第2讲平面向量的基本定理与坐标表示

第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示

★ 知 识 梳理 ★

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a，有且只有_一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

特别提醒：





(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；



(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量



2．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴



方向相同的两个__单位向量_ i、j

个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实



1， 数x、y，使得axiyj…………○



我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作



2 a(x,y)…………○



2式叫做其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○

与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0特别提醒：设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标

(x,y)也就是向量OA在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实

3．平面向量的坐标运算



（1） 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2)， 

ab= (x1x2,y1y2)



（2） 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1



（3）若a(x,y)和实数，则a(x,y)



a4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，b=(x2, y2) 其中ba



a∥b (b)的充要条件是x1y2x2y10

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：

（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；

（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

2.难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.

3.重难点：

（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种



问题1：和a= (3,－4)平行的单位向量是_________；

134

错解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量就是a，即 (555

错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

13434

正解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是a，即(或(－ ，55555

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一： 平面向量基本定理

题型1. 利用一组基底表示平面内的任一向量

A

11

,，[例1] 在△OAB中，AD与BC交于点M，设=a，

42C



=b，用a,b表示.

M

B

O D

[解题思路]：若e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平



面内的任何向量都可用e1,e2线性表示.本例中向量a,b可作基底,故可设=ma+nb,为

求实数m,n,需利用向量AM与AD共线,向量与CB共线,建立关于m,n的两个方程.



解析：设=ma+nb，

1

则AM(m1)anb,ADab

2



∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，

m1n

，∴m+2n=1. ① 10.5

11

而CMOMOC(manb，CBab

44

∴

∵C、M、B共线，∴与共线，

1

n，∴4m+n=1. ② ∴

14

1313

联立①②解得:m=，n=，∴OMab

7777m

[例

2] 已知P是ABC所在平面内一点,AP的中点为Q,BQ的中点为

B

P

R,CR的中点为S.证明:只有唯一的一点P使得S与P重合.



[解题思路]：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量AP可用一组基底唯一表示.



解析： [证明]设ABa,ACb，

111AS(ARAC)[(ABAQ)AC] 则

222111

ABACAP,

428

117

由题设知:ASAPAPABAC

842

24APab

77

由于a,b是确定的向量，所以AP是唯一的一个向量，即ABC所在平面内只有唯一的

一点P使得S与P重合.

【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。

【新题导练】

1．若已知e1、e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )

A．e1与—e2 B．3e1与2e2 C．e1＋e2与e1—e2 D．e1与2e1 答案：D

2．在△ABC中,已知 AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4，BN与CM交于点P,且

A B

N



ABa, ACb,试 用a, b表示AP.

解：∵ AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4,，

1111∴ AMABa，ANACb，

3344



∵ M、P、C三点共线，故可设MPt MC，t∈R , 于是， 1111t

APAMMPatMCat(ba)(atb…… ①

33333

1s

同理可设设NPsNB，s∈R , APANNP()bsa．…②

44

1t1s

由①②得 (s)a(t0，

3344

3232

由此解得 s, t，∴ APab．

11111111

考点二: 平面向量的坐标表示与运算

题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算

[例3] 已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且CM

3CA,CN2CB,求点M、N

的坐标及向量的坐标.

[解题思路]： 利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。

解析： ∵A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）∴ (1,8),(6,3)

∴3=3（1，8）=（3，24），2=2（6，3）=（12，6） 设M(x,y)，则CM(x3,y4) 因此 

x33x0

得，∴M(0,20)

y424y20

同理可得N(9,2)，∴MN=（9—0，2—20）=（9，—18）

【名师指引】灵活运用向量的坐标运算公式。

【新题导练】

3． 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则2=

答案：(-3,-3) 解：AB2BC=（1，1）2（2，2）=(-3,-3)

1

MN, 求P点的坐标； 211

解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )

22

4x13x3

y21 ∴y3 ∴P点坐标为(-1, -)

