实验一经典的连续系统仿真建模方法
一实验目的:
1 了解和掌握利用仿真技术对控制系统进行分析的原理和步骤。 2 掌握机理分析建模方法。
3 深入理解阶常微分方程组数值积分解法的原理和程序结构，学习用Matlab 编写 数值积分法仿真程序。
4 掌握和理解四阶Runge-Kutta 法，加深理解仿真步长与算法稳定性的关系。
二实验原理:
1非线性模型仿真
⎧dH 11⎫
=k u +Q -αH u d 121⎪⎪⎪dt ⎪A ⎨⎬ ⎪dH 2=1αH 1-α2H 2⎪12⎪⎪A ⎩dt ⎭
()
()
1⎡
-⎢AR
12
∆H =⎢
⎢1⎢⎣AR 12⎤
⎥⎡∆H 1⎤⎡k u ⎥+⎢A ⎥1⎥⎢⎣∆H 2⎦⎢-⎣0AR 2⎥⎦0
1⎤⎡∆u ⎤
A ⎥⎢∆Q ⎥0⎥⎦⎣d ⎦
三实验内容:
1. 编写四阶Runge_Kutta公式的计算程序，对非线性模型（3）式进行仿真。
（1）将阀位u 增大10％和减小10％，观察响应曲线的形状;
（2）研究仿真步长对稳定性的影响，仿真步长取多大时RK4 算法变得不稳定？
（3）利用MATLAB 中的ode45()函数进行求解，比较与（1）中的仿真结果有何区别。 2. 编写四阶Runge_Kutta公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真 （1）将阀位增大10％和减小10％，观察响应曲线的形状;
（2）研究仿真步长对稳定性的影响，仿真步长取多大时RK4 算法变得不稳定？ （4）阀位增大10％和减小10％，利用MATLAB 中的ode45()函数进行求解阶跃响 应，比较与（1）中的仿真结果有何区别。
四程序代码:
龙格库塔: %RK4文件 clc close
H=[1.2,1.4]';u=0.55; h=1; TT=[]; XX=[];
fori=1:h:200
k1=f(H,u);
k2=f(H+h*k1/2,u); k3=f(H+h*k2/2,u); k4=f(H+h*k3,u);
H=H+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; TT=[TT i]; XX=[XX H]; end; hold on
plot(TT,XX(1,:),'--',TT,XX(2,:)); xlabel('time') ylabel('H') gtext('H1') gtext('H2') hold on 水箱模型:
functiondH=f(H,u) k=0.2; u=0.5; Qd=0.15; A=2;
a1=0.20412; a2=0.21129; dH=zeros(2,1);
dH(1)=1/A*(k*u+Qd-a1*sqrt(H(1)));
dH(2)=1/A*(a1*sqrt(H(1))-a2*sqrt(H(2)));
三实验结果:
2编写四阶Runge_Kutta公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真：
1 阀值u 对仿真结果的影响
U=0.45;h=1;U=0.5;h=1;
U=0.55;h=1;
2 步长h 对仿真结果的影响:
U=0.5;h=5;U=0.5;h=20;
U=0.5;h=39 U=0.5;h=50
由以上结果知, 仿真步长越大, 仿真结果越不稳定。 采用ode45算法程序如下: functiondH=liu(t,H)
k=0.2;
Qd=0.15; A=2;
a1=0.20412; a2=0.21129; dH=zeros(2,1);
dH(1)=1/A*(k*u+Qd-a1*sqrt(H(1)));
dH(2)=1/A*(a1*sqrt(H(1))-a2*sqrt(H(2)));
在命令窗口运行以下程序:
[t,H]=ode45('liu',[1 200],[1.2 1.1]); plot(t,H(:,1),['r','+'],t,H(:,2),['g','*'])
u=0.45u=0.5
u=0.55
用ode45与用龙格库塔法仿真结果基本一致。
2编写四阶 Runge_Kutta 公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真：
%RK4文件
clc
close
x=[1.2,1.4]';u=0.5; h=5; TT=[]; XX=[];
fori=1:h:200 k1=f2(x,u);
k2=f2(x+h*k1/2,u); k3=f2(x+h*k2/2,u); k4=f2(x+h*k3,u);
x=x+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; TT=[TT i]; XX=[XX x]; end; hold on
