋６恒在ｚ３＋口ｚ＋６也在ｚ一１处取得极小值ｏ．据此可得幻
＝一１．
注：正解１体现了极限思想，正解２体现了不等式与函数的互化．３推理过程应严密
例４在推导等比数列前规项和时，有学生用等比定理进行推导：
因为生一生一．＝生旦一ｑ，所以由比例的性
“ｌ
“２
“∞
质，可得筹筹眚鲁＿ｑ＇即芏等盟＿ｑ．
一一１＋１—１＋１一ｏ．此时式子宅｛邕壬嵩２
剖析：当口。＝（一１）”，行一４时，口ｌ＋口２＋…＋口。口没有意义．
可见学生在应用比例的性质时，忽略了比例性质成立的前提条件：分母不为零．
修正：既然错误是由“分母不为零”引起的，那么消去分母，可得新解法：
由譬一譬一．一掣一ｑ，得口２一ｑ乜。，ｎ３一ｑ口：，
ｎ１
ｎ２
乜”
…，ｎ。＋。一ｑ口。，将这靠个式子相加，得口ｚ＋ｎ３＋…＋
口。＋１一ｑｎｌ＋ｑ口２＋…＋ｑ口。，即Ｓ。一口ｌ＋ｎ。＋１一ｑＳ。，
由此即推出等比数列前行项和公式．
（下转第１３页）
ｙ＝（Ｔ２—１）２下方又要恒大于等于零，所以ｙ＝ｚ４一
上海中学数学・２０１５年第１—２期
导入案例的选择应遵循以下６个原则．
会乐趣．所以案例要有探究、思考性．
１．科学性原则
５．趣味性原则
案例的科学性是指案例的材料来源于客观存在案例内容趣味性强，且人人皆知，能为教学目标的现实世界，源于自然和社会的存在性．客观真实并服务，案例应是教材知识的延伸和拓展，它能使教材不是毫无取舍，无所选择，而是精心取舍编制，抽取更贴近实际生活，便于理解，便于完成大纲规定的教事物的本质特征，即科学性，这是案例选编的第一学目的．
原则．
６．时代性原则
２．教学性原则
时代性原则要求教学跟上日益变化的社会发作为教学案例，教学性是无可置疑的．不仅案例
本身应具有教学意义——能为教学目标服务，而且
展．一方面，教学必须快速反映客观现实，与时俱进；案例的表达方式也要符合教学的需要．
另一方面，通过富有时代气息的案例教学，引导学生３．典型性原则
更好地关注现实社会，培养奉献社会的责任感．富有所谓典型性是指案例必须具有最能反映数学概时代感的数学案例教学，具有鲜活生动的教学特色，念、规律的教学价值．它是案例的基本特征，不是任能充分显示数学教学的强大生命力．
何一个事例都可信手拈来作为案例使用，通过分析，另外，不是所有真实、生动、典型的案例都可以该事例必须最能揭示数学概念或规律．
进入课堂，由于课堂时间限制，教师必须严格筛选，４．思考性原则
或作文字修改和删节，或做图像截取和补充，使其符案例本身不是简单的事例，需要包含一定需要合教材知识结构和学生认知规律，以便短时间内完思考的内容和问题，案例是为说明一定的问题而设成案例分析．立的，它隐含着数学概念和哲学原理．学生通过思参考文献
考、讨论获取信息，整理信息，形成数学结论，锻炼综合分析能力．同时，学生在思索中实现知识迁移，体
［１］何豪明．例谈案例选编的原则［Ｊ］．数学通讯，２００４，１３．
（上接第５页）４注意动态变化
此时数列｛口。｝既不是等差数歹Ｕ，也不是等比数列．例５
已知Ｓ。是数列｛乜。）的前竹项和，且４Ｓ。
５变形过程应等价
一（口。＋１）２，问数列｛口。｝是等差数列或等比数列吗？
例６求满足下述条件的最小正整数竹，对于这
学生解法：当咒一１时，４Ｓ１一（口ｌ＋１）２—４口ｌ，得
ｎｌ＝１．
个卵，有唯一正整数志，满足熹＜ｌ乏＜丧．
当行≥２时，４口。一４Ｓ。一４Ｓ。一１一（ｎ。＋１）２一
学生解法：由条件可得
（ｎ。一１＋１）２，
等价于（乜。一日。一１—２）（ｎ。＋ｎ。一１）＝ｏ，雩＜，＋鲁＜萼，即号＜鲁＜吾．
即ｎ。一ｎ。一ｌ一２或ｎ。＋口。一ｌ—Ｏ．
若行一５６，嚣＜叁＜饕，志不是整数；
当ｎ。一口。一。一２时，数列｛口。）是等差数列，所以
口。＝２咒一１；
若咒一１１２，盖＜彘＜箍，则是一９７，所以满
当ｎ。＋ｎ。一，一０时，数列｛口。）是等比数列，所以
足条件的咒一１１２．
口。一（一１）”．
剖析：学生解法似乎非常巧妙，但仔细推敲，发
剖析：学生的解答过程把ｎ看成是固定的，实际上，在数列｛口。）中，由（口。一ｎ。一。一２）（口。＋ｎ。一。）一现由号＜鲁＜舌，得茜＜鲁＜嚣，显然当行＝，５时
ｏ，只能得ｎ。一口。一１＝２或口。＋ｎ。一ｌ一０，卵＝１，２，３，有唯一正整数志一１３满足题给不等式，所以咒一１５…，但胛是动态变化的，数列｛ｎ。）的项可以交替满满足条件．
足ｎ。一口。一１—２，ｎ。＋口。一ｌ一０，如：１，一１，１，３，５，７，究其原因，是不等式的变形方法不当，通分造成一７．显然满足关系式（口。一ｎ。一。一２）（口。＋ｎ。一，）一Ｏ，
卵取值范围扩大．
万方数据