222

4．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 

考点三: 向量平行的充要条件

题型1: 平行、共线问题

[例4] （广东省高明一中2010届高三月考）

已知向量a(1sin,1)，b(,1sin)，若a∥b，则锐角等于（ ） A．30 B． 45

C．60 D．75

12

[解题思路]： 已知a、b的坐标，当求a//b时，运用两向量平行的充要条件x1y2－x2y1=0可

求sin值．

解析：B 解：(1sin)(1sin)10，故选B

【名师指引】数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征

12

语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到． 【新题导练】



5．若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x 

解：∵a=(-1,x)与b=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x•(-x)=0



∴x=±2 ∵a与b方向相同 ∴x=2

6．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t，

求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。 (2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。 解：(1) t=(1+3t,2+3t)，若P在x轴上，只需2+3t=0，∴t在y轴上，只需1+3t=0，∴t

2

；若P 3

13t0121

；若P在第二象限，只需 ∴t 33323t0

(2)∵(1, 2), (33t, 3-3t)若OABP为平行四边形， 则 由于

33t1

无解，故四边形OABP不能构成平行四边形。

33t2

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1. （广东省惠州市2010届高三第二次调研考试）



设平面向量a3,5,b2,1，则a2b（ ）

A．6,3 B．7,3

C．2,1

D． 7,2



答案：B 解析：a2b3,522,17,3

2. （广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理））



在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD( )

21522112A．bc B．cb C．bc D．bc

33333333

12

答案：A 解析：由ADAB2ACAD，3ADAB2ACc2b，ADcb

33



3．已知a=（1，2），b=（－3，2），当ka+b与a－3b平行，k为何值（ ）

A

1111

B － C － D 4433

答案：C解析： 由已知a=（1，2），b=（－3，2）， 得

a－3b=（10，－4）， ka＋b=（k－3，2k＋2）． 因（ka＋b）∥（a－3b）， 故10（2k＋2）＋4（k－3）=0． 得k=－

1

． 3

4．（广东省黄岐高级中学2010届高三月考）



如图,线段AB与CD互相平分,则BD可以表示为 ( )

11

A . ABCD B. ABCD

22



1

C. (ABCD) D. (ABCD)

2

1

答案：B 线段AB与CD互相平分，所以BD=(CDAB)

2

5． 如图，设P、Q为△ABC内的两点，且

2112

APABAC， AQ＝AB＋AC，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )

55341411A． B． C． D．

5543

21

答案：B [解析]如图,设AMAB,ANAC则APAMAN由平行四边形法则知

55

ABQ1ABPAN1

。=，同理可得NP∥AB，所以

ABC4ABCAC5ABP4

,即选B. 故

ABQ5

6．（2009年广东省广州市高三年级调研测试数 学（理 科）） 如图，在△ABC中，已知AB2，BC3，ABC60，



AHBC于H，M为AH的中点，若AMABBC，

则 .

B

A

2

解析：AB2，BC3，ABC60 3

所以BH=1，M为AH的中点，所以

答案：

M

H

111111AMAH(ABBH)(ABBC)ABBC

222326



2 3

综合拔高训练

7．

（广东省深圳外国语学校2010届高三统测（数学理））

已知向量a(1)，则a

b的最大值为 ，sin)，b

答案：2 解析：absin＝2sin()2.

3

．



8．(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知向量a(2,2),b(5,k)，若ab不超过

5，则k的取值范围是 答案： [-6，2]

．



解析： ab=|(3,2k)|5解得k的取值范围是[-6，2]

9．已知(1,2),(3,2),当实数k取何值时,k＋2与2—4平行？

【解析】方法一: ∵ 2—40,∴ 存在唯一实数使k＋2=(2—4） 将a、b的坐标代入上式得（k—6，2k＋4）=(14，—4） 得k—6=14且2k＋4= —4，解得k= —1

方法二：同法一有ka＋2b=（2a—4b）,即（k—2)a＋（2＋4)b=0

k20∵与不共线，∴  ∴k= —1

240

→→→

10．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP =OA ＋tAB ．

（1） 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？ （2） 当t取何值时，点P在y轴上？

（3） OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由． →→→→→→→→→解：（1）由OP = OA ＋tAB 可得AP = tAB ，AP ∥AB ，又AP 、AB 都过A点，故A、P、B→

三点在同一条直线上，而A、B为定点，所以P点恒在直线AB上运动.（2）OP =（1＋3t，2＋3t），若P在y轴上，则1＋3t=0，t=－

1

.（3）A、B、P三点在同一条直线上，OABP不可3

→→

能为平行四边形，若用OA = PB 可列方程组，但方程组无解.