plot(TT,XX(1,:),'--',TT,XX(2,:)); xlabel('time') ylabel('x') gtext('x1') gtext('x2') hold on
线性函数：
function dx=f2(x,u)%线性 Qd=0.1;
a1=0.20412;a2=0.21129; A=2;k=0.2; dx=zeros(2,1);
dx(1)=1/A*(k*u-x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)+Qd);
dx(2)=1/A*(x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)-x(2)/(2*sqrt(1.4)/a2));
1 阀值u 对仿真结果的影响:
U=0.45；h=1；U=0.5；h=1；
U=0.55；h=1；
2 步长h 对仿真结果的影响:
U=0.5；h=5；U=0.5；h=20；
U=0.5；h=35；U=0.5；h=50；
当步长为50时仿真结果开始不稳定，仿真步长越大, 仿真结果越不稳定。 采用ode45算法程序如下:
function dx=liu2(t,x)%ÏßÐÔ Qd=0.1; u=0.45;
a1=0.20412;a2=0.21129; A=2;k=0.2; dx=zeros(2,1);
dx(1)=1/A*(k*u-x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)+Qd);
dx(2)=1/A*(x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)-x(2)/(2*sqrt(1.4)/a2)); 在命令窗口运行以下程序:
>> [t,x]=ode45('liu2',[1 200],[1.2 1.4]); >> plot(t,x(:,1),['r','+'],t,x(:,2),['g','*'])
U=0.45； u=0.5；
U=0.55
用ode45与用龙格库塔法仿真结果基本一致。
五思考讨论：
1 仿真步长越短，仿真结果越稳定，越精确。
2 通过改变u 来改变阀的开度，线性系统和非线性系统方法一样。
实验一经典的连续系统仿真建模方法
一实验目的:
1 了解和掌握利用仿真技术对控制系统进行分析的原理和步骤。 2 掌握机理分析建模方法。
3 深入理解阶常微分方程组数值积分解法的原理和程序结构，学习用Matlab 编写 数值积分法仿真程序。
4 掌握和理解四阶Runge-Kutta 法，加深理解仿真步长与算法稳定性的关系。
二实验原理:
1非线性模型仿真
⎧dH 11⎫
=k u +Q -αH u d 121⎪⎪⎪dt ⎪A ⎨⎬ ⎪dH 2=1αH 1-α2H 2⎪12⎪⎪A ⎩dt ⎭
()
()
1⎡
-⎢AR
12
∆H =⎢
⎢1⎢⎣AR 12⎤
⎥⎡∆H 1⎤⎡k u ⎥+⎢A ⎥1⎥⎢⎣∆H 2⎦⎢-⎣0AR 2⎥⎦0
1⎤⎡∆u ⎤
A ⎥⎢∆Q ⎥0⎥⎦⎣d ⎦
三实验内容:
1. 编写四阶Runge_Kutta公式的计算程序，对非线性模型（3）式进行仿真。
（1）将阀位u 增大10％和减小10％，观察响应曲线的形状;
（2）研究仿真步长对稳定性的影响，仿真步长取多大时RK4 算法变得不稳定？
（3）利用MATLAB 中的ode45()函数进行求解，比较与（1）中的仿真结果有何区别。 2. 编写四阶Runge_Kutta公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真 （1）将阀位增大10％和减小10％，观察响应曲线的形状;
（2）研究仿真步长对稳定性的影响，仿真步长取多大时RK4 算法变得不稳定？ （4）阀位增大10％和减小10％，利用MATLAB 中的ode45()函数进行求解阶跃响 应，比较与（1）中的仿真结果有何区别。
四程序代码:
龙格库塔: %RK4文件 clc close
H=[1.2,1.4]';u=0.55; h=1; TT=[]; XX=[];
fori=1:h:200
k1=f(H,u);
k2=f(H+h*k1/2,u); k3=f(H+h*k2/2,u); k4=f(H+h*k3,u);
H=H+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; TT=[TT i]; XX=[XX H]; end; hold on
plot(TT,XX(1,:),'--',TT,XX(2,:)); xlabel('time') ylabel('H') gtext('H1') gtext('H2') hold on 水箱模型:
functiondH=f(H,u) k=0.2; u=0.5; Qd=0.15; A=2;
a1=0.20412; a2=0.21129; dH=zeros(2,1);
dH(1)=1/A*(k*u+Qd-a1*sqrt(H(1)));
dH(2)=1/A*(a1*sqrt(H(1))-a2*sqrt(H(2)));
三实验结果:
2编写四阶Runge_Kutta公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真：
1 阀值u 对仿真结果的影响
U=0.45;h=1;U=0.5;h=1;
U=0.55;h=1;
2 步长h 对仿真结果的影响:
U=0.5;h=5;U=0.5;h=20;
U=0.5;h=39 U=0.5;h=50
由以上结果知, 仿真步长越大, 仿真结果越不稳定。 采用ode45算法程序如下: functiondH=liu(t,H)
k=0.2;
Qd=0.15; A=2;
a1=0.20412; a2=0.21129; dH=zeros(2,1);
dH(1)=1/A*(k*u+Qd-a1*sqrt(H(1)));
dH(2)=1/A*(a1*sqrt(H(1))-a2*sqrt(H(2)));
在命令窗口运行以下程序:
[t,H]=ode45('liu',[1 200],[1.2 1.1]); plot(t,H(:,1),['r','+'],t,H(:,2),['g','*'])
u=0.45u=0.5
u=0.55
用ode45与用龙格库塔法仿真结果基本一致。
2编写四阶 Runge_Kutta 公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真：
%RK4文件
clc
close
x=[1.2,1.4]';u=0.5; h=5; TT=[]; XX=[];
fori=1:h:200 k1=f2(x,u);
k2=f2(x+h*k1/2,u); k3=f2(x+h*k2/2,u); k4=f2(x+h*k3,u);
x=x+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; TT=[TT i]; XX=[XX x]; end; hold on
plot(TT,XX(1,:),'--',TT,XX(2,:)); xlabel('time') ylabel('x') gtext('x1') gtext('x2') hold on
线性函数：
function dx=f2(x,u)%线性 Qd=0.1;
a1=0.20412;a2=0.21129; A=2;k=0.2; dx=zeros(2,1);
dx(1)=1/A*(k*u-x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)+Qd);
dx(2)=1/A*(x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)-x(2)/(2*sqrt(1.4)/a2));
1 阀值u 对仿真结果的影响:
U=0.45；h=1；U=0.5；h=1；
U=0.55；h=1；
2 步长h 对仿真结果的影响:
U=0.5；h=5；U=0.5；h=20；
U=0.5；h=35；U=0.5；h=50；
当步长为50时仿真结果开始不稳定，仿真步长越大, 仿真结果越不稳定。 采用ode45算法程序如下:
function dx=liu2(t,x)%ÏßÐÔ Qd=0.1; u=0.45;
a1=0.20412;a2=0.21129; A=2;k=0.2; dx=zeros(2,1);
dx(1)=1/A*(k*u-x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)+Qd);
dx(2)=1/A*(x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)-x(2)/(2*sqrt(1.4)/a2)); 在命令窗口运行以下程序:
>> [t,x]=ode45('liu2',[1 200],[1.2 1.4]); >> plot(t,x(:,1),['r','+'],t,x(:,2),['g','*'])
U=0.45； u=0.5；
U=0.55
用ode45与用龙格库塔法仿真结果基本一致。
五思考讨论：
1 仿真步长越短，仿真结果越稳定，越精确。
2 通过改变u 来改变阀的开度，线性系统和非线性系统方法一样。