第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示

★ 知 识 梳理 ★

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a，有且只有_一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

特别提醒：





(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；



(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量



2．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴



方向相同的两个__单位向量_ i、j

个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实



1， 数x、y，使得axiyj…………○



我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作



2 a(x,y)…………○



2式叫做其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○

与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0特别提醒：设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标

(x,y)也就是向量OA在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实

3．平面向量的坐标运算



（1） 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2)， 

ab= (x1x2,y1y2)



（2） 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1



（3）若a(x,y)和实数，则a(x,y)



a4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，b=(x2, y2) 其中ba



a∥b (b)的充要条件是x1y2x2y10

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：

（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；

（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

2.难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.

3.重难点：

（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种



问题1：和a= (3,－4)平行的单位向量是_________；

134

错解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量就是a，即 (555

错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

13434

正解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是a，即(或(－ ，55555

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一： 平面向量基本定理

题型1. 利用一组基底表示平面内的任一向量

A

11

,，[例1] 在△OAB中，AD与BC交于点M，设=a，

42C



=b，用a,b表示.

M

B

O D

[解题思路]：若e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平



面内的任何向量都可用e1,e2线性表示.本例中向量a,b可作基底,故可设=ma+nb,为

求实数m,n,需利用向量AM与AD共线,向量与CB共线,建立关于m,n的两个方程.



解析：设=ma+nb，

1

则AM(m1)anb,ADab

2



∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，

m1n

，∴m+2n=1. ① 10.5

11

而CMOMOC(manb，CBab

44

∴

∵C、M、B共线，∴与共线，

1

n，∴4m+n=1. ② ∴

14

1313

联立①②解得:m=，n=，∴OMab

7777m

[例

2] 已知P是ABC所在平面内一点,AP的中点为Q,BQ的中点为

B

P

R,CR的中点为S.证明:只有唯一的一点P使得S与P重合.



[解题思路]：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量AP可用一组基底唯一表示.



解析： [证明]设ABa,ACb，

111AS(ARAC)[(ABAQ)AC] 则

222111

ABACAP,

428

117

由题设知:ASAPAPABAC

842

24APab

77

由于a,b是确定的向量，所以AP是唯一的一个向量，即ABC所在平面内只有唯一的

一点P使得S与P重合.

【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。

【新题导练】

1．若已知e1、e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )

A．e1与—e2 B．3e1与2e2 C．e1＋e2与e1—e2 D．e1与2e1 答案：D

2．在△ABC中,已知 AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4，BN与CM交于点P,且

A B

N



ABa, ACb,试 用a, b表示AP.

解：∵ AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4,，

1111∴ AMABa，ANACb，

3344



∵ M、P、C三点共线，故可设MPt MC，t∈R , 于是， 1111t

APAMMPatMCat(ba)(atb…… ①

33333

1s

同理可设设NPsNB，s∈R , APANNP()bsa．…②

44

1t1s

由①②得 (s)a(t0，

3344

3232

由此解得 s, t，∴ APab．

11111111

考点二: 平面向量的坐标表示与运算

题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算

[例3] 已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且CM

3CA,CN2CB,求点M、N

的坐标及向量的坐标.

[解题思路]： 利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。

解析： ∵A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）∴ (1,8),(6,3)

∴3=3（1，8）=（3，24），2=2（6，3）=（12，6） 设M(x,y)，则CM(x3,y4) 因此 

x33x0

得，∴M(0,20)

y424y20

同理可得N(9,2)，∴MN=（9—0，2—20）=（9，—18）

【名师指引】灵活运用向量的坐标运算公式。

【新题导练】

3． 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则2=

答案：(-3,-3) 解：AB2BC=（1，1）2（2，2）=(-3,-3)

1

MN, 求P点的坐标； 211

解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )

22

4x13x3

y21 ∴y3 ∴P点坐标为(-1, -)

222

4．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 

考点三: 向量平行的充要条件

题型1: 平行、共线问题

[例4] （广东省高明一中2010届高三月考）

已知向量a(1sin,1)，b(,1sin)，若a∥b，则锐角等于（ ） A．30 B． 45

C．60 D．75

12

[解题思路]： 已知a、b的坐标，当求a//b时，运用两向量平行的充要条件x1y2－x2y1=0可

求sin值．

解析：B 解：(1sin)(1sin)10，故选B

【名师指引】数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征

12

语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到． 【新题导练】



5．若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x 

解：∵a=(-1,x)与b=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x•(-x)=0



∴x=±2 ∵a与b方向相同 ∴x=2

6．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t，

求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。 (2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。 解：(1) t=(1+3t,2+3t)，若P在x轴上，只需2+3t=0，∴t在y轴上，只需1+3t=0，∴t

2

；若P 3

13t0121

；若P在第二象限，只需 ∴t 33323t0

(2)∵(1, 2), (33t, 3-3t)若OABP为平行四边形， 则 由于

33t1

无解，故四边形OABP不能构成平行四边形。

33t2

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1. （广东省惠州市2010届高三第二次调研考试）



设平面向量a3,5,b2,1，则a2b（ ）

A．6,3 B．7,3

C．2,1

D． 7,2



答案：B 解析：a2b3,522,17,3

2. （广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理））



在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD( )

21522112A．bc B．cb C．bc D．bc

33333333

12

答案：A 解析：由ADAB2ACAD，3ADAB2ACc2b，ADcb

33



3．已知a=（1，2），b=（－3，2），当ka+b与a－3b平行，k为何值（ ）

A

1111

B － C － D 4433

答案：C解析： 由已知a=（1，2），b=（－3，2）， 得

a－3b=（10，－4）， ka＋b=（k－3，2k＋2）． 因（ka＋b）∥（a－3b）， 故10（2k＋2）＋4（k－3）=0． 得k=－

1

． 3

4．（广东省黄岐高级中学2010届高三月考）



如图,线段AB与CD互相平分,则BD可以表示为 ( )

11

A . ABCD B. ABCD

22



1

C. (ABCD) D. (ABCD)

2

1

答案：B 线段AB与CD互相平分，所以BD=(CDAB)

2

5． 如图，设P、Q为△ABC内的两点，且

2112

APABAC， AQ＝AB＋AC，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )

55341411A． B． C． D．

5543

21

答案：B [解析]如图,设AMAB,ANAC则APAMAN由平行四边形法则知

55

ABQ1ABPAN1

。=，同理可得NP∥AB，所以

ABC4ABCAC5ABP4

,即选B. 故

ABQ5

6．（2009年广东省广州市高三年级调研测试数 学（理 科）） 如图，在△ABC中，已知AB2，BC3，ABC60，



AHBC于H，M为AH的中点，若AMABBC，

则 .

B

A

2

解析：AB2，BC3，ABC60 3

所以BH=1，M为AH的中点，所以

答案：

M

H

111111AMAH(ABBH)(ABBC)ABBC

222326



2 3

综合拔高训练

7．

（广东省深圳外国语学校2010届高三统测（数学理））

已知向量a(1)，则a

b的最大值为 ，sin)，b

答案：2 解析：absin＝2sin()2.

3

．



8．(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知向量a(2,2),b(5,k)，若ab不超过

5，则k的取值范围是 答案： [-6，2]

．



解析： ab=|(3,2k)|5解得k的取值范围是[-6，2]

9．已知(1,2),(3,2),当实数k取何值时,k＋2与2—4平行？

【解析】方法一: ∵ 2—40,∴ 存在唯一实数使k＋2=(2—4） 将a、b的坐标代入上式得（k—6，2k＋4）=(14，—4） 得k—6=14且2k＋4= —4，解得k= —1

方法二：同法一有ka＋2b=（2a—4b）,即（k—2)a＋（2＋4)b=0

k20∵与不共线，∴  ∴k= —1

240

→→→

10．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP =OA ＋tAB ．

（1） 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？ （2） 当t取何值时，点P在y轴上？

（3） OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由． →→→→→→→→→解：（1）由OP = OA ＋tAB 可得AP = tAB ，AP ∥AB ，又AP 、AB 都过A点，故A、P、B→

三点在同一条直线上，而A、B为定点，所以P点恒在直线AB上运动.（2）OP =（1＋3t，2＋3t），若P在y轴上，则1＋3t=0，t=－

1

.（3）A、B、P三点在同一条直线上，OABP不可3

→→

能为平行四边形，若用OA = PB 可列方程组，但方程组无解.